Capitolo 3 Equazioni idrodinamiche 3.1 Momenti dell equazione di Boltzmann Nel precedente Capitolo abbiamo visto come l equazione di Boltzmann permetta la descrizione della dinamica di un sistema di particelle a bassa densità che interagiscono solo attraverso collisioni binarie. In questo Capitolo vogliamo ricavare le equazioni macroscopiche per descrivere questo tipo di sistema; nel successivo Capitolo mostreremo come esse coincidano con quella ricavate per un mezzo continuo. L equazione di conservazione (2.43) permette di stabilire il legame cercato utilizzando per χ le quantità invarianti nelle collisioni binarie, rispettivamente massa (o numero di particelle), momento ed energia cinetica. Nella discussione faremo riferimento essenzialmente a particelle del tipo molecole di un gas monoatomico; per particelle con gradi di libertà rotazionali alcune delle formule possono richiedere ulteriori adattamenti. Iniziamo ponendo χ = m nell equazione di conservazione (momento di ordine zero nella velocità) e supponiamo che le forze considerate non dipendano dalla velocità: (nm)+ (nm hvi) =0. (3.1) dove Z n = dv f ; (3.2) assumendo inoltre che tutte le particelle abbiano la stessa massa, si definisce la densità = nm. (3.3) Il valore medio della velocità, che rappresenta la velocità di flusso del sistema, è dato da: hvi = u = 1 Z dv vf (3.4) n 21
22 CAPITOLO 3. EQUAZIONI IDRODINAMICHE dacuisiottienel equazione di continuità della massa: + (u) =0. (3.5) Poniamo ora χ = mv j con j =1, 2, 3 (momento al prim ordine nella velocità): (nm hv ji)+ (nm hvv j i) nf j =0. (3.6) Considerando che v u risulta essere la velocità di una particella rispetto alla velocità di flusso, che indica cioè il moto disordinato rispetto al moto medio, definiamo il tensore di pressione: Si mostra immediatamente che P ij = nm h(v i u i )(v j u j )i. (3.7) h(v i u i )(v j u j )i = hv i v j i + u i u j hv i i u j hv j i u i = = hv i v j i u i u j e quindi P ij = nm hv i v j i nmu i u j. (3.8) Quindi l equazione del momento al prim ordine può essere riscritta nella forma: (u j)+ (uu j )= ( P) j + m F j (3.9) dove P =P ij ê i ê j è la diade che rappresenta il tensore di pressione. Espandendo il primo membro e utilizzando l equazione di continuità si ottiene la forma alternativa: uj + u u j = ( P) j + m F j (3.10) e, utilizzando la scrittura vettoriale per riunire le tre componenti: u + u u = ( P)+ m F (3.11) Infine se il gas è monoatomico e le collisioni binarie sono elastiche, si può scrivere l equazione di conservazione per il momento del second ordine con χ = (1/2)m v u 2 che, con operazioni algebriche analoghe a quelle ora viste, diventa: ( )+ ( u) = q P : K (3.12) dove = 1 D v u 2E (3.13) 2 è l energia interna per unità di massa, q = 1 2 D(v u) v u 2E (3.14)
3.2. EQUAZIONI IDRODINAMICHE 23 èilflusso di energia e la diade K ha la forma: K ij = 1 µ ui + u j ; (3.15) 2 x j x i il prodotto : è il prodotto a doppio punto fra diadi (vedasi Appendice C). Anche l equazione dell energia può essere ulteriormente elaborata: + u = q P : K. (3.16) Il sistema di 5 equazioni scalari (1 per la continuità, 3 per il moto ed 1 per l energia) non rappresenta tuttavia un sistema chiuso per la soluzione del problema dinamico, in quanto il numero di variabili scalari è pari a 14 (1 per, 3peru, 1per, 6perP, 3perq). Neppure andando a momenti di ordine superiore si può comunque chiudere il sistema, perché ogni equazione di un dato ordine introduce una grandezza (scalare o vettoriale) che corrisponde un momento di ordine di un unità superiore nella velocità. Per chiudere il sistema occorre quindi ricorrere a condizioni fisiche, per esempio un equazione di stato, una condizione sul flusso di energia, o altre. 3.2 Equazioni idrodinamiche Il comportamento collettivo dei sistemi di particelle è legato alle collisioni, in particolare al fatto che il cammino libero medio sia molto minore delle dimensioni dei sistemi in modo da permettere una rapida trasmissione degli effetti collettivi e un comportamento continuo. Vedremo al termine di questo capitolo che nel caso di plasmi gravitazionali si possono avere comportamenti collettivi grazie all azione di forze a lungo raggio; e simile, anche se concettualmente differente, sarà il caso dei fluidi di particelle elettricamente cariche, i plasmi. Qui ci occuperemo dei fluidi nel senso più tradizionale del termine, quelli che sperimentiamo normalmente, acqua, aria, ecc. in cui le collisioni sono quelle a corto raggio discusse nel precedente Capitolo. Consideriamo un sistema di particelle in cui le collisioni abbiano portato il sistema all equilibrio maxwelliano, eventualmente con differenti proprietà in diversi punti del sistema, e mostriamo come sia possibile scrivere le equazioni dei momenti in modo da trattare la loro dinamica in modo consistente. La distribuzione maxwelliana in ogni punto del sistema sarà data da: f (x, v,t)=n(x,t) m 2πk B T (x,t) 3/2 m [v u(x,t)]2 exp ( 2k B T (x,t) ) (3.17) dove le varie grandezze sono già state precedentemente definite. Possiamo ora calcolare i momenti delle varie grandezze con questa forma della funzione di distribuzione. Iniziamo dal tensore di pressione: P ij = mn µ m 2πk B T 3/2 Z du U i U j exp µ mu2 2k B T (3.18)
24 CAPITOLO 3. EQUAZIONI IDRODINAMICHE dove si usa l espressione U per la deviazione delle velocità rispetto alla velocità media u U = v u. L integrando è dispari per i 6= j, e quindi si annulla se esteso da a +, mentre è pari per i = j ed è uguale per tuttte le componenti; dalla (3.18) si ricava facilmente che P ij = pδ ij = nk B Tδ ij. (3.19) Dalla (3.14) si ottiene inoltre che il flusso di energia comporta un integrando dispari, per cui: q =0. (3.20) Infine l energia (3.13) diventa: e il termine prodotto di diadi: P : K = 1 2 pδ ij = 3 k B T 2 m (3.21) µ ui + u j = p u. (3.22) x j x i Con queste espressioni le equazioni di momento nel caso collisionale maxwelliano diventano dunque: + (u) =0 (3.23) u +(u ) u = 1 p + F (3.24) m + u = p u. (3.25) Questo sistema di 5 equazioni scalari contiene 5 variabili indipendenti, u,n, T (, p, possono essere espresse in funzione delle sole n, T ), ovviamente tenendo conto che la forza F esterna è data. Quindi il sistema è chiuso e utilizzabile per ricavare la dinamica in termini di grandezze macroscopiche. I fluidi per i quali le approssimazioni ora utilizzate siano valide sono detti, come vedremo più avanti, fluidi euleriani. In sostanza l ipotesi di una distribuzione maxwelliana locale in tutto lo spazio ha portato a eliminare il flusso di energia (q =0) e ad avere un tensore di pressione diagonale, quindi senza sforzi longitudinali agli strati e senza viscosità, cioè senza possibilità di trasporto dimomentodaunostratoadunaltrodelfluido. Sono scomparsi tutti i fenomeni di trasporto. In situazioni reali sono invece possibili anche forti gradienti nelle grandezze fisiche che non consentono quindi la stessa distribuzione maxwelliana in ogni punto: laddove i fenomeni di trasporto siano importanti il fluido non ha una distribuzione di equilibrio perché essi possono essere più rapidi del tempo scala di raggiungimento della distribuzione di equilibrio. Occorre quindi approfondire questo punto e introdurre qualche termine correttivo.
3.3. FENOMENI DI TRASPORTO 25 3.3 Fenomeni di trasporto Per considerare situazioni diverse dai fluidi euleriani scriviamo la funzione di distribuzione nella forma: f (x, v,t)=f (0) (x, v,t)+g (x, v,t) (3.26) dove f (0) è la maxwelliana locale e g rappresenta la deviazione, che per il momento considereremo piccola. Con riferimento all equazione di Boltzmann (2.14), lo sviluppo dell integrale di collisione, scritto trascurando termini quadratici in g, risulta: Z Z δf dv 1 dω dσ δt c dω (Ω) v v 1 ³f g (0)0 g1 0 + f (0)0 1 g 0 f (0) g 1 f (0) 1 (3.27) il cui ordine di grandezza è gnσ tot v rel,dovev rel è la tipica velocità relativa tra le particelle e σ tot la sezione d urto totale. Il tempo τ =(nσ tot v rel ) 1 può essere considerato come un valore medio caratteristico del tempo di collisione. Possiamo quindi scrivere la (2.14) nella forma approssimata: µ + v x + F m v f = f f (0) (3.28) τ assumendo che la funzione f tenda alla maxwelliana f (0) nel tempo caratteristico τ. Questa espressione prende il nome di equazione di Bhatnagar, Gross & Krook (equazione BGK, 1954) e viene spesso usata per studiare i fenomeni di trasporto in prima approssimazione. Una formulazioni più completa, estesa a sviluppi ad ordine superiore, è stata sviluppata precedentemente da Chapman e Enskog (1917). Rimanendo nei limiti dell equazione BGK, possiamo fare alcune considerazioni fenomenologiche molto utili. Partiamo dal considerare un sistema con forti gradienti; in tal caso è il termine v x a produrre la massima deviazione dalla maxwelliana, per cui si può porre: v f (0) g (3.29) L τ dove L è la tipica scala del gradiente. Utilizzando l espressione per il cammino libero medio λ = vτ (2.3) si ha: g f λ (0) L = α ; (3.30) quindi la deviazione dalla maxwelliana sarà tanto più piccola quanto più piccolo sarà il libero cammino medio rispetto alla scala macroscopica. Questo fattore α rappresenta il parametro di piccolezza nello sviluppo perturbativo dell equazione di Boltzmann con maxwelliana all ordine zero proposto da Chapman ed Enskog: f = f (0) + αf (1) + α 2 f (2) +... (3.31)
26 CAPITOLO 3. EQUAZIONI IDRODINAMICHE Seguendo l equazione BGK consideriamo le correzioni al prim ordine. Riscriviamo la (3.28) approssimando nel primo membro f con f (0) : g = τ µ + v x + F m v f (0) ; (3.32) f (0) dipende da x e t attraverso n, T, u come illustrato nella (3.17), per cui: f (0) = n f (0) n + T f (0) T + u f(0) u (3.33) e analogamente per f (0) / x. Calcolando queste espressioni nella (3.32) con f (0) dato dalla maxwelliana, si deriva: µ 1 m g = τ T xt U 2k B T U2 5 + m µu 2 k B T K : i U j ê i ê j 13 δ iju 2 ê i ê j. (3.34) Questa espressione per la deviazione dalla distribuzione maxwelliana conferma le ipotesi iniziali, cioè che essa dipende essenzialmente dai gradienti delle quantità fisiche macroscopiche, temperatura e velocità (attraverso K). Inoltre è proporzionale al tempo di collisione: se le collisioni sono rare, τ grande, g risulta maggiore; se sono frequenti, τ piccolo, la deviazione dalla maxwelliana è minore. Con questa espressione per g è possibile quindi ricavare le grandezze fisiche macroscopiche che erano state calcolate all ordine zero nel precedente paragrafo. Per il flusso di energia si ottiene con opportuna algebra: q = Z du UU 2 g = K T (3.35) 2n K = 5 2 τnk2 B T (3.36) m che mostra appunto come il termine corrisponda effettivamente a trasporto di energia termica, con il fattore moltiplicativo K avente la funzione di coefficiente di conducibilità termica. Per il tensore di pressione si calcola: P ij = pδ ij + Π ij (3.37) dove Z Π ij = m du U i U j g (3.38) L algebra mostra che: Π ij = τm Z k B T K kl du U i U j µ U k U l 1 3 δ iju 2 f (0)
3.4. IDRODINAMICA DEI FLUIDI VISCOSI ED EQUAZIONE DI NAVIER-STOKES27 che risulta essere un tensore a traccia nulla (Π ii =0con somma sugli indici), e ha non nulli i termini non diagonali. Infine si ricava: µ Π ij = 2η K ij 1 3 δ ij u (3.39) con η = τnk B T. (3.40) Questo termine di pressione non-diagonale permette una trasferimento di momento fra strati fluidi, come vedremo più avanti, e il coefficiente η può essere quindi inteso come un coefficiente di viscosità. Va notato al proposito che i coefficienti di conducibilità termica e viscosità ricavati dall equazione cinetica di Boltzmann sono in ottimo accordo con i dati sperimentali sui fluidi reali ottenuti in laboratorio. 3.4 Idrodinamica dei fluidi viscosi ed equazione di Navier-Stokes Con le espressioni per q, P ij, K ij ora ricavate è possibile riscrivere le equazioni idrodinamiche incorporando i termini di trasporto. Il termine di forza di pressione diviene P = p η 2 13 u + ( u) dove si è considerato η costante. Con questa espressione l equazione del moto diventa: u + u u = p + η 2 13 u + ( u) + m F. (3.41) Analogamente per l equazione dell energia: 13 P : K = p u 2η K : K ( u)2 si ottiene: + u 13 = (K T ) p u 2η K : K ( u)2. (3.42) Alcuni termini sono nella maggior parte dei casi trascurabili: precisamente i termini viscosi che contengono variazioni spaziali di u nella (3.41) e il terzo termine del secondo membro della (3.42) corrispondente alla produzione di calore per dissipazione viscosa. Pertanto il sistema delle equazioni idrodinamiche con terminiditrasporto,scrivendof in luogo di F/m aindicarelaforzaperunità di massa, risulta: + (u) =0 (3.43)
28 CAPITOLO 3. EQUAZIONI IDRODINAMICHE u + u u = 1 p + η 2 u + f (3.44) + u = (K T ) p u (3.45) e va sotto il nome di sistema di equazioni idrodinamiche per fluidi viscosi. L equazione del moto (3.44) è indicata comunemente come equazione di Navier- Stokes. Seicoefficienti K e η elaforzaf sono dati, le variabili scalari indipendenti del problema sono 5, cioè 3 componenti di u e2tra, p, T,, come comportato dalle definizioni (3.3), (3.19), (3.21). Anche le equazioni scalari idrodinamiche sono 5, per cui il sistema è chiuso e risolubile consistentemente. Le principali ipotesi che hanno permesso di ottenere un sistema risolubile sono: l indipendenza di u e η dalle variabili spaziali e la trascurabilità della produzione di calore da parte delle dissipazioni viscose. Si tratta di ipotesi normalmente ben verificate sperimentalmente nei casi di interesse astrofisico che per lo più coinvolgono fluidi a bassa densità in cui il cammino libero medio tra collisioni è breve rispetto alle scale tipiche del sistema, ma le collisioni sono essenzialmente di tipo binario. Per il caso di fluidi ad alta densità la situazione non è di fatto sostanzialmente differente purché gli urti che mantengono il sistema coerente conservino l energia e il momento; infatti nel prossimo capitolo vedremo come sia possibile derivare delle equazioni macroscopiche per sistemi continui e come queste equazioni coincidano in effetti con quelle ora ricavate a partire dall equazione di Boltzmann per sistemi non continui resi coerenti da collisioni binarie. 3.5 Equazione di Boltzmann e sistemi stellari Una domanda che nasce in contesto astrofisico è se l equazione di Boltzmann e i suoi momenti siano applicabili allo studio della dinamica dei sistemi stellari. In linea di principio possiamo rispondere affermativamente, sebbene i sistemi stellari abbiano caratteristiche molto diverse dal caso dei fluidi neutri molecolari. Forse è utile fare un rapido riferimento a questo caso, proprio per evidenziare la generalità dell equazione di Boltzmann. Nel Capitolo 11 torneremo sui sistemi di particelle non-collisionali, ma possiamo qui dare un rapido esempio. Anzitutto le stelle interagiscono fra loro non tanto attraverso urti a breve distanza, ma soprattutto attraverso l effetto gravitazionale a lungo range. Le singole stelle non si muovono liberamente tra urti successivi, ma la loro dinamica è dominata dal campo gravitazionale consistente generato dall insieme di tutte le stelle del sistema. Pertanto l equazione di Boltzmann può essere utilizzata tenendo presente questo campo tra le forze esterne; il suo valore deve essere definito attraverso un equazione che definisca il campo dalla distribuzione di materia, e cioè l equazione di Poisson: g = 4πG mat (3.46)
3.5. EQUAZIONE DI BOLTZMANN E SISTEMI STELLARI 29 dove g è la forza gravitazionale (per unità di massa), G la costante gravitazionale e mat la densità di materia che genera il campo, e che può comprendere, oltre alle stelle, gas interstellare o materia invisibile. Allo stesso tempo va anche notato che gli urti a breve range delle stelle non sono molto frequenti, per cui possono essere trascurati, permettendo l utilizzo dell equazione di Boltzmann non-collisionale. In queste ipotesi è possibile, come mostrato da Oort nel 1932, arrivare ad una valutazione della massa della Galassia sulla base dello studio della cinematica delle stelle del disco galattico. Assumiamo che il sistema sia in equilibrio ( / =0) e che sia un disco omogeneo in modo che siano trascurabili le variazioni delle quantità fisiche nel piano del disco rispetto a quelle nella direzione perpendicolare ( / x = / y = 0). In tal modo l equazione del moto (3.11) risulta: 1 d n v 2 n dz z = gz. (3.47) L equazione di Poisson è: dg z dz = 4πG mat. (3.48) I dati osservativi permisero a Oort una buona valutazione della distribuzione di velocità e densità delle stelle a varie altezze sul piano galattico nell intorno del sistema solare, per cui potè valutare la densità di materia del disco dalla gravità esercitata: mat =10 10 24 gcm 3. (3.49) Allo stesso tempo i conteggi stellari diedero una densità di massa nelle stelle st =4 10 24 gcm 3. (3.50) La differenza fra le due valutazioni (una dinamica ed una fotometrica) è noto come il limite di Oort per la densità di materia nel mezzo interstellare, misurato quindi quando ancora non esistevano metodi diretti di osservazione. La discrepanza tra le misure dinamiche e fotometriche delle masse delle aggregazioni astrofisiche è dunque un modo di rivelare la presenza di materia invisibile alle osservazioni delle onde elettromagnetiche da essa emessa. Nel caso studiato da Oort si trattò semplicemente della rivelazione di una componente difficile da osservare con gli strumenti dell epoca; e comunque il rapporto tra la componente invisibile e quella osservabile era dell ordine dell unità. Sappiamo che in molte altre aggregazioni astrofisiche, ammassi stellari, galassie e ammassi di galassie, questo rapporto può raggiungere valori anche di 100-1000 volte; il che comporta che la materia invisibile deve essere di tipo speciale per non essere rivelabile attraverso la sua radiazione essendo così cospicua. Si parla quindi di materia oscura, intendendo con questo nome materia in grado di esercitare forza gravitazionale, senza però interagire con la radiazione elettromagnetica, né in emissione né in assorbimento. È questo un ben noto problema della moderna cosmologia, messo appunto in luce dallo studio dei sistemi (non-collisionali) astrofisici.
30 CAPITOLO 3. EQUAZIONI IDRODINAMICHE 3.6 Commenti finali In questo Capitolo abbiamo visto come un sistema di particelle dominato da frequenti collisioni con funzione di distribuzione localmente maxwelliana può essere trattato attraverso un sistema di equazioni macroscopiche. Non è richiesto che il sistema sia in equilibrio termodinamico globale, ma solo locale, in modo da comportarsi come un sistema continuo. In astrofisica si possono presentare tre diversi tipi di sistemi di particelle: 1. particelle senza interazioni a lungo range; 2. particelle interagenti attraverso forze gravitazionali a lungo range; 3. particelle cariche interagenti attraverso forze elettromagnetiche a lungo range. Un gas neutro (il mezzo interstellare, ad esempio) appartiene alla prima categoria, in quanto tipicamente l energia gravitazionale è trascurabile rispetto all energia cinetica termica. Invece la dinamica di un ammasso stellare o di un ammasso di galassie appartiene alla seconda categoria, ove lo stabilirsi di una struttura di quasi-equilibrio comporta che energia cinetica e gravitazionale siano sostanzialmente paragonabili secondo un principio che va sotto il nome di teorema del viriale. La terza categoria corrisponde ai plasmi, che verranno studiati nella seconda Parte del corso. Solo alla prima categoria si applica la trattazione fluida sviluppata in questo Capitolo, quando cioè il cammino libero medio per collisione sia breve rispetto alle scale del sistema, cioè quando il parametro di Chapman-Enskog sia α 1. Anche nel caso del plasma, come vedremo, una trattazione fluida può essere sviluppata, modificando la definizione del parametro α in termini della cosiddetta lunghezza di Debye, la distanza al di sopra della quale le forze elettromagnetiche garantiscono una quasi-neutralità del sistema, schermando gli effetti delle singole cariche e quindi permettendo al sistema di rilassarsi verso un equilibrio maxwelliano. I sistemi stellari o di galassie sono invece non-collisionali e dominati dalle interazioni auto-gravitazionali a lungo range, per cui sono incompatibili con una trattazione fluida in quanto non esistono forze a breve range che li portino a rilassare verso l equilibrio locale maxwelliano. Ciò ne rende di fatto concettualmente più complicata la trattazione. Nel precedente paragrafo abbiamo dato un esempio di comportamento di sistemi non-collisionali. L effettivo raggiungimento di uno stato di equilibrio locale a partire da un sistema in contrazione gravitazionale è in realtà legato all effetto delle violente variazioni del campo gravitazionale auto-consistente. Come proposto da Lynden-Bell nel 1967, le forze che scaturiscono in tale situazione possono essere trattate come collisioni che portano ad un rilassamento violento del sistema verso un equilibrio quasimaxwelliano anisotropo. Alcuni aspetti di questo comportamento verranno discussi in successivi Capitoli nella parte dedicata ai plasmi.