Introduzione all Option Pricing

Introduzione all Option Pricing Arturo Leccadito Corso di Matematica Finanziaria 3 Anno Accademico 2008 2009 1 Il Modello Binomiale Si supponga che oggi (epoca 0) sia disponibile un titolo azionario il cui prezzo corrente denotiamo con Ipotizziamo altresì che all epoca T tale prezzo azionario è rappresentato dalla variabile aleatoria S T che può assumere unicamente i valori S u e S d, diciamo con probabilità ξ u e ξ d = 1 ξ u 1 I pedici u e d stanno per up e down, e quindi si avrà per ipotesi S u > S d, L obiettivo è quello di determinare il prezzo equo in 0 di un derivato di tipo Europeo con scadenza in T, avente il titolo in questione come sottostante Denotiamo tale prezzo con f 0 Il payoff del derivato a scadenza è dato dalla variabile aleatoria f T che assume il valore f u quando S T = S u e il valore f d quando S T = S d Nel caso di opzione call con prezzo di esercizio K, si ha f T = max(s T K,0) e dunque tale variabile aleatoria assume i valori max(s u K,0) e max(s d K,0), ancora con probabilità ξ u e ξ d rispettivamente Inoltre ipotizziamo sul mercato sia disponibile un titolo non rischioso che corrisponde gli interessi secondo una legge esponenziale con intensità r Ciò significa che investendo R 0 = 1 all epoca 0, si ricevono con certezza R T = e rt unità monetarie all epoca T È inoltre possibile prendere a prestito denaro a questo stesso tasso Affinché non vi siano opportunità d arbitraggio deve essere S d e rt S u (11) La precedente relazione, riscritta come S d R T R 0 S u, implica che il tasso di rendimento del titolo non rischioso deve essere superiore al tasso di rendimento del titolo S nello stato down ma inferiore a quello del titolo S nello stato up Se per esempio risultasse e rt > S u, un arbitraggio verrebbe realizzato vendendo allo scoperto il titolo S in 0 e investendo i proventi della vendita nel titolo non rischioso Tale strategia implica un flusso di cassa nullo in 0 e un flusso di cassa di e rt S T in T Quest ultimo importo è senz altro strettamente positivo essendo e rt > S u e S u > S d In maniera del tutto analoga si dimostra che deve essere e rt S d affinché non vi siano arbitraggi 1 Come sarà evidente dall analisi successiva, queste probabilità non sono rilevanti per il pricing di derivati aventi il titolo come sottostante 1

11 Valutazione del Derivato L idea è quella di replicare il derivato usando gli strumenti disponibili sul mercato, in questo caso il titolo S e il titolo non rischioso In altri termini, si vuole costruire un portafoglio che abbia lo stesso payoff del derivato in tutti i possibili stati possibili (up e down, in questo caso) del sottostante Costruiamo pertanto un portafoglio che comprenda A unità del titolo S e B unità del titolo non rischioso, dove A e B sono due numeri reali da calcolare imponendo la replica del payoff del derivato a scadenza Il valore in 0 di tale portafoglio è chiaramente dato da mentre il valore in T è V 0 = A + B R 0 = A + B, V T = A S T + B R T = A S T + Be rt In questo secondo caso abbiamo a che fare con una variabile aleatoria che assume i valori AS u + Be rt e AS d + Be rt rispettivamente con probabilità ξ u e ξ d Poichè vogliamo replicare il derivato, imponiamo { ASu + Be rt = f u AS d + Be rt = f d Abbiamo dunque un sistema di due equazioni nelle due incognite A e B Risolvere per A è immediato: è sufficiente osservare che la differenza dei lati sinistri delle due equazioni deve essere uguale alla differenza dei lati destri: A(S u S d )= f u f d = A= f u f d S u S d Quest ultima quantità rappresenta il rapporto tra la differenza nel prezzo del derivato in seguito al variare di S da S d a S u e la differenza tra S u e S d, prende il nome di delta 2 Ritornando al nostro sistema, la soluzione per l altra variabile è B= e rt (f u AS u )=e rt (f d AS d ) Per questa scelta di A e B, il portafoglio risultante replica il titolo derivato È evidente, allora, che, per evitare arbitraggi non rischiosi, il valore in 0 del portafoglio appena costruito deve essere uguale al prezzo del derivato in 0: f 0 = V 0 = A + B= f u f d S u S d e rt Isolando i termini in f u e f d si ottiene ( fu f d S u S d S u f u f 0 = S d e rt S u S d f u + S ue rt S u S d f d (12) 2 Anche nei modelli a tempo continuo si trova qualcosa di analogo, = f S 2 )

Risulta conveniente porre π u = S d e rt S u S d e π d = S ue rt S u S d Si può interpretare π u (π d ) come il prezzo del titolo che paga 1 unità monetaria se lo stato 3 up (down) si verifica in T Questo tipo di titoli sono conosciuti col nome di Arrow Securities Si veda l Esercizio 1 Riscrivendo la (12) e usando semplici passaggi algebrici si dimostra che f 0 = π u f u + π d f d = π u S u + π d S d (13a) (13b) 1=π u e rt + π d e rt (13c) L interpretazione delle equazioni (13) è immediata Per esempio il titolo S, eq (13b), può essere visto come un portafoglio che paga S u sotto lo stato up e S d sotto lo stato down La stessa cosa vale per il derivato, eq (13a) e per il titolo non rischioso, eq (13c), che paga e rt sia che si verifichi lo stato up che quello down 12 Valutazione Risk-Neutral e Numerari È evidente che π u e π d non rappresentano delle probabilità Tuttavia la (13c) suggerisce un modo per costruire delle probabilità a partire dagli state prices Siano infatti p u = π u e rt e p d = π d e rt Risulta allora p u = e rt S d S u S d e p d = S u e rt S u S d Alla luce di (11), p u e p d = 1 p u sono delle valide probabilità essendo nell intervallo [0,1] Possiamo adesso riscrivere le equazioni (13a) (13c) in termini delle probabilità appena derivate Risulta dunque f 0 = e rt [p u f u + p d f d ] (14a) = e rt [p u S u + p d S d ] (14b) 1= p u + p d (14c) In particolare la (14b) può essere riscritta come e rt = [p u S u + p d S d ] (15) La quantità a secondo membro rappresenta il valore atteso della variabile aleatoria S T in un mondo in cui la probabilità dello stato up è p u e quella dello stato down p d La misura di probabilità corrispondente va sotto il nome di misura risk-neutral, perchè, in base a (15), sotto tale misura il titolo azionario cresce allo stesso tasso del titolo non 3 Per questo motivo π u e π d vengono di solito chiamati state prices 3

rischioso La (14a), infine, suggerisce che il prezzo di ogni derivato (di tipo Europeo) è dato dal valore scontato del valore atteso del derivato in un mondo risk-neutral Questo tipo di logica continua ad esser valida in modelli a tempo continuo Un altro modo di scrivere le equazioni (14) è il seguente: f 0 f u f d = p u + p d R 0 R u R d (16a) S u S d = p u + p d R 0 R u R d (16b) 1= p u + p d (16c) dove R 0 = 1 e R u = R d = R T = e rt La (16a) dice che il prezzo in 0 di un titolo dato dal rapporto tra il derivato f e il titolo privo di rischio è dato dal valore atteso in T dello stesso titolo In altri termini, ponendo X t = f t /R t per t=0,t, abbiamo X 0 = E R 0 [X T], Usiamo l apice R nel valore atteso per indicare che questo è calcolato sotto la misura risk-neutral Inoltre usiamo il pedice 0 per indicare che il valore atteso è condizionato all informazione disponibile fino all epoca 0 A questo punto è importante introdurre un nuovo concetto, quello di martingala Un processo come X sopra è detto martingala, in quanto il suo valore atteso al tempo T, data l informazione disponibile al tempo 0, è dato dal valore di X al tempo 0 Poichè il valore atteso al secondo membro rappresenta una previsione per il valore assunto da X al tempo T, possiamo dire che nel caso di martingale tale previsione fatta al tempo 0 è data dal valore di X al tempo 0, X 0 In maniera del tutto analoga è possibile dare un interpretazione della (16b) che conduce a Y 0 = E R 0 [Y T], dove Y t = S t /R t per t=0,t È possibile dare anche un altro significato alle equazioni (16) In pratica quando consideriamo le variabili X t e Y t stiamo usando il titolo privo di rischio come unità di misura Il titolo che compare al denominatore (R, in questo caso) prende il nome di numerario Si potrebbe considerare anche il titolo azionario S come numerario, considerando f /S e R/S Se consideriamo f /S è ancora più evidente il fatto che stiamo usando S come unità di misura: f /S azioni del titolo S valgono f /S S = f unità monetarie, quindi lo stesso importo monetario con cui è possibile scambiare una unità del derivato Trasformiamo dunque le equazioni (16) in modo da avere il titolo azionario come numerario: f 0 f u f d = q u + q d S u S d (17a) 1= q u + q d (17b) R 0 = q u R u S u + q d R d S d (17c) 4

Le probabilità q u e q d rendono i prezzi di tutti i titoli divisi per il titolo azionario martingale Nel caso del derivato f, abbiamo 4 [ ] f 0 = E S ft = f u P S [S T = S u ] S T S u } {{ } f d + q u che è semplicemente un altro modo di scrivere la (17a) È relativamente facile derivare le probabilità P S [S T = S d ] S d } {{ } q u = P S [S T = S u ] q d = P S [S T = S d ] in maniera esplicita Basta riscrivere la (16a) come e la (17a) come Di conseguenza da cui Analogamente f 0 = p u R 0 R u f u + p d R 0 R d f d f 0 = q u S u f u + q d S d f d p u R 0 R u = q u S u q u = p u R 0 R u S u q d = p d R 0 R d S d q d, Si noti che è sufficiente moltiplicare le probabilità risk-neutral per la corrispondente realizzazione di Y T /Y 0 Quest ultima prende il nome di derivata di Radon-Nikodym 13 Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Nel modello proposto da Cox, Ross, and Rubinstein (1979) se il titolo azionario vale S t all epoca t, la variabile aleatoria S t+ t, che indica il prezzo del titolo dopo un intervallo di tempo di ampiezza t, può assumere unicamente i valori S t u S t d con u> 1 e d= 1/u< 1 In base al ragionamento di 12 sotto la misura di probabilità risk-neutral la probabilità del salto verso l alto è p u = a d (18) u d essendo a=e r t 4 Ancora una volta l esponente indica che S è usato come numerario 5

Per determinare l unico parametro ancora ignoto, u essenzialmente si impone il matching dei momenti tra il processo discreto sopra (per t piccolo) e il processo comunemente usato nei modelli a tempo continuo Tale modello, sotto la misura risk-neutral ipotizza che il rendimento relativo all intervallo [t, t + t] sia approssimativamente dato per t sufficientemente piccolo da S S r t+σz t dove S = S t+ t S t e Z è una variabile aleatoria normale standard Questo vuol dire che E( S/S) = r t (19) e Var( S/S)=σ 2 t Si noti anche che ( ) St+ t Var 1 S t = Var(S t+ t) S 2 t = σ 2 t (110) Nel modello a tempo discreto il matching del momento primo è già garantito essendo (si veda anche la (14b)) ( ) St+ t E = up u + dp d = p u (u d)+ d=a d+d=a=e r t (111) S t Nel seguito considereremo sviluppi in serie di Taylor in cui si ignorano termini superiori a quelli di grado t 5 Dunque 6 a 1+ r t e la (111) conduce alla (19) Per quanto riguarda la varianza del processo discreto, Var(S t+ t )=E(S 2 t+ t ) E(S t+ t) 2 = (S 2 t u2 p u + S 2 t d2 p d ) S 2 t a2 = S 2 [ t pu (u 2 d 2 )+ d 2 a 2] = S 2 [ t (a d)(u+d)+ d 2 a 2] = S 2 [ t a(u+d) 1 a 2 ] Nel passaggio precedente si è sfruttato il fatto che ud = 1 Facciamo vedere, ora, che ponendo u= e σ t (112) riusciamo ad effettuare il matching della varianza quando t è sufficientemente piccolo La (112) può essere approssimata come u 1+σ t+ 1 2 σ2 t e in maniera analoga d 1 σ t+ 1 2 σ2 t Abbiamo dunque u+d 2+σ 2 t e Var(S t+ t ) (1+ r t)(2+σ 2 t) 1 1 2r t σ 2 t S 2 t Abbiamo così verificato che la (110) risulta soddisfatta anche per il processo discreto 5 Come si diceva in precedenza, stiamo ipotizzando t sufficientemente piccolo Pertanto, i termini di ordine superiore saranno trascurabili 6 Si ricordi che e x 1+ x+ 1 2 x2 6

Figura 11: Albero binomiale con n = 4 (B) u 2 (D) u 3 u 4 u 2 u u (A) (E) (C) d d (F) d 2 d 2 d 3 d 4 j= 0 j= 1 j= 2 j= 3 j= 4 14 Alberi Binomiali Si supponga di dover determinare in 0 il prezzo di un derivato con scadenza T, avente come sottostante un titolo azionario che all epoca 0 vale Ipotizziamo, inoltre, che il sottostante non paga dividendi 7 Si potrebbe pensare di dividere [0,T] in n intervalli di ampiezza t = T/n Ipotizziamo altresì che se il titolo vale S j t all epoca j t con j= 0,1,,n 1, all epoca successiva questo varrà S j t u con probabilità p u, data da (18), oppure S j t d con probabilità 1 p u, si veda Figura 11 Quindi P(S ( j+1) t /S j t = u)= p u = 1 P(S ( j+1) t /S j t = d) j= 0,1,,n 1 È importante notare che ciò implica che la probabilità del salto verso l alto si mantiene costante non dipendendo dall indice j Per esempio, supponiamo che j= 2 e che ci troviamo nel nodo B, dove il titolo vale u 2 Da qui S può saltare verso l alto raggiungendo il nodo D (dove il valore assunto dal titolo diventa u 2 u= u 3 ) o verso il basso raggiungendo il nodo E (dove il valore assunto dal titolo diventa u 2 d= u) Se invece partiamo dal nodo C, possiamo raggiungere il nodo E con un salto verso l alto o il nodo F con un salto verso il basso L albero ottenuto è detto ricombinante, in quanto, ad esempio, lo stesso nodo E viene raggiunto saltando verso il basso da B o verso l alto da C È inoltre evidente (si guardi ancora Figura 11) che S j t / = u X j d j X j, con X j Bin( j, p u ) 7 Per il caso di un titolo che paghi dividendi si può consultare Hull (2009) 7

e pertanto per k= 0,1,, j P(k salti verso l alto dopo j passi)=p(s j t / = u k d j k ) ( ) j = P(S j t / = u 2k j )= p k u k (1 p u) j k (113) Per valutare qualsiasi derivato avente S come sottostante, si parte dall ultimo passo dell albero ( j = n) Chiaramente il valore del derivato a scadenza è noto Nel caso di una opzione call C T = max(s T K,0) e dunque sull ultimo strato dell albero si ottengono i valori max( u k d n k K,0) per k=0,,n Per esempio in Figura 11, il valore della call nel nodo sul bordo superiore dell albero (quando S T = u 4 ) è dato da max( u 4 K,0) e sul nodo immediatamente al di sotto da max( u 2 K,0) In maniera analoga si procede per gli altri nodi quando j=n Come passo successivo, si valuta il derivato in tutti nodi dello strato j=n 1, ciò ci si muove indietro nell albero Per fare ciò si usano formule del tipo (14a) Essendo l ampiezza del passo t, se si vuole valutare una call option nel nodo D, la formula da utilizzare è Nel nodo E si avrebbe invece C D = e r t [p u max( u 4 K,0)+(1 p u )max( u 2 K,0)] C E = e r t [p u max( u 2 K,0)+(1 p u )max( K,0)] Una volta completati tutti i nodi al livello j=n 1, ci si muove di un altro livello indietro nell albero Per esempio nel nodo B si avrebbe C B = e r t [p u C D +(1 p u )C E ] Questa procedura viene ripetuta fino a quando non si raggiunge lo strato iniziale ( j= 0) L unico valore ottenuto rappresenta una stima del prezzo dell opzione in 0 In alternativa si può usare una formula basata sulla (113) Per opzioni Europee call e put, risulta ( ) c= e rt n n p k u k=0 k (1 p u) n k max( e (2k n)σ t K,0) (114a) ( ) p= e rt n n p k u k (1 p u) n k max(k e (2k n)σ t,0) (114b) k=0 Esempio 11 Si supponga di voler prezzare una opzione call e una put Europee entrambe con vita a scadenza 6 mesi Le opzioni sono scritte su un titolo azionario il cui valore in 0 è 100 ed hanno prezzo di esercizio pari a 90 Il titolo ha volatilità pari a 10% per anno Il tasso risk-free è r= 5% L albero per le due opzioni per n=4 è riportato in Figura 12, mentre in Tabella 11 vengono riportati prezzi per diversi valori di n calcolati usando le (114) Si può dimostrare che al tendere di n all infinito, i prezzi ottenuti mediante le equazioni (114) convergono a quelli ottenuti mediante le formule di Black and Scholes Per esempio, si può vedere che il prezzo di una call (cfr eq (211)) è c BS = Φ(d 1 ) Ke rt Φ(d 2 ), (115) 8

Figura 12: Valatazione di call e put Europee I parametri sono = 100, K = 90, σ=01, r= 005 e T = 05 In ogni cella il prezzo della call è seguito da quello della put 251910;0 217503;0 184451;0 173271;0 152706;0 141595;0 111180;0 123190;00969 70870;0 10;0 84301;02321 48470;05558 31731;0 18284;13311 0;31877 Tabella 11: Prezzi di opzion call e put Europee per diversi valori di n I parametri sono = 100, K = 90, σ=01, r= 005 e T = 05 n Call Put 10 1230787512 008576720 100 1230728144 008517352 1000 1230680866 008470075 10000 1230675824 008465032 100000 1230675288 008464496 9

dove d 1 = log K + ( r+ σ2 2 σ T d 2 = d 1 σ T ) T e Φ(z) rappresenta la funzione di ripartizione di una normale standard, cioè Φ(z)=P(Z z), con Z N (0,1) Il prezzo che si ottiene con la formula per la call è c BS = 1230675237 Per la put (vedere Esercizio 3), si ottiene invece p BS = 008464446 15 Esercizi Esercizio 1 Si dimostri che nel modello binomiale uniperiodale il prezzo di un titolo che paga 1e in T se S T = S u e zero altrimenti è π u = S d e rt S u S e (Suggerimento: replicare il d titolo usando un portafoglio costituito da S e dal titolo non rischioso) Esercizio 2 Oggi il prezzo di un titolo azionario è = 100 Tra 6 mesi il titolo può valere S d = 90 con probabilità 04 oppure S u = 110 con probabilità 06 Sul mercato è disponibile un altro titolo che paga un tasso di interesse del 5% per anno in regime esponenziale Determinare il prezzo oggi di un titolo derivato che scade tra 6 mesi e il cui payoff a scadenza è f T = max(s 2 T 1002,0) usando sia il titolo non rischioso che il titolo azionario come numerario Esercizio 3 Sapendo che il prezzo di una call europea è dato dalla (115), si ricavi il prezzo della put europea scritta sullo stesso sottostante S, con lo stesso strike K e stessa scadenza T 2 Il Modello di Black and Scholes L ipotesi fondamentale del modello di Black and Scholes è che la variazione del prezzo del titolo sottostante nell intervallo [t, t+ t] è data da S(t) = µs(t) t + σs(t) tb(t) (21) dove B(t) è la variazione di un Moto Browniano nello stesso intervallo Per il momento conviene guardare a B(t) come ad una variabile aleatoria normalmente distribuita con media 0 e varianza t Il coefficiente di t nel membro sinistro, prende il nome di tasso di drift, mentre quello davanti a B(t) si chiama tasso di volatilità Dividendo entrambi i membri della (21) per S(t) vediamo che il tasso di rendimento relativo al periodo [t, t+ t] è dato da µ t più il termine che comprende il moto Browniano, che va a perturbare il rendimento µ t: S(t) S(t) = µ t+σ tb(t) 10

350 300 250 S(t) 200 150 100 50 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 t (Giorni) Figura 21: Due possibili cammini per S(t) (linee blu) La curva rossa tratteggiata rappresenta la funzione S(t)= S(0)e µt I parametri sono µ=10%, σ=5% entrambi su base annua e S(0)=100 Quando facciamo il limite per t 0, la convenzione è quella di sostituire il simbolo t con dt: ds(t) = µs(t)dt + σs(t)db(t) (22) La (22) prende il nome di equazione differenziale stocastica L aggettivo stococastica si spiega con la presenza di B(t) nel membro sinistro Se questo non fosse presente (si veda la discussione più avanti) la (22) sarebbe una normale equazione differenziale Essenzialmente, B(t) è la componente che incorpora tutta l incertezza Se non vi fosse questa fonte di aleatorietà (o, la volatilità è nulla, se si preferisce), il processo per S sarebbe ds(t) S(t) = µdt Integrando ambo i membri troviamo immediatamente e quindi T 0 ds(t) S(t) = T 0 dlog(s(t))=log(s(t)) log(s(0))=log S(T) S(0) = µt S(T)= S(0)e µt Quindi, se non vi fosse alcuna componente aleatoria, il titolo azionario crescerebbe al tasso µ In pratica, aggiungendo al rendimento istantaneo (ds)/s la componente di moto Browniano, si aggiunge rumore all andamento di tipo esponenziale della precedente equazione (si veda Figura 21) 11

21 Moto Browniano Per cominciare, definiamo processo stocastico la sequenza di variabili aleatorie 8 X t, t R + L indice t ha l evidente interpretazione del tempo Quindi un processo stocastico è un modello matematico per fenomeni che evolvono nel tempo Un esempio cui siamo interessati è quello di Moto Browniano Le proprietà del moto Browniano sono di seguito riportate Il processo B(t), t 1 è un moto Browniano se e solo se (1) B(t) è continua (come funzione di t) e B(0)=0 quasi certamente; (2) B(t) ha distribuzione normale con media 0 e varianza t per ogni t; (3) Per ogni t ed s, la variabile aleatoria B(t+s) B(s) ha distribuzione normale con media 0 e varianza t ed è indipendente dalla storia del processo fino all epoca s È importante soffermarsi sul fatto che non solo tutte le distribuzioni marginali (cioè la distribuzione di B(t) per t fissato) sono normali N(0, t), ma anche le distribuzioni marginali condizionate degli incrementi lo sono Questo vuol dire che che i movimenti futuri dall istante s sono indipendenti dalla storia precedente del processo, cioè dalla maniera in cui B è arrivato a valere B(s) all epoca s Questo significa altresì che, in termini di media e varianza condizionata all informazione disponibile in s E s (B(t+ s) B(s))=0 Var s (B(t+ s) B(s))=(t+ s s)= t Le proprietà presentate sopra sono le condizioni necessarie e sufficienti affinchè B(t) sia moto Browniano Esistono infatti processi che hanno distribuzioni marginali N(0, t), ma che non sono moti Browniani (si veda l Esercizio 4) Una conseguenza di grande importanza della proprietà (3) che sfrutteremo nel seguito è che B(t) è una martingala Ricordiamo che se B(t) è una martingala, allora il valore atteso di B(t) condizionato all informazione disponibile al tempo s è uguale al valore del processo in s, per ogni s < t: E s [B(t)]=B(s) Se si guarda a E s [B(t)] come ad una previsione riguardo il valore di B per l epoca t, fatta all epoca s, allora la nostra previsione per il tempo t sarà uguale al valore del processo in s, B(s) Per dimostare che la proprietà di martingala è soddisfatta, basta osservare che E s [B(t)]=E s [B(t) B(s)+B(s)] = E s [B(t) B(s)]+B(s) essendo B(s) noto all epoca s = 0+B(s)=B(s) per la proprietà (3) 8 D ora in avanti useremo indiferrentemente la notazione X t o X(t) per lo stesso processo stocastico 12

Possiamo a questo punto spingerci oltre e far vedere che se un processo stocastico è del tipo dx(u)=δdb(u) per qualche costante δ, allora è una martingala Infatti, integrando tra t e s ambo i membri della precedente equazione troviamo immediatamente e dunque E s [X(t)]=E s [X(s)+δB(t) δb(s)] X(t)= X(s)+δ[B(t) B(s)] = X(s)+δE s [B(t)] δb(s) essendo X(s) e B(s) noti all epoca s = X(s)+δB(s) δb(s)= X(s) essendo B martingala In realtà si può dimostare (Esercizio 6) che anche nel caso dx(u)=δ(u)db(u) con δ( ) una funzione deterministica, X è martingala Per finire enunciamo il risultato, che deriva da quanto appena mostrato: Il Moto Browniano Geometrico privo di drift (µ=0) è martingala 22 Il Lemma di Ito Abbiamo visto che gli incrementi di un moto Browniano B t sono indipendenti e normalmente distribuiti, cioè se definiamo B t = B t+ t B t E( B t )=0 Var( B t )=E [ ( B t ) 2] = t Supponiamo di voler calcolare media e varianza di B 2 t Sappiamo già che la media è t Ricordando che se Z N(0,1), E(Z 4 )=3, per la varianza troviamo Var [ ( B t ) 2] = E [ ( B t ) 4] E [ ( B t ) 2] 2 = 3( t) 2 ( t) 2 = 2( t) 2 Consideriamo a questo punto il limite per t 0 Come abbiamo già detto, in questo caso sostituiamo t con dt, ma, cosa più importante, tutte le potenze di t di ordine superiore al secondo vengono ignorate (se t è sufficientemente piccolo, ( t) 2,( t) 3,, sono ancora più piccole e possono quindi essere ignorate) Ritornando dunque al risultato precedente, quando t 0 la variabile aleatoria B 2 t diventa degenere in quanto la varianza è dell ordine ( t) 2 ed è quindi trascurabile La variabile aleatoria B 2 t diventa uguale alla sua media t dt con probabilità 1 Abbiamo così determinato le seguenti regole: (db) 2 = dt (dt) 2 = (db) 3 = (db) 4 = =0 13

In maniera analoga si può far vedere che (dt)(db)=0 e che se abbiamo due moti Browniani correlati (db)(d B)=ρdt, esendo ρ il coefficiente di correlazione Per completezza, ricaviamo lo stesso risultato in maniera diversa Approssimiamo l integrale t 0 (db u) 2 considerando la partizione {0, t/n,2t/n,, t} di [0, t]: t ( ( ) ( )) n ti t(i 1) 2 n (db u ) 2 = B B = W 2 i 0 i=1 n n i=1 dove W i = B ( ) ( ) ti n B t(i 1) n Per le proprietà del moto Browniano, le W i sono indipendenti con media nulla e varianza ti n t(i 1) n t 0 (db u ) 2 = = t n Usando la legge debole dei grandi numeri: n W 2 i i=1 P n n E(W 2 i )= t n = t Passando alla forma differenziale, (db t ) 2 = dt Gli importanti risultati derivati fin qui ci permettono di dimostrare il Lemma di Ito Supponiamo di partire con un processo stocastico X t che soddisfa una generalizzazione della (22): dx = µ X dt+σ X db, dove µ X e σ X possono essere funzioni di X e del tempo X in questo caso segue un processo di Ito Vogliamo determinare il processo stocastico seguito da Y t = f (t, X t ), dove f è una funzione deterministica del tempo e di X Teorema 21 (Formula di Ito) Sia X un processi di Ito che soddisfa dx = µ X dt+σ X db e f = f (t, x) una funzione differenziabile del tempo, e di X Allora f è descritta dal processo i=1 df = f f dt+ t X dx + 1 2 i=1 2 f X 2 (dx)2 Dimostrazione La formula segue dalla formula di Taylor e dalle regole (dt) 2 = (dt)(db)=0 La formula può essere facilmente estesa al caso in cui sono presenti due processi di Ito Teorema 22 Siano X e Y processi di Ito e g= g(t, x, y) una funzione differenziabile del tempo, di X e di Y Allora g è descritta dal processo dg= g g g dt+ dx + t X Y dy + 1 2 2 g X 2 (dx)2 + 1 2 g 2 Y 2 (dy )2 + 2 g (dx)(dy ) X Y 14

Dimostrazione La formula segue dalla formula di Taylor per funzioni di più variabili e dalle regole (dt) 2 = (dt)(db)=0 Corollario 23 Il processo per Z = Y /X è Dimostrazione Risulta dz Z = dy Y dx ( )( ) ( ) dy dx dx 2 X + (23) Y X X e Pertanto 2 g g t = 0 X 2 = 2 Y X 3 g X = Y X 2 2 g X Y = 1 X 2 g Y = 1 X 2 g Y 2 = 0 dz= Y X 2 dx + 1 X dy + Y X 3 (dx)2 1 X 2 (dx)(dy ) = Z dy Y Z dx ( )( ) ( ) dy dx dx 2 X Z + Z Y X X avendo usato 1/X = Z/Y Dall ultima equazione segue immediatamente la (23) 23 Moto Browniano Geometrico Una delle ipotesi del modello di Black-Scholes è che il titolo azionario che funge da sottostante per l opzione che si vuole valutare, segue un moto browniano geometrico: ds= µsdt+σsdb, (24) dove µ è il tasso di rendimento atteso, σ la volatilità e db rappresenta la variazione del moto Browniano nell intervallo (t, t+dt) È possibile trovare la soluzione della precedente equazione differenziale stocastica, cioè la variabile aleatoria S(t) che soddisfi la (24) usando il lemma di Ito Partiamo col determinare il processo per L= logs Essendo L t = 0 L S = 1 S L 2 S = 1 S 2 abbiamo dl= L L dt+ t S ds+ 1 2 L 2 2 S (ds)2 = 1 S ds 1 2S 2 (ds)2 15

Poichè (ds) 2 = σ 2 S 2 dt Integrando tra 0 e t il lato sinistro di (25) troviamo t Per quanto riguarda il lato destro Dunque e quindi t 0 0 dlogs= (µ σ 2 /2)dt+σdB (25) dlogs(u)=logs(t) logs(0)=log S(t) S(0) [ (µ σ 2 /2)du+ σdb(u) ] = (µ σ 2 /2)t+σ(B(t) B(0))=(µ σ 2 /2)t+σB(t) log S(t) S(0) = (µ σ2 /2)t+σB(t) S(t)= S(0)e (µ σ2 /2)t+σB(t) (26) La variabile aleatoria Y = S(t)/S(0) ha dunque distribuzione log-normale, essendo esprimibile come Y = e X, dove X ha distribuzione normale con media (µ σ 2 /2)t e varianza σ 2 t Si può dimostrare (Esercizio 7) che S t ha valore atteso pari a e µt, che conferma l interpretazione di µ come tasso di rendimento atteso del titolo azionario S Il seguente risultato riguardante la distribuzione log-normale torna utile nel seguito Proposizione 24 (Funzione di Sopravvivenza di una va log-normale) Sia Y una va con distribuzione log-normale, Y = e X, dove X ha distribuzione normale con media a e varianza b 2 Allora ( ) a log y P(Y > y)=φ, (27) b dove Φ( ) rappresenta la funzione di ripartizione di una normale standard Dimostrazione P(Y > y)=p(e X > y)=p(x > log y) ( ) ( ) ( ) X a log y a log y a a log y = P > = 1 Φ = Φ b b b b avendo sfruttato nell ultimo passaggio la simmetria della funzione di densità normale, che implica Φ(x)=1 Φ(x) per ogni x reale 24 Valutazione di Opzioni Europee Per ricavare la formula di Black-Scholes l approccio che seguiamo si basa sui concetti di martingala e di numerario Per cominciare abbiamo bisogno del risultato della 241 16

241 Misura Martingala Equivalente Si supponga che sul mercato sono presenti n titoli, ciascuno con equazione differenziale stocastica sotto la misura di probabilità fisica: dθ i θ i = µ i dt+σ i db i, i= 1,,n (28) Inoltre è disponibile un altro titolo che non paga dividendi e che useremo come numerario, la cui evoluzione è descritta da dx X = µ Xdt+σ X db X Si ipotizzi che la correlazione tra il titolo i e il numerario è ρ ix, cioè db i db X = ρ ix dt, i= 1,,n Definizione 25 L eccesso di rendimento sul tasso risk-free per unità di volatilità viene detto prezzo di mercato del rischio: λ i = µ i r σ i Proposizione 26 Se il prezzo di mercato del rischio del titolo θ i è uguale al prodotto tra la volatilità del numerario e la correlazione tra il numerario e il titolo stesso, cioè se e la (29) vale anche per X, allora Z= θ i /X è una martingala λ i = σ X ρ ix, (29) Dimostrazione Usando il Corollario 23, il processo seguito da Z= θ i /X soddisfa Osserviamo che la (29) implica dz Z = dθ i θ i dx X ( dθi θ i )( dx X ) ( ) dx 2 + X = (µ i µ X σ i σ X ρ ix + σ 2 X )dt+(σ idb i σ X db X ) µ i = r+ σ i σ X ρ ix µ X = r+ σ 2 X Questo implica che il drift di Z è nullo e quindi Z è una martingala Cerchiamo di spiegare meglio questo risultato Siamo partiti dall equazione differenziale stocastica (28) per il titolo θ i sotto la misura di probabilità fisica 9 Esattamente come nel caso del modello binomiale uniperiodale, vogliamo spostarci dal mondo reale in un mondo in cui il titolo diviso per il numerario X diventa una martingala Stiamo facendo 9 Questa è detta anche misura real-world 17

quindi un cambio di misura, passando dalla misura fisica nel mondo reale in cui la fonte di rischio per θ i è rappresentata dal moto Browniano B i, in un altro mondo in cui vale un altra misura di probabilità che rende la fonte di rischio B X i La relazione tra i due moti Browniani è data da db X i = db i + ( ( ) ) µi r σ i σ X ρ ix λ i σ X ρ ix dt=dbi + dt in modo che quando X è scelto come numerario, il processo per θ i è dato da dθ i θ i = (r+ σ i σ X ρ ix )dt+σ i db X i (210) È importante osservare che questo cambio di misura va ad incidere solo sul drift e non sulla volatilità σ i 242 La Formula di Black-Scholes per Call Europee Possiamo ora ricavare facilmente la formula di Black-Scholes per opzioni call di tipo europeo, usando i risultati illustrati finora Vogliamo valutare all epoca 0 un opzione con prezzo di esercizio K e scadenza T Ipotizziamo che il titolo non paga dividendi e che il tasso risk-free è r Il processo per il sottostante S è descritto dalla (24) Il payoff a scadenza della call C(T)=max(S(T) K,0) può essere scritto in maniera per noi più conveniente usando la funzione indicatrice 10 : dove C(T)=(S(T) K)I (K, ) (S(T))= A(T) B(T), A(T)= S(T)I (K, ) (S(T)) B(T)= K I (K, ) (S(T)) Abbiamo scomposto il payoff dell opzione in un portafoglio che prevede una posizione lunga in una opzione asset-or-nothing (che paga a scadenza il valore del sottostante se questo è più grande di K, 0 altrimenti) e una posizione corta in K opzioni cash-ornothing (ognuna delle quali paga una unità monetaria se il sottostante vale più di K, 0 altrimenti) Valutiamo dunque le due opzioni separatamente, partendo dal derivato con payoff B(T) In questo caso conviene usare il titolo risk-free come numerario (valutazione risk-neutral) Poichè la volatilità di quest ultimo è nulla, sotto la misura risk-neutral che rende ogni titolo diviso per il risk-free martingala, il processo per S diventa (si vedano la Proposizione 26 e la (210)) ds S = rdt+σdbr Inoltre sappiamo che la soluzione di questa equazione differenziale stocastica è data da (si veda la (26)): S(T)= S(0)e (r σ2 /2)T+σB R (T) 10 Per A R, I A (x) vale 1 se x A, 0 altrimenti 18

Usando la proprietà di martingala [ ] B(0) B(T) R(0) = ER = Ke rt E R [ I (K, ) (S(T)) ] = Ke rt P R [S(T)> K] R(T) Possiamo ora usare il risultato di Proposizione 24 con Y = S(T) S(0), y= K S(0), a=(r σ2 /2)T e b= σ T: ( essendo B(0) R(0) = B(0)= Ke rt Φ d 2 = r σ2 2 log S(0) K + ( ) T log K σ T σ T r σ2 2 S(0) ) T = Ke rt Φ(d 2 ) Passiamo ora alla valutazione dell opzione asset-or-nothing In questo caso conviene usare il titolo stesso come numerario Di conseguenza il processo per S diventa (si vedano ancora la Proposizione 26 e la (210)) che ha come soluzione ds S = (r+ σ2 )dt+σdb S S(T)= S(0)e (r+σ2 /2)T+σB S (T) Usando la proprietà di martingala [ ] A(0) A(T) S(0) = ES = E S [ I (K, ) (S(T)) ] = P S [S(T)> K] S(T) Usando ancora una volta la (27) con Y = S(T) S(0), y= K S(0), a=(r+σ2 /2)T e b= σ T, troviamo essendo ( P S [S(T)> K]=Φ In definitiva il prezzo della call è d 1 = r+ σ2 2 log S(0) K + ( ) T log K σ T σ T r+ σ2 2 S(0) ) T =Φ(d 1 ) C(0)= A(0) B(0)= S(0)Φ(d 1 ) Ke rt Φ(d 2 ) (211) 25 Esercizi Esercizio 4 Se Z ha distribuzione normale standard, allora il processo X t = tz è continuo ed ha distribuzione marginale normale con media zero e varianza t Dire se X t è moto Browniano 19

Esercizio 5 Siano B t e B t due moti Browniani indipendenti e ρ una costante tra -1 e 1 Dire se X t = ρb t + 1 ρ 2 B t è moto Browniano Esercizio 6 Si dimostri che il processo X descritto da dx(u)=δ(u)db(u) essendo δ( ) una funzione deterministica e B( ) moto Browniano, è una martingala (Suggerimento: si approssimi l integrale t 0 δ(u)db(u) come ( n i=1 B ( ) ( )) ( ) ti n B t(i 1) n δ t(i 1) n, dove {0, t/n,2t/n,, t} è una partizione di [0, t]) Esercizio 7 Sia S t la va soluzione dell equazione differenziale stocastica (24) Si dimostri che E(S t )= e µt e ] Var(S t )= S0 2 e2µt[ e σ2t 1 (Suggerimento: se Z ha distribuzione normale standard, allora la funzione generatrice dei momenti m Z (t)=e(e tz ) è data da m Z (t)=e t2 /2 ) Esercizio 8 (Formula di Margrabe) Si vuole prezzare un derivato di tipo europeo con payoff a scadenza T f (T)=max(S 1 (T) S 2 (T),0) dove S 1 e S 2 sono i prezzi di due titoli azionari che non pagano dividendi Il possessore del derivato ha diritto a ricevere all epoca T la differenza tra il prezzo del primo titolo e del secondo solo se il primo vale più del secondo In caso contrario il possessore non riceve nulla Si ipotizzi che entrambi i titoli sono descritti da un moto Browniano Geometrico: ds i (t)=µ i S i (t)dt+σ i S i (t)db i (t), i= 1,2 dove B 1 (t) e B 2 (t) sono due moti Browniani con correlazione (a) Si scelga inizialmente S 1 come numerario e si dimostri che la variabile aleatoria data dal rapporto dei prezzi a scadenza è S 1 (T) S 2 (T) = S 1(0) S 2 (0) ex, dove X ha distribuzione normale con media σ2 2 T e varianza σ2 T, dove σ 2 = σ 2 1 + σ2 2 2 σ 1 σ 2 Si mostri che quando invece S 2 viene scelto come numerario S 1 (T) S 2 (T) = S 1(0) S 2 (0) ex, dove X ha distribuzione normale con media σ2 2 T e varianza σ2 T (b) Scomporre il payoff a scadenza nella differenza tra un primo derivato A che paga il primo titolo se questo vale più del secondo e un secondo derivato B che paga il secondo titolo sempre se il primo vale più del secondo (c) Prezzare i due derivati e quindi l opzione di Margrabe (Suggerimento usare S 1 come numerario per A e S 2 come numerario per B) 20

Riferimenti bibliografici Cox, J C, S A Ross, and M Rubinstein (1979) Option pricing: A simplified approach Journal of Financial Economics 7, 229 263 Hull, J C (2009) Opzioni, futures e altri derivati (Settima ed) Pearson 21