La diffusione e il moto Browniano

La diffusione e il moto Browniano

0. La diffusione La prima legge di Fick afferma che: ϕ = DA dx (0..) dove D è il coefficiente di diffusione con [D] = m2 s, ϕ è la corrente di massa con [ϕ] = N s dove N è il numero di particelle ed è un numero puro, A è la superficie con [A] = m 2 e ν è la concentrazione ovvero ν = N V il numero di particelle nel volume V cioè [ν] = N. La prima legge di Fick per la diffusione deriva da una legge più generale m 3 che considera la corrente di diffusione j con [j] = N che risulta proporzionale al sm 2 gradiente della concentrazione (o densità delle particelle): j = D ν (0..2) dalla 0..2 si può ottenere 0... Ponendo infatti j = ϕ A e considerando il problema in una dimensione si ottiene la prima legge di Fick. Nel processo di diffusione la variazione della concentrazione rispetto il tempo è negativa e considerando il differenziale di ν(t, x, y, z) si ottiene: = ν t dt + ν x dx + ν y ν dy + dz (0..3) z da cui essendo ν t = 0 e indicando v x, v y, v z le velocità rispetto i tre assi, si ha: cioè indicando con v = (v x, v y, v z ): dt = ν x v x + ν y v y + ν z v z (0..4) dt = v xν x + v yν y + v zν z dt = vν = j poiché la variazione è negativa si ha: = j. (0..5) dt Sostituendo il valore di j dato dalla 0..2 si ottiene la seconda legge di Fick: dt = D 2 ν = D ν (0..6) dove con = xx + yy + zz si indica l operatore laplaciano. Considerando il problema unidimensionale associato si ottiene: dt = D 2 x 2 ν (0..7) e la soluzione della 0..7 risulta: ii

ν(x, t) = N 4πDt e x2 4Dt = ν 0 πdt e x2 4Dt (0..8) con ν 0 la concentrazione iniziale al tempo t = 0 e x = 0. La ν(x, t) trovata sopra può essere interpretata come una funzione di densità di probabilità e da essa è possibile calcolare il valor quadratico medio dello spostamento di una particella (N = ) in direzione x: x 2 = + utilizzando l integrazione per parti si ha che: x 2 4πDt e x2 4Dt dx quindi: 2 x2 = 2Dtx + e x2 4Dt + 2Dt 0 + e x2 4Dt dx = 4πDt 0 4πDt = 0 + 2Dt + 4πDt 0 e ( x 4Dt ) 2 dx = Dt x 2 = 2Dt (0..9) cioè: λ x = x 2 = 2Dt (0..0) Osservazione. La seconda legge risulta essere conseguenza del teorema della divergenza, infatti fisicamente: V dt dx = d νdx = j nds = jdx dt V V V con n la normale esterna della superficie individuata dal volume V. Quindi: L equazione dt dt 0.2 Il moto Browniano = j = D ν. (0..) = j è detta anche equazione di continuità. Un studio sul moto Browniano è stato affrontato da Einstein agli inizi del novecento. All epoca in cui Einstein lavora sul moto Browniano era nota la formula di Stokes relativa alla resistenza offerta da un fluido al moto di una sfera. Questa resistenza se la velocità v della sfera è sufficientemente piccola, risulta essere proporzionale al coefficiente di attrito η del fluido, alla velocità v stessa e al raggio a della sfera: F = 6πηva. (0.2.) Era a disposizione di Einstein la teoria della pressione osmotica delle soluzioni di J.H. Van t Hoff. Questa teoria afferma che data una mole di quantità disciolta iii

in un volume V che sia una parte di una quantità di liquido solvente di volume totale V, se il volume V è separato dal solvente puro da una membrana semipermeabile, su tale membrana si esercita la pressione osmotica p che soddisfa l equazione: pv = RT (0.2.2) dove R è la costante dei gas perfetti e T è la temperatura assoluta. L idea di Einstein è di ritenere che la teoria di Van t Hoff debba valere non solo per le molecole di soluto ma anche per particelle sospese in quanto, dal punto di vista della teoria cinetica molecolare molecolare, non doveva esserci alcuna differenza tra molecole di soluto e particelle in sospensione, se non nelle dimensioni. Se dunque N di tali particelle fossero contenute in un volume V separato dal resto del liquido da una parete semipermeabile, sulla parete ci sarebbe una pressione osmotica: p = RT V N = RT ν (0.2.3) N a N a ove N a è il numero di Avogadro e ν la concentrazione. Supponendo che la forza sulle singole particelle dovuta dalla pressione osmotica si eserciti solo lungo la direzione x si ha che: RT N a ν = F νx (0.2.4) poiché la pressione osmotica è anche uguale p = F νx dove F è la resistenza. Derivando parzialmente rispetto la x si ottiene: F ν = RT N a ν x derivando parzialmente rispetto il tempo si ottiene poi: (0.2.5) sostituendo il valore di F con 6πηav si ottiene: ν t = RT N a F v 2 ν x 2 (0.2.6) ν t = ovvero l equazione di diffusione con D = spostamento medio si trova che: λ x = t RT 2 ν N a 6πηa x 2 (0.2.7) RT N a 6πηa. In questo caso se si calcola lo RT N a 3πηa ovvero lo spostamento medio è proporzionale alla radice quadrata del tempo. (0.2.8) Osservazione 2. Calcolando sperimentalmente il coefficiente D si può determinare N a il numero di Avogadro. iv

0.3 Equazione stocastica per il moto browniano Un altro modello per il moto Browniano è dovuto a Paul Langevin nel 908. Egli introduce nel modello una forza stocastica dovuta agli urti delle molecole ed indicata con X. Considerando poi la seconda legge di Newton F = ma e la formula di Stokes F = 6πηav si ha l equazione: m d2 x = 6πηav + X. (0.3.) dt2 Si ricorda inoltre che per una particella in equilibrio termodinamico con il fluido in cui è immersa vale: 2 m v2 i = 2 kt = R T. (0.3.2) 2 N a Mediando su molte traiettorie e ricordando che la correlazione tra forza casuale e spostamento è nulla X i x i = 0, si ottiene: d 2 x 2 i 2 dt 2 = 3πηa d x 2 i + vi 2. (0.3.3) m dt Utilizzando variabili separabili si ottiene la soluzione: Definiamo T p = ovvero: d x 2 i dt mentre se t >> T p si ha che: = kt [ e ( ] 6πηa m )t. (0.3.4) 3πηa m 6πηa il tempo di scala e osserviamo che se t << T p allora: d x 2 i dt 2 kt m t x 2 i kt m t2 = v 2 i t 2 (0.3.5) ovvero: d x 2 i dt kt 3πηa D = x 2 i kt 3πηa t = 2 v2 i T p t (0.3.6) x 2 i lim = kt t + 2t 6πηa t = v2 i T p (0.3.7) Osservazione 3. Oggi riveste molta importanza la descrizione stocastica dei fenomeni nei seguenti campi:. biologia, nanotecnologie,... applicazioni alle scienze economiche, sociali, modelli di traffico, del tempo e del clima. 2. la meccanica statistica dei fluidi, ovvero, la diffusione degli inquinanti in atmosfera. v

0.4 Soluzione fondamentale Si consideri l equazione di diffusione nella sua forma più generale ottenuta ponendo D = : si osserva che: u t = u (0.4.) t n 2 u t = u u λ t = u λ con u λ (x, t) = u(λx, λ 2 t). Osserviamo che integrando si ha: u λ (x, t)dx = R n u(λx, λ 2 t)dx = λ n R n u(y, λ 2 t)dy R n scelgo λ = t quindi si ha che: ( ) x t n 2 t, dx = u(y, λ 2 t)dy. (0.4.2) R n R n u Ricerco u in modo che R u(x, t)dx = t > 0 questo implica che n R u(x, t)dx = ( ) ( n R u x t, dx cioè u(x, t) = n t n v x 2 t ). Calcolando le derivate parziali: Quindi: se e solo se u xi x i = t n 2 u t = n v 2 t n 2 + x v 2 u xi = t n 2 v x t = t n 2 ( v t n 2 x i v x t x 2 i v x 3 t n 2 + 3 2 x v x 2 i x 3 + v x 2 i x 2 (0.4.3) (0.4.4) + v x 2 i t t n 2 t x 2 = (0.4.5) ). (0.4.6) u t u = ( n t n 2 + 2 v + x ) t 2 t v + (n ) x v + v = 0 ( n v + + s ) v + n s 2 2 v = 0 dove si è posto s = x t. Si osserva che: inoltre: v + n v = s s n (sn v ) (0.4.7) s 2 v + n 2 v = s (v + n ) 2 s v = 2s n (sn v) (0.4.8) vi

quindi: cioè: s n (sn v ) + 2s n (sn v) = 0 (2s n v + s n v) = 0 cioè: (2s n v + s n v) = C per ogni C reale. Perché valga la condizione di normalizzazione R n v( x )dx = deve essere C = 0 quindi: v = sv 2 (0.4.9) da cui: v(s) = Ae s2 4. Per determinare la costante ho che: = R n e dove si è effettuata la sostituzione τ = cioè la soluzione fondamentale: [ x 2 n + ] n 4t dx = A(4t) 2 e τ 2 dτ A = x 4t. Quindi si ricava: ( 4πt) n. u(x, t) = per ogni (x, t) R n (0, + ). 0.5 L equazione di Black-Sholes ( x 2 4πt) n e 4t (0.4.0) In questa sezione si affronta il problema di determinare il prezzo di alcuni prodotti finanziari, in particolare delle cosiddette opzioni europee. Le opzioni più semplici sono chiamate call o put. Si tratta di contratti su un bene di riferimento, in gergo il sottostante, stipulati, diciamo, al tempo t = 0, tra un possessore (holder) ed un sottoscrittore (subscriber), con la seguente caratteristica. Al momento della stipula del contratto un prezzo di esercizio E è fissato. A un tempo futuro T, fissato:. il possessore di un opzione call può esercitare l opzione comprando il sottostante al prezzo E; nel caso che il possessore decida di comprare, il sottoscrittore deve vendere. 2. Il possessore di un opzione put può vendere (non è obbligato) il sottostante al prezzo E; nel caso che il possessore decida di vendere, il sottoscrittore deve comprare. vii

Poiché un opzione conferisce al possessore un diritto senza alcun obbligo mentre al contempo conferisce un obbligo al sottoscrittore, l opzione ha un prezzo e il punto cruciale è: qual è il prezzo equo che deve essere pagato al tempo t = 0? Sicuramente tale prezzo dipende dall evoluzione del prezzo sottostante, che indicheremo con S, dal prezzo di esercizio E, dal tempo di scadenza T e dal tasso di interesse corrente r. Per esempio, per il possessore di una call, minore è E e più elevato sarà il suo prezzo ; il contrario capita per il possessore di una put. Le fluttuazioni del prezzo del sottostante hanno un influenza decisiva, in quanto sono proprio esse che incorporano i fattori di rischio e determineranno, a scadenza, il valore dell opzione. Per rispondere alla nostra domanda, introduciamo la funzione valore V (S, t), che rappresenta il prezzo dell opzione al tempo t quando il prezzo del sottostante è S. Ci serve conoscere V (S(0), 0). Quando vogliamo distinguere tra call e put, usiamo C(S, t) e P (S, t), rispettivamente. Il problema è determinare V coerentemente al funzionamento di mercato ove sono scambiati sia il sottostante sia tali opzioni. Per risolverlo useremo il metodo Black-Scholes, basato sostanzialmente sulla fondata assunzione di un modello evolutivo per S e su un principio generale di buon funzionamento dei mercati, ossia l impossibilità di arbitraggio. Poiché S dipende da fattori più o meno prevedibili, è chiaro che non è ipotizzabile un modello deterministico per descrivere l evoluzione. Per costruirne uno, assumiamo l ipotesi di efficienza del mercato, riflessa nelle seguenti condizioni:. il mercato risponde immediatamente a nuove informazioni sul bene; 2. l evoluzione non ha memoria: la storia passata è interamente ridotta nel prezzo attuale, che non dà ulteriori informazioni. La prima condizione presuppone un modello di evoluzione continuo. La seconda equivale a richiedere che un cambiamento ds nel prezzo abbia una proprietà di Markov, come il moto Browniano. Più che per ds è significativo un modello per cambiamenti relativi di prezzo e cioè per ds ds. S. Ipotizziamo che S si possa scomporre nella somma di due termini:. Un termine deterministico, prevedibile, è dà al rendimento il contributo µt, dovuto alla crescita media µ del prezzo del bene. Assumiamo che µ sia costante. Se ci fosse solo questo termine avremmo: ds S = µdt e, di conseguenza, d log S = µdt, da cui la crescita esponenziale S(t) = S(0)e µt. 2. L altro termine è stocastico, tiene conto degli aspetti aleatori legati all evoluzione del prezzo e dà il contributo: σdb dove db è l incremento di un moto Browniano con valore atteso zero e varianza dt. Il coefficiente σ, che assumiamo costante prende il nome di volatilità del prezzo e misura la deviazione standard del rendimento. viii

Riunendo i contributi si trova: ds S = µdt + σdb (0.5.) si notino le dimensioni fisiche di µ e σ: [µ] = s e [σ] = s 2. L equazione sopra è un equazione differenziale stocastica e la presenza del termine di diffusione σdb impone l uso della formula di Itô che è una formula per il differenziale stocastico di una funzione composta. Procediamo in modo euristico. Sia B = B(t) il moto Browniano. Un processo di Itô è un processo X = X(t) che soddisfa l equazione differenziale stocastica del tipo: dx = a(x, t)dt + σ(x, t)db (0.5.2) dove a è il coefficiente di deriva e σ quello di diffusione. Se σ fosse nullo, l equazione sarebbe deterministica e le traiettorie si calcolerebbero con i soliti metodi. Inoltre data una qualunque funzione abbastanza regolare F = F (x, t), potremmo facilmente calcolare il tasso di variazione di F lungo le traiettorie dell equazione. Basta calcolare: df = F t dt + F x dx = (F t + af x )dt. Esaminiamo ora il tasso di variazione nel caso σ non nullo; il calcolo precedente non fornisce tutto il differenziale di F. Infatti, usando la formula di Taylor, si ha, ponendo X(0) = X 0 : F (X, t) = F (X 0, 0) + F t dt + F x dx + 2 ( Fxx (dx) 2 + 2F xt dxdt + F tt (dt) 2) + Il differenziale di F lungo le traiettorie di 0.5.2 si ottiene selezionando nella formula precedente i termini lineari rispetto a dt e dx. Troviamo quindi ancora i termini F t dt + F x dx = (F t + af x )dt + σf x db. I termini 2F xt dxdt + F tt (dt) 2 non sono lineari rispetto a dt e dx e perciò non entrano nel differenziale. Ma controlliamo il termine (dx) 2. Sempre formalmente, si ha: (dx) 2 = a 2 (dt) 2 + 2aσdBdt + σ 2 (db) 2. Mentre gli altri sono di ordine superiore, quello incorniciato è di ordine esattamente: σ 2 dt. In ultima analisi, ciò è ancora una conseguenza del fatto che db dtn(0, ). Il differenziale di F lungo le traiettorie di 0.5.2 è dunque dato dalla seguente importante formula di Itô: ix

df = (F t + af x + 2 ) σ2 F xx dt + σf x db. Osserviamo incidentalmente che la formula di Itô associa all equazione stocastica l operatore differenziale: L = t + 2 σ xx + a x. Siamo pronti a risolvere la 0.5., che riscriviamo: ds = µsdt + σsdb. Scegliamo F (S) = log S. Essendo: F t = 0, F S = S, F SS =, la formula di Itô S 2 dà, con X = S, a(s, t) = µs e σ(s, T ) = σs: dlogs = (µ 2 ) σ2 dt + σdb integrando tra 0 e t, si ottiene: log S = log S 0 + (µ 2 σ2 ) t + σb(t) essendo B(0) = 0. La variabile aleatoria Y = log S ha perciò una distribuzione normale con media log S 0 + ( µ 2 σ2) t e varianza σ 2 t. La sua densità di probabilità è: f(y) = y log S 2πσ 2 t e ( 0 +(µ 2 σ 2 )t) 2 2σ 2 t la densità di S è data dalla: log s log S0+(µ p(s) = s 2πσ 2 t e ( 2σ 2 t 2 σ2 )t) 2 che definisce una distribuzione lognormale. Costruiamo adesso l equazione differenziale che regge l evoluzione di V (S, t). Fissiamo le ipotesi:. S segue una legge lognormale. 2. La volatilità σ è nota. 3. Non consideriamo costi di transizione o dividendi. 4. Possiamo comprare o vendere una qualunque quantità del bene. 5. Assumiamo che vi sia un tasso prevalente di interesse r > 0, per un investimento privo di rischio. Ciò significa che un euro posto in banca al tempo t = 0 diventa e rt euro al tempo T. 6. Impossibilità di arbitraggio. x

L ultima ipotesi è quella veramente sostanziale nella costruzione del modello e potremmo enunciarla nella forma: ogni guadagno istantaneo senza rischio deve avere rendimento r. E una specie di legge di conservazione del denaro! L idea è di calcolare il differenziale di V per mezzo della formula di Itô e poi costruire il portafoglio Π, privo di rischio e consistente dell opzione e di una opportuna quantità di sottostante S. Usando poi il principio di non arbitraggio, si deduce che Π deve crescere al tasso di interesse corrente r, i.e. dπ = rπdt. Quest ultima equazione coincide con la fondamentale equazione di Black-Sholes. Essendo: ds = µsdt + σsdb si ha: dv = (V t + µsv S + 2 σ2 S 2 V SS ) dt + σsv S db. Il passo successivo è cercare di togliere il termine legato al rischio cioè σsv S db, costruendo un portafoglio Π, consistente dell opzione e di una quantità di sottostante: Π = V S Consideriamo ora l intervallo di tempo (t, t + dt), durante il quale Π subisce una variazione dp i. Se riusciamo a mantenere uguale al suo valore al tempo t durante tutto l intervallo (t, t + dt), la variazione di Π è data da: dπ = dv ds. Questo è un punto chiave nella costruzione del modello e richiede una giustificazione rigorosa. Accontentiamoci di un livello intuitivo. Usando il dv otteniamo: ( dπ = V t + µsv S + ) 2 σ2 S 2 V SS µs dt + σs(v S )db (0.5.3) Se scegliamo = V S allora scompare la componente stocastica. La scelta è giustificata dal fatto che V ed S sono dipendenti e la componente aleatoria nei loro muovimenti è proporzionale ad S. Scegliendo una opportuna combinazione lineare di V e S, tale componente svanisce. L evoluzione del portafoglio Π è ora deterministica: dπ = (V t + 2 ) σ2 S 2 V SS dt. Ed è qui che entra il principio di non arbitraggio. Se si investe Π al tasso d interesse r, senza rischio, in un tempo dt si avrà un incremento pari a rπdt. Confrontiamo ora dπ con rπdt.. Se fosse dπ > rπdt, ci si fa prestare Π, si investe nel portafoglio, si ricava dπ, con un costo di prestito pari a rπdt. Si avrebbe così un guadagno istantaneo senza rischio pari a: dπ rπdt. xi

2. Se fosse dπ < rπdt, si vende Π, si investe in banca al tasso di interesse r si ricava rπdt, con un guadagno istantaneo senza rischio pari a: rπdt dπ. Deve quindi essere: dπ = (V t + 2 σ2 S 2 V SS ) dt = rπdt da cui ricordando Π = V SV S si ottiene l equazione di Black-Scholes: V t + 2 σ2 S 2 V SS + rsv S rv = 0. Osservazione 4. Nell equazione non è presente il termine mu. L equazione di B.Scholes LV è costituita da due parti, i primi due termini costituiscono il rendimento del portafoglio mentre a questi si sottrae il rendimento investito in banca. Per avere un problema ben posto occorre poi dare una condizione finale per t = T una condizione per S = 0 e una condizione all infinito, cioè per S +. xii