4 Esercizio 4.3 La rete di Figura 4.1 del testo è un latch realizzato con porte NOR. Sostituendo le porte NOR con porte NAND si ottiene la rete di Figura 4.1. Figura 4.1 Rete dell Esercizio 4.3. Nella Tabella 4.1 si può analizzare il comportamento del dispositivo in funzione degli ingressi. Si evidenzia che, nel caso di ingresso 00, la rete sequenziale ha ambedue le uscite (A e Z) a 1. S R A Z 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 Tabella 4.1 Comportamento del latch in funzione degli ingressi. Esercizio 4.4 Seguendo la tecnica dei pallini, dalla Figura 4.1 del testo, riportata a sinistra in Figura 4.2, si ottiene il latch a destra. Successivamente, si esegue la sostituzione con porte NAND, ottenendo il latch a sinistra di Figura 4.3, la cui realizzazione in logica negativa è mostrata a destra. Rispetto al precedente latch di NOR la differenza che intercorre tra i due è la stessa che esiste tra la logica positiva e negativa; ovvero le reti hanno lo stesso funzionamento a patto di considerare gli 0 come 1 e viceversa. (Si veda anche l Esercizio 4.1)
Figura 4.2 Latch di soli NOR di Figura 4.1 del testo e sua trasformazione in rete di NAND. Figura 4.3 Latch di soli NAND in logica positiva, a sinistra, e in logica negativa, a destra. Esercizio 4.5 In Figura 4.4 viene presentato lo schema generale di soluzione del problema. Si tratta di definire la rete combinatoria che nel caso (a) ha come ingressi S, R e y, e la cui uscita T ha l effetto di far commutare il flip flip in modo che appaia come un SR. Questo schema, mutatis mutandis, si usa per qualunque trasformazione tra diversi tipi di flip flop. Figura 4.4 Schematizzazione del problema della creazione di un FFSR sfruttando un FFT. Lo schema è valido anche nel caso generale. Il problema del caso (a) è schematizzato in Figura 4.4. In Tabella 4.2 sono mostrati gli ingressi richiesti per le possibili transizioni dei due tipi di FF. La mappa di y in funzione di S, R e y è mostrata a sinistra in Figura 4.5, applicando il procedimento descritto al paragrafo A.5 del testo, dalla mappa di y si passa alla mappa di T, che assume la forma a destra in Figura 4.5, la cui copertura porta alla seguente espressione per T: T = Sy + Ry 24
y y S R T 0 0 0-0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1-0 0 Tabella 4.2 Transizioni di stato e corrispondenti ingressi per i Flip Flop SR e T. La rete corrispondente è riportata in Figura 4.6. Figura 4.5 Mappe Esercizio 4.4a. Figura 4.6 Rete Esercizio 4.4a. Il punto (b) chiede di ricavare un FFSR da un FFD e un FFJK da un FFD. In Tabella 4.3 sono mostrate le 3 tabelle di transizione per i FF usati. Mentre in Figura 4.7 le mappe relative alle transizioni. y y S R J K D 0 0 - - 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1-0 0 0 1 Tabella 4.3 Transizioni di stato e corrispondenti ingressi per i FFSR, FFJK e FFD Poichè per un FFD vale l equazione di stato y = D, si tratta semplicemente di imporre D = S +Ry per il caso della trasformazione FFSR FFD e D = Jy + Ky per la trasformazione FFJK FFD. Si trovano così le reti mostrate rispettivamente a sinistra e destra in Figura 4.8. 25
Figura 4.7 Mappa Esercizio 4.4b (FFSR e FFJK da FFD). Figura 4.8 Reti che realizzano, a sinistra un FFSR a partire da un FFD, mentre a destra un FFJK da un FFD. Per quanto ci si riferisce alla costruzione di un FFD da un FFT, si riportano in Tabella 4.4 le transizioni di stato e in Figura 4.9 le mappe di T corrispondenti. In Figura 4.10 la rete risultante. y y T D 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 Tabella 4.4 Transizioni di stato e corrispondenti ingressi per i FFT e FFD Figura 4.9 Mappa Esercizio 4.4c (FFD da FFT). T = y D. Esercizio 4.6 Il valore F0h corrisponde a 1111 0000b. Qualunque sia il tipo di FF utilizzato per realizzare il registro, si tratta di legare PR e CL a massa o a Vcc in modo da portare i singoli FF al valore richiesto all atto della messa sotto tensione (Figura 4.11). La rete a destra di Figura 4.11 genera il segnale Clear/Set quando viene asserito R. Si noti la presenza di un inverter Schmitt triggered, per generare un onda il più possibile quadra. 26
Figura 4.10 Rete che realizza un FFD da un FFT. Figura 4.11 A sinistra i collegamenti necessari per il caricamento in presenza di un segnale di Clear/Set; a destra la rete che genera il segnale Clear/Set. Esercizio 4.7 La rete che deve essere progettata, ha un unico ingresso (x) e una sola uscita (z) che al 5 clock presenta la parità, mentre sui precedenti presenta x. In Figura 4.12 è mostrato lo schema in questione. Figura 4.12 Schema per l Esercizio 4.7. In Figura 4.13 c è il diagramma di transizione degli stati. La notazione usata per etichettare gli archi è quella relativa al modello di Mealy. La colonna a sinistra (senza apici) individua un numero pari di 1, quella a destra un numero dispari. Supponendo di seguire lo schema a parità pari, sul 5 clock si ha z=0 se si è nello stato 4, altrimenti z=1 se si è nello stato 4, (indipendentemente da x). Si può ora ricavare la tabella di flusso e delle transizioni di stato (Tabella 4.5). Codificando gli stati come sotto si ottengono le mappe in Figura 4.14. 0:0000 1:0001 1 :1001 2:0010 2 :1010 3:0011 3 :1011 4:0100 4 :1100 27
Figura 4.13 Diagramma degli stati per l Esercizio 4.7. SP x z 0 1,0 1,1 1 2,0 2,1 2 3,0 3,1 3 4,0 4,1 4 0,0 0,0 1 2,0 2,1 2 3,0 3,1 3 4,0 4,1 4 0,1 0,1 Tabella 4.5 Tabella di flusso corrispondente al diagramma di stato di Figura 4.13 Si noti che questa non è la codifica più conveniente in termini di minimizzazione della rete, ma è quella più naturale (rende comprensibile lo stato). Dalle mappe si ricavano le seguenti funzioni di stato e uscita, dalle quali può essere dedotto lo schema della rete. y 0 = y 1(y 0 x) y 1 = y 2(y 3 + y 0 ) y 2 = y 0y 3 + y 0 y 1 y 2 y 3 = y 3(y 0 y 2 + y 0 y 2 ) + y 0 y 1 y 2 y 3 z = y 0 y 1 y 2 y 3 x + x(y 0 + y 1 ). Soluzione alternativa Possiamo scomporre il problema in modo da avere Un contatore che fornisce il segnale c sul 5 clock Una rete che calcola p (parità) Una rete che presenta su z il segnale x sui clock da 0 a 3, e p clock 4. Ne deriva lo schema di Figura 4.15. Il generatore di parità di Figura 4.15 ha il diagramma di stato di Figura 4.16. Il diagramma rappresenta una macchina di Mealy. In ingresso c è la coppia x, c. L ingresso c è dato dall uscita di un 28
Figura 4.14 Mappe che rappresentano la Tabella 4.5 secondo la codifica indicata.esercizio 4.6. Figura 4.15 Schema riassuntivo della soluzione alternativa all Esercizio 4.6. semplice contatore modulo 5. Dalla copertura della mappa si ricava: p = yx + yc + yxc Figura 4.16 A sinistra è mostrato il diagramma di stato del generatore di parità dell Esercizio 4.6, sugli archi viene riportato xc/p. A destra la mappa relativa. La rete che realizza il generatore di parità è in Figura 4.17. 29
Figura 4.17 Generatore di parità dell Esercizio 4.7 risultante dalla soluzione alternativa. Esercizio 4.8 La sequenza riconosciuta è 10011. Z 1 =1 solo dopo il fronte di clock che ha fatto caricare nel registro questa configurazione (il quinto fronte). Con riferimento alla notazione di Figura 4.18, se i FF commutano sul fronte di salita (a sinistra in Figura), Z è 1 durante il 1 del clock che ha caricato 10011 mentre se i flip flop commutano sul fronte di discesa (a destra in Figura), Z è 1 durante 2 del medesimo clock. Figura 4.18 Tempi di commutazione per i FF dell Esercizio 4.8. Esercizio 4.9 Il diagramma della macchina che riconosce la sequenza 10011 è rappresentato in Figura 4.19. Essendo 5 gli stati da codificare, ci servono 3 bit. Ad esempio si può utilizzare la seguente codifica: A 000 B 001 C 011 D 010 E 100 dalla quale deriva la Tabella delle transizioni 4.6. Notare che la rete riconosce le finestre, ma in modo non sovrapposto. A titolo di esempio si mostra l uscita in riferimento a un flusso di dati in ingresso: x 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 z 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 Le corrispondenti mappe sono mostrate nella Figura 4.20, la cui copertura porta alle funzioni a destra nella stessa Figura. La rete è realizzata in Figura 4.21. Per analizzare quale delle due soluzioni sia la migliore in termini di porte e FF basta semplicemente contare. La Figura 4.60 del testo risolve il problema con uno shift register, che sarà composto da 5 FF, 2 30
Figura 4.19 Diagramma di stato del riconoscitore della sequenza 10011, riconosciuta in ordine da sinistra a destra. Esercizio 4.9. y 1 y 2 y 3 x y 1 y 2 y 3 z 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 Tabella 4.6 Tabella delle transizioni del riconoscitore della sequenza 10011, Esercizio 4.8. y 1 = y 2y 3 x y 2 = y 3x + y 1 x y 3 = y 3x + y 1 x z = y 1 x Figura 4.20 Mappe e funzioni relative alla Tabella di transizione 4.6 dell Esercizio 4.9. porte NOT e 2 porte AND. La soluzione presentata in Figura 4.21 utilizza 1 porta NOT, 5 porte AND, 2 porte OR e 3 FF. Dire quale delle due soluzioni sia la migliore è difficile. Un analisi di questo tipo ha però poco senso, in quanto va visto come i componenti vengano resi disponibili sul mercato. Si hanno allora delle sorprese. Per costruire lo shift register a 5 bit di Figura 4.60 occorre utilizzare il componente SN74198, un 8 bit Universale Bidirezionale Shift Register, a 28 piedini mentre per le altre 4 porte si può utilizzare, facendo qualche trasformazione, il componente SN7400, costituito da 4 porte NAND a 2 ingressi, con un totale di 14 piedini. Con 2 componenti si risolve il circuito. Per la rete in Figura 4.21 servono 2 componenti SN7474, ognuno dei quali è composto da 2 FFD Positive Edge Triggered a 14 piedini, e per le porte, basta utilizzare 2 integrati SN7400, specificati sopra (ciò presuppone però una strutturazione della rete in forma di soli NAND). Nel primo caso si è quindi utilizzato 2 componenti integrati con un totale di 42 piedini di collegamento, mentre nel secondo caso sono serviti 4 integrati per un totale di 56 piedini collegati. Specifiche 31
Figura 4.21 Rete logica che riconosce la sequenza 10011. Esercizio 4.9. sugli integrati, specificatamente sulla serie SN74xx si trovano su: http://www.rodaronline.com/ci/ci2.htm. Esercizio 4.10 La rete di Figura 4.48 è un contatore modulo 3 realizzato con FFJK. Tenuto conto del funzionamento del FFJK (Tabella 4.7), il comportamento della rete, a partire dallo stato 00 è quello di Tabella 4.8. J K y 0 0 y 0 1 0 1 0 1 1 1 y Tabella 4.7 Modalità di funzionamento del flip flop JK. Clock n y 0 y 1 y 0 y 1 0 00 01 1 01 10 2 10 00 Tabella 4.8 Funzionamento del contatore di Figura 4.61. Con y 0 e y 1 si indicano rispettivamente l uscita del FF di sinistra e di destra di Figura 4.61. Esercizio 4.11 Utilizzando per gli stati A,B,C la seguente codifica: A 00, B 01 e C 10, si ottiene la tabella delle transizioni mostrata in Figura 4.22. Alla tabella delle transizioni corrispondono le mappe a destra di Figura 4.23 dalle quali si ricavano le funzioni a sinistra della stessa Figura. Infine la realizzazione della rete è mostrata in Figura 4.24. 32
Figura 4.22 Tabella delle transizioni Esercizio 4.11. y 0 = y 0x + y 1 x y 1 = y 0 y 1 x z = y 0 Figura 4.23 Mappe e funzioni della Tabella 4.22 dell Esercizio 4.11. Figura 4.24 Rete logica dell Esercizio 4.11. Esercizio 4.12 Cominciamo con la realizzazione tramite FFJK. Per semplicità consideriamo il caso n = 2. Si tratta di collegare i flip flop in modo tale che ciascun FF divida la frequenza del clock per 2 e di usare lo stato del FF come clock per il successivo. Con FFJK ciò si ottiene come in Figura 4.25. Ovviamente se n > 2 si tratta di aggiungere il corrispondente numero di FF. Nel caso di flip flop D, la divisione di frequenza del primo FF (y 0 ) comporta che esso deve cambiare stato ad ogni clock, ciò impone che l ingresso sia il complemento dello stato. Dunque: D 0 = y 0 da cui deriva la rete di sinistra in Figura 4.26. Per quanto riguarda il secondo FF, esso si comporterà come il precedente, ma userà come clock il segnale y 0. Ne deriva la rete a destra di Figura 4.26. 33
Figura 4.25 Realizzazione del contatore dell Esercizio 4.11 con FFJK. L uscita y 0 è un segnale periodico con frequenza pari a metà di quella del clock. Il segnale y 1 ha frequenza pari a metà di quella di y 0. Figura 4.26 A sinistra la divisione di frequenza in un FFD; a destra la realizzazione del contatore dell Esercizio 4.11 con FFD. L uscita y 0 è un segnale periodico con frequenza pari a metà di quella del clock. Il segnale y 1 ha frequenza pari a metà di quella di y 0. Esercizio 4.13 Per progettare un contatore sincrono modulo N 2 n conviene partire direttamente dalla tabella di flusso, si tratta di una tabella degenere, in quanto è priva di ingressi. In Figura 4.27 vengono riportati la tabella di flusso di un generico contatore sincrono modulo N, quella di un contatore modulo 5 e la tabella delle transizioni di stato corrispondenti a quest ultima (avendo codificato gli stati in modo naturale). Sp Sf 0 1 1 2...... N-2 N-1 N-1 0 Sp Sf 0 1 1 2 2 3 3 4 4 0 y 1 y 0 y 1 y 0 000 001 001 010 010 011 011 100 100 000 Figura 4.27 Tabella di flusso di un contatore modulo N (a sinistra), tabella di flusso di un contatore modulo 5 (al centro) e transizione degli statio per quest ultimo (a destra). Dalla copertura delle mappe a sinistra in Figura 4.28, ricaviamo le funzioni a destra nella stessa Figura. Mentre in Figura 4.29 è mostrata la rete che realizza il contatore. 34
y 0 = y 1y 2 y 1 = y 2y 1 + y 1 y 2 y 2 = y 0 y 2 Figura 4.28 Mappe e funzioni che realizzano il contatore modulo 5 dell Esercizio 4.13. Figura 4.29 Rete che realizza il contatore modulo 5 dell Esercizio 4.13. Esercizio 4.14 Il flip flop T cambia stato quando l ingresso T è a 1. Dunque, essendo tutti gli ingressi dei flip flop permanentemente a 1 essi sono soggetti a cambiare stato ad ogni clock. Il primo FF commuta in tutti i clock, il secondo essendo collegato all uscita del primo commuta con frequenza dimezzata, il terzo con frequenza ulteriormente dimezzata. Si veda la Tabella 4.9. Si deduce che quello di Figura 4.49 è un contatore asincrono modulo 8. Esercizio 4.15 In Figura 4.30 viene riportato il diagramma di stato in cui gli stati sono già codificati. Ad esso corrisponde la Tabella 4.10 e le mappe di Figura 4.31, dalle quali si ricavano le funzioni a destra nella stessa Figura. Se si impiegano dei FFD queste espressioni corrispondono agli ingressi dei FF. Si ottiene allora la rete in Figura 4.32. 35
Clock n y 3 y 2 y 1 y 3 y 2 y 1 0 111 000 1 000 001 2 001 010 3 010 011 4 011 100 5 100 101 6 101 110 7 110 111 Tabella 4.9 Funzionamento della rete di Figura 4.62. In neretto le variabili di stato corrispondenti ai FF che ricevono il clock. Figura 4.30 Diagramma di stato per l Esercizio 4.14. Sui rami sono riportati i valori dell ingresso. Si noti che il passaggio tra le due modalità di conteggio avveniene solo in corrispondenza dello stato 100. y 0 y 1 y 2 x 0 1 000 001 001 001 010 010 010 011 011 011 100 100 100 101 000 101 110 110 110 000 000 Tabella 4.10 Tabella transizione stati Esercizio 4.15. Esercizio 4.16 Si faccia riferimento a un contatore sincrono realizzato con FFJK. Indicando con y 1... y n le uscite dei FF, il generico F F i esimo deve avere un ingresso pari a (y 1 y 2... y i 1 ) y i se conta in salita e pari a (y i+1 y i+2... y n ) y i se conta in discesa. La Figura 4.33 illustra la struttura dell i-esimo dispositivo. 36
y 0 = y 1y 2 + y 0 y 2 + y 0 y 1 x, y 1 = y 0 y 1 y 2 + y 2 y 1 y 2 = y 0 y 2 + y 1 y 2 y. Figura 4.31 Mappe dell Esercizio 4.15, dalla cui copertura si ricavano le funzioni a destra. Figura 4.32 Rete logica Esercizio 4.15. Esercizio 4.18 Per risolvere l Esercizio si possono usare due contatori a caricamento parallelo. Per il numero A possiamo usare un up-counter e per B possiamo utilizzare un down-counter. Si caricano entrambi i numeri nei contatori e si inizia il conteggio. Quando si attiva il CO di B, in A avremo la somma dei due numeri. CO è il segnale che un contatore attiva quando raggiunge il valore massimo, se è un up-countero minimo se è un down-counter, serve a capire se siamo arrivati a fine conteggio. Avendo fatto proseguire il conteggio di A per B volte abbiamo eseguito la somma dei due numeri. L unica attenzione è riguardo all overflow, cioè A+B deve sempre essere inferiore al massimo valore conteggiabile dal contatore A, altrimenti si avrebbe un reset dello stesso e un mal funzionamento della rete. Il collegamento dei due contatori è in Figura 4.34. Esercizio 4.19 A parte il clock, l unico segnale di comando è X. Esso deve servire a comandare il caricamento di RA e RB e ad avviare il conteggio, a cui sarà legati il trasferimento del risultato il RC al momento dovuto. 37
Figura 4.33 FF i esimo dell Esercizio 4.16. Il segnale UD imposta la modalità di funzionamento. Con UD=1 conta in avanti mentre con UD=0 il dispositivo conta all indietro. Figura 4.34 Sommatore A+B. Esercizio 4.18. Si noti che il passaggio a 1 di x fa operare i due contatori. Il passaggio a 1 di CO ferma l incremento del contatore di sinistra. I valori di A e B devono essere precaricati nei due contatori prima del passaggio a 1 di x (non mostrato in figura). Per quanto si riferisce al caricamento di RA e RB la specifica sottintende che esso deve essere fatto in parallelo. Si deve quindi immaginare l esistenza di due percorsi che portano in RA e RB i dati da caricare. Supporremo di effettuare il caricamento dei registri secondo la tecnica (sincrona) rappresentata dalle Figure 4.29 e 4.37 del testo. Facciamo l ipotesi che il comando di caricamento prevalga sullo scorrimento in modo che il clock che trova il segnale di caricamento a 1 faccia solo caricare. In conclusione si tratta di generare due opportuni segnali temporali noti, RAeB in e RC in. Il segnale RAeB in può essere anche usato per azzerare lo stato del flip flop che memorizza il riporto. RAeB in deve essere asserito solo sul clock su cui si caricano i registri (clock 0). Poichè non è specificata la durata di X, occorre generare RAeB in da X. Supponendo che i registri RA e RB operino sul fronte di discesa del clock, conviene che RAeB in duri esattamente un periodo di clock, ma tra i fronti di salita. Dunque RAeB in deve avere la temporizzazione di Figura 4.35. Il segnale viene portato a 1 sul fronte di salita del clock che trova X a 1 e riportato a 0 sul fronte di salita seguente. In tal modo RA e RB vengono caricati sul fronte di discesa intermedio del clock 0. I successivi 5 impulsi di clock determinano il caricamento in RA dei bit di somma (calcolati via via). 38
Figura 4.35 Temporizzazione dei segnali RAeB in e RC rispetto al clock ed al segnale X. Esercizio 4.19. La somma viene perciò a trovarsi in RA dal fronte intermedio del clock 5. Se anche RC opera sul fronte di discesa il trasferimento del risultato in questo registro può essere effettuato sul clock successivo (clock 6), avendo asserito RC in. In conclusione si deve progettare la rete (di Moore, operante sui fronti di salita) che genera i segnali temporizzati RAeB in e RC in, come in Figura 4.35. La schematizzazione della rete è riportata in alto in Figura 4.36. Figura 4.36 In alto: schema della rete per la generazione dei segnali RAeB in e RC in a partire dal segnale X e dal clock. In basso: il diagramma di stato della rete. Le uscite sono ordinatamente, RAeB in e RC in. Si tratta di un problema analogo a quello della generazione del segnale di WAIT del Paragrafo 4.5.1 del testo. Il diagramma di stato è quello in basso in Figura 4.36. Un eventuale ritorno a 1 di X prima 39
della conclusione dell operazione è ininfluente. Si noti che, diversamente, da quanto indicato nel testo, il trasferimento in RC avviene sul (fronte di discesa del) clock 6. In Figura 4.37 è riportato lo schema finale della soluzione. Figura 4.37 Schema finale della interconnessione tra la rete di generazione dei segnali RAeB in e RC in e lo schema di somma dell esercizio. Si noti che il segnale RAeB in viene usato anche per azzerare lo stato del flip-flop usato per tenere traccia del riporto. Esercizio 4.20 Per eseguire il trasferimento al 7 clock, basta aggiungere uno stato al diagramma di Figura 4.36. 40