DARIO CUSATELLI Dipartimento di Scienze Statistiche Carlo Cecchi, Università degli Studi di Bari UN MODELLO DI CONTRATTO FINANZIARIO STRUTTURATO SOMMARIO 1. Introduzione 2. Considerazioni preliminari 3. Un modello di contratto finanziario con opzioni 4. Conclusioni Bibliografia e sitografia essenziali
81 1. INTRODUZIONE Sino agli anni sessanta del secolo scorso la finanza era essenzialmente una collezione di aneddoti, regole del pollice, manipolazione di dati contabili. L incertezza veniva trattata generalmente in modo inadeguato ed incoerente, senza utilizzare il calcolo delle probabilità e le sue logiche rigorose. Si finiva così per non poter sfruttare il principio di assenza d arbitraggio e di replicabilità. Con l option pricing si è avuto un vero salto quantico : per quella sorta di naturale armonia che si è creata tra il formalismo del calcolo delle probabilità ed i principi dell economia finanziaria. La formula di Black e Scholes 1, che sarà l avvio ed il marchio dell option pricing theory, viene definita quasi occasionalmente lavorando a margine di un progetto di ricerca finalizzato a formalizzare alcune strategie d investimento da offrire ai clienti della Wells Fargo Bank. Tale formula è l'espressione per il calcolo del prezzo di non arbitraggio di un'opzione CALL (o PUT) di tipo europeo. La struttura del capitale d impresa, l ipotesi di mercato efficiente ed il Capital Asset Pricing Model (C.A.P.M.) hanno, in ambiti diversi, il principio di arbitraggio come nucleo centrale: tutti si basano sull idea, peraltro intuitiva, che contratti finanziari caratterizzati dallo stesso rischio debbano avere, per evitare arbitraggio, uguale rendimento. Il lavoro di Black e Scholes si fonda sullo stesso principio. È l applicazione dell argomentazione dell hedging, regolata dal non arbitraggio, svolta con il linguaggio dei processi stocastici che dà l esito rivoluzionario rispetto alla vecchia impostazione. Sebbene sia la risposta diretta al problema di definire il prezzo corrente di un warrant (CALL su un azione), l impostazione di Black e Scholes utilizza un processo stocastico per descrivere l evoluzione del prezzo sottostante l opzione; considera 1 M.S. SCHOLES, Derivatives in a dynamic environment, American Economic Review, 88 (1998), 3.
82 analogie e differenze con la logica del C.A.P.M.; applica il linguaggio delle opzioni alla valutazione del capitale di debito di un impresa. Ai tre filoni di ricerca, che nel frattempo sono diventati teoria dominante, apre nuove prospettive di interpretazione e di sviluppo. Merton confermò ed estese alcuni risultati dell option pricing di Black e Scholes, utilizzando in modo estensivo la strumentazione del calcolo stocastico, in particolare il lemma di Ito. Tra il 1979 ed il 1983 Harrison, Kreps e Pliska hanno utilizzato la teoria dei processi stocastici nel tempo continuo per porre l option pricing theory di Black, Scholes e Merton su una solida base teorica ed hanno dato corpo ad una teoria generale di pricing dei derivati. Il Chicago Board Exchange (CBOE) avviò le contrattazioni nel 1973, nello stesso anno della pubblicazione dell articolo, con la formula, di Black e Scholes. C è da ritenere che il successo del CBOE e delle altre borse, in parte, possa essere attribuito ai modelli di option pricing che hanno cambiato la logica e la tecnologia delle contrattazioni. Sviluppata in forma di software in una calcolatrice portatile della Texas Instruments, la formula di Black e Scholes divenne lo strumento universale per fare prezzi di contratti, collegati e coerenti con i prezzi dei corrispondenti portafogli replicanti. La possibilità effettiva di replicazione indusse una forte riduzione dei costi di transazione che portò i mercati vicini all ipotesi teorica di efficienza e ne provocò l eccezionale espansione. La tecnica della replicazione, fondata sull hedging e sul principio di arbitraggio, ed i corrispondenti algoritmi di calcolo in forma di software sono diventati mezzo di produzione e strumento di gestione: sono il fattore tecnologico primario della finanza per l invenzione ed il confezionamento di nuovi prodotti finanziari innovativi. La logica della replicazione ha assunto un ruolo fondamentale anche per la definizione e l applicazione dei principi contabili e per le procedure di regolamentazione e di controllo della solvibilità di intermediari ed imprese (a tal riguardo nelle Istruzioni di vigilanza per le banche 2 il modello di Black e Scholes è indicato, con la struttura in formule, per il calcolo dei requisiti patrimoniali individuali sui rischi di mercato). Il modello binomiale è il più semplice modello di arbitraggio per la valutazione dei derivati. È stato proposto nel 1979 da Cox, Ross e Rubistein con l intento esplicito di fornire un approccio semplificato all option pricing e, nonostante la sua origine didattica, si è affermato come efficiente 2 Banca d Italia, Nuovo fascicolo Istruzioni di vigilanza per le banche, Circolare 21 aprile 1999, n. 299, Supplemento straordinario alla GU n.119 del 24 maggio 1999, pp. 254-258.
83 metodo numerico di valutazione, applicabile anche a contratti di elevata complessità. Il modello è definito nel tempo discreto, ipotizza cioè che il mercato sia aperto solo su una successione discreta di date. La sua caratteristica è la particolare struttura di incertezza utilizzata per descrivere il processo stocastico sottostante che è, appunto, di tipo binomiale: alla fine di ciascun intervallo elementare di tempo il prezzo del sottostante può assumere solo due valori possibili, corrispondenti a due stati del mercato, uno in cui il prezzo va in rialzo ed uno in cui il prezzo va in ribasso. I valori nei due stati sono noti ad inizio periodo, ma non è noto quale dei due stati si realizzerà. Il prezzo del sottostante è l unica fonte d incertezza del modello binomiale. I tassi d interesse futuri sono ipotizzati deterministici. Questa approssimazione semplifica notevolmente il problema della valutazione e si può giustificare considerando che il rischio di tasso può essere rappresentato, quindi, come effetto di secondo ordine rispetto all incertezza. 2. CONSIDERAZIONI PRELIMINARI Premesso che le opzioni sono contratti derivati non lineari, si definisce opzione CALL un contratto che garantisce all acquirente il diritto, ma non l obbligo, di acquistare ad una data futura (exercise price) una unità finanziaria, detta sottostante, ad un prezzo prefissato (strike price) e, analogamente, si definisce un opzione PUT un contratto che garantisce all acquirente il diritto, ma non l obbligo, di vendere. Le funzioni di pay-off di una opzione CALL e di un opzione PUT sono definite come: e pay-off CALL = pay-off PUT = essendo la data di esercizio, lo strike price ed il valore del sottostante alla data di esercizio. Inoltre è bene precisare che le opzioni si definiscono di tipo europeo o di tipo americano a seconda del tipo di esercizio che è rispettivamente soltanto a scadenza o durante tutto l arco di tempo a scadenza. Le opzioni vengono considerate come uno strumento finanziario e- stremamente versatile, che può essere utilizzato per realizzare una varietà di
84 obiettivi di investimento, anche non speculativi, quali, ad esempio, ottenere obiettivi di rendimento di medio-lungo periodo, coprire investimenti in essere dal rischio di ribasso del mercato, attuare strategie di investimento non realizzabili con altri prodotti finanziari. Nel caso di opzione CALL la funzione del guadagno netto dell holder, ossia di chi possiede l opzione, è data da: Indicando con il premio pagato dall holder per l acquisto dell opzione, con il prezzo di mercato del bene sottostante l opzione a scadenza e con lo strike price. Nel caso di opzione PUT, invece, si ha: È importante sottolineare che, sia nel caso di opzione CALL sia nel caso di opzione PUT, la perdita massima per l acquirente 3 è pari al premio pagato, il quale viene definito come il prezzo che viene pagato all acquisto dell opzione e che non è retribuibile all investitore, che l opzione venga e- sercitata o meno. Il premio di un contratto di opzione è composto dal valore intrinseco e dal valore temporale: il valore intrinseco per un opzione CALL è pari alla differenza tra il prezzo del sottostante e lo strike price,mentre per un opzione PUT è pari alla differenza tra lo strike price ed il prezzo del sottostante; il valore temporale, invece, è quella componente di valore dell opzione che si aggiunge al valore intrinseco nel calcolare il premio e rappresenta quanto un investitore è disposto a pagare, oltre al valore intrinseco, nella speranza che il sottostante si muova concordemente con la posizione presa. A seconda della posizione dello strike price (prezzo stabilito nel contratto in base al quale l holder può acquistare o vendere il bene sottostante l opzione) rispetto al prezzo corrente del sottostante, le opzioni si distinguono in : opzioni ATM (At The Money): sia per le CALL sia per le PUT lo strike price è pressoché uguale al prezzo del sottostante; opzioni OTM (Out of The Money): per le CALL lo strike price è maggiore rispetto al prezzo corrente del sottostante, per le PUT lo strike price è 3 Per il venditore di un opzione CALL o PUT la perdita teoricamente potrebbe essere illimitata.
85 inferiore al prezzo corrente del sottostante; opzioni ITM (In The Money): per le CALL lo strike price è inferiore al prezzo corrente del sottostante, per le PUT lo strike price è superiore al prezzo corrente del sottostante. I fattori che influiscono sul prezzo di un opzione si distinguono in: fattori quantificabili (come ad esempio il prezzo del sottostante, il prezzo d esercizio, la volatilità, il tempo a scadenza, i tassi di interesse, i dividendi); altri fattori economici e di mercato non quantificabili. Per quantificare la sensitività del prezzo delle opzioni, ovvero la sensibilità di un'opzione al variare dei diversi fattori, vengono maggiormente utilizzati degli indicatori sintetici che offrono all'investitore una buona stima dell'impatto delle situazioni esterne di mercato sulle proprie posizioni in opzioni. L'indicatore Delta, conosciuto anche come hedge ratio ovvero rapporto di copertura, esprime la sensibilità del premio di un'opzione al variare del prezzo del sottostante e viene calcolato, infatti, come la variazione del prezzo dell'opzione al variare del prezzo del sottostante di un punto percentuale, assumendo costanti gli altri fattori. Per le opzioni di tipo CALL, il Delta è positivo e varia tra 0 e 1, infatti ad una variazione positiva del prezzo del sottostante il valore dell opzione aumenta (oppure, ad una variazione negativa del prezzo del sottostante il valore della CALL diminuisce). Viceversa, nel caso di opzioni PUT il Delta è negativo dato che esiste una relazione inversa tra prezzo del sottostante e prezzo dell opzione e varia tra -1 e 0. Il Delta non è un valore costante ma varia al mutare del prezzo del sottostante ed all avvicinarsi della scadenza dell opzione. Sia nel caso di un opzione CALL sia nel caso di un opzione PUT al crescere del prezzo del sottostante il Delta aumenta ed al diminuire del prezzo del sottostante il Delta si riduce. All avvicinarsi della scadenza del contratto di opzione il Delta varia avvicinandosi ad 1 per le opzioni ITM ed assumendo un valore sempre più vicino a zero per le opzioni OTM, mentre per le opzioni ATM il Delta è generalmente costante fino alla scadenza, quando diventa nullo. Bisogna segnalare che la volatilità del titolo sottostante ha un effetto diretto sul Delta di un opzione, infatti se il sottostante è caratterizzato da una volatilità elevata il Delta dell opzione ITM tende ad essere meno elevato, mentre viceversa il Delta di un opzione OTM tende ad essere più elevato. Il Delta dipende anche dalla durata residua dell opzione in quanto, a parità di altri parametri, un opzione OTM con una settimana di vita residua avrà un Delta più basso della stessa opzione OTM con vita residua di tre mesi, que-
86 sto perché le probabilità che il prezzo corrente raggiunga lo strike sono molto più elevate. Oltre alla sensibilità dell opzione alle variazioni del prezzo del sottostante, il Delta di un opzione esprime sia l esposizione al mercato (posizione equivalente sul sottostante), infatti il Delta viene utilizzato per determinare la posizione in titoli equivalente ad una posizione in opzioni, sia la probabilità di un'opzione di scadere ITM ed essere quindi e- sercitata. Quanto maggiormente le opzioni sono OTM tanto più basso è il valore del loro Delta: è infatti molto probabile che esse scadano senza valore. L indicatore Gamma può essere definito come la variazione del Delta di un opzione a seguito di una variazione unitaria del prezzo del sottostante, assumendo costanti gli altri fattori, e rappresenta la velocità con cui cambia il Delta al variare del sottostante; tale variazione è negativa se il sottostante scende, positiva se sale. Dato che il Delta può variare fra 0 ed 1, il Gamma non può essere una costante (altrimenti potrebbe portare i valori del Delta fuori del campo di esistenza) ma come il Delta avrà come funzione una curva. Generalmente il Gamma è massimo per le opzioni ATM per diminuire man mano che le opzioni diventano OTM od ITM, inoltre avvicinandosi alla data di scadenza il Gamma aumenta in maniera sensibile e sarà tanto minore quanto maggiore è la distanza tra il valore del titolo e lo strike price. Intuitivamente, infatti, l'impatto sul valore di un opzione di piccole variazioni del prezzo del sottostante è tanto più significativo quanto più l opzione è ATM e vicina a scadenza. Da notare che il Gamma dipende anche dalla volatilità del titolo sottostante perché per esempio un opzione ATM su un titolo con bassa volatilità avrà un Gamma più elevato rispetto ad un opzione su un titolo con volatilità più elevata, viceversa su un titolo OTM il Gamma sarà più elevato per il sottostante con volatilità maggiore. Una posizione di acquisto (lunga) su opzioni siano esse PUT o CALL ha un Gamma positivo, mentre una posizione di vendita ha un Gamma negativo; è evidente che la prima posizione genera profitti se il mercato si muove velocemente, mentre la seconda genera profitti se il mercato si mantiene sostanzialmente stabile. L indicatore Theta di un opzione esprime l'impatto del trascorrere del tempo sul valore di un opzione e viene generalmente espresso in termini numerici indicando quanto valore perde l opzione ogni giorno, avvicinandosi alla scadenza, ovvero misura l effetto erosione sul valore dell opzione esercitato dal fattore tempo. Nel caso di opzioni ITM, il cui valore è composto da valore intrinseco e da valore temporale, il tempo erode solo il valore temporale e di conseguenza alla scadenza queste opzioni avranno solo valore intrinseco. Nel caso di opzioni ATM e OTM, il cui valore è dato dal
solo valore temporale, il fattore tempo erode tutto il loro premio ed alla scadenza, quindi, esse non hanno più alcun valore. Il tasso di deprezzamento del valore dell opzione al passare del tempo è tanto più elevato quanto più ci si avvicina alla scadenza dell opzione ed assume i suoi valori massimi nei giorni precedenti il giorno di scadenza. Man mano che passano i giorni il numero delle rilevazioni future del prezzo diminuisce e così pure il costo delle opportunità rappresentato dal valore temporale. Il Theta è indicato con un numero negativo perché fa diminuire il valore dell opzione favorendo il venditore. Bisogna sempre tenere a mente che i giorni in cui il mercato è chiuso, e cioè sabato, domenica ed altre festività, il Theta agisce a favore del venditore senza che il compratore possa farci niente. Da notare inoltre, che la perdita di valore di un opzione non è una funzione lineare, bensì basandosi sui quadrati del tempo a scadenza, ha un andamento molto modesto nel periodo distante dalla scadenza, per aumentare quando ci si avvicina alla scadenza dell opzione. È perciò consigliabile comprare un opzione che si trova vicino alla scadenza solo se pensiamo che il movimento del sottostante avverrà in modo tanto veloce da controbilanciare la perdita di valore. Va tenuto inoltre presente che il Theta di un opzione su un titolo molto volatile è maggiore rispetto ad un opzione su un titolo poco volatile. L indicatore Vega esprime la sensibilità di un opzione al variare della volatilità del sottostante ovvero quanto varia il prezzo dell opzione al variare della volatilità di un 1% del titolo sottostante, ferme restando tutte le altre componenti del prezzo. Il Vega influisce solo sul valore temporale del premio di un opzione e non è un fattore costante ma varia all'avvicinarsi della scadenza del contratto d'opzione. L aumento della volatilità fa crescere il valore sia delle CALL che delle PUT, perciò Vega è sempre un numero positivo. Il Vega è maggiore per le opzioni ATM e tende a decrescere man mano che il prezzo di esercizio si allontana dal prezzo attuale. Inoltre il Vega diminuisce con il passare dei giorni. È uno strumento importante in quanto fornisce l idea di quanto l opzione possa essere influenzata (nel bene o nel male) da un cambiamento della volatilità. Il Rho misura il variare del prezzo di un warrant al variare dei tassi di interesse. Se i tassi aumentano si avrà un apprezzamento di valore delle opzioni CALL, mentre viceversa diminuirà il valore delle PUT. Pertanto il Rho è un numero positivo per le CALL e negativo per le PUT. Il valore del Rho sarà massimo per le opzioni fortemente ITM e quasi nullo per quelle fortemente OTM; sarà inoltre maggiore per le opzioni con lunga vita residua e trascurabile per quelle prossime a scadenza. Tra i coefficienti di sensibilità è indubbiamente quello che riveste l importanza minore, infatti te- 87
88 nendo conto che le manovre sui tassi delle banche centrali sono nell ordine di 25 (o al massimo 75) punti percentuali alla volta, il suo impatto sul valore dell opzione, a parità di altre condizioni, può definirsi irrilevante. Il Gearing misura la redditività potenziale del capitale investito, ovvero la sua reattività (in paragone con quella del sottostante) alle variazioni del prezzo del sottostante. Abbiamo due tipi di Gearing: quello lordo ed quello netto. Il Gearing lordo (dato dal rapporto fra il prezzo del titolo ed il prezzo dell opzione moltiplicato per un multiplo) non è di grande utilità, perché ci dice la leva dell opzione rispetto al sottostante ma non tiene conto né della volatilità del mercato né della moneyness dell opzione e non considera neppure il Delta dell opzione. Basti pensare che in un mercato molto volatile il prezzo dell opzione riflette anche e soprattutto la maggiore volatilità esistente e questo prezzo non è confrontabile al prezzo della stessa opzione in presenza di un mercato con minore volatilità. Per correggere questo errore è sufficiente moltiplicare il Gearing lordo per il Delta dell opzione ottenendo così il Gearing netto, detto anche elasticità, che rappresenta il reale effetto leva dell opzione considerata Altra definizione simile alle precedenti è il Leverage. Con questa definizione si intende l effetto leva dell opzione, cioè l effetto moltiplicatore calcolato come la variazione percentuale del prezzo data da una posizione di acquisto dell opzione in seguito ad un salto di un punto percentuale di una identica posizione sul sottostante; cioè Leverage = (Delta * prezzo del titolo) / prezzo dell opzione. Per come sono state date le definizioni di leva si ricava che tanto più l opzione è ITM tanto minore sarà l effetto leva ad essa associato, discorso inverso se l opzione si trova OTM. Ultima considerazione da fare è che la leva funziona amplificando i movimenti sia in senso positivo che in senso negativo; pertanto nel caso in cui il mercato si dovesse muovere nella direzione opposta alle nostre attese ciò comporterebbe una perdita maggiore. 3. UN MODELLO DI CONTRATTO FINANZIARIO CON OPZIONI Molti prodotti con struttura apparentemente elementare sono costruiti incorporando al loro interno opzioni. Le cosiddette opzioni incorporate (embedded option) indicano che le opzioni non vanno necessariamente intese come prodotti finanziari definiti in modo autonomo, ma in linea generale si può dire che qualsiasi tipo di contratto contiene diritti accessori e clausole con validità condizionata al verificarsi di eventi prefissati, e spesso queste particolarità possono essere descritte ricorrendo alla logica delle opzioni.
89 Quindi la teoria delle opzioni può essere considerata come uno strumento per sviluppare una teoria generale della valutazione dei contratti, quindi molti contratti finanziari con embedded option, che incorporano cioè implicitamente nella loro struttura delle opzioni, non possono essere correttamente valutati senza un modello di option pricing. Un esempio molto importante per illustrare, almeno solo da un punto di vista logico, i possibili effetti delle opzioni implicite sulla struttura dei contratti, è costituito dall investimento azionario con minimo garantito. Consideriamo un fondo di investimento azionario che, ad una data futura, garantisca, a fronte di un capitale unitario investito al tempo, l importo: dove identifica il valore di uno specifico indice azionario. È semplice notare, quindi, che il contratto offre, sul periodo di ampiezza, il rendimento del mercato azionario (descritto dall andamento dell indice), garantendo comunque un rendimento minimo annuo. Provando a moltiplicare e dividere l espressione per, ed essendo per ogni costante reale a 0 si ha: dove è il numero di quote dell indice acquistate in con il capitale unitario, e rappresenta l importo minimo garantito alla scadenza per ogni quota acquistata in (naturalmente è noto al tempo ). Ed essendo: [1] si può ricavare la scomposizione PUT del pay-off: dalla quale possiamo notare che il pay-off del contratto è uguale alla somma del pay-off relativo all investimento del capitale unitario nell indice di borsa e del pay-off prodotto dall acquisto di una opzione PUT europea sull indice, con scadenza e strike price. Quest ultima espressione afferma quindi che, per ogni quota acquista-
90 ta, l investitore ha il diritto di ricevere alla scadenza l indice, ma aggiuntivamente ha il diritto di vendere l indice al prezzo ; naturalmente il diritto verrà esercitato se risulta, nel qual caso l investitore riceverà invece di. Il contratto d investimento, al tempo 0, assumerà il valore: Quindi, poiché deve essere il prezzo dell opzione PUT, risulta che il valore del contratto è maggiore del capitale unitario di investimento, in quanto oltre al risultato dell investimento nell indice viene fornito un contratto accessorio che garantisce il rendimento minimo annuo. Il valore di questo contratto accessorio protettivo è determinato dal prezzo delle opzioni PUT, che si dicono, appunto, protettive. Il valore delle PUT esprime il costo della garanzia di minimo, misura, cioè, il prezzo aggiuntivo che l investitore deve pagare per ottenere la corrispondente riduzione di rischiosità. Per la [1] si può indicare un modo alternativo di rappresentare il contratto, ricorrendo alla scomposizione CALL: che esprime l operazione come un investimento obbligazionario in ZCB (Zero Coupon Bond) con scadenza in e rendimento annuo, con il contestuale acquisto di una CALL europea sull indice. L investitore, secondo questo punto di vista, ha quindi diritto a ricevere l importo certo alla scadenza, ma anche il diritto a comprare al prezzo, a scambiare cioè con. Naturalmente questo diritto verrà esercitato solo se sarà. Il contratto, al tempo 0, assume un valore che si può esprimere come: dove è il prezzo in della CALL e il fattore di sconto sul periodo. Si può dire che il prezzo della CALL esprime il valore dell extrarendimento azionario, cioè del rendimento azionario eventualmente eccedente il rendimento garantito.
91 4. CONCLUSIONI La teoria generale dell option pricing, è noto, si basa sulle teorie dei processi stocastici nel tempo continuo, utilizzando in modo estensivo la strumentazione del calcolo stocastico, basandosi tutti su numerose ipotesi che, nella realtà, non sempre risultano soddisfatte. Ridurre al minimo le ipotesi di partenza potrebbe essere, quindi un alternativa utile: l approccio neuro-computazionale (RNA) per la valutazione di opzioni finanziarie potrebbe rappresentare una alternativa alle tecniche di valutazione classiche proposte in letteratura. Comunque tali metodi neuro-computazionali presentano alcune limitazioni quali: - la richiesta di una considerevole quantità di dati per ottenere dei risultati soddisfacenti; - il problema dell overfitting per cui il modello tende a recepire come strutturale anche la parte rumorosa dei dati (tale problema può essere limitato attraverso un opportuna fase di shuffling dei dati); - inoltre poiché le RNA sono quasi delle black-box, non risulta sempre finanziariamente interpretabile la relazione che lega ciascuna variabile e- splicativa al valore dell opzione e, di conseguenza, la sua significatività ai fini della valutazione. Particolarmente promettente, invece, sembra il cosiddetto approccio ibrido, in cui la RNA è chiamata ad apprendere solamente le deviazioni dei prezzi di mercato rispetto ad un modello di option pricing come, ad e- sempio, i modelli di Black e Scholes o di Cox, Ross, Rubinstein. Un altra tipologia di approccio ibrido consiste nel fornire alle RNA degli input elaborati preventivamente da altri modelli. In particolare, essendo la stima della volatilità un input di fondamentale importanza, un possibile approccio potrebbe prevedere l utilizzo di un particolare modello parametrico per ottenere delle migliori stime della volatilità. Ad esempio la modellistica di tipo ARCH e GARCH ed i modelli a volatilità stocastica possono essere in grado di catturare importanti caratteristiche delle serie storiche finanziari, queli l effetto cluster e l effetto leverage. Futuri possibili sviluppi di tale approccio potrebbero considerare: - l utilizzo di input aggiuntivi, o diversi, da quelli che si basano sulla formula di Black e Scholes; - la specificazione di particolari misure di performance collegate al fenomeno analizzato al fine di specificare RNA che assicurino una buona applicabilità pratica (soprattutto in relazione alle operazioni di copertura); - la definizione di un analisi complessiva del fenomeno che consideri, oltre al prezzo, anche altre caratteristiche della funzione di valutazione.
92 BIBLIOGRAFIA E SITOGRAFIA ESSENZIALI Brennan M. J., Schwartz E. S., Alternative Investment Strategies for the Issuers of Equity Linked Life Insurance Policies with an Asset Value Guarantee, Journal of Business, 52 (1979), 1. Brennan M. J., Schwartz E. S., The Pricing of Equity-Linked Life Insurance Policies with an Asset Value Guarantee, Journal of Financial Economics, 3 (1976), 3. Capozza G., Sulla struttura finanziaria di contratti assicurativi Linked con minimo garantito, dattiloscritto. Capozza G., Sulle polizze index e unit Linked, Annali della Facoltà di Economia dell Università di Bari, nuova serie vol. XXXIV, 1997-99. Castellani G., De Felice M., Moriconi F., Manuale di finanza vol.i Tassi di interesse. Mutui e obbligazioni, Bologna, Il mulino, 2005. Castellani G., De Felice M., Moriconi F., Manuale di finanza vol.iii Modelli stocastici e contratti derivati, Bologna, Il mulino, 2006. Consiglio di Borsa, Il mercato italiano dei derivati: derivati azionari guida alle opzioni, Milano, 1997. De Felice M., Moriconi F., Definizione dei benchmark, misurazione delle performance e valutazione dei costi nei fondi pensione con minimo garantito, Roma, CONSOB, Quaderni di Finanza, 1999. Hull J.C., Opzioni, futures ed altri derivati, traduzione di Barone E., Il sole 24 ore SpA, Milano, 1998. www.traderfoundation.it www.finanzaonline.com www.borsaitaliana.it