ISTITUTO LOMBARDO - ACCADEMIA DI SCIENZE E LETTERE Estratto dai Rendiconti, Classe dl Scienze (A) - Voi. 104-1970 SULLA TEORIA RELATIVISTICA DELLA DINAMICA DEL PUNTO A MASSA VARIABILE Nota di GIOVANNI Oaui nor- 2-12 Istituto Lombardo di Scienze e Lettere MILANO 1970
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Meccanica e Fisica matematica Istituto Lombardo (Rend. Se.) A 104, 603-614 (1970) SULLA TEORIA RELATIVISTICA DELLA DINAMICA DEL PUNTO A MASSA VARIABILE Nota di GIOVANNI CBTJPI Presentata dal un e. Bruno Pinzi (Adunanza del 4 dicembre 1969) Sunro. - fl problema di stabilire un'equazione da porre a fondamento della dinamica relativistica del punto a massa di quiete variabile ricorre spesso come oggetto di interessanti ricerche. Nel presente lavoro si illustra un procedimento che permette di dedurre tale equazione muovendo direttamente dai principi. Si ha anche occasione di dare una somplice deduzione del legame tra il decremento della massa di quiete del punto materiale (centro di emissione) e la massa di quiete della particella emessa; inoltre, si chiarisce il significato fisico di un coefficiente che era rimasto senza interpretazione in un precedente lavoro. Nell'ambito dei principi newtoniani la teoria dinamica del punto a massa variabile (per accumulo o espulsione di particelle) rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è fondata sull'equazione (I) d (m v) - dm dt - dt dove con m v si indica la quantità di moto del punto P, m, con dm u la quantità di moto dell'elemento Q, dm che nell'intervallo di tempo dt si aggiunge o si sottrae ad m e con F la risultante delle forze esterne agenti su P m. L'esigenza di costruire una teroia relativistica per lo studio dei moti del punto a massa di quiete variabile ha dato origine ad interessanti ricerche. Sono stati pubblicati lavori riguardanti tale teoria anche da Oliveri (1), Pellegrini (2) e Carini (3). (1) E. OLivERI, BolI. Ace. Gioenia, Catania, Vol. 7, Serie IV (196) (2) M. Pzuzoani, Rend. It. Lomb. Se., Vol. 99 (1965). (3) G. CARINI, Rend. It. Lomb. Se., A 101, 491-501 (1967). SJUA
604 G. CRUPI In ognuna delle tre Note (1), (2), () si pone a fondamento la (I) e di essa si effettuano generalizzazioni relativistiche con procedimenti tra loro distinti. Così, i tre Autori pervengono ad equazioni che sono tra loro diverse. Ovviamente, tale diversità è incompatibile con la natura fisica del fenomeno. Pertanto, nel presente lavoro mi sono proposto di riesaminare il problema della ricerca dell'equazione fondamentale della dinamica relativistica del punto a massa di quiete variabile prescindendo, almeno a priori, dalla (I) e muovendo direttamente da principi fisici generali. Più precisamente, saranno invocati: a) i principi di conservazione della quantità di moto e dell'energia ; b) il principio di indipendenza degli effetti di più forze concomitanti. Il risultato principale cui si perviene è che l'equazione tensoriale della dinamica del punto a massa di quiete variabile per convezione, compatibile con i principi a) e b), è la seguente (Il) d(m0w') = - Tv (r = 0, 1, 2, 3) dove con m0 W' si indica il quadrimpulso di P, m0 (essendo m 0 la massa di quiete del punto P), con dpw' il quadrimpulso dell'elemento Q, du che da t a t + dt si aggiunge o si sottrae alla massa m 0 (essendo dg la massa di quiete del punto Q), con f' la quadriforza connessa ad un eventuale campo esterno e con ds l'intervallo cronotopico elementare. Poichè, come si dimostra nel corso del lavoro, tra di e l'incremento (o decremento) di m0 sussiste il legame (III) dp= - d,n0 WP Wp (fi=0,1,2,3), la (Il) può essere ricondotta alla forma (IV) d (m, 1V,) _ = fr + dm 0 WV Wfl Wp E questa, a meno del nome di qualche lettera, coincide con l'equazione stabilita da Carini (3).
SULLA TEORIA RZIATIVISTICA DELLA DINAMICA ECC. 605 Dopo la (III), resta chiarito anche il significato fisico del rapporto d%/ Wp Wfl che nello schema del lavoro cli Carini era rimasto senza interpretazione. Nel n. i si deduce dai principi a) e b) l'equazione dinamica relativistica in forma tridimensionale. Nel n. 2 con una opportuna applicazione del principio di conser - vazione dell'energia si stabilisce il legame tra la massa di quiete djz dell'elemento che si sottrae e la corispondente variazione dm 0 della massa di quiete del centro di emissione. Nel n. 3 si dimostra che l'equazione tridimensionale dedotta nel n. i si può concepire come la parte spaziale di un'equazione tensoriale cronotopica covariante per trasformazioni di Lorentz. Nel n. 4 si svolgono considerazioni a carattere energetico. L - Introduciamo un sistema inerziale di riferimento x, y, i, t) e supponiamo che rispetto ad esso un corpo a massa variabile, assimilabile a punto materiale P,m 0, si muova con velocità v. Se indichiamo con m 0 la massa di quiete del corpo (cioè la massa in quel sistema inerziale rispetto a cui P è istantaneamente in quiete), allora rispetto ad S l'impulso relativistico di P, m 0 in forma tridimensionale è espresso da m 0 V (1) qt= oppure (2) qt = m0 V, avendo posto V i -- v i- Nell' intervallo di tempo da t a t+ dt, la massa di quiete MO diminuirà (nel caso di emissione) di una quantità - dm 0. Indicando con di la massa di quiete della particella emessa (cioè la massa della particella emessa valutata in quel sistema inerziale rispetto a cui si trova istantaneamente in quiete) e con u la sua velocità rispetto ad S, l'impulso relativistico in forma tridimensionale dell'elemento emesso Q, du è dato da
606 0. CRUPI duu (4) i - U 2 /C 2 oppure (5) dq = datj con (6) U= Allora, all'istante t + dt l'impulso relativistico del sistema formato dal corpo emittente e dalla particella emessa nel tempuscolo dt, è dato dalla somma (7) qt+dt = [Mo ( dm 0)] (V + dv) + duu dove, avendo fissato l'attenzione sul caso di perdita di massa, dmo <0. Trascurando il termine dmo dv perchè infinitesimo di ordine superiore ai primo, la (7) assume la forma (8) qt+dt = nz o V + nt 0 d V + dm. V + d i U. A questo punto è opportuno precisare che nel tempuscolo dt la quantità V subirà una variazione (dv) 1 sotto l'azione della forza reattiva interna connessa all'emissione dell'elemento Q, d1t ed un'altra variazione (dv )2 sotto l'azione di un'eventuale forza esterna di campo F. Indicando con d V la variazione totale subita da V nel tempuscolo dt ed invocando il principio di indipendenza degli effetti di più forze concomitanti, si ha (9) d = (d V), + (d V) 2 Passiamo ora alla ricerca delle due variazioni (dv) 1 e (dv) 2 in ter mini delle cause fisiche che li determinano. Osserviamo che ai fini del calcolo di (dv 1 il sistema formato dal centro di emissione e dall'elemento emesso da t a t + dt va considerato come isolato e, quindi, per esso vale il principio di conservazione della quantità di moto. In virtù di tale principio è lecito porre (10) qt = qt+dt Poichè abbiamo convenuto di indicare con (dv) 1 la variazione di V provocata dalla emissione di d4u, dalla (10) si trae
SULLA TEORIA RELATIVISTICA DELLA DINAMICA ECC. 607 (11) (d V)j dm0 - m 0 m 0 dopo aver tenuto conto delle (2) e (8). Inoltre, poichè (d V )2 rappresenta la variazione di V provocata unicamente da un eventuale campo esterno, ai fini della sua determinazione è lecito invocare l'equazione einsteiniana dv (12) mo -=F dt da cui (13) (d V)2 = dt. m 0 Sostituendo la (11) e la (13) nel secondo membro della (9), si ottiene che la variazione complessiva subita da V sotto le azioni concomitanti della forza reattiva interna che si esplica all'atto della espulsione degli elementi du e della forza esterna di campo è data da (14) d V = - -- V - --- U + dt m 0 m 0 % da cui, invocando le (3) e (6), si trae (15) d m0v u =F----- dt y i - dt - La (15) è l'equazione relativistica in forma tridimensionale della dinamica del punto a massa di quiete variabile. E' facile verificare che nell'approssimazione newtoniana la (15) si particolarizza nella (1). Nei numeri successivi sarà rimarcato il carattere -relativistico della (15) facendo vedere che essa è la parte spaziale di una equazione eronotopica co'variante per trasformazioni di Lorentz. 2. - In questo numero ci preoccuperemo di stabilire il legame tra dm 0 e du, cioè tra il decremento della massa di quiete del corpo P, m0 e la massa di quiete du dell'elemento emesso Q, dii. Questo risultato può essere facilmente ottenuto con una opportuna applicazione del principio di conservazione dell'energia nel sistema di quiete del corpo P, m0, cioè in quel sistema inerziale K in cui P è istantaneamente in quiete.
608 0. caui Rispetto a K l'energia del punto materiale P, m 0 all'istante t è data da (17) m 0 02 ed all'istante t + dt i 'energia del sistema formato da P, mo + dmo e è espressa da d 02 (18) (m 0 + dm.) 02 + vi - V" dove V' indica la velocità rispetto a K dell'elemento 9, du emesso nel tempuscolo dt. E' utile sottolineare che, in base alla nozione relativistica di velocità relativa, V' va interpretata appunto come la velocità relativa di 9 rispetto a P e, com'è noto (4), è legata alle velocità assolute (rispetto ad S) v ed u di P e Q nella formula (19) V' = (1 - v u/c 2) - v con a= i/y 1 v 2 /o2 In virtù del principio di conservazione dell'energia si ha (20) m, 02 = (m.+dm0)c 2 + da cui (21) dm, = - Yi - V'2 1c2 da C2 V' 2 /e2 dove il segno meno allude al fatto che, trattandosi di perdita di massa, dm0 <0. La (21) traduce il legame tra il decremento elementare dm 0 della massa di quiete m 0 del corpo e la massa di quiete dell'elemento Q, di. La (21) può essere scritta anche nella forma (22) d/z = - v 2 /c2 ) (1 - u2 /c2) 1 v.u/e2 dm,. (') V. F0OK, The Theory of Space Time and Gravitason, Pergamon Pbee (1964), pp. 45-47.
SULLA TEORIA RELATIVISTICA DELLA DINAMICA Ecc. 609 Per passare dalla (21) alla (22) basta osservare che dalla (19) si deduce (23) v - = (1 - 'v2 102) (1 u!/ c2) 1 v.u/et La relazione (21) ci permette di scrivere la (15) nella, forma m0v u - F Y i - V' 2/e2 d% (24) t + Y i - dt P' i - Ci soffermiamo ora a considerare due casi particolari notevoli della (24). A) Supponiamo che sia nulla la velocità relativa di Q rispetto a P, cioè V' = O (v = u). In tal caso la (24) si specializza nella (25) m (t) --- dt v e così assume la stessa struttura che avrebbe nel caso di massa di quiete costante, con l'unica particolarità che m 0 varia col tempo. B) Supponiamo che gli elementi dß vengano emessi con velocità assoluta nulla, cioè u = O. In tal caso la (24) si particolarizza nella (26) a Mo dt j(i - VzI cs =F ed esprime che in ogni istante la derivata temporale della quantità di moto è uguale alla forza di campo agente su mo (t). Chiudiamo questo numero osservando che la (15), dopo la (22), può essere posta anche nella forma (27) d m 0 v j( i - v'le 2 dm, - F + dt Yi v'/c' - i v.u/c' dt E questa, a meno del nome di qualche lettera coincide con l'equazione tridimensionale della dinamica relativistica del punto a massa di quiete variabile che figura nel citato lavoro (3) di Carini. 3. - Per la traduzione quadridimensionale conveniamo di introdurre coordinate galileiane nel sistema inerziale S. Con tale scelta resta as-
610 G. CRUPI sociata allo spazio-tempo la seguente metrica (28) dx 2 = (d 0 ) 2 - (dx 1 ) 2 - (dx 2) 2 - (dx 3) 2 dove x 1, x2, x3 indicano le coordinate cartesiane ortogonali introdotte nel sistema S ed x0 = et, essendo e la velocità della luce nel vuoto e t il tempo nel sistema S. Com'è noto, le componenti cont.rovarianti della quadrivelocità di un punto P sono definite da (29) TV' = da,,-, (v = 0, 1, 2, 3), d8 dove, in virtù della (28), (30) ds = e Y i - v 2 /c 2 dt essendo v la velocità ordinaria tridimensionale di P. Dalla (29) si deducono le seguenti relazioni (31) W= 1 - v 2-/c' (31) (i=1,2,3). (31) 2 Ivi = jì i - v 2 /e 2 Al punto materiale P, rn0 resta associato nello spazio-tempo il quadrimpulso (32) P' = m0 1V' Analogamente, se con W' si indicano le componenti controvaria.nti della quadrivelocità dell'elemento Q, dz e con dp' il quadrimpulso elementare associato, allora si ha (33) dp' = d1.t TV' essendo (34) i (34) WO (34)2 W = Uu/C - (i - 1 2 3),
SULLA TEORIA RELATIVISTICA DELLA DINAMICA ECC. 611 dove le u1 sono le componenti cartesiane ortogonali della velocità assoluta u dell'elemento Q, du. Abbiamo ora tutti gli elementi per poter dimostrare che la (15) compendia le tre componenti spaziali di un'equazione eronotopica del tipo tensore = tensore covariante per trasformazioni di Lorentz. Infatti, moltiplicando ambo i membri della (15) per 1/c2 Y i e tenendo presenti le (31)2 e (34)2, Si ottiene d(nzowi) (35) dove si è posto (36) fi CZ ='-_4-1" (i = 1,2,3), i -V2/ Ma le (35) possono essere concepite come le componenti spaziali dell'equazione cronotopica (37) d(m 0 W') d8 dii di e così resta dimostrato che la (15) compendia appunto la parte spaziale di un'equazione tensoriale covariante per trasformazioni di Lorentz. In virtù della (32) e della (33), la (37) può essere posta anche nella forma più sintetica dp" dp' (38) di di con evidente significato dei simboli. Le tre componenti spaziali di f" sono espresse in termini tridimensionali dalle (36). Per caratterizzare la componente temporale f, muoviamo dall'osservazione che essendo d W' (39) W. W - 1, W, = da deve di conseguenza valere l'identità (40) -f_ = f' W,, - --- ' W. ds
612 G. ciupi La (40) si deduce moltiplicando ambo i membri della (37) per W', effettuando l'operazione di composizione rispetto all' indice ripetuto v e tenendo presenti le (39). In termini tridimensionali, tenendo conto delle (31) e (34), si ha (5) (41) 1V, 1V" = W we - (TV 1 TV 1 + 1V 2 1V 2 + W 3 W 3 ) = oppure, invocando la (23), i (42) IV, TV' i v e2 V 2 /C2) (1-2 /C 2 ) Dopo la (42), la relazione (21) è suscettibile della forma (43) d4u= IV, drn0 Quindi, sostituendo la (43) nella (40), si ottiene (44) f' TV, = 0. La (44) esprime che la quadriforza f' risulta ortogonale alla quadrivelocità come nel caso della dinamica relativistica del punto a massa di quiete costante. Dalla (44) segue che (45' fo = - ' '! Wi wo e questa, dopo le (31) e (36), si specializza nella (46) fo = Fv C3 Y i - che esprime la componente temporale della quadriforza in termini di grandezze tridimensionali. (') Nello spazio metrico pseudoeuclideo di metrica (28), com 'è noto, le componenti covarianti di un vettore A, sono legate a quelle controvarianti da A, = e, A' essendo e, il simbolo di Eisenhart (e, = 1, e1 = e = e,
SULLA TEORIA RELATIVISTICA DELLA DINAMICA ECC. 613 Chiudiamo questo numero mettendo in rilievo che, dopo la (43), l'equazione (37) può essere scritta nella forma (47) d (n 0 1V') dm 0 W' ds ds Wp Wft e questa, a meno del nome di qualche lettera, coincide con l'equazione tensoriale stabilita per altra via da Carini (8). Possiamo, così, affermare che delle equazioni proposte per la dinamica del punto a massa di quiete variabile nei lavori (i), (2), (3) solo quella di Carini è compatibile con i principi a) e b). Va sottolineato che, in virtù della (43), trova finalmente interpretazione 1' invariante W, W ' che figura nella (47): esso fornisce il fattore di connessione tra il decremento dm0 della massa di quiete del corpo P, m0 e la massa di quiete dell'elemento Q, dii. Così, il significato dell' mvariante Wfl WP, che non si riusciva ad intravedere nel lavoro di Carini, affiora limpido in tutta la sua importanza nello schema della presente ricerca fondata su principi generali. 4. - Le tre componenti spaziali dell'equazione cronotopica (37) conducono alle equazioni del moto, com'è già stato precisato, mentre la componente temporale, data da (48) d(m0w ) =10 - fornisce l'equazione del bilancio energetico. In termini tridimensionali, invocando la (30), (31), (34)i e (46), la (48) è suscettibile della seguente forma (49) d ( m0 e' = F. (1 - d8 1 v 2 /c2 ) V 1- d zcz U2 l 'ce E questa si presta ad un'immediata interpretazione: essa esprime che durante il moto del corpo P, m0 a massa di quiete variabile la variazione da t a t + dt dell'energia m 0 e2 (50) E = i - V 2 1 C2 si ritrova come somma algebrica del lavoro elementare della forza di campo e dell'energia Vi Jj, ( (T= o L Q IUL -
614 G. CEUPI (51) de = d u 02 i - U1 della particella emessa nel tempuscolo dt. Il segno meno nel secondo addendo della (49) allude al fatto che negli sviluppi abbiamo considerato il caso di perdita di massa a causa di emissione di particelle. Ci proponiamo, infine, di vedere qual 'è l'aspetto che assume la (49) approssimandola col criterio di trascurare i termini di ordine superiore al secondo in v/e e vie. In tale approssimazione, da (49) si trae immediatamente fc' (52) d(moc2+ -2 é2 --). D'altra parte, effettuando la stessa approssimazione, dalla (22) si deduce (53) du -- 17r2) dm, essendo V = u - v l'ordinaria velocità relativa di Q rispetto a P. Allora, sostituendo la (53) nel secondo membro della (52), si ritrova l'equazione - (54) d (-- m, VI) = 1' v dt + -- dm. u2 - dm, V 2 del bilancio energetico nello schema newtoniano. La (54), che si può dedurre anche direttamente dalla (1), esprime che la variazione di energia cinetica da t a t + dt si ritrova sotto forma di lavoro elementare della forza di campo, di energia cinetica dell'elemento emesso Q, dm o e di un terzo termine che rappresenta l'energia cinetica di Carnot connessa all'urto completamente anelastico (6). Nel corso dei precedenti sviluppi è stato sistematicamente fatto riferimento a variazione di massa di quiete a causa di emissione di particelle, cioè dm 0 <O. Tuttavia, le conclusioni cui si è pervenuti restano valide anche nel caso di variazione per acquisto di particelle a condizione di porre nelle formule dmo > O. (') A. S0MMER.FnLD, Lezioni di Fisica teorica, voi. I, Meccanica, pp. 29-30, Sansoni Ed. Scient., Firenze, 1949.