Traccia n. Studiare il comportamento della funzione: Svolgimento f(x) = 3x + ex 3x e x Determinazione del campo di esistenza, E[f]. La funzione si presenta come rapporto di due funzioni; il campo di esistenza sarà allora l intersezione tra il campo di esistenza del numeratore: E[ ] = R e del denominatore: E[3x e x ] = R, privato dei punti in cui quest ultimo si annulla. L equazione 3x e x = 0 non è risolubile con tecniche algebriche elementari, pertanto, per ricercarne le eventuali soluzioni analizziamo la funzione: g(x) = 3x e x. Campo di esistenza, E[g]. Come già detto, il campo di esistenza è tutto R : E[g] = R. Comportamento agli estremi: 3x x ex = 0 =. La funzione diverge negativamente per x che tende a. Poiché siamo interessati solo agli eventuali punti in cui si annulla la funzione non controlliamo la presenza di un asintoto obliquo. 3x ex = + (+ ) =?. Il ite è, quindi, indeterminato. Notando, però, che la funzione e x è un infinito di ordine maggiore della funzione 3x si ha: 3x ex =. La funzione diverge negativamente per x che tende a +. segno della derivata prima: D[g] = D[3x e x ] = 3 e x. È immediato verificare che la derivata di g(x) è positiva per x < log 3.098, negativa per x > log 3. Pertanto la funzione g(x) risulta strettamente crescente in (, log 3[ e strettamente decrescente in ] log 3, + ); quindi, in x = log 3 la funzione g assume il suo massimo assoluto: g(log 3) = 3 log 3 3 0.296. Il suo comportamento è, pertanto, quello riportato in figura 0.. La figura evidenzia la presenza di due valori, x e x 2, nei quali la funzione vale zero. Osservando che la funzione in zero vale è, poi, semplice riconoscere che tali valori sono entrambi positivi. fig. 0.
2 Tornando alla ricerca del campo di esistenza di f, l analisi del denominatore ha mostrato che esso si annulla in due punti. Quindi, si ha: E[f] = (, x [ ]x, x 2 [ ]x 2, + ). Comportamento della funzione agli estremi del campo di esistenza: x 3x e =. x La retta y = è un asintoto orizzontale per x che tende a. x x 3x e = 3x + e x =. La retta y = x x 0 è un asintoto verticale (a sinistra). x x + 3x e = 3x + e x = +. x 0 + La retta y = x è un asintoto verticale (a destra). x x 3x e = 3x + e x = +. x 0 + 2 La retta y = x 2 è un asintoto verticale (a sinistra). x x + 3x e = 3x + e x =. x 0 2 La retta y = x 2 è un asintoto verticale (a destra). 3x e =. x La retta y = è un asintoto orizzontale per x che tende a +. Studio del segno della derivata prima. Calcoliamo la derivata prima di f(x): D[f(x)] = (3 + ex )(3x e x ) ( )(3 e x ) (3x e x ) 2 = 6ex (x ) (3x e x ) 2. Il segno della derivata prima dipende dal segno del numeratore; in particolare, è immediato verificare che la derivata è positiva e, quindi, la funzione f(x) risulta strettamente crescente, in ], + ) mentre è negativa e, quindi, la funzione è strettamente decrescente, in (, [; quindi, in x = la funzione f presenta un minimo relativo: f() = 3 + e 3 e 20.298. Siamo ora in grado di dare una rappresentazione qualitativa di f(x); riepilogando abbiamo dedotto che:. E[f] = (, x [ ]x, x 2 [ ]x 2, + ). 2. f(x) converge a uno per x tendente a ( la retta orizzontale di equazione y = è asintoto per la curva). 3. la funzione presenta un asintoto verticale per x = x verso il basso a sinistra e verso l alto a destra. Siccome il denominatore per x = è positivo, risulta che il punto x è compreso tra zero ed uno. 4. la funzione presenta un asintoto verticale per x = x 2 verso l alto a sinistra e verso il basso a destra. La figura 0. evidenzia, poi, che il punto x 2 è sicuramente a destra di. 5. f(x) converge a per x tendente a + ( la retta orizzontale di equazione y = è asintoto per la curva). 6. La funzione è strettamente decrescente in (, x [ ]x, [, strettamente crescente in ], x 2 [ ]x 2, + ).
Ipotizzando che sia concava in (, x [ ]x 2, + ) e convessa in ]x, x 2 [, una rappresentazione possibile per la funzione è riportata in figura 0.2 dove, per motivi di scala, l ordinata del minimo relativo è molto più in basso della realtà. 3 fig. 0.2
4 traccia n.2 Studiare il comportamento della funzione: f(x) = x 2 log x Svolgimento Determinazione del campo di esistenza, E[f]. La funzione è la reciproca della funzione g(x) = x 2 log x; il campo di esistenza sarà allora il campo di esistenza di g, privato dei punti in cui quest ultima si annulla. La funzione g è, evidentemente, definita in ]0, + ). Pertanto, la funzione f risulterà definita nell intervallo ]0, + ) privato delle eventuali soluzioni dell equazione: x 2 log x = 0. L equazione non è risolubile con tecniche algebriche elementari, pertanto, per ricercarne le eventuali soluzioni analizziamo la funzione: g(x) = x 2 log x. Campo di esistenza, E[g]. Come già detto, il campo di esistenza è l intervallo ]0, + ), E[g] =]0, + ). Comportamento agli estremi: x 2 log x = +. x 0 La funzione diverge per x che tende a zero. x 2 log x = +. segno della derivata prima: Ricordando che l infinito x è di ordine maggiore dell infinito log x. D[g] = D[x 2 log x] = 2 x = x 2 x. Ricordando che deve essere x > 0, si ha che la derivata è negativa per x ]0, 2[, positiva per x ]2, + ). Il punto di ascissa x = 2 è, allora, il punto in cui la funzione realizza il suo minimo assoluto: min g(x) = g(2) = 2 2 log 2 0.64. È, quindi, immediato verificare che la funzione g(x) è sempre positiva (fig. 0.3). fig. 0.3 Tornando alla ricerca del campo di esistenza di f, l analisi del denominatore ha mostrato che lo stesso non si annulla mai. Quindi, si ha: E[f] =]0, + ). Comportamento della funzione agli estremi del campo di esistenza:
5 x 0 f(x) = x 0g(x) = 0. f(x) = g(x) = 0. L origine è il punto di partenza della funzione, la funzione è prolungabile in x = 0 e vale zero. La retta y = 0 è un asintoto orizzontale per la funzione. Studio del segno della derivata prima. Siccome la funzione f è reciproca della funzione g, il calcolo della derivata non è necessario per decidere sul comportamento di monotonia della funzione. Infatti, la funzione f cresce dove la funzione g decresce e, viceversa, decresce dove g cresce; pertanto, in particolare, dove g presenta il minimo assoluto, f presenta il massimo. L ordinata del massimo è f(2) = g(2).629. Siamo ora in grado di dare una rappresentazione qualitativa di f(x); riepilogando abbiamo dedotto che:. E[f] = [0, + ). 2. La funzione parte dall origine. 3. f(x) converge a 0 per x tendente a + ( la retta orizzontale di equazione y = 0 è asintoto per la curva). 4. la funzione è strettamente crescente in [0, 2[ e strettamente decrescente in ]2, + ). Una rappresentazione possibile per la funzione è riportata in figura 0.4. fig. 0.4