1 0.0.1 Esercizio Q1, ema d esame del 10 seembre 2009, prof. Dario d more 0.0.1.1 Teso E1 Il circuio di figura opera in regime sazionario. Sapendo che R 1 = 2 kω, = 4 kω, = 2 kω, = 2 kω E=12 V, =3 m Deerminare, UTILIZZNDO IL TEOREM DI THEVENIN, la correne i. Deerminare la poenza dissipaa su E R 1 i 0.0.1.2 Soluzione Uilizziamo il eorema di Thevenin per rovare il circuio equivalene di uo ciò che è connesso a R 1 : Togliamo quindi R 1 e calcoliamo l equivalene ai suoi morsei del reso della ree. 2k Ω 3m 12V R3 Calcoliamo quindi il valore di resisenza equivalene. 1kΩ 5kΩ quindi
2 R eq = 5kΩ Calcoliamo il valore del generaore equivalene, uilizzando il principio di sovrapposizione degli effei per rovare la ensione a circuio apero. Effeo del generaore di correne: 2k Ω 3m 4k Ω 3m 3m V R3 15V 1kΩ da cui V = 15V Effeo del generaore di ensione 0 12V V 0 V R3 Con un pariore di ensione oeniamo la ensione su : V R3 = 12V = 6V + Tale ensione è uguale alla ensione ra i morsei, dao che in non passa correne. quindi V eq = V ab = V + V = 15 + 6 V eq = 21V Poenza dissipaa da Calcoliamo quindi la correne i sosiuendo alla ree di parenza il suo circuio equivalene. R eq R 1 V eq i
3 Oeniamo quindi i = Veq R eq+r 1 = 21V 7kΩ i = 3m Con una LKI al nodo C roviamo la correne in 3m C 3m Che risula pari a zero, quindi P R2 = 0 0.0.2 Esercizio Q2, ema d esame del 10 seembre 2009, prof. Dario d more 0.0.2.1 Teso E2 i 1 R 1 T L inerruore T è apero da molo empo e viene chiuso in 0 = 0. Sapendo che E = 12 V, r m = 2 kω, C = 1 mf, = = 4 kω, R 1 = 2 kω deerminare: v 1 i C () ed v C () per 0 E r m i 1 i C C v C la ensione v 1 () ai morsei di R 1 per 0. la poenza isananea p() erogaa dal CCVS per 0. Tracciare inolre il grafico qualiaivo di i C (), v C () e v 1 () per 0. 0.0.2.2 Soluzione Calcoliamo innanziuo il valore della piloane i 1. Con una LKV alla maglia di sinisra oeniamo: 12V R 1 i 1 r m i 1 = 0 12V ( + )i 1 = 0 i 1 = 12V = 3m 3kΩ da cui ricaviamo che la ensione ai morsei del generaore piloao sarà sempre v x = 6V
4 Calcolo di v C () e i C () Calcoliamo quindi l andameno nel empo della ensione sul condensaore, la quale è la variabile di sao della ree e quindi, per definizione, coninua. V C0 = V C (0 ) = V C (0 + ) = 0V Considerao che per > 0 la ensione su è sempre pari a 6V (imposa dal generaore piloao), abbiamo che V C = 6V τ = R eq C = C = 1mF = 4s quindi v c () = 6 6e 4s [V ] Calcolo della ensione v 1 () i c () = C dv c d = 10 3 ( 6)( 1 4 )e 4s [] = 1.5e 4s [m] La ensione su R 1 si ricava dalla sessa LKT che abbiamo uilizzao per calcolare la piloane, oenendo: v 1 = 6V Calcolo della poenza isananea erogaa dal generaore piloao. Per avere ale poenza, dao che abbiamo già calcolao la ensione ai api del generaore, ci basa calcolare la correne nello sesso. 3m i C () i GP 6V/4k=1.5m Oeniamo: i GP = 3m + 1.5m + i c () i GP = 1.5 + 1.5e 4s [m] quindi la poenza isananea erogaa dallo sesso sarà: p() = 6 1.5( 1 + e 4s)[mW] p() = 9( 1 + e 4s )[mw]
5 Grafici: V C 6V 1.5m I C 4s 4s v 1 () 6V 0.0.3 Esercizio Q3, ema d esame del 10 seembre 2009, prof. Dario d more 0.0.3.1 Teso E3 Il circuio di figura opera in regime alernao sinusoidale. Sapendo che i() = 0.1 cos(20) R = 1 Ω, L = 50 mh v R R deerminare il valore della capacià C in modo che il generaore di correne eroghi poenza reaiva nulla. In quese condizioni: a() C v C L v L calcolare i fasori V C, V L, e V R disegnare un diagramma veoriale qualiaivo di ue le ensioni e correni del circuio deerminare la poenza reaiva assorbia dal condensaore 0.0.3.2 Soluzione Calcolo della capacià C Passiamo innanziuo nel dominio dei fasori, oenendo: = 0.1e j0 Z R = R = 1Ω Z L = jωl = jω
6 Si noi che abbiamo uilizzao l ampiezza per rappresenare il modulo del fasore, quindi, per il calcolo delle poenze, dovremo ricordare il coefficiene 1 2. ffinchè il generaore erogi poenza reaiva nulla, l impedenza del carico deve avere pare immaginaria nulla, il che equivale a dire che l ammeenza del carico deve avere pare immaginaria nulla. Dao che la sruura del carico è il parallelo ra il condensaore (di cui dobbiamo calcolare la capacià) e la serie RL (enrambe noe), ci conviene ragionare in ermini di ammeenza. L ammeenza della serie RL sarà pari a: Y RL = 1 Z R +Z L = 1 1+j = 1 j 2 Ω Quindi, per verificare la condizione richiesa dal eso del problema dovremo avere: imm(y RL + Y C ) = 0 j 2 = Y C Y C = j 2 = jωc da cui C = Y C jω = j 2 1 j20 = 1 40 F C = 2.5mF Calcolo dei fasori V C,V L, V R L ammeenza equivalene è pari a 0.5S, quindi l impedenza equivalene del carico è pari a 2Ω. Oeniamo quindi che la ensione sul carico (ovvero la ensione su C) è pari a: V C = 2Ω = 0.2e j0 V C = 0.2e j0 La ensione su R e L è oenua mediane un pariore di ensione. V L = 0.2V j 1 + j = 0.2V j(1 j) 2 = 0.1 (1 + j)[v ] 1 V R = 0.2V 1 + j = 0.21 j [V ] = 0.1(1 j)[v ] 2 Diagramma veoriale: I I R =I L I C I L V C V R V L O, in alernaiva,
7 I C V L V R I R =I L I L V C Poenza reaiva assorbia dal condensaore. La poenza complessa assorbia dal condensaore è pari a = 1 V 2 = V 2 Y = 0.005 j 2 zc Si noi il faore 1 dovuo al fao che i fasori sono sai espressi in ermini di ampiezze e non di 2 valori efficaci. da cui Q C = 0.005V r