Calcolo integrale in più variabili

ppunti di nalisi II Calcolo integrale in più variabili Integrali doppi Nel caso di una funzione di una variabile f : a, b] R, supponendo f continua e fx) a, b], la quantità b a fx)dx indica l area fra il grafico della funzione e l asse x. nalogamente gli integrali doppi esprimono il volume dei solidi delimitati dal grafico di funzioni di due variabili e dal piano xy z = ). Supponiamo di avere una funzione f : R, R compatto e f continua e fx, y) x, y), allora indica il volume del solido delimitato dal grafico della f e dal piano xy. Tagliando la superficie con dei piani si ottengono delle curve, di cui si può calcolare l area. Esempio: si consideri la funzione f : R : x, y) x + y + 1, con = 1, 1] 1, 1]. In questo caso il dominio della funzione è un quadrato. L area del solido delimitato dal grafico di f e dal piano xy è, al solito Fissiamo y arbitrariamente e tagliamo la superficie con un piano di equazione y = y, y R. Se il grafico della funzione ha equazione cartesiana z = x + y + 1, dopo aver fissato y si ottiene z = x + 1 + y ) che è una parabola rispetto a x. L area della zona data dall intersezione fra il piano y = y e la parte delimitata dal grafico della funzione e dal piano xy vale 1 1 x x + y 3 + 1)dx = 3 + y x + 1 ] 1 1 = 3 + y + = 8 3 + y = a y ) Spostandosi di un incremento dy si ottiene una sezione molto simile, di conseguenza a y + dy) a y ). Il volume di questa fetta, che di fatto è un volume infinitesimo, vale dv = a y ) dy Per calcolare il volume totale è necessario sommare tutti questi volumi infinitesimi, ovvero è necessario calcolare l integrale di a y ) rispetto a y, per y 1, 1], ovvero 1 1 a y ) dy = 1 1 ) 8 8 3 + y dy = 3 y + ] 1 3 y3 = 1 3 x 1

ppunti di nalisi II i conseguenza = 3 Il procedimento usato si riassume così = x + y + 1)dxdy = 1 1 1 ) x + y + 1)dx dy 1 Invertendo l ordine di integrazione il risultato non cambia. In generale, sia = a, b] c, d] e sia f : R una funzione continua, allora d b b d = = fx, y)dydx c a Se f cambia segno allora l integrale doppio è la somma algebrica fra il volume della parte sopra il piano xy e quella sotto. efinizione: dato R, se esistono due funzioni continue g 1, g : a, b] R tali che = { x, y) R : a x b, g 1 x) y g x) } allora l insieme si dice y semplice. nalogamente, se esistono due funzioni continue h 1, h : c, d] R tali che = {x, y) R : c y d, h 1 y) x h y)} allora l insieme si dice x semplice. Se un sottoinsieme di R è y semplice, allora comunque si tagli l insieme con una retta nel piano di equazione x = k 1 k 1 ]a, b) si ottiene sempre un segmento. Se invece un sottoinsieme di R è x semplice, allora comunque si tagli l insieme con una retta nel piano di equazione y = k k ]c, d) si ottiene sempre un segmento. Esempio: il cerchio unitario con centro nell origine è un insieme sia x semplice che y semplice, dato che può essere scritto in questi due modi {x, y) R : 1 y 1, 1 y x 1 y } x semplice {x, y) R : 1 x 1, 1 x y 1 x } y semplice Verificare per esercizio che i triangoli e i rettangoli sono insiemi sia y semplici che x semplici. Esempio: in Figura 1 è riportato un insieme y semplice ma non x semplice. a c Figura 1: Insieme y semplice ma non x semplice Come si può vedere l insieme non è x semplice, se infatti lo si taglia con la retta y = non si ottiene un segmento, bensì due segmenti. Esempio: in Figura è riportato un insieme che non è né y semplice né x semplice.

ppunti di nalisi II Figura : Insieme né x semplice né y semplice Stavolta l insieme considerato, oltre a non essere x semplice, non è neppure y semplice. Se ad esempio lo si taglia con la retta di equazione x =, non si ottiene un segmento, bensì due segmenti. Teorema: si consideri un insieme y semplice, del tipo = { x, y) R : a x b, g 1 x) y g x) } e si consideri una funzione f : R continua nel suo dominio. llora esiste finito, e risulta = b gx) a g 1 x) Il Teorema si estende analogamente ai domini x semplici. Sia fx, y)dydx B = { x, y) R : c y d, h 1 y) x h y) } e si consideri una funzione f : B R continua nel suo dominio. llora esiste finito, e risulta B B = d hy) c h 1y) Ci sono casi in cui il dominio di integrazione non sia né x semplice né y semplice, ma comunque dato dall unione di un numero finito di domini x semplici o y semplici). Si consideri un insieme, e supponiamo che non sia né x semplice né y semplice. Supponiamo inoltre che = 1... n e che i j = per ogni i, j = 1,,..., n con i j e supponiamo che i sia un dominio semplice non importa se rispetto a x o rispetto a y), per i = 1,,..., n. Sia f : R una funzione continua nel suo dominio, allora 3

ppunti di nalisi II esiste finito, e risulta = n i=1 i Una volta scritto l integrale secondo questa somma è sufficiente sfruttare i risultati forniti dal precedente Teorema. Esempio: data la funzione f : R R : x, y) sin π x) ], calcolare T dove T è la parte di piano interna al triangolo delimitato dalle rette di equazione x = π, y = π, x = y. Il dominio è sia x semplice che y semplice, proviamo a scriverlo come x semplice T = { x, y) R : π y π, y x π } questo punto si può impostare l integrale in questo modo π π sin π x) ] dxdy π y Non è possibile trovare una primitiva in forma elementare di sin π x) ] ovviamente rispetto a x), per questo motivo, seguendo questa via, l integrale non è calcolabile. Proviamo a scrivere l insieme T come insieme y semplice T = { x, y) R : π x π, π y x } questo punto l integrale diventa π π x sin π x) ] ) dy dx π sin π x) ] è costante rispetto a y, ed esce dal segno di integrale più interno. Osservando che x π dy = x π l integrale diventa x π) sin π x) ] dx = 1 cos π x) ]] π = 1 cosπ) cos)) = 1 π π π Cambiamento di coordinate in integrali doppi Sia R un insieme compatto, e sia f : R una funzione continua nel suo dominio, allora l integrale doppio di f su esiste finito. Sia r : C, C R, una funzione a valori vettoriali continua e biunivoca, tale che r C 1 C), che fornisce una parametrizzazione per. { x = xu, v) ru, v) = y = yu, v) Chiamando con Jru, v) la matrice Jacobiana di r, l elemento infinitesimo di area dxdy risulta pari a dxdy = det Jru, v)) dudv 4

ppunti di nalisi II pertanto = C f xu, v), yu, v)) det Jru, v)) dudv Esempio: data la funzione f : R R : x, y) x + y, calcolare l integrale della f esteso al cerchio con centro nell origine e raggio R con R R + fissato). Il dominio di integrazione è = {x, y) R : x + y R } Passiamo in coordinate polari, mediante la trasformazione { x = ρ cosθ) da cui x + y = ρ y = ρ sinθ) Sostituendo tali valori nel vincolo dell insieme si trova ρ R = ρ R Pertanto la parametrizzazione scelta per il dominio è una funzione a valori vettoriali del tipo r :, R], π] : ρ, θ) ρ cosθ), ρ sinθ)) La matrice Jacodiana di r è cosθ) ρ sinθ) Jrρ, θ) = sinθ) ρ cosθ) ) Il determinante di questa matrice vale ρ, pertanto, considerando che è sempre positivo si deduce che dxdy = ρ dρdθ = ρdρdθ pertanto l integrale diventa x + y dxdy = π = 1 3 π R ρ 3 ] R R3 dθ = 3 ρ ρdρdθ = π π R dθ = 3 πr3 ρ dρdθ = Esempio: fissati a, b R +, si calcoli l area di un ellisse con semiassi di lunghezza a e b. Per trovare l area richiesta, è sufficiente calcolare dxdy { } dove = x, y) R : x a + y b 1. Passiamo in coordinate polari modificate, secondo questa trasformazione { x = aρ cosθ) y = bρ sinθ) Sostituendo questi valori nel vincolo di si ottiene la limitazione ρ 1, pertanto, a questa trasformazione, è associata la funzione a valori vettoriali r :, 1], π] : ρ, θ) aρ cosθ), bρ cosθ)) 5

ppunti di nalisi II Lo Jacobiano di r è a cosθ) aρ sinθ) b sinθ) bρ cosθ) Il determinante di questa matrice è abρ, pertanto, considerando che a, b, ρ >, risulta pertanto l integrale diventa π 1 Integrali superficiali abρdρdθ = ab dxdy = abρdρdθ π ) ρ ] 1 ab dθ = π dθ = abπ Un esempio di applicazione di integrali superficiali potrebbe essere quello del calcolo della massa di una lamina non omogenea. Supponiamo che la densità di una lamina nel punto x, y, z) sia ρx, y, z). In questo caso ρ è una densità superficiale, data da ρx, y, z) = M S dove M identifica la massa dell elemento di superficie e S l area l elemento di superficie. Ossia la massa di S si può esprimere come M = ρx, y, z) S di conseguenza la massa totale è data dalla somma delle masse dei singoli elementi M = ρx, y, z) S Facendo tendere l area dell elemento superficiale a zero si ottiene l integrale superfiaciale su della densità ρ ρx, y, z)dσ dove dσ indica l elemento infinitesimo di superficie. Consideriamo una parametrizzazione di, r :, con R, tale che ru, v) = xu, v), yu, v), zu, v)) Supponiamo che r C 1 ), allora l elemento infinitesimo di superficie equivale a dσ = dr du dr dv dudv e l integrale superficiale diventa ρx, y, z)dσ = ρ xu, v), yu, v), zu, v)) dr du dr dv dudv Ovviamente, se si scelgono diverse parametrizzazioni per la stessa superficie, applicando questa formula il risultato non cambia. Esempio: calcolare x + y ) dσ 6

ppunti di nalisi II dove è la superficie parametrizzata da r :, con = {u, v) R : u + v 1} così definita x = uv ru, v) = y = u v z = u + v Le derivate parziali di r sono pari a Il loro prodotto vettoriale vale Quindi r r u, v) = v, u, u) u r r u, v) u v u, v) = det u, v) = u, v, v) v v u u i i k u v v = = 4uv + 4uv)i 4v 4u )j + 4v 4u )k = 8uv, 4u 4v, 4v 4u ) r r u, v) u, v) v v = 64u v + 16v 4 u v + u 4 ) + 16u 4 + u v + v 4 ) = e l integrale diventa = 64u v + 16v 4 3u v + 16u 4 + 16u 4 + 3u v + 16v 4 = = 4 u v + u 4 + v 4 = 4 u + v ) dσ = 4 u + v )dudv 4u v + v 4 + u 4 u v ) 4 ) u + v ) dudv = = 4 u 4 + v 4 + u v )u + v )dudv = 4 u + v ) 3 dudv Passiamo in coordinate polari, ponendo { u = ρ cosθ) ρ, 1] θ, π] v = ρ sinθ) Ricordando che dudv = ρdρdθ l integrale diventa 4 π 1 ρ 6 ρdρdθ = 4 π 1 ρ 7 dρdθ = 4 8 π ρ 8 ] 1 dθ = 1 π = π Integrale superficiale nel caso in cui sia il grafico di una funzione Si consideri una funzione f : R, R, e supponiamo che f C 1 ). Il grafico della funzione fx, y) può essere così parametrizzato x = u ru, v) = y = v z = fu, v) In questo caso r u, v) = 1,, f ) u, v) u u r u, v) =, 1, f ) u, v) v v 7

ppunti di nalisi II i conseguenza i j k r r u, v) u, v) = det f 1 u u, v) = u v f 1 v u, v) = f f u, v)i u, v)j + k = f ) u, v), f u, v), 1 u v u v Quindi la norma euclidea di questo vettore vale r r u, v) u, v) u v = f ) u, v) + u f u, v) v Quindi se è il grafico di una funzione z = fx, y) dσ = 1 + fu, v) dudv e inoltre gx, y, z)dσ = ) + 1 = 1 + fu, v) g u, v, fu, v)) 1 + fu, v) dudv Mediante integrali superficiali è possibile calcolare le coordinate del baricentro per superfici omogenee. Sia una superficie regolare di R 3, le coordinate x CM, y CM, z CM ) del baricentro di si ottengono con queste formule dove l area di vale x CM = xdσ rea ) y CM = ydσ rea ) rea) = dσ z CM = zdσ rea ) Esempio: calcolare la coordinata z CM del centro di massa della superficie z = x + y per z, 1]. Chiedere z, 1], significa che x + y 1, ovvero x + y 1, quindi la coordinata z CM vale z CM = zdσ rea ) con = {x, y, z) R 3 : z = x + y, x + y 1}. Pertanto è il grafico di fx, y) = x + y per x, y) = {x, y) R : x + y 1}. Quindi fx, y) = rea) = dσ = ) x x + y, y x + y rea) = dxdy = 1 + fx, y) dxdy = fx, y) = x x + y + Per trovare la coordinata z CM resta da calcolare zdσ = x + y dxdy 8 dxdy = rea) = π y x + y = 1

ppunti di nalisi II Conviene passare in coordinate polari, ponendo { x = ρ cosθ) ρ, 1] θ, π] y = ρ sinθ) Osservando che dxdy = ρdρdθ l integrale diventa zdσ = π 1 ρ ρdρdθ = 3 Quindi la coordinata z CM vale Integrali tripli z CM = π 3 π π = 3 ρ 3 ] 1 dθ = 3 π = 3 π L operazione di integrale può essere esteso dagli integrali in due dimensioni, integrali doppi, anche in tre dimensioni, ottenendo così integrali tripli. In due dimensioni, se f è una funzione continua in = a, b] c, d], allora l integrale doppio di f su esiste finito e si indica con e risulta = b d a c In tre dimensioni, anziché considerare un rettangolo, si può considerare un parallelepipedo. Sia = a 1, a ] b 1, b ] c 1, c ] e sia f una funzione continua in. In tal caso esiste finito l integrale triplo di f su fx, y, z)dxdydz e risulta fx, y, z)dxdydz = a b c a 1 b 1 c 1 fx, y, z)dxdydz e scambiando l ordine di integrazione il risultato non cambia. Le considerazioni fatte valgono se il dominio è un parallelepipedo, ma questo non è che un caso particolare. Nei casi in cui il dominio non sia un parallelepipedo è necessario ricorrere a diverse tecniche di integrazione. Integrazione per fili paralleli ad uno degli assi cartesiani L integrazione per fili è una delle varie tecniche di risoluzione di integrali tripli. Supponiamo di voler calcolare il volume dell insieme ovvero = {x, y, z) R 3 : y, x + y z 1} dxdydz Proiettando l insieme sul piano xy si ottiene un semicerchio. Chiamando questa proiezione, risulta = {x, y) R : y, x + y 1} Se da un punto x, y) facciamo partire una retta parallela all asse z, questa interseca l insieme lungo un segmento che ha come estremi z = x + y estremo inferiore) e z = 1 estremo 9

ppunti di nalisi II superiore). Le coordinate dei punti di questo segmento soddisfano la relazione x + y z 1, per ogni x, y). unque l insieme può essere scritto così = {x, y, z) R 3 : x + y z 1, x, y) } e l integrale richiesto si risolve così come segue 1 ) dxdydz = dxdy = x +y dz 1 x y ) dxdy e per risolverlo basta passare in coordinate polari. Quando si integra per fili si possono incontrare tre casi. Sia il dominio di integrazione per una funzione f : R continua, sia R, e siano α e β due funzioni definite da in R 1 caso: l insieme di integrazione è in tal caso l integrale di f su vale caso: l insieme di integrazione è in tal caso l integrale di f su vale 3 caso: l insieme di integrazione è in tal caso l integrale di f su vale α, β : R = {x, y, z) R : αx, y) z βx, y), x, y) } fx, y, z)dxdydz = ) βx,y) fx, y, z)dz dxdy αx,y) = {x, y, z) R : αx, z) y βx, z), x, z) } fx, y, z)dxdydz = ) βx,z) fx, y, z)dy dxdz αx,z) = {x, y, z) R : αy, z) x βy, z), y, z) } fx, y, z)dxdydz = ) βy,z) fx, y, z)dx dydz αy,z) unque, mediante l integrazione per fili, è possibile scomporre un integrale triplo in un integrale monodimensionale e in un integrale doppio. Esempio: dato = { x, y, z) R 3 : y 1, z y, x y z }, calcolare y + sinx)) dxdydz L insieme è scritto come nel terzo caso. La terza disuguaglianza, x y z, sottintende y z, ovvero y z, ma questo è già incluso nella definizione di = {x, y) R : y 1, z y} 1

ppunti di nalisi II grazie alla seconda disuguaglianza. In generale, quando si integra per fili, è necessario controllare che in sia soddisfatta la disuguaglianza α, ) β, ). Se questo non accade, si devono togliere da tutti i punti tali che α, ) > β, ). In questo caso y + sinx)) dxdydz = = y z ) dx dydz = yx cosx)] x=y z x= dydz = yy z) cosy z) + 1) dydz L insieme coincide con un triangolo, ed è scritto come insieme z semplice ovviamente in un piano yz), pertanto l integrale diventa 1 y ) yy z) cosy z) + 1) dz dy Il lettore verifichi che il risultato dell integrale è cos1) 3 8. Ricapitolando, l integrale è stato svolto così 1 y y z ) ) fx, y, z)dxdydz = fx, y, z)dx dz dy Come si può notare, nell integrazione rispetto a x compaiono negli estremi le variabili y e z, nell integrazione rispetto a z compare y. In generale, gli estremi di integrazione di una variabile possono dipendere solo dalle variabili più esterne. Esempio: calcolare y x + z)dxdydz dove è la porzione di cilindro x + 4y = 4 compresa fra i piano z = e z = + x, ovvero = {x, y, z) R 3 : z + x, x + 4y 4} La prima disuguaglianza sottintende la relazione x. Ma ogni punto dell insieme } {x, y) R : x 4 + y 1 che identifica un ellisse con semiassi di lunghezza e 1, soddisfa la relazione x, pertanto l insieme può anche essere riscritto così con = {x, y, z) R 3 : z + x, x, y) } = dunque l integrale richiesto equivale a y x + z)dxdydz = } {x, y) R : x 4 + y 1 +x Si lascia come esercizio la risoluzione di tale integrale. ) y x + z)dz dxdy 11

ppunti di nalisi II Cambiamento di variabili in integrali tripli Le regole per il cambiamento di variabili in integrali tripli sono analoghe a quelle per il cambiamento di variabili in integrali doppi. Sia R 3 un insieme compatto, e f : R continua, cosicché l integrale fx, y, z)dxdydz esiste finito. Sia inoltre r : C, con C R 3, una funzione a valori vettoriali biunivoca, tale che r C 1 C), e supponiamo che x = xu, v, w) ru, v, w) = y = yu, v, w) z = zu, v, w) per ogni u, v, w) C. llora, detta Jru, v, w) la matrice Jacobiana di r, l elemento di volume infinitesimo dxdydz equivale a di conseguenza fx, y, z)dxdydz = dxdydz = det Jru, v, w) dudvdw C f xu, v, w), yu, v, w), zu, v, w)) det Jru, v, w) dudvdw Esempio: calcolare il volume dell ellissoide } = {x, y, z) R 3 : x a + y b + z c 1 con a, b, c R + fissati. Poniamo In questo modo x x = au y = bv z = cw a + y b + z c 1 u + v + w 1 e l ultima disuguaglianza identifica l insieme = {u, v, w) R 3 : u + v + w 1} che è una sfera di raggio 1 e centro nell origine. La matrice Jacobiana associata alla trasformazione è a b c e il determinante è abc, quindi dxdydz = abc dudvdw. Quindi il volume di vale dxdydz = abc dudvdw = abc dudvdw = abc Volume) = 4 3 π abc considerando che il volume di una sfera di raggio R vale 4 3 πr3. 1

ppunti di nalisi II Figura 3: Coordinate sferiche Coordinate sferiche Le coordinate sferiche, che sono l analogo delle coordinate polari nello spazio, permettono di identificare un generico punto x, y, z) conoscendo la sua distanza dall origine, ρ, chiamato raggio vettore, l angolo ϕ che si forma fra la proiezione di ρ sul piano xy e la direzione positiva dell asse x, e l angolo θ che si forma fra la proiezione di ρ sul piano xy e il raggio vettore stesso. unque alle coordinate sferiche è associata la trasformazione r :, +, π] π, π ] così definita x = ρ cosθ) cosϕ) rρ, ϕ, θ) = y = ρ cosθ) sinϕ) z = ρ sinθ) ρ, +, ϕ, π], θ π, π ] Le coordinate sferiche possono essere sfruttate in vari casi per il calcolo di integrali tripli, per questo è utile calcolare il determinante della matrice Jacobiana. cosθ) cosϕ) ρ cosθ) sinϕ) ρ sinθ) cosϕ) Jrρ, ϕ, θ) = cosθ) sinϕ) ρ cosθ) cosϕ) ρ sinθ) sinϕ) sinθ) ρ cosθ) Quindi il determinante vale ρ cos 3 θ) cos ϕ)+ρ cosθ) sinϕ) ρ cos θ) sinϕ) + ρ sin θ) sinϕ) ) +ρ sin θ) cos ϕ) cosθ) = = ρ cos 3 θ) cos ϕ) + ρ cosθ) sinϕ) ρ sinϕ) + ρ sin θ) cos ϕ) cosθ) = = ρ cos 3 θ) cos ϕ) + ρ cosθ) sin ϕ) + ρ sin θ) cos ϕ) cosθ) = = ρ cosθ) sin ϕ) + ρ cosθ) cos ϕ) = ρ cosθ) Pertanto, operando una trasformazione di questo tipo, risulta dxdydz = ρ cosθ)dρdθdϕ 13

ppunti di nalisi II dato che cosθ) θ π, π ] Esempio: calcolare x + y )dxdydz con = {x, y, z) R 3 : x + y + z 1}. Passiamo in coordinate polari, ponendo x = ρ cosθ) cosϕ) y = ρ cosθ) sinϕ) z = ρ sinθ) Sostituendo questi valori nel vincolo x + y + z 1 si trova ρ 1, pertanto, considerando che ρ è non negativo, le limitazioni sui tre parametri sono ρ, 1] ϕ, π] θ π, π ] Considerando che dxdydz = ρ cosθ)dρdθdϕ l integrale diventa π π π 1 ρ cos θ) + ρ cos θ) sin ϕ) ) ρ cosθ)dρdϕdθ = π π π 1 ρ 4 cos 3 θ)dρdϕdθ e ora si tratta solo di risovlere i tre integrali dal più interno al più esterno, visto che il dominio di integrazione è un parallelepipedo. Questo articolo è stato realizzato grazie alla supervisione di Luca Lussardi. 14