Capitolo 3 TRAVE SU SUOLO ELASTICO (3.1) Combinando la (3.1) con la (3.2) si ottiene: (3.2) L equazione differenziale può essere così riscritta: (3.3) La soluzione dell equazione differenziale di ordine IV a coefficienti costanti (3.3) costituisce la soluzione del problema della trave su suolo elastico. La soluzione dell equazione differenziale sarà la somma di un integrale particolare yp(x) e dell integrale generale dell equazione omogenea associata y0(x), secondo la seguente relazione: (3.4) 3.1.1.1 Integrale particolare Si consideri come integrale particolare la seguente espressione: (3.5) L integrale particolare rappresenta l abbassamento della struttura dovuto alla presenza di un carico distribuito p(x) di tipo lineare, parabolico o cubico, tale che: (3.6) In generale gli effetti del carico distribuito p(x) sono trascurabili rispetto a quelli dovuti ai carichi concentrati. Ad esempio, in un edificio con struttura in calcestruzzo armato, i carichi distribuiti agenti sulle travi di fondazione, dovuti agli elementi gravanti direttamente su di esse, risultano ampiamente inferiori ai carichi concentrati trasmessi dai pilastri. 3.1.1.2 Integrale generale Trascurando gli effetti del carico distribuito, si consideri l equazione omogenea associata all equazione differenziale (3.3):
(3.7) Ponendo: (3.8) Si può scrivere la (3.7) nella forma: (3.9) dove: è il rapporto fra la rigidezza del supporto elastico (terreno nel caso più frequente) e la rigidezza della trave. L integrale generale è dato dalla seguente relazione: (3.10) 3.2 Trave illimitata soggetta a carico concentrato Per semplicità si consideri la trave su suolo elastico di lunghezza illimitata e soggetta ad carico concentrato Q, indicata nella seguente figura. Figura 3.1 Posto come asse x l asse geometrico della trave e come asse y l asse di applicazione del carico, allora l asse y costituisce l asse di simmetria della deformata della trave. La soluzione del problema è data dalla somma di un integrale particolare, dovuto alla presenza di carichi distribuiti, ed un integrale generale. Tuttavia, trascurando la presenza di carichi distribuiti, la soluzione si riduce all intergale generale dato dalla (3.10). La soluzione del problema risulta nota a meno di quattro costanti di integrazione che possono essere facilmente determinate imponendo la congruenza con le condizioni al contorno che sono sia di tipo statico, legate alle azioni interne, sia di tipo cinematico, legate alle deformazioni ed alle rotazioni della trave. 3.2.1.1 Condizioni al contorno 1 e 2 (condizioni cinematiche) A distanza infinita dal punto di applicazione del carico il fenomeno diffusivo potrà considerarsi, a buon ragione, esaurito e gli spostamenti verticali y(x) della trave potranno considerarsi nulli. Infatti si ha:
Condizione al contorno 1 (3.11) e per simmetria rispetto all origine: Condizione al contorno 2 (3.12) Queste condizioni al contorno possono essere verificate solo con l annullarsi dei termini che moltiplicano l esponenziale positivo della (3.10) e quindi si ha: (3.13) La soluzione dell omogenea associata può essere così riscritta: (3.14) Derivando la (3.14) rispetto a x si ottiene: (3.15) 3.2.1.2 Condizione al contorno 3 (condizione cinematica) Nel punto di applicazione del carico, per la simmetria della deformata rispetto all orgine, potrà considerasi nulla la rotazione y (x). Pertanto si ha: Condizione al contorno 3 (3.16) Questa condizione al contorno si verifica solo con l annullarsi del termine che moltiplica il coseno della (3.15) e pertanto: (3.17) La soluzione dell omogenea associata può essere nuovamente riscritta: (3.18) Derivando la (3.18) rispetto a x si ottengono le seguenti espressioni: (3.19) (3.20) (3.21) 3.2.1.3 Condizione al contorno 4 (condizione statica) Si consideri il concio di trave di lunghezza infinitesima nell intorno dell origine soggetto all azione del carico Q e soggetto a due forze di taglio V sulle estremità del concio.
Figura 3.2 Per equilibrio alla traslazione verticale e alla rotazione le forze di taglio assumono verso concorde e modulo pari a: Condizione al contorno 4 (3.22) L equazione della linea elastica alle derivate quarte, stabilendo un legame fra gli spostamenti y della linea elastica ed i carichi applicati alla trave, ci consente di esprimere l azione di taglio come: Sostituendo l espressione si ottiene: (3.23) e quindi: (3.24) (3.25) dove (3.26) 3.2.1.4 Soluzione del problema La deformata della struttura risulta infine: (3.27) Derivando la (3.27) rispetto a x si ottengono le seguenti espressioni: (3.28) (3.29) (3.30)
Le espressioni del momento flettente M(x) ed del taglio V(x) risultano pertanto: (3.31) (3.32) 3.2.1.5 Tracciamento della deformata e delle azioni interne La deformata e le azioni interne assumono il valore massimo in corrispondenza del punto di applicazione del carico, per x = 0, ed un andamento periodico smorzato dovuto al prodotto tra le funzioni periodiche e l esponenziale negativo. I valori massimi della deformata e delle azioni interne sono dati dalle seguenti espressioni: (3.33) (3.34) (3.35) Inoltre se definiamo lunghezza d onda λ la distanza fra due punti di massimo o di minimo di una funzione periodica di argomento αx, si ottiene la seguente relazione: La lunghezza d onda λ può essere espressa come: (3.36) (3.37) Ad una distanza λ dal punto di applicazione del carico lo smorzamento assume un valore pari al 2, infatti: (3.38) Inoltre ad una distanza λ/2 dal punto di applicazione del carico lo smorzamento assume un valore pari al 4 %, infatti: (3.39) La seguente figura mostra l andamento qualitativo della deformata strutturale e delle azioni interne sul semiasse positivo della trave ma, grazie alla simmetria del problema, i risultati ottenuti possono essere estesi al semiasse negativo.
Figura 3.3