Esercizi su massimi e minimi 1. Studiare massimi e minimi relativi della funzione f : R! R de nita onendo (x; y) R : f (x; y) = x + y + xy + x. Risoluzione La funzione f è derivabile in tutto R e er ogni (x; y) R si ha Cerco i unti stazionari di f ( (x; y) = x + y + 1 (x; y) = y + x. x + y + 1 = 0 y + x = 0 la cui unica soluzione è data dalla coia (x; y) = 1 ;, cioè dal unto P 1 ;. Studiamo ora la natura di tale unto. Anzitutto la funzione f è derivabile volte in tutto R. Calcoliamo er ogni (x; y) R (x; y) =, @ f @ (x; y) =, f @ (x; y) = 1, Quindi la matrice Hessiana della f nel unto P è data da 1 H f (P ) =. 1 f (x; y) = 1. Pertanto, essendo det H f (P ) > 0 e @ f (P ) = @ f (P ) > 0, si ha che P è un unto di minimo relativo er f.. Studiare massimi e minimi relativi della funzione f : R! R de nita onendo R : f = x z + yz + xy. 1
Risoluzione La funzione f è derivabile in tutto R e er ogni R si ha Cerco i unti stazionari di f = xz + y = z + x @z = x + y. < : @z xz + z + x = 0 x + la cui unica soluzione è data dalla terna = (0; 0; 0), cioè dal unto P (0; 0; 0). Studiamo ora la natura di tale unto. Anzitutto la funzione f è derivabile volte in tutto R. Calcoliamo er ogni R = z, @ f, @ f, @z = @ f = 1, @z = @ f = x, @z @z = @ f = 1. @z Quindi la matrice Hessiana della f nel unto P è data da 0 H f (P ) = @ 0 1 0 1 1 0 1 A. 0 1 0 Poichè det H f (P ) = 0, er studiare la natura del unto P devo rocedere er un altra strada. In un intorno sferico di O(0; 0; 0), se er esemio considero dei unti P con x > 0, y > 0, z > 0, avrò che f > 0 = f (0; 0; 0), invece er unti P con x < 0, y > 0, z < 0, avrò che f < 0 = f (0; 0; 0). Pertanto O(0; 0; 0) è un unto di sella.. Studiare massimi e minimi assoluti della funzione f(x; y) = x y (x ) nel triangolo A di vertici O(0; 0), P (; ) e Q (; ).
Risoluzione La funzione f è derivabile in tutto R e er ogni (x; y) R si ha Cerco i unti stazionari di f ( (x; y) = x (x ) + x y (x; y) = y (x ). x (x ) + x y = 0 y (x ) = 0 che equivale a risolvere due sistemi: x = (S 1 ) x = y e (S ) x 4x = 0. Il sistema (S 1 ) mi dà soluzioni non interne ad A. Invece il sistema (S ) si sdoia in altri due sistemi: (S) 0 e (S 00 x = 0 ) x = 4. Il sistema (S) 0 mi dà una soluzione non interna ad A. Invece il sistema (S 00 4 ) mi dà la soluzione P 0 ; 0. Calcolo f(p 0 ) = 7. Considero ora F r (A) = A 1 [ A [ A ove A 1 = (x; y) R j 0 x, y = x, A = (x; y) R j 0 x, y = x, A = (x; y) R j x =, y. Si vede che fj A1 0, fj A 0, fj A 0. Quindi P 0 è un unto di minimo assoluto er f in A e f(p 0 ) = 7 è il minimo assoluto er f in A e tutti i unti di F r (A) sono unti di massimo assoluto er f in A e 0 è il massimo assoluto er f in A. 4. Studiare massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione f(x; y) = x + y + y 1 nell insieme A = (x; y) R j x + y 9. Risoluzione La funzione f è derivabile in tutto R n f(0; 0)g e er ogni (x; y) R n f(0; 0)g si ha (x; y) = x x + y (x; y) = y x + y + y.
Cerco i unti stazionari di f ( < : x = 0 x +y y + x +y che non dà soluzioni. Vediamo se f è derivabile in (0; 0). Calcoliamo f (t; 0) f (0; 0) lim lim t!0 f (0; t) f (0; 0) t t 1 + 1 t t + t 1 + 1 t!0 jtj t!0 jtj t + t. Poichè non esiste lim jtj, allora f non è derivabile in (0; 0). Ma f (0; 0) = 1. Ora vediamo cosa succede sulla frontiera di A, cioè su F r (A) : x = cos t y = sin t t [0; ]. Per ogni (x; y) F r (A) fj F r(a) (x; y) = f ( cos t; sin t) = F (t), cioè considero la funzione F : [0; ]! R così de nita t [0; ] : F (t) = f ( cos t; sin t) = + 9 sin t. Agli estremi: F (0) = F () =. Ora cerchiamo i unti di massimo e di minimo della funzione F. Per ogni t [0; ] la funzione F è derivabile e si ha F 0 (t) = 1 sin t cos t. Quindi F 0 (t) = 0, t = oure t = oure t =. In tali unti: F () =, F = 11 e F = 11. Pertanto in corrisondenza di questi unti ho P 0 (0; 0) con f (P 0 ) = 1, P 1 (; 0) con f (P 1 ) =, P ( ; 0) con f (P ) =, P (0; ) con f (P ) = 11 e P 4 (0; ) con f (P 4 ) = 11. Quindi P e P 4 sono unti di massimo assoluto er f, mentre P 0 è unto di minimo assoluto er f. 5. Studiare massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione f = x +y +z x 1 nell insieme A = R j x + y + z 0. 4
Risoluzione La funzione f è derivabile in tutto R e er ogni R si ha Cerco i unti stazionari di f = x = y @z = z. < @z : x = 0 z = 0 la cui unica soluzione è data dalla terna = (1; 0; 0), cioè dal unto P (1; 0; 0) che è interno ad A oichè le sue coordinate veri cano x + y + z < 0. Studiamo ora la natura di tale unto. Anzitutto la funzione f è derivabile volte in tutto R. Inoltre si ha (P ) =, @ f (P ) =, @ f (P ) =, @z (P ) = @ f (P ) = 0, @z (P ) = @ f (P ) = 0, @z @z (P ) = @ f (P ) = 0. @z Quindi la matrice Hessiana della f nel unto P è data da 0 H f (P ) = @ 0 0 1 0 0 A. 0 0 Pertanto, essendo det H f (P ) = > 0, H ;f (P ) = 0 0 = 4 > 0 e (P ) = > 0, si ha che P è un unto di minimo relativo er f. Inoltre f(p ) = è un minimo relativo er f. Ora studiamo i massimi e i minimi sulla frontiera di A, cioè su F r (A) = R j x + y + z = 0. 5
Cercare massimi e minimi su F r (A) equivale a cercare massimi e minimi vincolati della funzione f di vincolo g = x +y +z. Pertanto devo cercare i massimi e minimi relativi della funzione F (x; y; z; ) = x + y + z x 1 + x + y + z. I unti stazionari di F si ottengono imonendo che = 0 = 0 @z = 0 @ = 0 ovvero che > < Tale sistema equivale a sistemi: z = 0 (S 1 ) x =, (S ) (1 + ) = 1 x + x = 0 y + z + 4z = 0 x + y + z = 0 z = 0 x = e (S ) (1 + ) = 1. x = = 1 4 + z = 0. I rimi sistemi ci danno come soluzioni i unti P 1 ; 0; 0 e P ; 0; 0, mentre il terzo non ha soluzioni. Per tali unti f (P 1 ) = 1 e f (P ) = 1 +. Quindi P è unto di minimo assoluto er f, mentre P è unto di massimo assoluto er f. 6