Parte Seconda Prova di selezione culturale
TEORIA DEGLI INSIEMI MATEMATICA ARITMETICA Insieme = gruppo di elementi di cui si può stabilire inequivocabilmente almeno una caratteristica in comune. Esempi: le vocali dell alfabeto italiano costituiscono un insieme; i libri più interessanti della biblioteca non costituiscono un insieme, perché non lo si può stabilire con certezza un insieme si indica con la lettera maiuscola gli elementi dell insieme con la lettera minuscola Simboli relativi agli insiemi A = B (uguaglianza): gli insiemi A e B sono uguali A = { a, b, c, d, e } b A (appartenenza): l elemento b appartiene all insieme A b A (non appartenenza): l elemento b non appartiene all insieme A A = : l insieme A è vuoto CORRISPONDENZE TRA INSIEMI A B : l insieme A è un sottoinsieme di B ciò vuol dire che ogni elemento di A appartiene anche a B, ma non viceversa; es. A è l insieme delle città della Lombardia, B l insieme delle città italiane C = A B (intersezione): l insieme C è costituito dagli elementi in comune tra A e B C = A B (somma): l insieme C è costituito dalla somma degli insiemi A e B Gli elementi di due differenti insiemi possono essere in relazione tra loro. Questa relazione si chiama corrispondenza. Es. l insieme A degli abbonati telefonici e l insieme B dei numeri telefonici: a ogni abbonato è abbinato un numero; perciò si dice che A e B sono in corrispondenza. Tipi di corrispondenze Univoca Si ha quando a ogni elemento del primo insieme corrisponde un solo elemento del secondo, ma non viceversa (a un elemento del secondo insieme possono corrispondere anche più elementi del primo). Biunivoca Si ha quando a ogni elemento del primo insieme corrisponde un solo elemento del secondo insieme e viceversa.
40 I NUMERI Parte Seconda - Prova di selezione culturale I numeri sono classificati in insiemi, quindi, indicati ognuno con una lettera maiuscola. Ogni insieme di numeri ha le sue operazioni (addizione, sottrazione etc.) che possono essere di 2 tipi: operazione interna Si ha quando il risultato dell operazione è un numero che appartiene allo stesso insieme di partenza. Es. la somma di due numeri naturali è sempre un numero naturale: 2 + 5 = 7 operazione non interna Si ha quando il risultato dell operazione non è sempre un numero che appartiene allo stesso insieme. Es. la sottrazione di due numeri naturali: 4 3 = 1 (dà un numero naturale), ma 3 4 = 1 (dà un numero relativo) Insiemi numerici Numeri Naturali (N) Numeri interi positivi, compreso lo zero (0, 1, 2, 3, 4, 5 etc.) operazioni interne: addizione, moltiplicazione Numeri Relativi (Z) Sono i numeri positivi (Z + ) e negativi (Z - ) 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 etc. operazioni interne: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione Numeri Razionali (Q) 1 1 3 Possono essere indicati o come frazione,, 4 2 4 o come parte intera + parte decimale (1,5; 0,7; 4,8) operazioni interne: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione Numeri Irrazionali (J) Non possono essere trasformati in un numero razionale. Es. 2 (dà un valore dalla cifra decimale infinita: 1, 4142135624...) Numeri Reali (R) Sono l unione tra Q e J. Quindi R = Q J Come si vede, gli insiemi numerici sono in relazione fra loro. Es. N è un sottoinsieme di Z(N Z); Z è a sua volta un sottoinsieme di Q(Z Q); tutti sono un sottoinsieme di R. addizione LE OPERAZIONI CON I NUMERI NATURALI (N) Interna si Descrizione produce la somma fra due numeri chiamati addendi Proprietà proprietà commutativa una somma non cambia se si cambia l ordine degli addendi es. 2 + 18 = 18 + 2 Segue
Matematica - Aritmetica 41 sottrazione moltiplicazione divisione no si no produce la differenza tra due numeri il primo dei quali si chiama minuendo e il secondo sottraendo calcola il prodotto tra due numeri detti fattori; il prodotto è la somma di tanti addendi uguali al primo quante sono le unità del secondo es. 2 3 = 2 + 2 + 2 calcola il quoziente tra due numeri detti il primo dividendo e il secondo divisore; il quoziente è il numero che moltiplicato per il divisore dà come prodotto il dividendo proprietà associativa: la somma di più addendi non cambia, se a due o più di essi si sostituisce la loro somma es. (4 + 7) + 1 = 4 + (7 + 1) proprietà invariantiva: aggiungendo o togliendo uno stesso numero sia al minuendo che al sottraendo, la differenza non cambia es. 5 3 = (5 + 2) (3 + 2) proprietà commutativa: il prodotto non cambia se si inverte l ordine dei fattori es. 2 3 = 3 2 proprietà associativa: il prodotto di più fattori non cambia, se a due o più di essi si sostituisce il loro prodotto es. (4 7) 2 = 4 (7 2) proprietà distributiva: per moltiplicare una somma per un numero, si possono moltiplicare per quel numero i singoli addendi e sommare i prodotti ottenuti es. (3 + 5 + 2) 7 = (3 7) + (5 7) + (2 7) proprietà distributiva rispetto all addizione: per dividere una somma per un numero, si può anche dividere per quel numero i singoli addendi e sommare i quozienti es. (4 + 8) : 2 = (4 : 2) + (8 : 2) proprietà distributiva rispetto alla moltiplicazione: per dividere un prodotto per un numero si può dividere uno solo dei fattori per quel numero e moltiplicare il quoziente per gli altri fattori es. (5 2 6) : 3 = 5 2 (6 : 3) proprietà invariantiva: il quoziente di due numeri non cambia se si moltiplica o si divide per uno stesso numero ciascuno di essi es. 4 : 2 = (4 3) : (2 3) Osservazioni moltiplicando un numero per 1 si ottiene lo stesso numero: 3 1 = 3 moltiplicando un numero per 0 si ottiene 0 : 3 0 = 0 nella divisione, quando non esiste un quoziente appartenente ai numeri naturali, si produce il quoziente approssimato più il resto; es. 52 : 10 = 50 (quoziente appr.) + 2 (resto) nelle espressioni con più operazioni, ove non indicato dalle parentesi, si effettuano prima le moltiplicazioni e le divisioni: 4 5 + 6 : 2 = (4 5) + (6 : 2) = 20 + 3 = 23
42 LE POTENZE Potenza di un numero = prodotto di più fattori uguali a quel numero il 4 si chiama base 4 2 = 4 4 = 16 il 16 è la potenza il 2 si chiama esponente l operazione si chiama elevazione a potenza Parte Seconda - Prova di selezione culturale L esponente indica quante volte la base deve essere moltiplicata per se stessa per ottenere la potenza. Nota Le potenze con esponente 2 si chiamano elevazione al quadrato ; perciò 3 2 si legge tre al quadrato Le potenze con esponente 3 si chiamano elevazione al cubo ; perciò 4 3 si legge quattro al cubo In tutti gli altri casi si usa il numero cardinale relativo: 2 5 = due alla quinta, 3 4 = tre alla quarta etc. Qualunque potenza con esponente 1 è uguale alla base: 7 1 = 7, 8 1 = 8 etc. Qualunque potenza con esponente 0 è uguale a 1: 3 0 = 1, 4 0 = 1 etc. Le potenze con base 10 sono semplici da calcolare: corrispondono a una cifra con tanti zeri quanti indica l esponente es. 10 2 = 100, 10 6 = 1.000.000 etc. Operazioni con le potenze il prodotto di due o più potenze aventi la medesima base è uguale a un al tra potenza della stessa base che ha per esponente la somma degli esponenti. Es. 2 3 2 2 = 2 3 + 2 = 2 5 il quoziente di due potenze aventi la medesima base è uguale a un altra potenza della stessa base che ha per esponente la differenza degli esponenti. Es. 2 5 : 2 3 = 2 5 3 = 2 2 la potenza di una potenza è un altra potenza della stessa base che ha per esponente il prodotto degli esponenti. es. (2 3 ) 2 = 2 3 2 = 2 6 per elevare a potenza un prodotto di più fattori basta elevare a potenza i singoli fattori. Es. (3 2) 2 = 3 2 2 2 per elevare a potenza un quoziente basta elevare a quella potenza il dividendo ed il divisore. Es. (12 : 4) 2 = 12 2 : 4 2 LA RADICE QUADRATA E LA RADICE CUBICA Estrazione della radice quadrata = operazione inversa dell elevazione al quadrato quindi 4 = 2 perché 2 2 = 4. Il 4 all interno della radice si dice radicando ed il 2 si dice radice quadrata.
Matematica - Aritmetica 43 Estrazione della radice cubica = operazione inversa dell elevazione al cubo 3 quindi 9 = 3 perché 3 3 = 9. Il 9 all interno della radice si dice radicando ed il 3 si dice radice cubica Nota L estrazione della radice non è sempre possibile nell insieme dei numeri naturali; vale a dire che è un operazione non interna all insieme N. È possibile soltanto con numeri che vengono rispettivamente chiamati: quadrati perfetti: numeri N la cui radice quadrata è a sua volta un numero N cubi perfetti: numeri N la cui radice cubica è a sua volta un numero N Nella seguente tabella, come esempio, riportiamo i primi quindici numeri naturali con i rispettivi quadrati e cubi. La seconda e la terza colonna contengono perciò i primi quadrati perfetti e cubi perfetti. LA DIVISIBILITÀ n n 2 n 3 1 1 1 2 4 8 3 9 27 4 16 64 5 25 125 6 36 216 7 49 343 8 64 512 9 81 729 10 100 1.000 11 121 1.331 12 144 1.728 13 169 2.197 14 196 2.744 15 225 3.375 Come detto, la divisione non è sempre possibile nell insieme N. Per capire quando è possibile bisogna partire dal concetto di multiplo. Multiplo: un numero è multiplo di un altro se è il prodotto di questo numero per un terzo. Es. 52 è multiplo di 26 perché 52 = 26 2 quindi: la divisione tra due numeri N è possibile solo se il dividendo è multiplo del divisore Es. è possibile perché è un multiplo di (infatti ) Esistono alcuni metodi per calcolare rapidamente se un numero è divisibile per un altro
44 Criteri di divisibilità I NUMERI PRIMI sono divisibili per 2: tutti i numeri pari Parte Seconda - Prova di selezione culturale sono divisibili per 3: tutti i numeri la somma delle cui cifre dà un multiplo di 3 es. 861 è divisibile per 3 perché 8 + 6 + 1 = 15 che è un multiplo di 3 sono divisibili per 4: tutti i numeri le cui ultime due cifre sono 0 o un multiplo di 4 es. 100 è divisibile per 4 perché le ultime due cifre sono 00 ; 112 è divisibile anch esso per 4 perché le ultime due cifre sono 12, un multiplo di 4 sono divisibili per 5: tutti i numeri che terminano con la cifra 0 o 5. es. lo sono 10, 25, 140, 155 etc. sono divisibili per 9: tutti i numeri la somma delle cui cifre dà un multiplo di 9 es. 4.455 è divisibile per 9 perché 4 + 4 + 5 + 5 = 18 che è un multiplo di 9 sono divisibili per 10: tutti i numeri che terminano con uno o più 0 es. 10, 20, 300, 1.000 etc. sono divisibili per 11: si esegue la seguente operazione si sommano le cifre di posto pari si sommano le cifre di posto dispari si fa la sottrazione fra il maggiore e il minore dei numeri ottenuti se il risultato è un multiplo di 11, il numero di partenza è divisibile es. 60.808 è divisibile per 11 perché (6+8+8) (0 + 0) = 22 0 = 22, che è multiplo di 11 sono divisibili per 25: tutti i numeri le cui ultime due cifre sono 00 o un numero divisibile per 25 es. 50, 125, 150, 175 etc. Numero primo: numero che può essere diviso soltanto per se stesso o per 1 es. 1, 7, 23 etc. I numeri primi sono infiniti e si desumono da una speciale tabella. Di seguito riportiamo soltanto i primi quindici fra essi. Numeri Primi 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 etc.
Matematica - Aritmetica 45 Ne consegue che l insieme N può essere diviso in 2 sottoinsiemi: Sottoinsiemi dell insieme N Numeri primi possono essere divisi soltanto per sé o per 1 Numeri composti sono il risultato della moltiplicazione fra più numeri primi es. (6 è un numero composto perché 6 = 3 2) Ogni numero composto può perciò essere scomposto in fattori primi. SCOMPOSIZIONE DI UN NUMERO IN FATTORI PRIMI Si effettua dividendo il numero per il più piccolo numero primo che sia suo divisore ed effettuando la stessa operazione al risultato finché non si ottiene 1. La scomposizione sarà il prodotto di tutti i numeri primi adoperati come divisori. Es. scomponiamo 855 855 è multiplo di 3 perché 8 + 5 + 5 = 18; quindi 855 : 3 = 285 285 è multiplo di 3 perché 2 + 8 + 5 = 18; quindi 285 : 3 = 95 95 è multiplo di 5 quindi 95 : 5 = 19 19 è un numero primo quindi può essere diviso solo per se stesso: 19 : 19 = 1 Per ottenere 1 abbiamo usato i divisori 3, 3, 5 e 19; quindi diremo che la scomposizione in fattori primi di 855 è: 3 2 5 19 MASSIMO COMUNE DIVISORE (M.C.D.) Il massimo comune divisore fra due numeri N è il maggiore tra i divisori che i due numeri hanno in comune. Es. consideriamo gli insiemi dei divisori di 24 e 40: D 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} D 40 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} I due numeri hanno in comune i divisori 1, 2, 4, 8. Perciò 8 è il M.C.D. Per calcolare il M.C.D. si utilizza la scomposizione in fattori primi: Calcolo del Massimo Comune Divisore il M.C.D. di due o più numeri si trova scomponendo i numeri in fattori primi e moltiplicando fra loro i fattori comuni, presi una sola volta con il minimo esponente con cui compaiono nella scomposizione
46 Es. troviamo il M.C.D. tra 840 e 900. Parte Seconda - Prova di selezione culturale Scomponiamo i numeri in fattori primi e otteniamo che: 840 = 2 3 3 5 7 900 = 2 2 3 2 5 2 Adesso moltiplichiamo fra loro i fattori primi che hanno in comune col minimo esponente, quindi 2 2 3 5 60 è perciò il M.C.D. MINIMO COMUNE MULTIPLO (m.c.m.) Il minimo comune multiplo fra due o più numeri è il più piccolo fra i multipli che tali numeri hanno in comune. Es. consideriamo gli insiemi dei multipli di 4 e 10: M 4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, etc.} D 40 = {10, 20, 30, 40, 50, 60, etc.} Come si vede, il primo multiplo in comune che troviamo è 20. Perciò 20 è il minimo comune multiplo o m.c.m. Per calcolare il m.c.m. si utilizza la scomposizione in fattori primi: Calcolo del minimo comune multiplo Es. troviamo il m.c.m. tra 504 e 3.564. il m.c.m. di due o più numeri si trova scomponendo i numeri in fattori primi e moltiplicando fra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente con cui compaiono nella scomposizione Scomponiamo i numeri in fattori primi e otteniamo che: 504 = 2 3 3 2 7 3.564 = 2 2 3 4 11 Adesso moltiplichiamo fra loro tutti i fattori primi col massimo esponente, quindi 2 3 3 4 7 11 = 49.896 49.896 è perciò il m.c.m. Questo vale per i numeri più grandi. Per quelli più piccoli esistono alcuni metodi per un calcolo rapido. Calcolo rapido del m.c.m. Se due numeri sono primi, il m.c.m. è il loro prodotto quindi il m.c.m. tra 8 e 15 è 8 15 = 120 Dati due o più numeri, se il maggiore di loro è multiplo di tutti gli altri, è il m.c.m. quindi il m.c.m. tra 2, 5, 30 è 30