1 Quadriche Studieremo le quadriche nello spazio riferito ad un sistema di riferimento cartesiano ortogonale fissato, oppure nel completamento proiettivo di questo spazio, ottenuto con l introduzione delle coordinate omogenee. Una superficie quadrica è determinata, a meno di un fattore moltiplicativo non nullo, da un equazione f(x, y, z) = 0 (risp. F (x, y, z, t ) = 0 nel completamento proiettivo) dove f(x, y, z) R[x, y] è un polinomio di secondo grado (risp. F (x, y, z, t ) R[x, y, z, t ] è un polinomio omogeneo di secondo grado). Definizione 1. Chiamiamo quadrica il luogo dei punti dello spazio proiettivo le cui coordinate omogenee, considerate come elementi di C 4, soddisfano un polinomio omogeneo irriducibile F (x, y, z, t ) R[x, y, z, t ] di secondo grado. Quindi l equazione di una quadrica Q ha la forma seguente: F (x, y, z, t ) = a 11 x 2 + 2a 12 x y + 2a 13 x z + 2a 14 x t + a 22 y 2 + +2a 23 y z + 2a 24 y t + a 33 z 2 + 2a 34 z t + a 44 t 2 = 0 (1) dove a ij R. Notiamo che i dieci numeri a ij definiscono una matrice simmetrica reale di ordine 4. La chiameremo matrice della quadrica e la indicheremo con B. Il polinomio F è l unico elemento della matrice di ordine 1 ottenuta dal prodotto (x, y, z, t )B t (x, y, z, t ). Quindi l equazione della quadrica si può anche indicare con la sua forma matriciale: t x B x = 0, dove t x = (x, y, z, t ). In coordinate non omogenee risulta f(x, y, z) = (x, y, z, 1)B t (x, y, z, 1). Ricordiamo che una retta dello spazio proiettivo è determinata da un sistema di due equazioni omogenee indipendenti ax + by + cz + dt = 0, a x + b y + c z + d t = 0 con a, b, c, d, a, b, c, d R. Le coordinate dei punti di tale retta si possono quindi esprimere come combinazione lineare di due soluzioni distinte di tale sistema. Se indichiamo x 0 = t (x 0, y 0, z 0, t 0), x 1 = t (x 1, y 1, z 1, t 1) due tali soluzioni, si possono scrivere le equazioni parametriche omogenee della retta nella forma x = λx 0 + µx 1 (2) dove λ, µ R 2 \{(0, 0)}. 1.1 Intersezione di un piano e una quadrica I punti d intersezione di una quadrica con un piano hanno coordinate fornite dalle soluzioni del sistema { ax + by + cz + dt = 0 t x B x = 0 1
e costituiscono in generale una curva che risulta una conica. Infatti se il piano è proprio si può effettuare un cambiamento del sistema di riferimento in modo che il piano risulti di equazione z = 0: sostituendo si trovano i punti di questo piano coordinato che soddisfano un equazione di secondo grado omogenea in x, y, t. Può capitare che dopo la sostituzione risulti un identità: in tal caso il piano fa parte della quadrica. Per analogia chiameremo conica anche l intersezione di una quadrica con il piano improprio (sempre che la quadrica non lo contenga). 1.2 Intersezione di una retta e una quadrica Calcoliamo l intersezione tra una retta ed una quadrica; dobbiamo risolvere il sistema { x = λx 0 + µx 1 t x B x = 0 Sostituendo si trova l equazione risolvente: t (λx 0 + µx 1 )B(λx 0 + µx 1 ) = 0 Ricordando che vale la proprietà associativa del prodotto di matrici, la proprietà distributiva del prodotto di matrici rispetto alla somma, che la trasposta della somma di matrici è uguale alla somma delle trasposte, l equazione risolvente si può scrivere nella forma: λ 2 ( t x 0B x 0) + λµ( t x 0B x 1) + λµ( t x 1B x 0) + µ 2 ( t x 1B x 1) = 0 Osserviamo che la matrice ( t x 0 B x 1 ) ha ordine 1 e quindi coincide con la sua trasposta: ( t x 0B x 1) = t ( t x 0B x 1) = ( t x 1B x 0); la risolvente si scrive allora λ 2 ( t x 0 B x 0 ) + 2λµ(t x 0 B x 1 ) + µ2 ( t x 1 B x 1 ) = 0 (3) Questa equazione è omogenea di grado 2 in λ, µ: se tutti i coefficienti sono nulli, t x 0 B x 0 = t x 0 B x 1 = t x 1 B x 1 = 0 allora la retta fa parte della quadrica; altrimenti retta e quadrica hanno due punti a comune. Sarà utile in seguito l espressione esplicita di ( t x 0 B x 1 ): ( t x 0 B x 1 ) =(a 11x 0 + a 12 y 0 + a 13 z 0 + a 14 t 0)x 1+ (a 21 x 0 + a 22 y 0 + a 23 z 0 + a 24 t 0)y 1+ (a 31 x 0 + a 32 y 0 + a 33 z 0 + a 34 t 0)z 1+ (a 41 x 0 + a 42 y 0 + a 43 z 0 + a 44 t 0)t 1 Definizione 2. Un punto P 0 di coordinate t x 0 = (x 0, y 0, z 0, t 0) di una quadrica Q si dice semplice se esiste una retta per P 0 che incontra la quadrica, oltre che in P 0, in un punto P 1, con P 1 P 0. Se invece ogni retta per P 0 incontra Q solo in P 0 oppure appartiene alla quadrica il punto si dice doppio o vertice. Se dunque P 0 è un punto doppio di una quadrica e P 1 un punto della quadrica diverso da P 0 allora la retta P 0 P 1 fa parte della quadrica: infatti la risolvente 2
può avere due soluzioni oppure essere l identità. quadrica con un punto doppio. Chiameremo degenere una Teorema 1. Un punto P 0 dello spazio è un punto doppio per la quadrica Q di equazione (1) se e solo se det B = 0. Dim. Supponiamo che P 0 sia doppio e consideriamo una retta per P 0, sia (2) la sua equazione; poiché P 0 Q risulta t x 0 B x 0 = 0 e la risolvente (3) deve avere la sola radice µ = 0 oppure essere l identità, altrimenti la retta incontrerebbe Q in un punto diverso da P 0. Questo accade se t x 0 B x 1 = 0 qualunque sia la quaterna x 1; sostituendo al posto di x 1 le quaterne (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) si trova che la quaterna t x 0B deve essere nulla, cioè B x 0 = 0. In altre parole il sistema lineare omogeneo B x = 0 deve avere la soluzione x 0, che è una quaterna non nulla (sono coordinate omogenee di un punto): dalla teoria dei sistemi lineari segue che il determinante della matrice B deve essere nullo. Viceversa, sia det B = 0; il sistema lineare omogeneo B x = 0 ha una soluzione non nulla x 0 che interpretiamo come coordinate proiettive di un punto P 0 dello spazio. Consideriamo una retta P 0 P 1, qualunque sia P 1, e cerchiamo le sue intersezioni con la quadrica. Nella risolvente (3) abbiamo t x 0 B x 0 = t x 0 0 = 0 ed anche t x 0 B x 1 = 0 x 1 = 0; la prima relazione implica che P 0 sta sulla quadrica, e la risolvente diventa µ 2 ( t x 1 B x 1 ) = 0. L unica possibile soluzione è µ = 0 con molteplicità 2 e quindi P 0 è un punto doppio. Osservazione. Notiamo che se rg B=3 allora il sistema B x = 0 ha infinite soluzioni, tutte fra loro proporzionali; quindi esse definiscono un unico punto doppio della quadrica. Se invece rg B=2 allora le soluzioni del sistema B x = 0 costituiscono i punti di una retta; in questo caso la quadrica è spezzata in due piani distinti che passano per la retta di punti doppi. Se infine rg B=1 allora le soluzioni del sistema B x = 0 costituiscono i punti di un piano; in tal caso la quadrica è costituita da un piano contato due volte e i suoi punti sono tutti doppi. Un ulteriore conseguenza del teorema è che una quadrica non degenere ha tutti i suoi punti semplici. 1.3 Tangenti Definizione 3. Sia Q una quadrica e P 0 un suo punto semplice; diciamo tangente a Q in P 0 una retta che passa per P 0 e incontra la quadrica solo in P 0 oppure appartiene alla quadrica. Sia Q una quadrica non degenere di equazione (1) e P 0 un suo punto (necessariamente semplice); esistono particolari rette per P 0 che incontrano la quadrica in due punti coincidenti. Tali rette P 0 P 1 sono costituite dai punti P 1 x 1 tali che t x 0 B x 1 = 0: infatti l equazione risolvente (3) in questo caso si riduce a µ 2 ( t x 1 B x 1 ) = 0 e la retta incontra la quadrica solo in P 0. Osserviamo che 3
queste particolari rette esistono solo nel caso che il punto P 0 sia semplice e le chiameremo tangenti a Q in P 0. In forma esplicita l equazione complessiva delle tangenti alla quadrica Q in P 0 si scrive: t x 0 B x = (a 11 x 0 + a 12 y 0 + a 13 z 0 + a 14 t 0)x + (a 21 x 0 + a 22 y 0 + a 23 z 0 + a 24 t 0)y + (a 31 x 0 + a 32 y 0 + a 33 z 0 + a 34 t 0)z + (a 41 x 0 + a 42 y 0 + a 43 z 0 + a 44 t 0)t = 0 Come si vede si tratta dell equazione di un piano che contiene tutte le tangenti a Q in P 0. Lo chiameremo piano tangente a Q in P 0. Se P 0 è un punto proprio, la forma non omogenea del piano tangente è: (x 0, y 0, z 0, 1)B (x, y, z, 1) = (a 11 x 0 + a 12 y 0 + a 13 z 0 + a 14 )x + (a 21 x 0 + a 22 y 0 + a 23 z 0 + a 24 )y + (a 31 x 0 + a 32 y 0 + a 33 z 0 + a 34 )z + (a 41 x 0 + a 42 y 0 + a 43 z 0 + a 44 ) = 0 Se P 0 è un punto qualunque dello spazio proiettivo, il luogo dei punti P 1 tali che la retta P 0 P 1 sia tangente alla quadrica Q è dato dall annullarsi del discriminante della risolvente (3): ( t x 0 B x 1 )2 ( t x 0 B x 0 )(t x 1 B x 1 ) = 0. Poiché tale equazione è di secondo grado in x 1 risulta che tale equazione rappresenta una quadrica; la chiameremo cono tangente a Q di vertice P 0. Teorema 2 Sia Q una quadrica non degenere; un piano π seca Q in una conica spezzata se e solo se il piano è tangente a Q. Dim. Se π è tangente a Q in un suo punto P 0 (semplice per ipotesi), preso un punto P 1 di Q π distinto da P 0,la retta P 0 P 1 deve appartenere a Q per definizione di retta tangente: la conica sezione è quindi spezzata. Viceversa, supponiamo che un piano π sechi Q in una conica spezzata: poiché Q è non degenere la conica è spezzata in due rette distinte r, s ([P], 5.8, Teor. 14). Tali rette sono tangenti a Q, sempre per definizione di retta tangente, e dunque πè tangente a Q nel punto r s. 1.4 Classificazione affine I punti impropri di una quadrica Q si ottengono facendo l intersezione con il piano improprio: { F (x ) = a 11 x 2 + 2a 12 x y + 2a 13 x z + a 22 y 2 + 2a 23 y z + a 33 z 2 = 0 t = 0 La sezione di una quadrica con il piano improprio è dunque una conica, detta conica all infinito e denotata C (sempre che il piano improprio non sia contenuto nella quadrica). 4
Definizione 4. Una quadrica non degenere Q la chiamiamo ellissoide se la sua conica all infinito è irriducibile ed è priva di punti reali, la chiamiamo paraboloide se la sua conica all infinito è spezzata, la chiamiamo iperboloide se la sua conica all infinito è irriducibile ed ha punti reali. Da quanto abbiamo già visto segue: 1. Q è un ellissoide det B 0, B 33 0, C priva di punti reali 2. Q è un paraboloide det B 0, B 33 = 0 3. Q è un iperboloide det B 0, B 33 0 C con punti reali Osserviamo che un paraboloide incontra il piano improprio in una conica spezzata e quindi il piano improprio è tangente al paraboloide nel punto improprio comune alle due rette in cui si spezza la C. Si può cambiare il sistema di riferimento mediante un opportuna rototraslazione in modo che ogni quadrica si scriva in una delle due forme ridotte ([P] 5.2). La matrice P di una rotazione si ottiene scegliendo come colonne tre autovettori della matrice A che siano indipendenti e di lunghezza 1. La matrice P è ortogonale e quindi la sua inversa coincide con la trasposta. La matrice trasformata di A mediante la matrice della rotazione è diagonale e sulla diagonale appaiono i tre autovalori della matrice A: α 0 0 t P AP = 0 β 0 0 0 γ 1.5 Polarità Sia data una quadrica non degenere Q di equazione (1). Chiamiamo polarità definita da Q l applicazione: π : {punti dello spazio proiettivo} {piani dello spazio proiettivo} definita da t x 0 t x 0B x = 0, dove t x 0 sono coordinate omogenee di un punto P 0. L applicazione è ben definita perché la quaterna t x 0B 0 in quanto det B 0 e x 0 0. Notiamo che per ogni piano α di equazione ax + by + cz + dt = 0 esiste un unico punto P 0 tale che π(p 0 ) = α: infatti il sistema t x 0B = (a, b, c, d) ammette un unica soluzione perché det B 0. Quindi π è una biiezione. Naturalmente se P 0 Q riconosciamo che π(p 0 ) è il piano tangente a Q in P 0. Gli elementi della coppia punto piano si chiamano polo e polare rispetto a Q. Teorema 2. [di reciprocità]un punto P 0 sta sul piano polare di P 1 se e solo se P 1 sta sul piano polare di P 0. Dim. Il piano polare di P 1 ha equazione t x 1B x = 0 e P 0 sta su questo piano se t x 1 B x 0 = 0; ma sappiamo che t x 1 B x 0 = t x 0 B x 1 = 0 e quest ultima relazione vuol dire che P 1 sta sul piano polare di P 0. Il viceversa si dimostra allo stesso modo. 5
Due punti che stanno l uno sul piano polare dell altro si diranno coniugati. Due piani che contengono l uno il polo dell altro si diranno coniugati. Un punto che appartiene al proprio piano polare si chiama autoconiugato; sappiamo che è un punto della quadrica. Una piano che contiene il suo polo si chiama autoconiugato; sappiamo che è tangente alla quadrica nel suo polo. Due rette r, s sono coniugate se i piani polari dei punti di r costituiscono il fascio di piani che ha per asse s e viceversa. Abbiamo già osservato che il piano polare di un punto P 0 della quadrica Q è tangente in quel punto; quindi i punti della quadrica stanno sul proprio polare e sono caratterizzati da questo fatto. Se prendiamo un punto P 1 fuori della quadrica e un piano α per P 1 tangente alla quadrica il piano α sarà polare del punto R di Q comune alle rette in cui si spezza la sezione Q α. Quindi il piano polare di P 1 passa per R; il luogo di questi punti R definiscono il piano polare di P 1. Questa osservazione permette di affermare che il piano polare di un punto non dipende dal sistema di riferimento scelto per scrivere l equazione di Q. Definizione 4. Si chiama centro di una quadrica non degenere il polo del piano improprio. Si chiamano diametri le rette proprie passanti per il centro. Due diametri si dicono coniugati se sono rette coniugate. Si chiamano piani diametrali i piani propri passanti per il centro. Due piani diametrali si dicono coniugati se uno contiene il polo dell altro. Un piani diametrale è autoconiugato se contiene il proprio polo, ed è quindi un piano tangente alla quadrica nel suo polo. Per il teorema di reciprocità i piani diametrali sono piani polari dei punti impropri. Per trovare dunque il centro di una quadrica basta fare l intersezione di tre piani diametrali due a due non nello stesso fascio. Prendendo i piani polari dei punti impropri degli assi cartesiani, che hanno coordinate omogenee (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), si ha: π(1, 0, 0, 0) = a 11 x + a 12 y + a 13 z + a 14 t = 0 π(0, 1, 0, 0) = a 21 x + a 22 y + a 23 z + a 24 t = 0 π(0, 0, 1, 0) = a 31 x + a 32 y + a 33 z + a 34 t = 0 Le coordinate del centro sono date da una soluzione non nulla di questo sistema; sappiamo che una tale soluzione è: (B 41, B 42, B 43, B 44 ). Notiamo che questi numeri non sono tutti nulli, altrimenti sarebbe det B = 0. Osserviamo ancora che i paraboloidi hanno il centro improprio poiché B 44 = det A = 0; ne consegue che i piani diametrali di una parabola sono piani di una stella a centro il punto improprio comune alle due rette in cui si spezza la sua C. Tra i piani passanti per tale punto improprio c è il piano improprio, che non è un piano diametrale e che sappiamo essere tangente alla parabola. 6
1.5.1 Quadriche a centro proprio Le equazioni ridotte di una quadrica non degenere a centro proprio (ellissoide e iperboloide) si possono determinare scegliendo un particolare sistema di riferimento cartesiano obliquo; precisamente si possono prendere come piani coordinati tre piani in modo che ciascuno sia il piano polare del punto improprio della retta indivuduata dagli altri due. Ci sono infiniti modi per scegliere un tale sistema: basta infatti prendere un qualunque punto improprio e scegliere il piano polare di questo punto, su questo piano si sceglie un punto improprio e il secondo piano coordinato sarà il suo piano polare; il terzo piano è il piano polare del punto improprio della retta individuata dai primi due. Si dice triedro autopolare quello formato da tre piani scelti in questo modo: infatti ogni piano è il polare del punto improprio della retta individuata dagli altri due (teorema di reciprocità). Se scegliamo come assi x, y, z, le rette individuate dai tre piani di un triedro autopolare, i loro punti impropri avranno coordinate (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) rispettivamente e i loro piani polari avranno equazioni a 11 x + a 12 y + a 13 z +a 14 t = 0, a 21 x +a 22 y +a 23 z +a 24 t = 0, a 31 x +a 32 y +a 33 z +a 34 t = 0; la prima equazione deve essere quella del piano x = 0, la seconda del piano y = 0, la terza del piano z = 0. Sarà quindi a 12 = a 13 = a 14 = 0, a 21 = a 23 = a 24 = 0, a 31 = a 32 = a 34 = 0 e l equazione della quadrica rispetto a questo riferimento obliquo è a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 44 t 2 = 0. In coordinate non omogenee l equazione diventa a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 44 = 0; osserviamo che se un punto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) sta sulla quadrica, anche P 0 ( x 0, y 0, z 0 ), P 0 (x 0, y 0, z 0 ), P 0 (x 0, y 0, z 0 ) stanno sulla quadrica, poiché x, y e z compaiono nell equazione solo al secondo grado. Geometricamente questo significa che la quadrica è simmetrica rispetto a ciascuno dei piani coordinati nella direzione del suo polo. Quindi la quadrica presenta infinite simmetrie, a seconda dei piani diametrali coniugati scelti. Questa proprietà si può esprimere dicendo che un piano diametrale α di una quadrica è il luogo dei punti medi delle corde che hanno la direzione del polo D del piano α. Ci chiediamo se ci sono piani diametrali coniugati ortogonali: in tal caso avremmo un sistema cartesiano ortogonale rispetto al quale la quadrica si scrive nella forma ridotta I) ([P], 5.2). Cerchiamo quindi piani diametrali coniugati ortogonali: detto (λ, µ, ν, 0) un punto improprio, il piano polare di tale punto deve essere ortogonale alla direzione di (λ, µ, ν, 0). Questo accade se: (a 11 λ + a 12 µ + a 13 ν)x + (a 21 λ + a 22 µ + a 23 ν)y + (a 31 λ + a 32 µ + a 33 ν)z = 0 ha la terna di coefficienti di x, y, z proporzionali a λ, µ, ν: a 11 λ + a 12 µ + a 13 ν = ρλ a 21 λ + a 22 µ + a 23 ν = ρµ a 31 λ + a 32 µ + a 33 ν = ρν e il sistema ha soluzioni non nulle se la matrice (a 11 ρ)λ + a 12 µ + a 13 ν = 0 a 21 λ + (a 22 ρ)µ + a 23 ν = 0 a 31 λ + a 32 µ + (a 33 ρ)ν = 0 a 11 ρ a 12 a 13 a 21 a 22 ρ a 33 a 31 a 32 a 33 ρ ha determinante nullo. Questa matrice è la matrice caratteristica di A, che è sim- 7
metrica reale e sappiamo che ha soluzioni reali: troviamo quindi punti impropri con la caratteristica richiesta. Osserviamo esplicitamente che un autovettore di tale autovalore fornisce il punto improprio di uno degli assi principali del sistema cartesiano ortogonale cui stiamo riferendo la quadrica. Osserviamo ancora che gli autovalori della matrice A sono i coefficienti α, β, γ dei monomi x 2, y 2, z 2 nell equazione trasformata: per avere l equazione ridotta della quadrica basterà individuare il termine noto δ. Il numero δ si trova facilmente, una volta noti α, β e γ, dall uguglianza αβγδ = det B, derivante dal fatto che il determinante della matrice della quadrica è un invariante ortogonale. 1.5.2 Quadriche a centro improprio: paraboloidi Anche per i paraboloidi si può trovare l equazione ridotta con la scelta di opportuni sistemi di riferimento obliqui. Scegliamo come origine un punto proprio O della quadrica, come piano x = 0 il piano tangente π 1 a Q in O; scegliamo poi un punto improprio P 1 π 1 e il suo piano polare π 2 come piano y = 0. Infine il terzo piano coordinato π 3, di equazione z = 0, sia il piano polare del punto improprio della retta π 1 π 2. Con questa scelta i tre piani sono coniugati due a due. Il piano polare dell origine ha equazione a 14 x + a 24 y + a 34 z + a 44 t = 0 e deve coincidere col piano x = 0. Quindi deve essere a 24 = a 34 = a 44 = 0. Analogamente π(0, 1, 0, 0) = a 21 x + a 22 y + a 23 z + a 24 t = 0 deve coincidere con y = 0 e quindi a 21 = a 23 = a 24 = 0, π(0, 0, 1, 0) = a 31 x + a 32 y + a 33 z + a 34 t = 0 deve coincidere con z = 0 e quindi dovrà essere a 31 = a 32 = a 34 = 0; l equazione della quadricasi scrive dunque a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 14 x t = 0. Questo tipo di scelta di un sistema di riferimento obliquo si può fare per una qualunque quadrica non degenere: tenendo ora presente che stiamo considerando il caso di una paraboloide, si vede che deve essere a 11 = 0 (a 22, a 33 0 altrimenti la quadrica è spezzata) e dunque l equazione che abbiamo trovato è a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 14 x t = 0. Poiché in questa equazione compaiono y e z solo al secondo grado il paraboloide presenta simmetria obliqua rispetto ad un suo piano diametrale qualsiasi nella direzione del polo di questo. In altre parole ogni piano diametrale del paraboloide è luogo dei punti medi delle corde che hanno la direzione del suo polo. Anche in questo caso si riesce a trovare un punto proprio della quadrica tale che il suo piano tangente sia perpendicolare al diametro passante per quel punto e su questo piano due punti impropri i cui piani polari siano ortogonali: si ottiene così l equazione ridotta rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano ortogonale: βy 2 + γz 2 = 2δx. Osserviamo che gli autovalori non nulli della matrice A sono i coefficienti dei termini di secondo grado nell equazione ridotta del paraboloide in forma non omogenea e l altro coefficiente si trova dall equazione βγδ 2 = det A. [P] G. Paxia, Lezioni di Geometria, CULC, CT, 1997 8