Diffusione dei raggi X da parte di un elettrone Consideriamo un onda elettro-magnetica piana polarizzata lungo x che si propaga lungo z L onda interagisce con un singolo elettrone (libero) inducendo un moto di tipo armonico. a x =-ee/m e In seguito all accelerazione impressagli, l elettrone irraggia.
In base all elettromagnetismo classico, una particella carica accelerata irraggia onde e.m. il cui vettore campo elettrico E φ, in un generico punto P è dato da: E φ =e a sinφ / 4πε 0 c 2 r dove φ è l angolo tra r ed a. Sostituendo l espressione per a si ottiene: E φ =e 2 E sinφ / 4πε 0 c 2 m e r In termini di intensità: I φ /I= E φ2 /E 2 = e 4 (sinφ) 2 / (4πε 0 ) 2 c 4 m e2 r 2 dove I è l intensità dell onda piana incidente
Se l onda incidente non è polarizzata, è conveniente fissare il piano x-z attraverso il versore z e il vettore r. Il campo elettrico incidente E può essere risolto nelle componenti E x ed E y che, in media, sono uguali: <E x > 2 = <E y > 2 ; inoltre <E> 2 = <E x > 2 + <E y > 2 Osserviamo che per la componente lungo x vale: sinφ = cosθ mentre per la componente lungo y vale: sinφ = 1 Quindi l intensità totale diffusa I s in P diventa: I S = e 4 I [(1/2x1)+(1/2xcos 2 θ)] / (4πε 0 ) 2 c 4 m e2 r 2 = I e 4 [1+(cos 2 θ)] / (4πε 0 ) 2 c 4 m e2 r 2 dove I è l intensità dell onda piana incidente e θ è l angolo tra r e l asse z
Integrando l espressione per I s su una sfera di raggio r centrata sull atomo cui appartiene l elettrone che diffonde l onda e.m., si può calcolare la potenza totale diffusa P S come: P S = [ 0,π] I s 2πr2 sinθ dθ = (8π/3)(e 2 / 4πε 0 c 2 m e ) 2 I dove (e 2 / 4πε 0 c 2 m e ) 2 =2.82 x 10-15 m = r e è definito come raggio classico dell elettrone. Il rapporto tra la potenza diffusa e l intensità dell onda incidente è definita come sezione d urto di diffusione ( o coefficiente di diffusione) dell elettrone libero σ e = (8π/3)(e 2 / 4πε 0 c 2 m e ) 2 Il coefficiente di diffusione ha le dimensioni di una superficie. Di tutta la radiazione incidente per unità di superficie, l elettrone ne diffonde la frazione che illumina un area pari a σ e. σ e = 0.666 x 10-28 m 2 = 0.666 barn ( 1 barn = 10-24 cm 2 =10-28 m 2 )
Diffusione di onde e.m. da parte di un generico centro diffusore φ inc = φ 0 cos (k 0. r-ω 0 t); onda incidente su un centro diffusore Il centro diffusore emette un onda sferica che in R vale: φ sc = φ 0 A cos(kr- ω 0 t + α)/r; A= lunghezza di diffusione α= fase dell onda diffusa A e α dipendono dalla natura del processo di diffusione.
Eliminando, per convenienza, le parti dipendenti dal tempo si ottiene: onda incidente su un centro diffusore onda diffusa φ inc = φ 0 exp (i k 0. r); φ sc = φ 0 a exp (i KR) / R; dove a=a exp(iα) Nel caso di diffusione di raggi X da parte di elettroni legati: A= -r e sinβ β= angolo compreso tra R e il vettore di polarizzazione della radiazione incidente.
Consideriamo in caso in cui vi siano due centri diffusori, il primo nell origine del sistema di riferimento e il secondo in un punto che dista r dall origine. Bisogna introdurre una differenza di fase (k -k 0 ). r, con k = k 0. Definendo K=k -k 0 possiamo scrivere: φ sc = φ 0 a exp (i KR- i K. r) / R
Consideriamo due diffusori posti in O e O. Se un onda piana li eccita, essi divengono sorgenti di onde sferiche che interferiscono tra loro. Sia n il versore associato alla direzione di propagazione dei raggi X incidenti. La differenza tra la fase dell onda diffusa da O nella direzione definita dal versore n e quella diffusa da O nella stessa direzione è: δ= 2π/λ (n -n). R = 2π r*. R dove r* = 1/λ (n -n) Il modulo di r* si ricava dalla geometria della figura: r* = 2/λ sin(θ) dove 2θ è l angolo tra la direzione dei raggi X incidenti e quella di osservazione.
n' n θ O' θ R 1/λ n' B L r * d A θ O θ θ K 1/λ n AO= - R. n BO = R. n
Se tracciamo due piani normali a r* passanti per O e O possiamo anche considerare la diffrazione come ottenuta per riflessione speculare rispetto a tali piani. D altra parte, se si vuole avere un massimo di interferenza, deve valere: δ= 2π r*. R = 2πm (m=0, 1, 2, 3,...) Ma r*. R è la proiezione di R sulla retta perpendicolare ai piani (che, per costruzione, è parallela a r*). Pertanto la condizione di interferenza si riduce a: da cui: 2π d 2sin(θ) /λ = 2πm 2 d sin(θ) = m λ LEGGE DI BRAGG
λ θ d d sin(θ) Costruzione di Bragg per l interferenza costruttiva: 2d sin(θ) = m * λ Lunghezza d onda Spaziatura tra i piani Numero intero Diffrazione come riflessione speculare tra piani successivi
La stessa disposizione degli atomi in un cristallo permette di individuare diversi piani reticolari. L angolo di Bragg (θ) è la metà dell angolo totale di deflessione del raggio incidente.
I cristalli si comportano come reticoli di diffrazione per la radiazione X di lunghezza d onda comparabile alle distanze fra i piani reticolari. In particolare, una data fase cristallina diffrange i raggi X con uno spettro caratteristico in cui compaiono massimi di intensità (riflessi, o picchi, di Bragg).
Diffrattometro a due cerchi in geometria θ-θ. k 0 = 2π λ ˆ n k 0 k ' 2θ k ' = 2π n λ ˆ ' θ θ
Consideriamo ora un insieme di N diffusori posti nei siti r i (i=1, 2, 3,, N). L ampiezza del campo diffuso in un punto P lontano dall aggregato di centri diffusori diventa: φ sc = (φ 0 a / R) exp (i KR) Σ j exp (- i K. r j ) Introduciamo ora la funzione densità: ρ(r)= Σ j δ(r- r j ) La φ sc può quindi essere scritta come: φ sc = (φ 0 a / R) exp (i KR) ρ(r) exp (- i K. r) dr
La potenza diffusa per angolo solido in un punto R è proporzionale a φ sc 2 R 2. Definiamo la sezione d urto differenziale di diffusione σ(k) come: σ(k)= ( φ sc 2 R 2 )/ φ inc 2 = aa* ρ(r) exp (- i K. r) dr 2 Definiamo la funzione di scattering S(K) come: S(K) = ρ(r) exp (- i K. r) dr 2 / ρ(r) dr Pertanto: σ(k)= aa* S(K) ρ(r) dr aa* S(K) ρ(r) dr => Processo fisico (tipo di scattering) => Struttura (disposizione spaziale => densità di centri diffusori
Si può dimostrare che: S(K) = exp (- i K. r) [ ρ(r 1 ) ρ(r 1 +r) dr 1 ] dr / ρ(r) dr dove ρ(r 1 ) ρ(r 1 +r) dr 1 = < ρ(r 1 ) ρ(r 1 +r) > é la funzione di autocorrelazione della densità.
Consideriamo una catena unidimensionale di N centri diffusori equidistanti (a = distanza tra centri adiacenti). Abbiamo quindi un sistema ordinato spazialmente. r m Na 0 1 2 N-2 N-1 a L ampiezza di scattering sarà quindi proporzionale a: Φ sc N 1 e ik r m m = 0 con r m = m a.
La sommatoria sulle N ampiezze è una serie geometrica troncata: N 1 m= 0 e ik ma =1+ e ik a + e ik 2a ik ( N 1 +...+ e )a = 1 1 e 1 ik a e ik Na 1 e = 1 e ik Na ik a 1 e ik a Poiché l intensità diffusa è il modulo quadro dell ampiezza totale di diffusione: avremo che, ponendo x=ka 1 e inx 1 e ix 1 e +inx 1 e + ix I Φ * sc Φ sc = 2 2cosNx 2 2cos x = sin 2 Nx /2 sin 2 x /2
L ultima espressione ha dei massimi principali per x/2=nπ cioé quando: K. a= 2 Nπ (cfr. con 2π r*. R = 2πm ottenuta in precedenza) Abbiamo quindi determinato una relazione tra: - il vettore d onda scambiato K = k -k 0, - un vettore, a, associato alla disposizione ordinata dei centri diffusori nello spazio - i massimi della intensità della radiazione X diffusa Estensione al caso tridimensionale -> diffrazione da cristalli.
Consideriamo il caso in cui la distribuzione di carica di un singolo centro diffusore non venga trattato con una delta di Dirac ma con una funzione che abbia una determinata estensione nello spazio. I(K)= Φ sc * φ sc ρ(r) exp (- i K. r) dr 2 La diffusione elastica della radiazione X ci fa conoscere il quadrato della trasformata di Fourier della densità elettronica. Distribuzione simmetrica (sferica) degli elettroni di un atomo: ρ(r) = ρ(r) I(K) ρ(r) r 2 dr exp (- i Krcosχ) sinχ dχ dφ 2 = = 2π ρ(r) r 2 dr [ exp (- i Kr cosχ)/ i Kr ] (χ= 0, χ=π) 2 = 4π ρ(r) r sin(kr ) dr 2 Fattore atomico di diffusione