Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa
Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Risoluzione grafica di un equazione numerica intera di primo grado in una sola incognita È noto che risolvere algebricamente un equazione numerica intera di primo grado nell incognita, della forma a = b, con a,b R e a 0, significa individuare l unico valore reale che la soddisfa ovvero che, sostituito all incognita, la trasforma in un uguaglianza numerica b vera: =. a Risolvere graficamente in un piano cartesiano un equazione numerica intera di primo grado nell incognita, della forma a = b, con a, b R e a 0, significa individuare e rap- b =, quindi a presentare nel piano cartesiano gli infiniti punti della retta di equazione: parallela all asse. Se b = 0, l equazione diventa = 0 che, com è noto, rappresenta l asse. Risolvere graficamente in un piano cartesiano un equazione numerica intera di primo grado nell incognita, della forma a = b, con a, b R e a 0, significa individuare e rappresentare nel piano cartesiano gli infiniti punti della retta corrispondente di equazione: b =, quindi parallela all asse. a Se b = 0, l equazione diventa = 0 che, com è noto, rappresenta l asse. Risoluzione grafica di un equazione numerica intera di primo grado in due incognite Un equazione numerica intera di primo grado in due incognite, dopo aver eseguito le operazioni e ridotto i termini simili eventualmente presenti, può essere ricondotta alla forma a + b + c = 0, con a, b, c R. Dal punto di vista algebrico, un equazione numerica intera di primo grado in due incognite, della forma: a + b + c = 0, con a, b R 0, se non è impossibile in R, ammette infinite soluzioni ovvero esistono infinite coppie di numeri che la verificano. Risolvere graficamente in un piano cartesiano un equazione numerica intera di primo grado in due incognite, della forma a + b + c = 0, con a, b R 0 e c R, significa individuare e rappresentare nel piano cartesiano gli infiniti punti (aventi per coordinate le coppie di numeri reali soluzioni dell equazione) appartenenti alla retta del piano cartesiano avente equazione implicita: a + b + c = 0.
Funzioni quadratiche È noto che, quando a ciascun numero appartenente a un sottoinsieme D dell insieme R viene associato uno e un solo numero reale, si dice che è definita una funzione reale di variabile reale f sull insieme D. La funzione avente per dominio R e così definita: f: a a + b + c con a, b, c R a 0, ovvero la funzione che a associa f() = a + b + c, prende il nome di funzione quadratica. DEFINIZIONE La funzione quadratica è la funzione avente dominio D = R ed equazione: = a + b + c, con a R 0 e b, c R. La rappresentazione grafica di una funzione quadratica in un piano cartesiano è una curva che prende il nome di parabola. Essa è l insieme di tutti i punti del piano aventi coordinate (; a + b + c). Le coordinate dei punti della parabola si ottengono assegnando a dei valori reali arbitrari e ricavando, per ciascuno di essi, i corrispondenti valori di. CASI PARTICOLARI Se a = 0, b 0 e c 0, l equazione f() = a + b + c assume la forma f() = b + c che rappresenta l equazione della funzione affine. Se a = 0, b 0 e c = 0, l equazione f() = a + b + c assume la forma f() = b che rappresenta l equazione della funzione lineare. Se a 0, b = 0 e c = 0, l equazione f() = a + b + c assume la forma f() = a che rappresenta l equazione della funzione della proporzionalità diretta al quadrato. f() = + + è una funzione quadratica. La seguente tabella illustra i valori assunti da = f() al variare di nell insieme D = {,,8,9}. 8 9 + + = 9 0 89 esempio = è una funzione di proporzionalità diretta al quadrato. La seguente tabella illustra i valori assunti da = f() al variare di nell insieme D = {,,,,,8,}. 8 7 8 08 9 Dalla tabella si evince facilmente che, se raddoppia, quadruplica, ovvero diventa = volte più grande; se triplica, diventa = 9 volte più grande; se quadruplica, diventa = volte più grande,.
Dall equazione di una funzione quadratica al grafico di una parabola La rappresentazione grafica di una funzione quadratica di equazione: = a + b + c in un piano cartesiano è una parabola. Per tracciare una parabola nel piano cartesiano, è necessario conoscere e quindi congiungere un congruo numero di suoi punti. Cercare le coordinate di tali punti significa individuare un certo numero di coppie di numeri e che si ottengono dall equazione della funzione quadratica (associata alla parabola) assegnando a dei valori reali e ricavando, per ciascuno di essi, i corrispondenti valori di. È possibile esaminare i seguenti casi: caso : a 0, b 0 e c 0; caso : a = 0, b 0 e c 0; caso : a = 0, b 0 e c = 0; caso : a 0, b = 0 e c = 0. Caso : a 0, b 0 e c 0 È utile tener presenti alcune proprietà che caratterizzano la parabola e che saranno studiate in modo approfondito nei prossimi anni scolastici. Una parabola di equazione = a + b + c è dotata di un asse di simmetria parallelo all asse, di equazione b = a Preso un punto qualsiasi della parabola, il suo simmetrico rispetto all asse di simmetria è un punto della parabola. Se il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, a > 0, la parabola rivolge la sua concavità verso l alto; se a < 0, la parabola rivolge la sua concavità verso il basso. La parabola e il suo asse di simmetria hanno un punto V in comune, detto vertice della parabola. Le sue coordinate b b V ; a si individuano risolvendo il sistema tra l equazione della parabola e l equazione dell asse di simmetria: = a + b+ c b = a Se la parabola rivolge la sua concavità verso l alto, l ordinata del suo vertice corrisponde al valore minimo che la funzione quadratica può assumere; se la parabola rivolge la sua concavità verso il basso, l ordinata del suo vertice corrisponde al valore massimo che la funzione quadratica può assumere. ac a
Le coordinate dell eventuale punto di intersezione tra una parabola e l asse sono (0; c) e si determinano risolvendo il sistema tra l equazione della parabola e l equazione dell asse : = a + b+ c = 0 Asse di simmetria V Vertice V a > 0 Concavità verso l alto Vertice a < 0 Concavità verso il basso Caso : a = 0, b 0 e c 0 Se a = 0, b 0 e c 0, l equazione: f() = a + b + c assume la forma: f() = b + c, che rappresenta l equazione della funzione affine e a essa, com è noto, corrisponde una retta nel piano cartesiano. Caso : a = 0, b 0 e c = 0 Se a = 0, b 0 e c = 0, l equazione f() = a + b + c assume la forma f() = b, che rappresenta l equazione della funzione lineare e a essa, com è noto, corrisponde una retta passante per l origine del piano cartesiano. Caso : a 0, b = 0 e c = 0 Se a 0, b = 0 e c = 0, l equazione f() = a + b + c assume la forma f() = a, che rappresenta l equazione della funzione della proporzionalità diretta al quadrato e a essa corrisponde una parabola avente il vertice nell origine del piano cartesiano e l asse per asse di simmetria. Individuare le coordinate del vertice, l equazione dell asse di simmetria e la concavità delle parabole che corrispondono alle seguenti equazioni: = +. All equazione assegnata corrisponde nel piano cartesiano una parabola che rivolge la sua concavità verso l alto, che ha vertice nel punto: V ; e asse di simmetria di equazione: =. esempio
= + +. All equazione assegnata corrisponde nel piano cartesiano una parabola che rivolge la sua concavità verso il basso, che ha vertice nel punto: V 9 ; e asse di simmetria di equazione: =. Tracciare il grafico della funzione di equazione: f() = 9. Tenendo conto di quanto già studiato riguardo alla funzione modulo, la funzione di equazione: f() = 9 è così definita: 9 se 9 0 f( ) = + 9 se 9 < 0 f( ) 9 se = + 9 se < < Il grafico della funzione di equazione f() = 9 è quindi dato: dal tratto del grafico della parabola di equazione = 9 (che rivolge la sua concavità verso la direzione positiva dell asse ) appartenente al semipiano positivo dell asse e corrispondente alle appartenenti all insieme (, ] [, + ); dal tratto della parabola di equazione = 9 (che rivolge la sua concavità verso la direzione negativa dell asse ) corrispondente alle appartenenti all insieme (, ) riportato al di sopra dell asse delle.
Funzioni a tratti Le funzioni a tratti sono definite mediante espressioni diverse su sottoinsiemi diversi del dominio. La precisazione a tratti è legata alla rappresentazione grafica nel piano cartesiano che si realizza, infatti, mediante tratti, anche non continui. Funzione parte intera Si prenda in considerazione la funzione parte intera f: R a R così definita:, se è intero f( ) = al più grande intero relativo minore di, se non è intero La funzione parte intera è una funzione a tratti, infatti il suo grafico è formato da tanti segmenti appartenenti a rette parallele all asse delle ascisse, ciascuno di lunghezza, a ciascuno dei quali non appartiene ciascun estremo destro (infatti, se per esempio, < è =, ma per = è = ). 0 Funzione a tratti parte intera Si prenda in considerazione la funzione f: [0, ] a R così definita: esempio Il dominio della funzione è l insieme: [0, ]. Dalla definizione della funzione assegnata, si deduce che il suo codominio è l insieme: [0, ]. Il grafico della funzione è formato: in [0, ] dal tratto del grafico della retta di equazione = ; in (, ] dal tratto del grafico della retta di equazione = ; in (, ] dal tratto del grafico della retta di equazione =. se 0 f( )= se < se < 0
La funzione modulo È noto cosa si intende per valore assoluto o modulo di un numero intero relativo p: p se p > 0 p = p se p < 0 0 se p = 0 Il modulo di un numero reale p lascia quindi invariato il segno del numero p se p è positivo, cambia segno a p se p è negativo, è nullo se p è nullo. Nella rappresentazione dei numeri sulla retta reale, il modulo di p rappresenta la distanza tra l origine e il punto associato a p sulla retta reale. Si prenda ora in esame la funzione modulo, di equazione: f() = e così definita: se 0 f( )= se < 0 Il suo dominio è l insieme R dei numeri reali: D = R. Per definizione, poiché il modulo di un numero è nullo o positivo, si deduce che il codominio della funzione modulo è costituito dai numeri reali non negativi: f(d) = { R: 0} = = [0, + ). La funzione modulo è una funzione a tratti, infatti il suo grafico è dato: in [0, + ), dal tratto della bisettrice del primo e terzo quadrante, di equazione = e appartenente al primo quadrante; in (, 0), dal tratto della bisettrice del secondo e quarto quadrante, di equazione = e appartenente al secondo quadrante. 0 9 8 7 0 Tracciare il grafico della funzione di equazione f() = +. Per definizione si ha: esempio + se + 0 + se f( ) = f( ) = se + < 0 se < Il dominio è l insieme R dei numeri reali: D = R.
Poiché il modulo di un numero è nullo o positivo, si deduce che il codominio della funzione assegnata è costituito dai numeri reali non negativi: f(d) = { R: 0{ = [0, + ). La funzione è a tratti, infatti la sua rappresentazione grafica è data: in [, + ), dal tratto della retta di equazione = + e appartenente al semipiano positivo dell asse ; in (, ), dal tratto della retta di equazione = e appartenente al semipiano positivo dell asse. 0 9 8 7 0 7 8 9 0 La funzione segno Si prenda in esame la funzione segno, detta anche funzione signum, così definita: se < 0 f( )= 0 se = 0 se > 0 Il suo dominio è l insieme R dei numeri reali: D = R. Dalla definizione si deduce che il codominio della funzione modulo è costituito dai numeri reali, 0 e : f(d) = {, 0, }. La funzione segno è una funzione a tratti, infatti la sua rappresentazione grafica è data: dal tratto, appartenente al primo quadrante, della retta passante per il punto (0; ) e parallela all asse ; dal punto origine del piano cartesiano; dal tratto, appartenente al terzo quadrante, della retta passante per il punto (0; ) e parallela all asse. 7 0 7
Funzione di proporzionalità inversa Si prenda in considerazione la funzione di equazione: n =, n R 0 Dall esame dell equazione, si evince che al crescere (o al decrescere) di, decresce n n (o cresce) allo stesso modo anche =. Per tale motivo, la funzione di equazione =, n R 0,è anche detta funzione di proporzionalità inversa di coefficiente di proporzionalità n. Essa è una funzione avente per dominio l insieme dei numeri reali privato dello zero: D = R {0}. La funzione di proporzionalità inversa corrisponde nel piano cartesiano a una curva particolare che prende il nome di iperbole equilatera riferita al centro e ai propri asintoti. Se n > 0, la curva è situata nel primo e terzo quadrante; se n < 0, nel secondo e nel quarto quadrante. Le due parti di cui è costituita l iperbole prendono il nome di rami. Gli assi e non sono assi di simmetria per l iperbole. L iperbole è inoltre simmetrica rispetto all origine O del piano cartesiano. D 0 E 0 E 0 0 D I punti E e D (nelle due rappresentazioni) sono i vertici dell iperbole equilatera. Essi si determinano intersecando l iperbole con la bisettrice del primo e del terzo quadrante, se n > 0; con la bisettrice del secondo e quarto quadrante, se n < 0. La bisettrice a cui appartengono i vertici prende il nome di asse traverso dell iperbole equilatera. Gli assi rappresentano gli asintoti dell iperbole equilatera.
esempio Completare la seguente tabella, che si riferisce all equazione di una funzione di proporzionalità inversa, e rappresentare nel piano la corrispondente iperbole: = Per completare la tabella è necessario sostituire a, contenuto nell equazione valori contenuti nella prima riga: =, i = = = Per rappresentare in un piano cartesiano l iperbole di equazione =, è necessario individuare i vertici dell iperbole: essi sono i punti di intersezione dell iperbole con la bisettrice del primo e del terzo quadrante (perché n = è un numero positivo), di equazione =. Le loro coordinate, ( ; ) e ( ; ), si determinano risolvendo il sistema costituito dall equazione dell iperbole e dall equazione della bisettrice ovvero il seguente sistema: = = Il grafico dell iperbole di equazione = è il seguente: E 0 9 8 7 7 8 9 0 D