Esercitazioni 26/10/2016 Esercizio 1 Un anello sottile di raggio R = 12 cm disposto sul piano yz (asse x uscente dal foglio) è composto da due semicirconferenze uniformemente cariche con densità lineare di carica rispettivamente λ (per y > 0) e λ (per y < 0), con λ = 2.6 10 8 C/m. Determinare: 1) il valore del momento di dipolo p del sistema (specificandone direzione e verso); 2) l espressione del campo elettrico E sull asse x in approssimazione di dipolo (specificandone direzione e verso); 3) l espressione esatta (non in approssimazione di dipolo) del campo elettrico E al centro dell anello. y z R Soluzione 1 1) Data la simmetria del problema, il momento di dipolo sarà diretto lungo l asse y, p = pŷ. Utilizzando la definizione p = dqr, si ottiene (tenendo conto che 1
dq = λdl, del segno di λ, ed indicando con α l angolo rispetto a z del raggio del generico tratto di circonferenza dl, per cui dl = Rdα) p = λr 2 [ π 0 2π ] sin α dα sin α dα = 4λR 2 = 1.5 10 9 Cm π 2) Utilizzando l espressione di V (r) in approssimazione dipolare V (r) = (4πɛ 0 ) 1 p r/r 3, con r il vettore posizione dell elemento dl di circonferenza e r 3 = (x 2 y 2 z 2 ) 3/2, possiamo scrivere le componenti del campo E(r) dalla relazione E = V. Tenendo conto che p r = py, le componenti del campo elettrico sono E(r) = p ( 3xy 4πɛ 0 (x 2 y 2 z 2 ) 5/2, 3y 2 ) (x 2 y 2 z 2 ) 5/2 1 (x 2 y 2 z 2 ) 3/2, 3zy (x 2 y 2 z 2 ) 5/2 che sull asse x (y = 0, z = 0), diventa E = E(x)ŷ = p 1 4πɛ 0 x 3 ŷ diretto lungo l asse y e orientato verso le y negative. 3) Data la simmetria del problema l unica componente non nulla del campo elettrico sarà quella diretta lungo y. Inoltre ha verso negativo sia per il contributo dato dalla parte di anello negativa sia per il contributo dato dalla parte carica positivamente. Si può quindi calcolare il campo elettrico al centro dell anello dovuto solo alla carica positiva, e moltiplicare il risultato per due. Denotando l angolo α come al punto 1), si trova E(x) = 2λR π 4πɛ 0 R 2 sin α dα = λ πɛ 0 R 0 Esercizio 2 Due condensatori piano uguali con armature quadrate (lato l = 5.0 cm) e aventi distanza tra le armature d = 2.0 mm sono collegati come mostrato in figura. La differenza di potenziale tra i punti A e B vale V 0 = 90 V. Mantenendo il sistema dei due condensatori isolato, il condensatore 1 viene riempito completamente con un materiale isolante a densità variabile lungo l asse z con origine nell armatura superiore e orientato verso il basso. Di conseguenza la costante dielettrica dell isolante varia secondo la legge ɛ r1 = 1/(a bz), dove a = 0.08 e b = 0.05 mm 1. Calcolare: 1) la capacità del condensatore 1 dopo l inserimento del materiale isolante; 2) la carica presente sulle armature del condensatore 1 dopo l introduzione del materiale isolante; 3) la densità superficiale delle cariche di polarizzazione sulle due superfici (ovvero z = 0 e z = d) del materiale isolante; 4) la densità di volume delle cariche di polarizzazione all interno del materiale isolante. 2
A C 1 C 2 B Soluzione 2 Per detrminare la capacità C 1 partiamo dal campo elettrico, che ha modulo E = σ/(ɛ 0 ɛ r1 ) = Q(a bz)/(ɛ 0 l 2 ). la differenza di potenziale tra le armature sarà V (0) V (d) = 0 d E dz = Q (ad ɛ 0 l 2 12 ) bd2 La capacità è il rapporto tra la carica e la differenza di potenziale, quindi C 1 = ɛ 0 l 2 ad 1 = 85 pf 2bd2 2) Il sistema è isolato e quindi la carica si conserva. Indicando con C 01 = C 02 = ɛ 0 l 2 /d le capacità (uguali) iniziali dei due condensatori, V 0 (C 01 C 02 ) = V (C 1 C 02, dato che i condensatori sono in parallelo. La carica sul primo condensatore sarà Q = C 1 V = 1.8 nc, con V il potenziale finale ricavato dall equazione precedente. 3) Il vettore polarizzazione elettrica è dato da P = ɛ 0 (ɛ r1 1)E = σ(1 a bz)ẑ, da cui σ P (0) = σ(1 a) = 6.5 10 7 C/m 2 e σ P (d) = σ(1 a bd) = 5.8 10 7 C/m 2. 4) ρ P = P = bσ = 3.5 10 5 C/m 3. GLI ESERCIZI CHE SEGUONO SONO SOLO DI APPROFONDIMENTO Trovare i valori delle correnti i 1 e i 2. Esercizio 3 3
i 1 9 V i 2 6 Ω 14 V Soluzione 3 Il filo senza resistenza che passa da una parte all altra del circuito è un cortocircuito, che fa sì che la corrente nella resistenza da sia nulla. Possiamo dividere il circuito in due circuiti, uno a destra e uno a sinistra del cortocircuito. Per quello a sinistra avremo semplicemente 9 = 4i 1, quindi i 1 = 2.25 A. Per il secondo circuito consideriamo la maglia trapezoidale e quella rettangolare, con correnti rispettivamente I 2 e I 1 prese in verso antiorario: { 14 = 2I 1 6(I 1 I 2 ) 0 = 2I 2 6(I 1 I 2 ) Sostituendo i valori numerici troviamo I 1 = 4 A e I 2 = 3 A. Abbiamo quindi i 2 = I 1 I 2 = 1 A. Esercizio 4 Senza dimostrarlo, le due configurazioni in figura sono equivalenti, con le resistenze legate dalle relazioni R 1 = R a R c R a R b R c ; R 2 = R b R c R a R b R c ; R 3 = R a R b R a R b R c La trasformazione si chiama triangolo-stella e può essere utile per calcolare la re- R c R a R b R 1 R 2 R 3 sistenza equivalente di circuiti più complicati. Ad esempio nel circuito in figura il 4
triangolo superiore si può ridurre ad una stella e ridisegnare il circuito esattamente come quello del primo esercizio della volta scorsa, con i nuovi valori delle resistenze. La resistenza equivalente si calcola ora semplicemente facendo il parallelo tra le serie 1/ 1 Ω 3 Ω 3/8 Ω 3/ 5 Ω 5 Ω (3/8 Ω, ) e (3/, 5 Ω), il tutto in serie con 1/. 5