Michela Eleuteri ESERCIZIARIO DI ANALISI MATEMATICA I

Michela Eleuteri ESERCIZIARIO DI ANALISI MATEMATICA I Università degli Studi di Verona, Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica a.a. /

A Giulia con la speranza che almeno nella matematica non assomigli al papà

Indice Numeri 7. Equazioni e disequazioni: esercizi proposti..................... 7. Trigonometria: esercizi proposti............................3 Estremo superiore e inferiore/massimo e minimo: esercizi proposti.........4 Numeri complessi................................... 7.4. Esercizi svolti................................. 7.4. Esercizi proposti................................4.3 Test a risposta multipla........................... 9 Esercizi riguardanti graci di funzioni elementari 37. Esercizi proposti................................... 37 3 Esercizi riguardanti domini di funzioni reali di variabile reale 39 3. Esercizi proposti di primo livello........................... 39 3. Esercizi proposti di secondo livello.......................... 4 4 Esercizi riguardanti funzioni composte e inverse 47 4. Funzioni inverse: esercizi proposti.......................... 47 4. Funzioni composte: esercizi proposti........................ 53 4.3 Funzioni composte e inverse: test a risposta multipla............... 57 5 Esercizi riguardanti limiti di successioni e funzioni 6 5. Limiti di successioni: esercizi proposti........................ 6 5. Denizione di limite di funzioni: test a risposta multipla............. 64 5.3 Limiti di funzioni: esercizi svolti........................... 67 5.4 Limiti di funzioni: test a risposta multipla..................... 7 5.5 Attenzione!...................................... 8 6 Applicazioni del teorema dei valori intermedi 83 6. Il problema del monaco buddista.......................... 83 3

INDICE 6. Test a risposta multipla............................... 84 7 Derivate di funzioni reali di una variabile reale e applicazioni 89 7. Derivate: test a risposta multipla.......................... 89 7. Retta tangente: test a risposta multipla....................... 94 7.3 Continuità e derivabilità: test a risposta multipla................. 99 7.4 Derivate: esercizi di ricapitolazione proposti.................... 4 8 Esercizi riguardanti estremi locali di funzioni reali di una variabile reale 5 8. Continuità, derivabilità, massimi e minimi: domande di tipo teorico....... 5 8. Estremo superiore e inferiore, massimi e minimi, asintoti obliqui......... 9 Studio del graco di funzioni reali di una variabile reale 5 9. Studio di funzioni: esercizi proposti......................... 5 9. Andamento qualitativo del graco di una funzione attorno all'origine: esercizi proposti........................................ Esercizi riguardanti approssimazione e polinomi di Taylor 5. Algebra degli o piccoli............................... 5. Stima dell'errore................................... 7.3 Limiti di funzioni risolti tramite l'uso di polinomi di Taylor............ 8.4 Polinomi di Taylor e approssimazione........................ 3 Esercizi riguardanti serie numeriche 39. Esercizi proposti................................... 39. Test a risposta multipla............................... 4.3 Esercizi proposti (di secondo livello)......................... 48 Esercizi riguardanti integrali 53. Integrali indeniti................................... 53.. Integrali immediati e per sostituzione.................... 53.. Integrali di funzioni razionali......................... 54..3 Integrali per parti............................... 54..4 Esercizi di riepilogo.............................. 55. Integrali deniti.................................... 55.3 Integrali generalizzati e funzione integrale...................... 65.4 Esercizi di tipo teorico................................ 8.5 Aree e volumi..................................... 85 4

INDICE 3 Esercizi riguardanti equazioni dierenziali ordinarie 9 3. Equazioni dierenziali ordinarie del primo ordine................. 9 3.. Esercizi svolti................................. 9 3.. Esercizi proposti............................... 93 3..3 Test a risposta multipla........................... 95 3. Equazioni dierenziali ordinarie del secondo ordine................ 96 3.. Esercizi svolti................................. 96 3.. Esercizi proposti............................... 4 Principio di induzione e successioni denite per ricorrenza 3 4. Principio di induzione................................ 3 4. Successioni denite per ricorrenza.......................... 8 4.. Esercizi con traccia della soluzione..................... 8 4.. Esercizi proposti............................... 5

INDICE 6

CAPITOLO Numeri.. Equazioni e disequazioni: esercizi proposti Esercizio.. Risolvete le seguenti disequazioni )x 5x + 6 > )(x + )(x )(x 3) < 3)(x )(x + )(x x 6) 4) x x + x + x < 5)3x + 5 8 6) 6 x 4 7)3( x) < (3 + x) 8) x + x 9) x + 4 3 ) x 3x 4 x < x + ) 3x 7 < ) x + 5 < 3) x x 4) < 5) x + > x 3 6) x 3 < x 7)(e x 5) + 5(e x 5) + > 8) x(x 3) 9) x + x ) x x + ) x(x 3) > x 7

Numeri R. ) x < 5 6 x > 5 + 6 ) x < < x < 3 3) 4)x < < x < + x > 5) 6) 7) 8) 9) ) ) 5 3 < x < 3 ) 3 < x < 3) 4) 5)x > 6)x < 3 x > 7) 8) 9) ) ) 5) La soluzione è x >. Infatti si distinguono tre casi: x <, x 3, x > 3. Si ha: x < x > x + 3 x 3 x + > x + 3 x > 3 x + > x 3 quindi x < impossibile x 3 x > x > 3 qualunque x Mettendo assieme i risultati dei vari sistemi si ottiene la soluzione data. 6) La soluzione è x < 3 x >. Infatti si distinguono tre casi: x <, x 3, x > 3. Si ha: x < x + 3 < x x 3 x + 3 < x x > 3 x 3 < x quindi x < x < 3 x 3 x > x > 3 x > Mettendo assieme i risultati dei vari sistemi si ottiene la soluzione data. 8

. Equazioni e disequazioni: esercizi proposti Esercizio.. Risolvete le seguenti equazioni ) x 4 x = (x ) x + 3) x = 4 x 4) 3x x = x 5) x + = x 3 6) x = 7)7 x = 8)4 x = 3 9)4 x = 3 x 3) x = 3 x+ 3)3 x 3 x 5 = 3) log 3 x = 3 33) log 3 x = log 3 log 3 (x + ) 34) log x + log 4 x = 3 35)4 log 4 x log ( + x) = 36) log x e + log x = 37) log π x = R. )x 3)x = 6 3 4)x = 5)x = 6) 7) 8)x = log 4 3 oppure equivalentemente x = log 3 log 4 log 3 3)x = log log 3 3)x = 3)x = 7 33)x = 9) 34)x = 4 35) 36)x = e 37) ( log + ) ) La soluzione è x. Infatti innanzitutto bisogna porre l'esistenza delle radici, quindi bisogna mettere a sistema x 4, x e x + che dà x. A questo punto si semplicano ambo i membri per cui l'equazione data diventa un'identità, ragion per cui ogni x che soddisfa le condizioni di esistenza delle radici va bene. 3) La soluzione è x = 6 3. Infatti innanzitutto bisogna porre l'esistenza della radice, quindi x. D'altra parte, siccome sto uguagliando un secondo membro a una radice, che è sempre positiva (o nulla), devo porre l'ulteriore condizione che anche il secondo membro sia non negativo, altrimenti avrei un assurdo, quindi pongo anche 4 x cioè x 4. Le condizioni 9 log 3

Numeri sono dunque x 4. A questo punto elevo a quadrato ambo i membri e ottengo, dopo semplici calcoli, le soluzioni x = 6 ± 3; scarto la soluzione x = 6 + 3 perché non rientra nell'intervallo individuato prima e ho la soluzione proposta. 4) La soluzione è x =. Infatti innanzitutto bisogna porre l'esistenza della radice a destra cioè x ; poi devo porre l'esistenza della radice a sinistra, cioè 3x x. Per risolvere quest'ultima prima pongo x poi elevo a quadrato e ottengo 9x 4x che risolta dà x x 4/9. Mettendo a sistema le tre condizioni x, x e x x 4/9 si ottiene la condizione 4/9 x. Ora posso elevare a quadrato nella mia equazione di partenza e ottengo 3x x = x che porta a x = x. A questo punto, prima di elevare di nuovo al quadrato, occorre porre una nuova condizione di compatibilità, cioè x (il secondo membro deve essere non negativo perché uguagliato a una radice) che messa a sistema con la precedente porta a / x. Ora posso elevare nalmente a quadrato ambo i membri e ottengo l'equazione 4x 5x + = che risolta dà: x = accettabile e x = /4 non accettabile per quanto detto sopra. 5) La soluzione è: x =. Infatti, si distinguono i tre casi: x < che non dà soluzioni, x 3 che dà come soluzione x = e inne ( x > 3 che non dà soluzioni. + log ) 3) L'unica soluzione accettabile è: x =. Infatti si pone 3 x = t; notare che deve log 3 essere t >, quindi se troverò t non positivi dovrò scartarli. Allora si deve risolvere t t 5 = che fornisce le soluzioni t = + accettabile e t = non accettabile perché negativa, da cui la soluzione proposta. 3) x = 7. Infatti basta ricordare che = log 3 3 da cui log 3 x = 3 log 3 3 = log 3 3 3 quindi x = 7. 33) x =. Infatti basta prendere i logaritmi di ambo i membri, si ottiene x = da cui x = x+ oppure x = ; la soluzione x = non è accettabile a causa delle condizioni di esistenza del logaritmo (x > e x >, da cui deve necessariamente essere x > ) 34) x = 4. Infatti basta ricordare la formula del cambiamento di base log b x = log a x log a b e il fatto che log(ab) = log a + log b; quindi l'equazione di partenza si riduce a log x + log x log 4 = 3 log x + log x = 6 log (x x) = 6 3 log x = 6 x = 4 36) x = e. Infatti dalla formula del cambiamento di base si ottiene in particolare che log x a = log a x quindi l'equazione di partenza si riduce a log e x + log e x =

. Equazioni e disequazioni: esercizi proposti Si pone poi log e x = t da cui t t + = quindi t = e quindi x = e. Esercizio..3 Determinare, al variare di k R, il numero di soluzioni delle equazioni: 38) x 4 = k 39) 3x + = k 4) x 4 x = k Esercizio..4 Determinate i valori di x per cui si ha: 4) sin x = 3/ 4) cos x / 43) 3 sin x + cos x = 44) sin x cos x = R. 4)x = π 3 + kπ e x = π 3 + kπ, k Z 4) π 3 + kπ x 5 3 π + kπ, k Z 44) x = π e x = π. Infatti basta operare la sostituzione sin x = Y e cos x = Z mettendo a sistema l'equazione data che diventa Y Z = con la formula Y + Z = e risolvere poi il sistema ottenuto. Alternativamente si può operare la sostituzione t := tan x da cui sin x = t cos x = t + t + t Esercizio..5 Dite se le seguenti uguaglianze sono vere e motivare la risposta: 45)(( + a ) /3 ) 3/4 = + a 46)(( + a) /3 ) 3/4 = + a 47) a = a

Numeri.. Trigonometria: esercizi proposti Esercizio.. Dite per quali valori ha senso calcolare le seguenti espressioni 5) cos x 5) sin((x log( x)) 5) log(sin x + cos x) e 3x R. 5) kπ π 4 < x < 3 4 π + kπ, k Z oppure equivalentemente kπ < x < 3 4 π + kπ kπ + 7 π < x < π + kπ 4 Esercizio.. Determinate la tangente di x, dove x risolve l'equazione sin x 6 cos x sin x cos x = Esercizio..3 Determinate la tangente di x/ dove x risolve l'equazione sin x + 7 cos x + 5 =.3. Estremo superiore e inferiore/massimo e minimo: esercizi proposti Esercizio.3. Sia A = { } n : n N \ {}. Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Hint: n è crescente in n, quindi /n è decrescente in n, cioè <. Quindi sup A = n+ n raggiunto per n = quindi è anche un massimo. Congetturo che l'inf A =. Per dimostrarlo rigorosamente, devo far vedere che: (i) l = è minorante, cioè n N \ {} si ha < il che è sempre vero; n (ii) l = è il massimo dei maggioranti. Come si dimostra: ssato ε >, devo determinare n

.3 Estremo superiore e inferiore/massimo e minimo: esercizi proposti tale che + ε non sia più minorante, cioe' trovo un elemento di A più piccolo di ε, ossia + ε > n n > ε che è sempre vero proprietà di archimede. Allora inf A = e il minimo non esiste ( non appartiene ad A). Esercizio.3. Sia A = { n : n N \ {} }. Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Hint: analogamente all'esercizio precedente, si dimostra che inf A = min A = ; sup A = e max A non esiste. Esercizio.3.3 Sia A = { } n n + : n Z. Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Hint: A è limitato superiormente e inferiormente. Infatti è possibile dimostrare (risolvendo esplicitamente le disequazioni) che n Z n n + Eventuali estremanti sono pertanto ±, che sono raggiunti rispettivamente per n = ±. Quindi inf A = min A = ; sup A = max A =. Esercizio.3.4 Sia A = {n + n : n N \ {} }. Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Hint: n cresce mentre /n decresce ma all'innito n ha comportamento predominante (considerando le rispettive successioni associate, n è un innito di ordine superiore a /n; quindi sup A = + e max A non esiste. D'altra parte, osservo che per n = e n = si ha 3

Numeri n + /n = 3; per n > si ha n + /n > n 3; quindi inf A = min A = 3. Esercizio.3.5 Sia A = { } n n + : n N. Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Hint: Voglio far vedere che la successione n è crescente. Per fare questo, devo mostrare n+ che n n + < n + n + + n n + < n n + n + n n < n + n < dove ho potuto eliminare i denominatori perché stiamo lavorando in N e quindi n. Allora l'estremo inferiore è quello raggiunto per n =, quindi inf A = min A =. Ora dimostriamo che sup A = (e quindi max A non esiste). maggiorante, quindi occorre far vedere che Dobbiamo prima di tutto mostrare che è un n n + < n < n + < che è sempre vero. Ora bisogna far vedere che è il minimo dei maggioranti, cioè che per ogni ε, ε non è un maggiorante, ossia D'altra parte ε >, n N : ε < n n +. ε < n n + n + n + n + < ε n + < ε n > ε che di nuovo è vero per la proprietà di Archimede. Da cui la tesi. Esercizio.3.6 Sia A = { } n + ( ) n n : n N \ {}. n Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Hint: innanzitutto possiamo riscrivere l'insieme A nel seguente modo: + n pari A = n n dispari. n 4

.3 Estremo superiore e inferiore/massimo e minimo: esercizi proposti Quindi ragiono separatamente nei due casi, che sono analoghi ai primi esempi trattati. modo semplice si può far vedere che se n è pari, sup A = max A = 3 mentre inf A = e il minimo non esiste; se n è dispari si fa vedere che sup A = ma il massimo non esiste, mentre inf A = min A =. A questo punto ci si ricorda delle seguenti formule (di immediata dimostrazione): sup(e F ) = max{sup E, sup F } inf(e F ) = min{inf E, inf F } quindi possiamo concludere che qualunque sia n, In inf A = min A = sup A = max A = 3 Esercizio.3.7 Sia A = { x R : 9 x + 3 x+ 4 }. Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Hint: basta risolvere la disequazione 3 x + 3 3 x 4 da cui sostituendo t = 3 x si ha t + 3t 4 t 4 t 3 x 4 3 x 3 x x Quindi inf A = min A = ; sup A = + e ovviamente il massimo non esiste. Esercizio.3.8 Sia A = { ( ) } x > : cos =. x Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Hint: si osserva che cos ( ) = x x = π + kπ, k N perché si chiede che x >. Quindi x = π( + k), k N. 5

Numeri Allora sup A = max A = raggiunto per k =. Mostriamo che inf A = e che min A non π esiste. Prima di tutto è banalmente minorante. Inoltre è il massimo dei minoranti perché ssato ε >, ε non è più un minorante, infatti che è possibile. ε >, k N : ε > π( + k) k > π ε Esercizio.3.9 Sia A = { [ + ( ) n ]n + n +, } n N. Determinare inf A e sup A e dite se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Esercizio.3. Sia A = { n n + : } n N. Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Esercizio.3. Sia { n + [n + ( ) n ] A = n + } : n. Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Esercizio.3. Sia A = { } n n cos(nπ) + n + n cos(nπ) + : n. Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. 6

.4 Numeri complessi Esercizio.3.3 Sia A = { } n + : n [, ). Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R..4. Numeri complessi.4.. Esercizi svolti Esercizio.4. Calcolate ( i) ( + 3i) Si ha ( i) ( + 3i) = + 6i i + ( i)(3i) = 5i + 3 = 5 + 5i. Esercizio.4. Calcolate ( i) + ( + 3i) Si ha ( i) + ( + 3i) = i + + 3i = 3 + i. Esercizio.4.3 Calcolate i( i) + (3 i)(i + ) Si ha i( i) + (3 i)(i + ) = i + 3i + 6 + i = 6 i. 7

Numeri Esercizio.4.4 Calcolate parte reale, parte immaginaria e il coniugato del numero i(i 3) + (i )(3 + 4i) Si ha i(i 3) + (i )(3 + 4i) = 3i + (i )(3 4i) = 3i + 3i + 4 3 + 4i = + 4i da cui R(z) =, I(z) = 4, z = 4i. N.B. I(z) = 4 4i!!! Esercizio.4.5 Calcolate i 3 + i Si ha i 3 + i = 6 i 3i 9 + = 5 5i = i. Esercizio.4.6 Calcolate 3i Si ha + 3i 3i + 3i = + 3i 3. Esercizio.4.7 Calcolate + i (3 i) 3i + 8

.4 Numeri complessi Si ha + i (3 i) 3i + = + i 3 i 3i + 3i 3i = 3i. N.B. un errore molto comune sarebbe stato moltiplicare ambo i membri per 3i e non per 3i. Infatti il complesso coniugato del numero 3i + è 3i e non 3i. Esercizio.4.8 Calcolate iz z i + z se z = 3 + i Si ha i(3 + i) (3 i) 3 + i 3 i 3 i = ( 7 + 5i)(3 i) 3 = + 9i. 3 Esercizio.4.9 Calcolate 3z i z ( i)z R(z) I(z) se z = + i Si ha 3( + i) i(4 + ) ( i)( i) 4 = 6 + 3i 4i i 4 + 4i + 3 = + i 3. Esercizio.4. Calcolate I ) (iz z + z z se z = + 3i Si ha iz z + z z 3i = i + + 3i 3i = i + 3i = + 7i da cui I ) (iz z + z = 7. z 9

Numeri Esercizio.4. Calcolate ( ) z z R iz se z = + i Si ha innanzitutto z = + i, z = i z = 5 iz = i da cui ( ) z z R iz ( 5 4 + i = R i ( ) 3 4i = R 5 ) ( i + i = R i + i = 3 5. ) i = R i ( ) 4i + 4 5 N.B. Di nuovo osserviamo che i = i i +!!! Esercizio.4. Trovare le soluzioni (z, w) con z, w C del seguente sistema { zw = i z w + z =. Prima di tutto osserviamo che z, altrimenti si avrebbe l'assurdo = i. Quindi passando ai coniugati nella seconda riga del sistema e ricordando le proprietà del coniugio, si ottiene z w + z = z w + z = z w + z = visto che z è un numero reale. Sostituendo dalla prima equazione (ok, visto che abbiamo visto che z ) A questo punto, so che z = z z quindi z i z + z =. zzi z + z =

.4 Numeri complessi da cui zi + z =. A questo punto poniamo z = a + ib da cui z = a ib e quindi l'equazione da risolvere diventa (a ib)(i + ) = da cui ai + a + b ib =. Uguagliando parte reale e parte immaginaria si ottiene { a b = a + b =. Quindi a = b = da cui z = + i = i +, w = i z = i i + i i = i + = i +, w = i. Per curiosità, facciamo la prova per vericare che eettivamente la soluzione trovata soddisfa il sistema di partenza. Si ha z w = + i (i + ) = ( + i) = ( + ( ) + i) = i e inoltre z w + z = ( 4 + ) ( i) + + i 4 = ( i + + i) =. Esercizio.4.3 Trovare le soluzioni (z, w) con z, w C del seguente sistema { z + w = + i w + z = i. Dalla prima equazione si ricava z = + i w, da cui z = i w quindi sostituendo nella seconda equazione si ottiene w + iw = i da cui w(w ) =

Numeri che porta a due casi: w = da cui si deduce w = e w =. Allora le soluzioni del sistema sono ( + i, ) e (i, ). Esercizio.4.4 Trovare le soluzioni (z, w) con z, w C del seguente sistema { z z = 4i ( + i)z = ( i)z. Ponendo z = a+ib si ha z = a ib e z = (a+ib) = a +abi b e dunque z = a abi b. Quindi il sistema dato si riduce al seguente sistema (dove a e b stavolta sono numeri reali!!!) { 4abi = 4i ( + i)(a + ib) = ( i)(a ib) { ab = (a + b)i =. Dalla seconda equazione si deduce a = b che inserito nella prima non dà alcuna soluzione (visto che a, b per denizione sono numeri reali)..4.. Esercizi proposti Esercizio.4.5 Trovare modulo e argomento dei seguenti numeri complessi e scrivere trigonometrica )z = + i )z = 3i + 3)z = i. z nella forma

.4 Numeri complessi Esercizio.4.6 Descrivere geometricamente l'insieme dei punti z che soddisfano 4) z = 5) z 6)arg(z) = π 3 7) z i 3 8) z 3 + 4i 5 9)π arg(z) 7 4 π. 3

Numeri Esercizio.4.7 Disegnare nel piano complesso il luogo dei punti z tali che ) z = z + i )R(z) > )I(z) = 4 3)z = 8 + i 4)z = 3 i 5) z < e z i < 6) z i = z e z i 7) z < z + e z + i < 8) z > z + e z + i < 9) z < z + e z + i > ) z + < e Rz = Iz ) z + < e Rz > Iz ) z + = e Rz < Iz 3) z + < e Rz < Iz 4) z > e z i < 5) z < e z i > 6) z + < z + i 7) z + = z + i 8) z > z + i 9) z + > z + i 3) z i < z + i e z + i < 3) z i > z + i e z + i < 3) z + i > z e z + < 33) z + i < z e z + < 34) z + i > z e z + > 35) z + i < z e z + > 4

.4 Numeri complessi Esercizio.4.8 Risolvere in C le seguenti equazioni 36)z + z z 4 + 4i = ( ) 3 z i 37) = i i 38)z + i 3z + i = 39)5 z z = z z + 6i 4)( z z + 6i)Iz = 9i 4)(z + z 3)Rz = 6 i 4)5z + z = z z + 4i 43)(z z + )Rz = 3 3i 44)(z + ) z = iz 45)( z )z = iz 46)(z ) z = i z 47)( z + )z = i z 48)z + i z 49)z i z 5)z +i z 5)z + +i z = + i = + i = i = + i 5)z(4 z) = 4 3i 53)i z Iz = z 54) z + z = + i 55) z + z = i 56)(z + ) 3 = i 5

Numeri Esercizio.4.9 Disegnare nel piano di Gauss i seguenti insiemi: (a) {z + i : z E} (b) {z i : z E} (c) { iz : z E} (d) {iz : z E} (e) { z : z E} (f) { z + i : z E} (g) {z : z E} (h) {z 3 : z E} (i) { z : z E} dove E di volta in volta è l'insieme ) E = {z C : z, arg(z) π} ) E = {z C : z 3, π arg(z) 3 π} 3) E = {z C : z =, arg(z) π} 4) E = {z C : π arg(z) π} Esercizio.4. Trovare modulo e argomento del numero complesso 3 + i 3 ed esprimere poi in forma algebrica il numero complesso di modulo 5 ed argomento 7π/4. Esercizio.4. Calcolare z 3 iz 5 + z 7 dove z = ( + i)/ e calcolare poi z3 i z z z dove z = ( i)/. Esercizio.4. Sostituite z = i nell'espressione ed esprimete il risultato in forma algebrica. ( z) + iz i z z 6

.4 Numeri complessi Esercizio.4.3 Scrivete in forma algebrica il numero complesso ove z = + i. w = z i z z i z Esercizio.4.4 Sostituite z = i nell'espressione ed esprimete il risultato in forma algebrica. ( z) + iz i z z Esercizio.4.5 Determinare le eventuali soluzioni z, w C del seguente sistema di equazioni: i + z + w = π izw = π. Esercizio.4.6 Sostituite z = 3 4i nell'espressione z z + i z i + z, ed esprimete il risultato in forma algebrica. Fate la stessa cosa con z = 4 3i Esercizio.4.7 Determinate le soluzioni (z, w), con z, w C, del sistema (z w )(iz + z) = w z i = + i(w w) z = w. 7

Numeri Esercizio.4.8 Determinate le soluzioni (z, w), con z, w C, del sistema (w + z )(i w + w) = z + w + 3i = 3 + z + z z = w. Esercizio.4.9 Ridurre nella forma z = a + ib e disegnare nel piano di Gauss i seguenti numeri complessi (a)( i) 3 (b)( + 3i) 3 (c)( + i) 3 (d)( 3 + i) 3 Esercizio.4.3 Trovare le radici cubiche dei seguenti numeri complessi e disegnarle nel piano di Gauss (a)z = 5 5i (b)z = 5 5i (c)z = 5 + 5i (d)z = 5 + 5i (e)z = + i (f)z = + i (g)z = i (h)z = i Esercizio.4.3 Ridurre nella forma z = a + ib e disegnare nel piano di Gauss il numero complesso ( i) 5 Esercizio.4.3 Calcolate le radici quarte di z = 3 + 3i e disegnatele nel piano complesso 8

.4 Numeri complessi Esercizio.4.33 Trovate i tre numeri complessi soluzione dell'equazione (z ) 3 = (suggerimento: risolvete prima w 3 = ) Esercizio.4.34 Sia E il sottoinsieme del piano complesso C denito da E = {z C : z < } Disegnate l'insieme E e anche l'insieme F denito da F = {z C : iz E}.4.3. Test a risposta multipla Esercizio.4.35 Sia z C, z. Allora z = (a) + z + z (b) z z (c) z z (d) z z Esercizio.4.36 Sia z C, z. Le seguenti espressioni, tranne una, sono sempre numeri reali. Quale non è necessariamente reale? (a) z z (b) z (c)z + z z z Esercizio.4.37 i 5 = (a) i (b) (c) (d)i 9

Numeri Esercizio.4.38 i 5 = (a) i (b) (c) (d)i Esercizio.4.39 Sia E C l'insieme denito da E = {z C : z + i = z i = } Allora: (a) E contiene esattamente 4 punti (b) E = (c) E contiene esattamente un solo punto (d) E contiene esattamente due punti Esercizio.4.4 +3i = +3i (a) 5 (7 i) (b) 5 ( + 7i) (c) ( 3i) (d) (7 i) Esercizio.4.4 L'insieme dei numeri complessi z tali che z + z = è (a) l'insieme vuoto (b) un punto (c) una retta (d) una circonferenza Esercizio.4.4 Nel piano complesso, l'insieme delle soluzioni dell'equazione z Rz + z = 3i è: (a) una circonferenza (b) una retta verticale (c) una retta orizzontale (d) un punto 3

.4 Numeri complessi Esercizio.4.43 Nel piano complesso, l'insieme delle soluzioni dell'equazione 3 z + Iz + z = è: (a) una circonferenza (b) una retta verticale (c) una retta orizzontale (d) un punto Esercizio.4.44 Nel piano complesso, l'insieme delle soluzioni dell'equazione 3 z Rz z = i è: (a) una circonferenza (b) una retta verticale (c) una retta orizzontale (d) un punto Esercizio.4.45 Le soluzioni diverse da zero dell'equazione z Iz = z sono (a) inniti numeri complessi (non reali e non immaginari puri) (b) nessuna (c) inniti numeri immaginari (d) inniti numeri reali Esercizio.4.46 L'equazione (z z) z = ha: (a) due soluzioni reali distinte (b) due soluzioni complesse coniugate (c) una sola soluzione complessa (d) nessuna soluzione Esercizio.4.47 Quale dei seguenti numeri è un reale per qualsiasi z C? (a)z iz (b)z z (c)z z (d)z + i z 3

Numeri Esercizio.4.48 Se θ è l'argomento del numero complesso z, allora l'argomento (a meno di multipli di π) di z è: (a) θ (b) θ + π (c)θ (d) θ Esercizio.4.49 Se z C e z = allora (a) z = (b) z (c) z < z (d)im (z ) = Esercizio.4.5 Se z = 3 + i e w = ( cos π 3 + i sin π 3 ) allora z w = (a) (b) e i π (c) (d) e i π Esercizio.4.5 Quale delle seguenti espressioni è un numero reale per ogni z C? (a)(z + i) (b)i(z z) (c) z + z i (d)i z z Esercizio.4.5 L'insieme dei numeri complessi z = x + iy C tale che z + < z < z + 4 è (a) una corona circolare compresa tra due circonferenze di raggio e 4 (b) {x + i : < y < } (c) {x + iy : < x < } (d) 3

.4 Numeri complessi Esercizio.4.53 Se z = + i allora z + = (a)5 (b)3 (c)5 (d) Esercizio.4.54 L'insieme dei numeri complessi z = a + ib C tali che z + < z è (a) {a + ib : (a ) + b < } (b) {a + ib : (a ) + b > } (c) {a + ib : a < } (d) {a + ib : a > } Esercizio.4.55 Se z = + i allora z z = (a) 5 (b) 3 (c) 5 (d) Esercizio.4.56 Se z = 3 + 4i allora z = 3 4i (a) 5 3 + 4i (b) 5 (c) 3 4i 5 (d) 3 + 4i 5 Esercizio.4.57 L'insieme dei punti z C tali che z = z + è (a) una circonferenza di raggio (b) una coppia di rette ortogonali (c) una retta parallela all'asse reale (d) una retta parallela all'asse immaginario Esercizio.4.58 Se z = ( cos π 6 + i sin π 6) allora z 8 = (a) 8 i (b) 8 (c)6i (d) 6 33

Numeri Esercizio.4.59 Le soluzioni dell'equazione (z + ) + = sono (a)z = ± (b)z = ± + i (c)z = ±i (d)z = ±i + Esercizio.4.6 Le soluzioni dell'equazione (z ) + = sono (a)z = ± (b)z = ± + i (c)z = ±i (d)z = ±i + Esercizio.4.6 3+i +i (a) i (b) + i (c) i (d)4 + i Esercizio.4.6 3 i +i (a) i (b) + i (c) i (d)4 + i Esercizio.4.63 3+5i +i = (a) i (b) + i (c) i (d)4 + i Esercizio.4.64 Se z = a + ib soddisfa l'equazione z z = 8i allora z = (a) + i (b) i (c)i (d) i 34

.4 Numeri complessi Esercizio.4.65 Se z = a + ib soddisfa l'equazione z z = 8i allora z = (a) + i (b) i (c)i (d) i Esercizio.4.66 Se z = a + ib soddisfa l'equazione z z = i allora z = (a)i (b) i (c) + i (d) i Esercizio.4.67 Si denoti con z = x + iy x, y R un generico numero complesso. soluzioni di z + z = z? Qual è l'insieme delle (a){ x, y = } (b){ x, y = } (c){} {} (d){} { } Esercizio.4.68 Si denoti con z = x + iy x, y R un generico numero complesso. soluzioni di z z = z? Qual è l'insieme delle (a){ x, y = } (b){ x, y = } (c){} {} (d){} { } Esercizio.4.69 L'insieme dei numeri complessi z tali che z > è (a) una circonferenza (b) un semipiano (c) l'esterno di un disco (d) un disco Esercizio.4.7 L'insieme dei numeri complessi z tali che z < è (a) una circonferenza (b) un semipiano (c) l'esterno di un disco (d) un disco 35

Numeri Esercizio.4.7 L'insieme dei numeri complessi z tali che z = è (a) una circonferenza (b) un semipiano (c) l'esterno di un disco (d) un disco Esercizio.4.7 Qual è l'insieme delle soluzioni dell'equazione z = z? (a){} {} (b){} {} (c){} {} { + i 3} { i 3} (d){} {} {( + i 3)/} {( i 3)/} Esercizio.4.73 Qual è l'insieme delle soluzioni dell'equazione z = z? (a){} {} (b){} {} (c){} {} { + i 3} { i 3} (d){} {} {( + i 3)/} {( i 3)/} Esercizio.4.74 Se z = 3 + 4i allora z = (a) 3 (b) 3 (c) 5 (d) 5 36

CAPITOLO Esercizi riguardanti graci di funzioni elementari.. Esercizi proposti Esercizio... Disegnare i graci delle seguenti funzioni elementari: )y = x + )y = x + 3)y = x 3 + 3 4)y = sin x + 5)y = e x+ 6)y = log(x + 5) 7)y = x + 8)y = x 9)y = x 3 + 3 )y = (x + 3) 3 )y = e x + )y = log( x) 3)y = x + 4)y = ( x + 3) 3 5 5)y = 3 x 6)y = e x 37

Esercizi riguardanti grafici di funzioni elementari 4 3 y = x + 3 3 4 4 y = x + 3 3 3 4 5 6 5 4 3 y = x 3 + 3 3 3 4 38 f

CAPITOLO 3 Esercizi riguardanti domini di funzioni reali di variabile reale 3.. Esercizi proposti di primo livello Esercizio 3... Calcolare il dominio naturale (cioè il più grande insieme di R su cui hanno senso le espressioni analitiche di seguito elencate) ) + x ) x 3) 8 x 4) x 5) x 6) x 7) x 8) x 9) log x + ) x ) log( x x 6x + 5) ) x 3) sin(x x) 4) x x 5) 6) x x 7) log(x x 3 ) 8) e x 6 9) ) log(x x cos x ) ) x + + x ) log( x) log(x + ) 3) tan(x x + ) 4) log 4 x x 39

3 Esercizi riguardanti domini di funzioni reali di variabile reale R. )R ){x : x } 3){x : x 4} 4){x : x } 5)R 6){x : x > } 7)x x 8)x < x > 9)x /e )x )x < x > 5 )x < 3)x / 4)x, x 3 5)x > 6)x x 7)x < < x < 8)x log 6 9)x πk, k Z )x ) x ) < x / 3)x, x x + π/ + k π, k Z 4) < x, x 9) Si ha x /e. Infatti bisogna dare la condizione di esistenza del logaritmo x > e la condizione di esistenza della radice x /e e quindi globalmente si ha x /e. ) Si ha x < x > 5. Infatti bisogna porre la condizione di esistenza del logaritmo, che è x e x 5 perché la radice è sempre positiva o nulla; poi bisogna porre la condizione di esistenza della radice quindi x 6x + 5 e quindi in denitiva si ha x < x > 5. ) Si ha x <. Infatti bisogna porre la condizione di esistenza della radice, cioè x e la condizione di esistenza della frazione, quindi denominatore diverso da zero, da cui la soluzione. 3) x /, infatti basta porre la condizione di esistenza della radice. 4) x con x 3. Infatti la prima viene dalla condizione di esistenza della radice, la seconda dalla condizione di esistenza della frazione (denminatore diverso da zero). 7) x < < x < Infatti basta porre la condizione di esistenza del logaritmo che è x x 3 > 9) x πk, con k Z. Infatti basta porre la condizione di esistenza della frazione (denominatore diverso da zero). ) x. Infatti si parte dalla condizione di esistenza della radice, cioè x ; poi si aggiunge la condizione di esistenza del logaritmo, cioè x x >. Prima di elevare a quadrato si deve porre ovviamente x. Elevando a quadato ottengo 3x + > che è sempre vericata, da cui la soluzione proposta. ) < x /. Infatti bisogna porre l'esistenza dei logaritmi, cioè x > e x + >, poi la condizione di esistenza della radice, che ci porta a x /. Mettendo insieme le tre condizioni si ottiene la soluzione proposta. 4

3. Esercizi proposti di secondo livello 4) < x con x. Infatti bisogna porre l'esistenza del logaritmo, cioè x >, l'esistenza della radice, cioè log 4 x che porta a x e inne l'esistenza della frazione (denominatore diverso da zero) che dà x. 3.. Esercizi proposti di secondo livello Esercizio 3... Calcolare il dominio naturale (cioè il più grande insieme di R su cui hanno senso le espressioni analitiche di seguito elencate) x + ) ) log(x x ) x + 3 4x + 5 3) log( + x ) 4) sin x + sin x x 5) log(3 + cos x cos log x x) 6) x 3 x 4 3 log(x + x) log( tan x) 7) 8) x + sin x log x + cos x x x 3 9) )e x5 sin x log x 3 ) x + x + (x 4 + x + ) 5/3 ) log(x x 3) 3) x + + x + 4) sin(x + x + ) arcsin 5)(x + ) log(x +) 6) log(x ) sin(x ) ( 7) x + ) /x 8)x xx x ( 9) sin x) / tan x ) 3 log x + + + x ) sin log( + cos x) )x x log x x 3) log log log( + x / log x ) 4)(log x) 5)( + log x) / log(log x) 6)( x + ) x x 7) x x+ 9) log 3 ((x 3) (x 3) x ) 3) 8)(x 6x + 5) x x x 3 + log / ( x ) + x 4

3 Esercizi riguardanti domini di funzioni reali di variabile reale R. )x, x + 3 4x + 5 ) < x < 3)x 4) + kπ x 7/6π + kπ /6π + kπ x π + kπ, k Z 5) 6)x >, x 7) + 4e 3 x < < x + + 4e 3 8)π/ + kπ < x π + kπ, k Z +, x e 9)x, x 8 )R )R )x < x > 3 3)R 4)R 5)R 6)x < e x > e 7)x > 8)x > 9)kπ < < π + kπ, k Z, x kπ, x x )R )R, x π + kπ, k Z )x >, x 3)x < e x > e 4)x > 5)x > /e, x e 6) x < 3 7)R \ { } 8) 9)x < 3 < x < 3) ) < x <. Infatti la condizione di esistenza del logaritmo porta a x x > cioè < x <. 4

3. Esercizi proposti di secondo livello Poi bisogna porre la condizione di esistenza della radice, cioè log(x x ) che porta a x x e che è sempre vericata. 3) x. Infatti la condizione di esistenza del logaritmo è sempre vericata. Basta quindi porre sin x x. 4) + kπ x 7/6π + kπ /6π + kπ x π + kπ con k Z. Infatti la condizione di esistenza della radice porta a sin x /. 5) Dominio uguale all'insieme vuoto. Infatti la condizione di esistenza del logaritmo porta a 3 + cos x cos x >. Con la sostituzione cos x = t si risolve facilmente in termini di t e si giunge a (cos x + )(cos x 3) <. Ora di sicuro cos x < 3 e anche cos x + per ogni x quindi la condizione di esistenza del logaritmo non è mai vericata. 6) x > con x. Infatti la condizione di esistenza del logaritmo porta a x >. Poi basta porre denominatore diverso da zero che porta alla soluzione proposta. 7) + 4e 3 x < < x + + 4e 3, con x 3. Infatti la condizione di esistenza del logaritmo porta a x < x >. Poi la condizione di esistenza della radice porta a 3 log(x + x) cioè x + x e 3. Questa si risolve facilmente e dà come soluzione + 4e 3 x + + 4e 3. Inne dalla condizione di esistenza della frazione (denominatore diverso da zero) si ottiene x e x 3 da cui la soluzione proposta (dopo aver vericato che +4e 3 < 3). 8) π/ + kπ < x π + kπ, k Z +, x e. Infatti prima di tutto analizziamo il numeratore. Esistenza del logaritmo: tan x >. Esistenza radice log( tan x) che equivale a tan x. Riassumendo dunque si ha tan x, cioè π/ + kπ < x π + kπ, k Z. Al denominatore: siccome sin x + cos x =, basta porre log x con x > (esistenza logaritmo) cioè x > con x e. 9) x, x 8. Infatti basta porre le seguenti condizioni: x x 3 (esistenza della radice) che porta a x ; log x 3 (denominatore diverso da zero) che porta a x 8 e inne x > (esistenza logaritmo) che viene conglobata dalla prima condizione, da cui la soluzione proposta. ) x < x > 3. Infatti basta porre la condizione di esistenza del logaritmo, che porta a x x + 3 > 4) R. Infatti basta porre le seguenti condizioni: + x (esistenza della funzione arcoseno) che viene vericata per ogni x e x + (denominatore diverso da zero), anch'essa vericata per ogni x. 6) x < e x > e. Infatti scrivendo log(x ) sin x = exp( sin x log(log x )) 43

3 Esercizi riguardanti domini di funzioni reali di variabile reale si ha che basta porre x > cioè x e log(x ) > cioè x > e, da cui la soluzione proposta. 7) x >. Infatti scrivendo ( x + x) /x ( ( = exp x log x + )) x si ha che basta porre x + > (condizione di esistenza del logaritmo) e x (esistenza della x frazione), da cui la soluzione proposta. 8) x >. Infatti, pensando di intendere convenzionalmente x xx = (x x ) x, si ha: da cui la soluzione proposta. 9) kπ < x (x x ) x = (e x log x ) x = exp(x log(exp(x log x))) = exp(x log x) < π + kπ, con k Z e x kπ, x. Infatti scrivendo ( sin x) / tan x ( ( = exp tan x log sin )) x si ha che basta porre sin > (condizione di esistenza del logaritmo) con x e tan x x (esistenza delle frazioni), da cui la soluzione proposta. ) R, con x π+kπ, k Z. Infatti basta la condizione di esistenza del logaritmo (cos x+ > ). ) x > con x. Infatti scrivendo x x log x x = exp ( x log ) x x si ha che basta porre x > (condizione di esistenza del logaritmo) e x (esistenza della frazione), da cui la soluzione proposta. 3) x < e x > e. Infatti le condizioni da porre sono: + x > che viene vericata da ogni x, log( + x ) > che porta a x >, vera per ogni x e inne log log( + x ) > che porta a log( + x ) > da cui + x > e e quindi si ha la soluzione proposta. 4) x >. Infatti scrivendo ( ) log(x) / log x = exp log x log(log(x)) si ha che basta porre x >, log x > e log x, da cui la soluzione proposta. 5) x > /e con x e. Infatti se riscriviamo come ( ) ( + log x) / log(log x) = exp log log log( + log x) x 44

3. Esercizi proposti di secondo livello allora le condizioni da porre sono: esistenza logaritmi : x >, + log x > e log x >. La terza viene vericata da ogni x, la seconda per x > /e, la prima viene conglobata dalla seconda; denominatore diverso da zero: log log x che porta a log x se e soltanto se log x ± quindi log x che porta a x e e log x che porta a x /e, da cui la soluzione proposta. 6) x < 3. Infatti scrivendo ( x + ) x x = exp(x x log( x + ) si ha che basta porre x e x + > cioè x < 3, da cui la soluzione proposta. 7) R \ { }, infatti basta porre x +. 9) x < 3 < x <. Prima di tutto infatti scriviamo (x 3) x = exp(x log(x 3)) da cui si vede immediatamente che deve essere x 3 > quindi x < 3 x > 3. D'altra parte la condizione di esistenza del logaritmo in base 3 porta a (x 3) (x 3) x > (x 3)[ (x 3) x ] > (x 3) x < visto che dalla prima condizione avevamo x 3 >. A questo punto (x 3) x < exp((x ) log(x 3)) < e (x ) log(x 3) < Quindi si hanno due casi possibili: x > log(x 3) < e x < log(x 3) > Il primo sottocaso porta a x < x > 4 mentre il secondo a x > x < 4, quindi insieme portano a x < < x <. Mettendo insieme questa condizione con la prima si ottiene la soluzione proposta. 45

3 Esercizi riguardanti domini di funzioni reali di variabile reale Esercizio 3... Calcolare il dominio naturale (cioè il più grande insieme di R su cui hanno senso le espressioni analitiche di seguito elencate) 3) log(sin(3x)) + e /x 3) log log x 4 sin x 33) + log(x ) 34) log(ex 3e x + ) + log x x 3 + cos 5 e x 35) arctan e x + log x 3 log x log x 36) 5ex 4 e x x 37) (sin(x))+x 38) 4 x ( x ) x 3 ( (( log(4 x x )) ) 39) 4) arctan log x + e / + 3 4) 4)( log 3 (x ) log 3 (x + )) x 4)(7 x+ + 7 x 5 x ) log x 43) log 3 x3 4x + 5x 44) 4 e x x e x 45) e x 3e x 5 46)(x 5x 6) /(x 4) 47) 5 x(x )(x ) 48) x (x + ) ( ) x 49) log + 5) 3 5 (x ) x + 5 x + R. 46

CAPITOLO 4 Esercizi riguardanti funzioni composte e inverse 4.. Funzioni inverse: esercizi proposti Esercizio 4... Mostrare che le funzioni f nei seguenti esercizi sono biunivoche e calcolare le loro funzioni inverse f. Specicare il dominio e l'immagine di f e f )f(x) = x )f(x) = 3x 3)f(x) = x 4)f(x) = x 5)f(x) = x 3 + 6)f(x) = ( 3x) 3 9)f(x) = x + )f(x) = 3x x + )f(x) = x + x x )f(x) = x + R. ) f : R R. f è iniettiva: infatti presi x x allora x x f è suriettiva: infatti y = x implica x = y +. Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R R denita da f (y) = y +. ) f : R R. f è iniettiva: infatti presi x x allora 3x 3x e quindi 3x 3x 47

4 Esercizi riguardanti funzioni composte e inverse f è suriettiva: infatti y = 3x implica x = y + 3. Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R R denita da f (y) = y + 3. 3) f : [, + ) R +. f è iniettiva: infatti presi x x allora x x e quindi x x f è suriettiva: infatti y = x (nota che da qui deve essere y!!!) implica x = y + (nota che da qui risulta x!!!) Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R + [, + ) denita da f (y) = y +. 4) f : [, + ) R. f è iniettiva: infatti presi x x allora x x e quindi x x da cui la tesi f è suriettiva: infatti y = x (nota che da qui deve essere y!!!) implica x = y + (nota che da qui risulta x!!!) Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R [, + ) denita da f (y) = y +. 5) f : R R. f è iniettiva: infatti presi x x allora x 3 x 3 e quindi x3 x 3 f è suriettiva: infatti y = x 3 implica x = 3 y Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R R denita da f (y) = 3 y. 6) f : R R. f è iniettiva: infatti presi x x allora 3x 3x e quindi 3x 3x da cui ( 3x ) 3 ( 3x ) 3 f è suriettiva: infatti y = ( 3x) 3 implica x = 3 y 3 Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R R denita da f (y) = 3 y. 3 7) f : R R +. f è iniettiva: infatti presi x x allora x x perché x, x f è suriettiva: infatti y = x implica x = y Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R + R denita da f (y) = y. 8) f : R R. f è iniettiva: infatti presi x x allora 3 x 3 x e quindi + 3 x + 3 x f è suriettiva: infatti y = + 3 x implica x = (y ) 3 Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R R denita da f (y) = (y ) 3. 9) f : R \ { } R \ {}. Infatti non esiste nessuna x tale che f(x) = f è iniettiva: infatti presi x x allora x + x + da cui f è suriettiva: infatti y = x implica x = y y 48 x + x +

4. Funzioni inverse: esercizi proposti Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R \ {} R \ { } (infatti non esiste nessuna x tale che f (x) = ) denita da f (y) = y. y ) f : R \ { } R \ {}. Infatti non esiste nessuna x tale che f(x) = f è iniettiva: infatti f(x) si può anche scrivere come x + x = +x x = x + Allora presi x x si ha x x da cui x + x + e quindi la tesi f è suriettiva: infatti y = x y implica x = + x y Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R \ {} R \ { } (infatti non esiste nessuna x tale che f (x) = ) denita da f (y) = y y. ) f : R \ { } R \ { 3}. Infatti non esiste nessuna x tale che f(x) = 3 f è iniettiva: infatti f(x) si può anche scrivere come 3x x + = 3 + 4 x + Allora presi x x si ha x + x + da cui x + x + e quindi 4 4 x + x da cui la tesi + f è suriettiva: infatti y = 3x x + implica x = y y + 3 Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R \ { 3} R \ { } (infatti non esiste nessuna x tale che f (x) = ) denita da f (y) = y y + 3. ) f : R R. f è iniettiva ma la dimostrazione non è banale. Il seguente modo non è corretto per mostrare l'iniettività: x x x x x x x + x + x + x + x x + x x + In particolare la prima implicazione è falsa, perché x non è iniettiva su tutto R e l'ultima implicazione è falsa perché se si hanno due quantità diverse e si moltiplicano per due quantità diverse, a priori si potrebbe ottenere lo stesso risultato, esempio 3 ma moltiplicando il primo membro per / e il secondo per /3 si ottiene =. Per agire correttamente si osserva che per x, h(x) = x x + = x x + x quindi supponiamo di prendere x x ; non è restrittivo supporre x < x (l'altro caso si tratta in maniera analoga. Allora distinguiamo i casi: 49

4 Esercizi riguardanti funzioni composte e inverse ) x < x < in tal caso si ha la seguente catena di implicazioni: x x x x x x + x + x + x + x + x + x + x + x h(x ) h(x ) perché stavolta x è iniettiva su R. ) < x < x la dimostrazione è la stessa, ci si ferma al terzultimo passaggio (non c'è il segno meno in h(x)) 3) x = < x oppure x < x = si ha banalmente < h(x ) o rispettivamente h(x ) < quindi la tesi è immediata 4) x < < x si ha immediatamente h(x ) < < h(x ) da cui la tesi. f è suriettiva: infatti posto y = a quadrato si ha y = x x + si vede subito che y e x hanno lo stesso segno. Elevando x x + = x + x + = x + da cui x + = y e da qui si legge che deve essere y [, ] perché il primo membro è non negativo. A questo punto, operando le necessarie semplicazioni, si arriva a x = y y e visto che x e y devono avere lo stesso segno si ha x = y y Quindi f : R (, ) è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : (, ) R denita da f y (y) =. y 5

4. Funzioni inverse: esercizi proposti Esercizio 4... Nei seguenti esercizi sia f una funzione biunivoca con inversa f. Esprimere le inverse delle funzioni indicate in funzione di f 3)g(x) = f(x) 3 4)g(x) = f(3x) 5)g(x) = 3f(x) 6)g(x) = f(x 3) 7)g(x) = 3 + f(x) 9)g(x) = 3f(3 3x) 8)g(x) = f(x) 3 3 )g(x) = + f(x) f(x) R. Esercizio 4..3. Dire quali tra le seguenti funzioni sono iniettive, surgettive o biunivoche, e in caso, trovatene la funzione inversa )f : R \ {} R f(x) = x + x )f : R R f(x) = + sin x 3)f : R + R f(x) = x x 4)f : R \ {} R f(x) = x 3 R. ) Non è iniettiva. Infatti basta prendere i valori x = 3 ± 5 per avere f(x) = 3 in entrambi i casi Non è surgettiva. Infatti non esiste alcun valore di x tale che ad esempio f(x) = ) Non è iniettiva. Infatti ad esempio per x = o x = π si ha f(x) = Non è surgettiva. Infatti non esiste alcun valore di x tale che ad esempio f(x) = 3) Non è iniettiva su R, lo è su R +. Infatti f (x) = + x > quindi la funzione è strettamente monotona e perciò iniettiva. È surgettiva su R. Infatti per ogni k R si ha che l'equazione x = k ha almeno una x soluzione (in generale ha due soluzioni, una positiva e una negativa). Quindi f : R + R è biunivoca e perciò invertibile, con inversa f : R R + data da x = y + y + 4 5

4 Esercizi riguardanti funzioni composte e inverse 4) È iniettiva e surgettiva come funzione da R R, ma come dice il testo, visto che il dominio è R \ {}, la funzione è iniettiva (lo si dimostra anche direttamente, se x x allora x 3 x 3 da cui la tesi) ma non è surgettiva come funzione da R \ {} infatti non esiste x R \ {} tale che f(x) =. Esercizio 4..4. Delle seguenti funzioni determinatene l'immagine, dite se sono iniettive, se sono surgettive, se sono biunivoche e in tal caso calcolarne l'inversa { x + x > 5)f(x) = + x x x x 6)f(x) = x < x < x + x { x + x 7)f(x) = x + x < { x 3 x 8)f(x) = x /3 x < 9)f(x) = x x + R. 5) Non è iniettiva: basta prendere x = e x = che danno entrambe f(x) =. È surgettiva. Infatti se y > posso prendere ad esempio x = y, se y invece x = y 6) È iniettiva e surgettiva. Iniettiva perché lo sono le singole componenti nei vari intervalli e inoltre se x, x appartengono a due intervalli diversi, i corrispondenti valori di f(x) sono distinti. È surgettiva perché lo sono le singole componenti nei diversi intervalli e quindi viene coperto tutto l'asse reale. Quindi f : R R è invertibile con inversa y y f (y) = y < y < y y 7) È iniettiva e surgettiva perché lo sono le singole funzioni nei rispettivi intervalli di denizione 5

4. Funzioni composte: esercizi proposti e perché se x, f(x), se x <, f(x) <. Quindi f : R R è invertibile con inversa y y f (y) = y y < 8) È iniettiva e surgettiva perché lo sono le singole funzioni nei rispettivi intervalli di denizione e perché se x, f(x), se x <, f(x) <. Quindi f : R R è invertibile con inversa 3 y y f (y) = y 3 y < 9) Dalla denizione di valore assoluto si ha che x + x f(x) = x + x < La funzione data dunque è iniettiva e surgettiva perché lo sono le singole funzioni nei rispettivi intervalli di denizione e perché se x, f(x), se x <, f(x) <. Quindi f : R R è invertibile con inversa y y f (y) = y y < 4.. Funzioni composte: esercizi proposti Esercizio 4... Nel caso in cui f(x) = x + 3 e g(x) = x 4 trovare: )f g() )g(f()) 3)f(g(x)) 4)g f(x) 5)f f( 5) 6)g(g()) 7)f(f(x)) 8)g g(x) 53

4 Esercizi riguardanti funzioni composte e inverse R. )f g() = f(g()) = f( 4) = )g f() = g(f()) = g(3) = 5 3)f g(x) = f(g(x)) = f(x 4) = x 4)g f(x) = g(f(x)) = g(x + 3) = x + 6x + 5 5)f f( 5) = f(f( 5)) = f( ) = 6)g g() = g(g()) = g() = 4 7)f f(x) = f(f(x)) = f(x + 3) = x + 6 8)g g(x) = g(g(x)) = g(x 4) = x 4 8x + Esercizio 4... Nel caso in cui f(x) = x + e g(x) = x 4 trovare (se possibile) le seguenti (ove si possa, specicare il dominio della composta): 9)f g() )g(f()) )f(g(x)) )g f(x) 3)f f( 5) 4)g(g()) 5)f(f(x)) 6)g g(x) R. 9)f g() = f(g()) = f( 4) impossibile )g f() = g(f()) = g() = 3 Dominio g f : x )f g(x) = f(g(x)) = f(x 4) = x 3 Dominio f g : x 3 x 3 )g f(x) = g(f(x)) = g( x + ) = x 3 Dominio g f : x 3)f f( 5) = f(f( 5)) impossibile 4)g g() = g(g()) = g() = 4 Dominio g g : R 5)f f(x) = f(f(x)) = f( x + ) = x + + Dominio f f : x 6)g g(x) = g(g(x)) = g(x 4) = x 4 8x + Dominio g g : R 54

4. Funzioni composte: esercizi proposti Esercizio 4..3. Nel caso in cui f(x) = x e g(x) = x x seguenti (ove si possa, specicare il dominio della composta): trovare (se possibile) le 7)f f(x) 8)g g(x) 9)f g(x) )g f(x) R. 7)f f(x) = f(f(x)) = f( ) = x x Dominio f f : R \ {} 8)g g(x) = g(g(x)) = g( x x x Dominio g g : R \ {, } 9)f g(x) = f(g(x)) = f( x x x Dominio f g : R \ {, } )g f(x) = g(f(x)) = g( ) = x x Dominio g f : R \ {, } Esercizio 4..4. Nel caso in cui f(x) = x e g(x) = x trovare (se possibile) le seguenti (ove si possa, specicare il dominio della composta): )f f(x) )g g(x) 3)f g(x) 4)g f(x) R. )f f(x) = f(f(x)) = f( x ) = x x Dominio f f : R \ {, } )g g(x) = g(g(x)) = g( x ) = x Dominio g g : x 3)f g(x) = f(g(x)) = f( x ) = Dominio f g : [, + ) \ {} x 4)g f(x) = g(f(x)) = g( ) = x Dominio g f : x < x x Esercizio 4..5. Nel caso in cui f(x) = x + e g(x) = sign(x) trovare (se possibile) le x seguenti (ove si possa, specicare il dominio della composta): 5)f f(x) 6)g g(x) 7)f g(x) 8)g f(x) Si ricorda che la funzione sign(x) vale per x >, per x < e non è denita per x =. 55

4 Esercizi riguardanti funzioni composte e inverse R. Esercizio 4..6. Completare mettendo al posto dei punti interrogativi la funzione mancante. Specicare il dominio della funzione composta 9)f(x) = x g(x) = x + f g(x) =??? 3)f(x) =??? g(x) = x + 4 f g(x) = x 3)f(x) = x g(x) =??? f g(x) = x 3)f(x) =??? g(x) = x /3 f g(x) = x + 3 33)f(x) = (x + )/x g(x) =??? f g(x) = x 34)f(x) =??? g(x) = x f g(x) = /x R. 9)f g(x) = (x + ) Dominio di f g: R 3)f(x) = x 4 3)g(x) = x Dominio di f g: R Dominio di f g: R 3)f(x) = x 3 + 3 Dominio di f g: R 33)g(x) = Dominio di f g: R \ {} x 34)f(x) = (x + ) Dominio di f g: R \ {} Esercizio 4..7. Scrivere, se è possibile farlo, la composizione g f e la composizione f g, con i rispettivi domini, nei seguenti casi: 35)f(x) = x 36)f(x) = x x + 3 g(x) = 4 3x g(x) = log x 37)f(x) = sin x + cos x { g(x) = x x + x > 38)f(x) = x x { g(x) = x 39)f(x) = x + x > + x x g(x) = f(x) 56

4.3 Funzioni composte e inverse: test a risposta multipla R. 35) f g(x) = 3x. Dominio di f g: R g f(x) = 3x. Dominio di g f: R 36) f g(x) = log x log x + 3. Dominio di f g: R + (dominio logaritmo: x > ) g f(x) = log( x x + 3 ). Dominio di g f: R (infatti basta porre x x + 3 e x x + 3 > che sono vericate per ogni x R) 37) f g(x) = sin( x ) + cos( x ). Dominio di f g: x g f(x) = sin x + cos x. Dominio di g f: kπ x π + kπ, k Z (infatti basta porre sin x + cos x ) 38) x + x f g(x) = x = Dominio di f g: R (x + ) x > g f(x) = ( x) x Dominio di g f: R 4.3. Funzioni composte e inverse: test a risposta multipla Esercizio 4.3.. Sia f(x) = x x e g(y) = y y. Allora la funzione composta è data da: x x 3 + x 4 x 3x 4x 3 + x 4 x + x x 3 + x 4 x + 3x 4x 3 + x 4 R. 57

4 Esercizi riguardanti funzioni composte e inverse Esercizio 4.3.. Siano f(x) = x x + e g(y) = y +. Qual è l'insieme dove è denita la funzione composta (g f)(x)? (, ) [, + ) (, ) [ /3, + ) (, /3] [ 3, ) R. Esercizio 4.3.3. Qual è l'insieme dei valori β per cui la funzione g(x) = x + βx è invertibile nell'intervallo [, ]? [, ) (, ] [, + ) (, ] [, + ) [, + ) R. Esercizio 4.3.4. Per quali valori del parametro reale γ la funzione g : R R denita da è suriettiva? g(x) = x e x + γx γ γ > γ γ < R. Esercizio 4.3.5. Per quali valori del parametro reale β la funzione g(x) = e x + βx è invertibile sull'intervallo [, ]? (, e] [ e, + ) (, e ] [e, + ) (, e] [, + ) (, ] [e, + ) 58