DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI FISICA MATEMATICA A.A. 2011/2012 CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA MECCANICA DANIELE ANDREUCCI DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L INGEGNERIA UNIVERSITÀ LA SAPIENZA VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY 1
1. Mercoledì 28/9/2011 Presentazione del corso. Equazioni alle derivate ordinarie e alle derivate parziali. L idea del metodo di Fourier: soluzioni come sviluppi in serie di soluzioni a variabili separabili. Studio qualitativo delle serie ottenute. 2. Giovedì 29/9/2011 L equazione del calore come conseguenza della legge di Fourier. L equazione della diffusione come conseguenza della legge di Fick. Flusso e condizioni al contorno. Derivazione di Einstein dell equazione della diffusione. Soluzione fondamentale e sua interpretazione probabilistica. L equazione di Laplace come caso stazionario dell equazione del calore. Paragrafi di riferimento sul testo: 1.1, 1.2. 3. Venerdì 30/9/2011 Derivazione dell equazione della corda vibrante dalle leggi della meccanica. Derivazione dell equazione di Laplace dal principio variazionale di Dirichlet. Soluzioni per variabili separabili dell equazione del calore e delle onde. Autofunzioni e autovalori del problema X + λx = 0, 0 < x < L ; X(0) = X(L) = 0. Paragrafi di riferimento sul testo: 1.3, 1.4, 5.1. 2
4. Mercoledì 5/10/2011 Definizioni di autofunzioni e autovalori per i problemi di Dirichlet e di Neumann per il laplaciano. Teorema 4.1. Gli autovalori del laplaciano sono non negativi. Il problema di Neumann ha l autovalore nullo, il problema di Dirichlet non l ha. Esempio 4.2. Calcolo di autovalori e autofunzioni in dimensione 1. Teorema 4.3. Le autofunzioni corrispondenti a due autovalori diversi sono ortogonali. Definizione di autofunzione normalizzata. Introduzione al metodo di Fourier per l equazione omogenea del calore in dimensione 1. Paragrafi di riferimento sul testo: 5.2. 5. Giovedì 6/11/2011 Metodo di Fourier per l equazione del calore (o delle onde) non omogenea. Problemi di Cauchy per i coefficienti dello sviluppo in serie di autofunzioni. Scelta delle condizioni al bordo per le autofunzioni. Applicazione al problema della lunghezza critica. Bilancio dell energia per soluzioni dell equazione del calore in un intervallo, con condizioni alla frontiera di tipo Neumann. Equazione delle onde come prodotto delle due equazioni di trasporto u t ± cu x = 0. Paragrafi di riferimento sul testo: 5.3. 6. Mercoledì 12/10/2011 Rappresentazione delle soluzioni dell equazione delle onde come f(x ct) + g(x + ct). Formula di D Alembert. Esercizi relativi. Paragrafi di riferimento sul testo: 3.3, 10.1. 3
7. Giovedì 13/10/2011 Analisi della formula di D Alembert: comportamenti tipici. Formula dell energia per l equazione delle onde; caso con attrito. Teorema 6.1. Esercizi sull equazione delle onde. Paragrafi di riferimento sul testo: 10.1, 6.1. 8. Venerdì 14/10/2011 Prodotto scalare e norma in L 2 (I). Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e triangolare; prime conseguenze. Convergenza in norma. Esercizi sull equazione delle onde. Bilancio di energia nei problemi al contorno per l equazione del calore. Paragrafi di riferimento sul testo: 7.1. 9. Mercoledì 19/11/2011 Sistemi ortonormali. Vettori ortogonali sono linearmente indipendenti, quindi L 2 (I) ha dimensione infinita come spazio vettoriale. Approssimazione di funzioni con sistemi ortonormali. Disuguaglianza di Bessel. Sistemi ortonormali completi. Paragrafi di riferimento sul testo: 7.2, 7.3. 10. Giovedì 20/10/2011 Identità di Parseval. Un sistema ortonormale ϕ n è completo se e solo se (f, g) = (f, ϕ n )(g, ϕ n ), n=1 per ogni f, g. Il sistema ortonormaledi Fourier in (0, 2π), e quelli dei seni e dei coseni in (0, π). Loro applicazioni alle equazioni a derivate parziali. Completezza dei sistemi dei seni e dei coseni come conseguenza di quella del sistema di Fourier. Paragrafi di riferimento sul testo: 7.4, 8.1, 8.2. 4
11. Mercoledì 26/10/2011 Problemi al contorno con condizioni di tipo misto, e sistemi ortonormali in (0, π/2) collegati. Il metodo della riflessione per problemi al contorno con condizioni di tipo misto. Trasformazione di un sistema ortonormale in (c, d) in un sistema ortonormale in (a, b). Il principio di massimo (debole) per l equazione di Laplace. Paragrafi di riferimento sul testo: 8.2, 8.3, 4.1. 12. Venerdì 28/10/2011 3 ore Il principio di massimo forte per l equazione di Laplace. Applicazioni: unicità di soluzioni e dipendenza continua dai dati per il problema di Dirichlet per l equazione di Laplace. Soluzioni esplicite dell equazione di Laplace: polinomi, soluzioni a variabili separabili. Soluzioni a variabili polari separabili: definite in spicchi di piano, corone circolari, tutto il piano. Soluzioni radiali nel piano e nello spazio. Applicazione del metodo di Fourier all equazione di Laplace in rettangoli. Paragrafi di riferimento sul testo: 3.1, 3.2, 4.1, 4.2. 13. Mercoledì 2/11/2011 Prodotti di sistemi ortonormali. Lemma di Hopf per l equazione di Laplace. Paragrafi di riferimento sul testo: 8.7, 4.5. 14. Giovedì 3/11/2011 Il principio di massimo, massimo forte e il lemma di Hopf per l equazione del calore. Applicazione del metodo di Fourier all equazione di Laplace in strisce semiinfinite. Il metodo di Fourier per problemi per le equazioni di evoluzione in rettangoli. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.3, 4.6, 8.7. 5
15. Venerdì 4/11/2011 3 ore Teorema generale sui sistemi ortonormali dati dalle autofunzioni del laplaciano. Autofunzioni del laplaciano in cerchi; funzioni di Bessel. Studio asintotico di soluzioni di problemi al contorno per l equazione del calore. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.4, 9.1, 9.2, 9.5. 16. Mercoledì 9/11/2011 Introduzione alle soluzioni deboli. Problema stazionario per la corda vibrante con carico discontinuo e di tipo delta di Dirac. Problema stazionario per l equazione del calore con diffusività discontinua. Condizioni di salto all interfaccia. 17. Giovedì 10/11/2011 Sviluppi in serie di Fourier di soluzioni dell equazione di Laplace in cerchi e in corone circolari. Rappresentazione locale di funzioni armoniche come serie di Fourier in coordinate polari. Proprietà della media, su circonferenze e su cerchi. Teorema di Liouville. Paragrafi di riferimento sul testo: 9.4. 18. Venerdì 11/11/2011 Autofunzioni del Laplaciano in cerchi (funzioni di Bessel). Definizione di soluzione debole. Il metodo di Galerkin per equazioni ellittiche. Paragrafi di riferimento sul testo: 9.5, 18.1, 18.5. 19. Mercoledì 16/11/2011 Soluzioni deboli. Condizioni di salto. Unicità della soluzione debole. Paragrafi di riferimento sul testo: 18.1, 18.3, 18.5. 6
20. Giovedì 17/11/2011 Soluzioni deboli per l equazione del calore. Esercizi sul principio di massimo per l equazione del calore e di Laplace. Il metodo di Galerkin per equazioni paraboliche. La matrice di rigidezza è definita positiva. Dati iniziali di tipo impulsivo per l equazione delle onde (esercizio 3/310). Paragrafi di riferimento sul testo: 18.3, 18.5. 21. Venerdì 18/11/2011 Ricerca delle autofunzioni per il problema (a(x)ϕ ) = λϕ, 0 < x < L ; ϕ(0) = ϕ(l) = 0, con a costante a tratti. Il funzionale J 1 (u) = u 2 dx, Ω per u K = {u u = u 0 su Ω}, e suo collegamento con il problema di Dirichlet per l equazione di Laplace. Stabilizzazione delle successioni minimizzanti. Formula di rappresentazione per l equazione del calore. Effetto regolarizzante dell equazione del calore. Velocità infinita di propagazione delle perturbazioni per l equazione del calore. Paragrafi di riferimento sul testo: 18.2, 11.3, 11.4. 22. Mercoledì 23/11/2011 Vibrazioni di una corda con carico puntiforme. Caso con rigidità e senza rigidità. Esercizi sull equazione del calore. 23. Giovedì 24/11/2011 Stime di soluzioni del problema di Cauchy per l equazione del calore. Cammino medio di ordine t. Esercizi sull equazione di Laplace. Paragrafi di riferimento sul testo: 11.3. 7
24. Venerdì 25/11/2011 Principio di Duhamel. Problema non omogeneo per l equazione delle onde. Formula di rappresentazione per il problema di Dirichlet nel semipiano per l equazione di Laplace. Esercizi sul principio di Duhamel. Paragrafi di riferimento sul testo: 11.2, 12.1, 12.2. 25. Mercoledì 30/11/2011 La trasformata di Fourier di funzioni integrabili e le sue proprietà. Applicazione della trasformata di Fourier alla determinazione della formula di rappresentazione per la soluzione dell equazione di Laplace nel semipiano. Paragrafi di riferimento sul testo: 14.1, 14.2, 14.4. 26. Giovedì 1/12/2011 La trasformata di Laplace e le sue proprietà. Applicazione della trasformata di Laplace alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti. Applicazione della trasformata di Laplace alla risoluzione del problema di Cauchy per l equazione del calore. Esercizi sulla formula di rappresentazione per l equazione del calore. Paragrafi di riferimento sul testo: 15.1, 15.2, 15.3. 27. Mercoledì 7/12/2012 Esercizio: risoluzione del problema nel quarto di piano per l equazione del calore con condizione al contorno di tipo di Robin, mediante la trasformata di Laplace. Equazioni del quarto ordine: il bilaplaciano. Le autofunzioni del laplaciano sono autofunzioni del bilaplaciano. Teorema 27.1. Se u(x, y) è armonica, allora xu, yu, (x 2 + y 2 )u sono biarmoniche. Il bilaplaciano in coordinate polari. Risoluzione con il metodo di Fourier in un rettangolo. Problema nella striscia infinita (0, π) (, ) con carico concentrato sul segmento y = 0; risoluzione per serie; condizioni di salto. 8
28. Venerdì 9/12/2011 Soluzione di un problema per il bilaplaciano in coordinate polari nel cerchio con carico costante. Soluzione del problema u = δ(x), in R 2. Esercizi sull equazione del calore. 29. Mercoledì 14/12/2011 Soluzione del problema 2 u = δ(x), in R 2 ; confronto con il caso del Laplaciano. Applicazione al problema per il bilaplaciano in coordinate polari nel cerchio con carico concentrato nel centro. Esercizi sul metodo di Fourier per l equazione delle conde. 30. Giovedì 15/12/2011 Ricapitolazione. Esercizi sul metodo di Fourier per l equazione del calore e di Laplace. 9