ESERCIZI SU EVENTI E VARIABILI ALEATORIE DISCRETE Docente titolare: Irene Crimaldi 26 novembre 2009 Es.1 Supponendo che la probabilità di nascita maschile e femminile sia la stessa, calcolare la probabilità che in una famiglia con quattro figli ci sia almeno un maschio e la probabilità che ci siano almeno un maschio e una femmina. Es.2 Se due carte sono scelte a caso (senza reimmissione) da un mazzo con 52 carte, calcolare la probabilità che siano entrambe dello stesso valore. Calcolare poi la probabilità che siano entrambi assi. Es.3 In un villaggio con n abitanti un falsario mette in circolo una banconota falsa. La banconota passa da una persona all altra k volte. Calcolare: a) la probabilità che la banconota non torni mai al falsario. b) la probabilità che la banconota non torni mai nelle mani di una stessa persona. Es.4 Si lanci un dado non truccato e si consideri il numero aleatorio che vale 1 se il risultato è un numero pari e 0 se il numero ottenuto è dispari. Determinare: a) l insieme dei valori possibili di X. b) la distribuzione di X. c) la previsione di X. Es.5 Una sorgente binaria genera le cifre 1 o 0 in modo casuale, rispettivamente con probabilità 0.6 e 0.4. a) Calcolare la probabilità che due 1 e tre 0 si verifichino in una sequenza a cinque cifre. b) Calcolare la probabilità che almeno tre 1 si verifichino in una sequenza a cinque cifre. 1
Es.6 Su una nave viaggiano 1800 persone. Fra queste 200 vengono colpite da un virus. Un gruppo di medici seleziona fra i viaggiatori un campione di 50 persone per eseguire su di essi alcuni accertamenti. Sia X il numero aleatorio che conta il numero di persone affette da virus presenti nel campione. Determinare l insieme dei valori possibili, la distribuzione, la previsione e la varianza di X. Es.7 I soci di un club sono 50, di cui 30 uomini e 20 donne. Si forma a caso un comitato di 10 persone. Determinare: a) la distribuzione del numero aleatorio X di donne presenti nel comitato. b) la previsione e la varianza del numero aleatorio Y di uomini presenti nel comitato. c) la probabilitaà che tutti i membri del comitato siano dello stesso sesso. Es.8 In un quiz bisogna scegliere la risposta esatta fra quattro risposte assegnate. Se le domande assegnate sono 6 e X indica il numero di risposte sbagliate calcolare: a) la probabilità di indovinarne 5. b) la probabilità di indovinarle tutte. c) la probabilità di indovinarne almeno 5. d) la previsione di X. Es.9 Il 40 per cento degli elettori di un paese con 100 elettori preferisce il candidato A. Si supponga di scegliere a caso 10 elettori. Trovare la probabilità che almeno 5 di essi preferiscano il candidato A. Es.10 In un concorso vengono assegnate le idoneità per un dato servizio. Si assuma che ogni partecipante, indipendentemente dagli altri, abbia probabilità p = 3 4 di ottenere l idoneità. Al termine del concorso a 10 fra gli idonei viene assegnato un posto di lavoro (e se gli idonei sono meno di 10 vengono assegnati tanti posto di lavoro quanti sono gli idonei). Supponiamo che al concorso partecipino 15 persone e sia X il numero aleatorio dei partecipanti che ottengono l idoneità ma non il posto di lavoro. Determinare la distribuzione, la previsione e la varianza di X. Es.11 Si lanciano due dadi equilibrati. a) Calcolare la probabilità che la somma dei risultati dei due lanci sia un numero primo. b) Calcolare la probabilità che il prodotto dei risultati dei due lanci sia uguale alla loro somma. 2
c) Sapendo che la somma dei risultati dei due lanci è 6, determinare la probabilità che i numeri ottenuti siano uguali. d) Sapendo che i numeri ottenuti lanciando i due dadi sono uguali, calcolare la probabilità che la somma dei risultati dei due lanci sia uguale a 6. Es.12 L urna A contiene 4 palline bianche e 6 nere, L urna B contiene 8 palline bianche e 2 nere, l urna C contiene 5 palline bianche e 5 nere. Viene estratta una pallina dall urna A. Se la pallina estratta è bianca, si estrae poi una pallina dall urna B senza reimbussolamento, se inceve la pallina estratta è nera si estrae una pallina dall urna C senza reimbussolamento. a) Calcolare la probabilità che nella seconda estrazione sia estratta una pallina bianca. b) Calcolare la probabilità che nella seconda estrazione sia estratta una pallina nera subordinatamente all evento che nella prima è stata estatta una pallina bianca. c) Supponiamo che dalla stessa urna (da cui è stata fatta la seconda estrazione) si estraggano due ulteriori palline senza reimbussolamento. Calcolare la probabilità che siano una bianca e una nera. Es.13 Un urna contiene 8 palline bianche e 4 nere. Si lancia un dado equilibrato a 6 facce. Se ese un numero pari si eseguono due estrazioni CON reimbussolamento. Se esce un numero dispari si eseguono due estrazioni SENZA reimbussolamento. Sia X il numero aleatorio che conta il numero di palline bianche estratte. Calcolare l insieme dei valori possibili di X, la distribuzione, la previsione e la varianza di X. Es.14 L urna A contiene 20 palline di cui 14 bianche e 6 nere. L urna B contiene 20 palline di cui 10 bianche e 10 nere. Viene lanciata una moneta simmetrica. In base al risultato viene scelta una delle due urne (A se testa e B se croce) e dall urna scelta vengono estratte due palline con reimbussolamento. a) Calcolare la probabilità di estrarre due palline bianche. b) Calcolare la probabilità che sia stata scelta l urna A subordinatamente all evento che sono state estratte due palline nere. c) Calcolare le stesse quantità nel caso in cui le estrazioni vengano effettuate senza reimbussolamento. Es.15 Da un mazzo di 52 carte (13 per ogni seme) si scelgono (senza ripetizione) 3 carte. Sia X il numero aleatorio che conta il numero di assi estratti. a) Determinare l insieme dei valori possibili di X e la distribuzione di probabilità di X. 3
b) Calcolare la previsione e la varianza di X. Si lancia un dado simmetrico e sia Y il numero aleatorio che indica il numero della faccia che esce. Da un mazzo di 52 carte (13 per ogni seme) si scelgono (senza ripetizione) Y carte. c) Calcolare la probabilità di estrarre esattamente un solo asso. d) Calcolare la probabilità dell evento (Y = i), per i = 1,...,6, subordinata all evento che è stato estratto esattamente un solo asso. Es.16 Dieci palline bianche vengono distribuite aleatoriamente in 2 scatole, in modo indipendente le une dalle altre. Per ciascuna pallina, la probabilità di finire nella scatola 1 è pari a 1/3 e la probabilità di finire nella scatola 2 è pari a 2/3. Per j = 1, 2, sia Y j il numero aleatorio di palline bianche che vengono messe nella scatola j. a) Determinare l insieme dei valori possibili di Y 1 e la distribuzione di probabilità di Y 1. b) Scrivere la distribuzione congiunta della coppia (Y 1, Y 2 ). Alla scatola 1 vengono aggiunte 5 palline rosse e vengono fatte 2 estrazioni senza reimbussolamento. Sia X il numero aleatorio di palline bianche estratte. c) Calcolare P(X = 1 Y 1 = k) per k = 0,...,10. d) Calcolare P(X = 1). Es.17 Sia X il risultato del lancio di un dado simmetrico. Si estrae X volte una carta da un mazzo di 52 carte con reinserimento. Sia E l evento che almeno una volta nelle X estrazioni si estragga un asso. a) Sia 1 k 6. Calcolare P(E X = k). b) Calcolare P(E). c) Calcolare la previsione di X subordinatamente alla conoscenza di E. d) In una successione di estrazioni da un mazzo di 52 carte senza reinserimento sia Y il numero dell estrazione (senza reinserimento) in cui per la prima volta si estrae un asso. Determinare la distribuzione di Y? Es.18 Si lanci 5 volte un dado simmetrico. Sia X il numero aleatorio che conta il numero di volte in cui esce il numero 4. a) Determinare l insieme dei valori possibili e la distribuzione di probabilità di X. 4
b) Calcolare la previsione e la varianza di X. Sia Y un numero aleatorio stocasticamente indipendente da X con distribuzione binomiale di parametri n = 2 p = 1 6. Sia Z = X + Y. c) Calcolare P(Z = 2). d) Calcolare la previsione di Z, la covarianza fra Z e X e la varianza di Z + Y. Es.19 Si lanci 4 volte un dado simmetrico. Sia X il numero aleatorio che conta il numero di volte in cui esce 1 o 2. a) Determinare l insieme dei valori possibili, la distribuzione di probabilità, la previsione e la varianza di X. b) Per ogni valore possibile k, calcolare la probabilità che X sia uguale al valore k sapendo che nei primi tre lanci sono usciti nell ordine i numeri 1, 2, 3. c) Calcolare P(X 2 X 2). Es.20 Sia X un numero aleatorio con distribuzione geometrica di parametro p e tale che 1 P(X = 1) = P(X = 2). 2 a) Calcolare il parametro p e la probabilità P(X > P(X)). Sia Y un numero aleatorio con distribuzione geometrica di parametro p e stocasticamente indipendente da X. b) Posto Z = X + Y, determinare i valori possibili di Z e la sua distribuzione. c) Calcolare P(X = 3 Z = 5). Es.21 Siano X e Y una coppia di numeri aleatori con la seguente distribuzione congiunta discreta: P(X = 1, Y = 1) = 1 6, P(X = 1, Y = 1) = 1, P(X = 1, Y = 0) = 0 6 P(X = 0, Y = 1) = 0, P(X = 0, Y = 1) = 0, P(X = 0, Y = 0) = 1 3. P(X = 1, Y = 1) = 1 6, P(X = 1, Y = 1) = 1, P(X = 1, Y = 0) = 0. 6 a) Determinare la distribuzione di probabilità marginale di X e quella di Y. b) Calcolare la previsione e la varianza di X e la previsione e la varianza di Y. 5
c) Stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti. Calcolare la covarianza tra X e Y. d) Calcolare la varianza di X + Y e la covarianza tra X e 2X + Y. Es.22 In una scuola ci sono 80 alunne e 120 alunni. I 2/5 delle femmine portano gli occhiali, mentre i maschi che portano gli occhiali sono la metà. Si sceglie a caso un campione di 10 studenti fra tutti gli alunni della scuola. Sia X il numero aleatorio che conta gli studenti con gli occhiali presenti nel campione. a) Calcolare l insieme dei valori possibili di X, la distribuzione di probabilità di X e la previsione di X. b) Sapendo che nel campione ci sono almeno 2 studenti con gli occhiali, calcolare la probabilità che ci siano esattamente due femmine con gli occhiali. c) Calcolare la probabilità che nel campione scelto vi siano tanti maschi quante femmine con gli occhiali. Es.23 Siano date due urne: l urna A contenente due gettoni rossi e due bianchi e l urna B contenente due gettoni rossi e tre bianchi. Si estrae un gettone da ciascuna delle due urne A e B. Sia X il numero aleatorio che indica il numero totale di gettoni rossi estratti. a) Determinare l insieme dei valori possibili e la distribuzione di probabilità di X. b) Calcolare la previsione e la varianza di X. Supponiamo di avere una terza urna C contenente in pari quantità gettoni rossi e gettoni bianchi e di estrarre un gettone da ciascuna delle tre urne A, B e C. Sia X il numero aleatorio che indica il numero di gettoni rossi estratti dalle urne A e B e sia Y quello che indica il numero di gettoni rossi estratti dalle urne B e C. c) Trovare l insieme dei valori possibili per il vettore aleatorio (X, Y ) e la distribuzione congiunta di (X, Y ). d) Calcolare la covarianza fra X e Y. I numeri aleatori X e Y sono indipendenti? Es.24 Da un urna contenente tante palline bianche quante nere si eseguono estrazioni con reimbussolamento. a) Calcolare la probabilità di ottenere una pallina bianca entro la quinta estrazione. b) Sapendo che dopo 10 estrazioni non è ancora uscita una pallina nera, calcolare la probabilità di aspettare almeno altre tre estrazioni prima di ottenere una pallina nera. L estrazioni si arrestano non appena sono stati estratti entrambi i colori. 6
c) Calcolare la probabilità di arrestare le estrazioni alla terza estrazione. d) Calcolare la probabilità di proseguire le estrazioni oltre la terza estrazione. Es.25 Un urna contiene 20 palline numerate da 1 a 20. Si eseguono quattro estrazioni senza reimbussolamento. La prima e la terza pallina estratte vengono poste in un urna A, mentre la seconda e la quarta pallina vengono poste in un urna B. a) Calcolare la probabilità che l urna A contenga palline contrassegnate entrambe con un numero pari. b) Calcolare la probabilità che entrambe le urne contengano palline contrassegnate tutte da un numero pari. c) Calcolare la probabilità che almeno una delle due urne contenga palline contrassegnate tutte da un numero dispari. d) Sapendo che l urna A contiene palline contrassengate da un numero pari, calcolare la probabilità che l urna B contenga palline contrassengate da un numero pari. Si considerino gli eventi E=(l urna A contiene palline contrassegnate da un numero pari) G=(l urna B contiene palline contrassegnate da un numero pari). Stabilire se gli eventi considerati sono stocasticamente indipendenti. Es.26 Un urna contiene 10 dadi di cui uno solo truccato in modo da dare 1 con probabilità 1/2 e ognuno degli alri 5 risultati con probabilità 1/10. Gli altri 9 dadi sono equilibrati. Dall urna viene estratto a caso un dado che è poi lanciato 3 volte. (Ogni dado ha la stessa probabilità di essere estratto.) a) Calcolare la probabilità che i risultati siano due volte 1 e una volta sola 6. b) Sia X il numero aleatorio che conta quanti dei tre lanci danno come risultato 1. Calcolare previsione e varianza di X. c) Calcolare la probabilità che il dado lanciato sia quello truccato sapendo che i tre lanci hanno dato due volte 1 e una volta sola 6. Es.27 Un dado (non truccato) viene lanciato 4 volte. Calcolare la probabilità a) di ottenere 4 numeri distinti b) di ottenere 4 numeri distinti consecutivi in ordine crescente c) di ottenere 4 numeri distinti in ordine crescente 7
d) di ottenere 4 numeri in ordine crescente (con ripetizione ammessa) e) di ottenere 4 numeri distinti complessivamente consecutivi f) di ottenere almeno 2 numeri uguali. Rispondere alle domande b), c) e d) sostituendo crescente con decrescente. 8