F. Ricci. Appunti per il corso. Introduzione alla Teoria della Misura e all Analisi Funzionale A.A

F. Ricci Apputi per il corso Itroduzioe alla Teoria della Misura e all Aalisi Fuzioale A.A. 2013-14

Idice Capitolo 1. σ-algebre e misure 5 1. Fuzioi di isieme additive e σ-additive 5 2. Spazi misurabili e di misura 6 3. Teorema di coicideza 8 4. Misura estera e Teorema di estesioe di Carathéodory 9 5. Boreliai e misure di Borel 11 6. Misura di Lebesgue su R e su R 12 Capitolo 2. Itegrazioe 15 1. Fuzioi misurabili 15 2. Itegrale di fuzioi reali o egative 16 3. Itegrale di fuzioi reali e complesse 17 4. Teoremi di Egorov e Vitali 18 5. Fuzioe di ripartizioe 19 6. Misure prodotto 20 7. Completameto di misure prodotto 21 8. Riduzioe di itegrali su spazi prodotto 22 Capitolo 3. Itegrazioe e misure su spazi localmete compatti 25 1. Lemma di Urisoh per spazi localmete compatti 25 2. Misure di Rado 26 3. Teorema di rappresetazioe di Riesz 27 4. Prodotto di misure di Rado 31 5. Teorema di Lusi 33 6. Gruppi topologici e misure di Haar 35 Capitolo 4. Spazi L p 43 1. Il caso p < 43 2. Il caso p = 44 3. Completezza di L p, 1 p 45 Capitolo 5. Cofroto tra misure 47 1. Misure a valori reali e complessi 47 2. Decomposizioi di Jorda e di Hah associate a misure co sego 48 3. Estesioi a misure o fiite 50 3.1. Misure reali iferiormete (o superiormete) limitate 50 3.2. Misure su σ-aelli 51 4. Assoluta cotiuità 51 5. Atomi e misure atomiche 55 Capitolo 6. Differeziazioe di itegrali 57 1. Covergeza di medie itegrali i R e puti di Lebesgue 57 2. Differeziazioe di misure su R 61 3

4 INDICE 3. Misure di Borel su itervalli di R e fuzioi di variazioe limitata 63 4. Fuzioi assolutamete cotiue 67 Capitolo 7. Spazi vettoriali topologici 69 1. Proprietà geerali 69 2. Classi particolari di spazi vettoriali topologici ed esempi 71 2.1. Spazi ormati 71 2.2. Spazi localmete covessi 72 2.3. Distaze vettoriali 75 2.4. Defiizioi e proprietà relative alla completezza 75 2.5. U esempio di spazio o localmete covesso 76 2.6. Spazi di dimesioe fiita 77 Capitolo 8. Applicazioi lieari cotiue e spazi duali 79 1. Cotiuità di applicazioi lieari 79 2. Operatori lieari tra spazi ormati 80 3. Il Teorema di Hah-Baach e sue cosegueze 81 4. Duali di spazi di Baach 84 4.1. Duali di spazi L p 85 4.2. Duale di C 0 () 89 4.3. Duali di spazi di Hilbert 92 5. Topologie deboli 93 6. Topologia debole sul duale di uo spazio di Baach 94 Capitolo 9. Teoremi su operatori tra spazi di Baach 97 1. Il Pricipio di limitatezza uiforme 97 2. Il Teorema dell applicazioe aperta 100 3. Il Teorema del grafico chiuso 102

CAPITOLO 1 σ-algebre e misure 1. Fuzioi di isieme additive e σ-additive Sia u isieme. A P() è u aello se A, B A, A B, A B, A \ B A. E è u algebra se è u aello e E. E P() è ua σ-algebra se è u algebra e ioltre (A ) N E = A E. A P() è u σ-aello se è u aello e ioltre (A ) N A e A A : A A = A A. Dato u qualuque sottoisieme K di P(), soo bee defiite l algebra e la σ-algebra geerate da K, come la miima algebra (risp. σ-algebra) coteete K. Ua defiizioe operativa della secoda richiederebbe iduzioe trasfiita. La σ-algebra geerata da K si idica co σ(k). I ua σ-algebra E si ha che, per ogi (A ) N E, ache lim if A = A k = {x : x A defiitivamete} k lim sup A = A k = {x : x A frequetemete}, soo i E. k Sia A u aello di sottoisiemi di. Cosideriamo fuzioi µ : A [0, + ]. Ua tale fuzioe si dice additiva se A, B A disgiuti, µ(a B) = µ(a) + µ(b); σ-additiva se (A ) N A tale che A A m = m e A = A A, si ha µ(a) = µ(a ) ; σ-subadditiva, se B, (A ) N co B, A A e B A, si ha µ(b) µ(a ). Si oti che, se µ è additiva, essa è ache mootoa, cioe: A, B A, A B = µ(a) µ(b). Ioltre l additività implica che µ( ) = µ( ) + µ( ) può essere solo 0 oppure +. Se µ( ) = +, allora µ(a) = + per ogi A A. Per evitare questa possibilità si impoe che (1.1) µ( ) = 0. Lemma 1.1. Per µ defiita su u aello A co µ( ) = 0 si hao le segueti implicazioi: σ-additività = σ-subadditività; 5

6 1. σ-algebre E MISURE additività e σ-subadditività = σ-additività. Dimostrazioe. Dati A A per N e B A, si poga iduttivamete ( ) A = B A \. Gli A soo a due a due disgiuti e la loro uioe è B. Quidi µ(b) = µ(a ) µ(a ). Per il secodo puto, siao A A a due a due disgiuti. Posto A = A, si ha per subadditività m< A m µ(a) µ(a ). D altra parte, per additività, k Passado al limite su k si ha la tesi. ( µ(a ) = µ k A ) µ(a). Vediamo ora le proprietà di cotiuità su successioi mootoe legate alla σ-additività. Lemma 1.2. Sia µ additiva su u aello A. Allora µ è σ-additiva se e solo se, per ogi (A ) N A co A A A, si ha µ(a) = lim µ(a ). Sia µ σ-additiva. Data (A ) N A co A A A e defiitivamete µ(a ) <, si ha µ(a) = lim µ(a ). Si hao ioltre proprietà di semicotiuità quado µ è defiita su ua σ-algebra. Lemma 1.3. Sia µ σ-additiva su ua σ-algebra E e sia (A ) N E. Allora µ(lim if A ) lim if µ(a ); se µ ( A ) <, lim sup µ(a ) µ(lim sup A ). se µ(a ) < +, allora µ(lim sup A ) = 0 (primo Lemma di Borel-Catelli). Le dimostrazioi soo lasciate per esercizio. 2. Spazi misurabili e di misura Uo spazio misurabile è ua coppia (, E) dove E è ua σ-algebra su. Uo spazio di misura è ua tera (, E, µ), dove µ è ua fuzioe a valori i [0, + ], σ-additiva 1 sullo spazio misurabile (, E). Si dice che µ è ua misura su (, E). Ua misura µ su (, E) si dice fiita se µ() < ; di probabilità se µ() = 1; σ-fiita se esiste u ricoprimeto umerabile {A } N E di co µ(a ) < per ogi. Esempi. B = σ(τ), la σ-algebra dei Boreliai di uo spazio topologico (, τ), geerata dagli isiemi aperti. La misura di Lebesgue su R, defiita su B, è σ-fiita. 1 D ora i poi per le misure sarà sempre sottiteso che µ( ) = 0.

2. SPAZI MISURABILI E DI MISURA 7 Su E = P(), la misura del coteggio (o misura cotaputi) è defiita come { #(A) se A è fiito µ(a) = + altrimeti. µ è σ-fiita se e solo se è umerabile. Sia u isieme, x. La delta di Dirac el puto x, δ x, è defiita su P() poedo { 1 se x A δ x (A) = 0 se x A. Su u isieme o umerabile sia E costituita dai sottoisiemi umerabili e dai loro complemetari 2. Si poga µ(a) = 0 se è umerabile, µ(a) = + se il suo complemetare è umerabile. No solo µ o è σ-fiita, ma o è eache semifiita (semifiita: ogi isieme di misura ifiita cotiee sottoisiemi di misura fiita arbitrariamete grade). Si possoo dare due ozioi diverse di restrizioe di ua misura µ su (, E): (restrizioe a ua sotto-σ-algebra) se E è ua σ-algebra su coteuta i E, la restrizioe isiemistica µ E è ua misura su (, E ); (restrizioe a u sottoisieme) dato Y E, si poga µ Y (E) = µ(e Y ); o ache, poedo E Y = {A E : A Y }, si ottiee ua σ-algebra su Y e allora µ EY è ua misura su (Y, E Y ). Sia µ ua misura su (, E). U isieme A E co µ(a) = 0 si dice µ-trascurabile. Ua proprietà P (x) defiita su vale µ-quasi ovuque (o per µ-quasi ogi x) se l isieme su cui o vale è µ-trascurabile. La famiglia N (µ) degli isiemi µ-trascurabili gode delle segueti proprietà: è u σ-sottoaello di E; se N N (µ), E E e E N, allora E N (µ). Si dice che: u σ-aello A E tale che A A, E E, E A = E A è u σ-ideale di E; ua misura µ è completa se N (µ) è ache u σ-ideale di P(), cioè se Teorema 2.1. Sia µ ua misura su (, E) e sia N N (µ), A N = A N (µ). N µ = {N : N N (µ), N N }. Allora la famiglia E µ i cui elemeti A soddisfao le segueti codizioi equivaleti 3 : A = E N co E E, N N µ, A = E N co E E, N N µ, A = E \ N co E E, N N µ, esiste E E tale che E A N µ, è ua σ-algebra coteete E. Sia A = E N, E E, N N µ u elemeto di E µ. Allora la fuzioe µ : E µ [0, + ] data da µ(a) = µ(e) è be defiita, è ua misura completa su E µ e µ E = µ. Sia ifie µ ua misura completa su ua σ-algebra Ẽ coteete E e tale che µ E = µ. Allora E µ Ẽ e µ Eµ = µ. 2 Dimostrare che è ua σ-algebra. 3 Dimostrare le equivaleze. Utilizzare la proprietà che, dati due isiemi Y, Z e posto W = Y Z, si ha Y W = Z.

8 1. σ-algebre E MISURE Dimostrazioe. Chiaramete E E µ e i particolare, E µ. Dimostriamo che E µ è chiusa per passaggio al complemetare e per uioi umerabili. Sia A = E N E µ, co E E, N N µ. Allora c A = c E \ N E µ. Siao ora A = E N, co E E, N N µ per ogi N. Allora ( ) ( ) A = E N, dove i due termii a secodo membro soo i E e i N µ rispettivamete. Per vedere che µ è be defiita si suppoga che E N = E N co E, E E, N, N N µ. Se N 0 N (µ) cotiee N, si ha E E N 0, per cui µ(e) µ(e N 0 ) = µ(e ), e per simmetria µ(e) = µ(e ). Per l ultima affermazioe ell euciato, basta osservare che Ẽ deve ecessariamete coteere E N µ, e duque σ(e N µ ). Chiaramete E µ σ(e N µ ), per cui E µ = σ(e N µ ). L uguagliaza di µ co µ su E µ e la sua σ-additività soo ovvie. La misura µ si chiama il completameto di µ. 3. Teorema di coicideza Si dao le segueti defiizioi. Ua sottofamiglia K di P() si dice u π-sistema se è o vuota ed è chiusa rispetto all itersezioe. Ua sottofamiglia D di P() si dice u sistema di Dyki se, D, A D = c A D, per ogi {A } N D, co A A m = se m, allora A D. Proposizioe 3.1. E P() è ua σ-algebra se e solo se è u π-sistema e u sistema di Dyki. (Teorema di Dyki) Siao K u π-sistema e D u sistema di Dyki, co K D. σ(k) D. Allora Dimostrazioe. Il primo puto è lasciato per esercizio. Per il secodo, osserviamo che esiste u miimo sistema di Dyki D 0 coteete K, perché itersezioi di sistemi di Dyki è di Dyki. Se dimostriamo che D 0 è ua σ -algebra abbiamo cocluso. Per quato detto al primo puto, basta dimostrare che D 0 è ache u π-sistema, cioè che A, B D 0 = A B D 0. Dato B D 0, sia D(B) = {F D 0 : F B D 0 }. Proviamo che D(B) è u sistema di Dyki. La prima e terza proprietà di u sistema di Dyki soo baalmete verificate da D(B). Per la secoda, si deve dimostrare che, se F B D 0, allora ache c F B D 0. Passado al complemetare, si ha F c B = (F B) c B D 0, perché l uioe è disgiuta e i due termii soo i D 0 per ipotesi. Assumiamo ora B K. Allora K D(B) D 0, e duque D(B) = D 0. Si ha allora l implicazioe B K, A D 0 = A B D 0. Ma allora, per ogi A D 0, D(A) K, e duque D(A) = D 0. Vale duque l implicazioe cercata e duque D 0 è u σ-algebra 4. 4 Precisamete abbiamo dimostrato che D0 = σ(k).

4. MISURA ESTERNA E TEOREMA DI ESTENSIONE DI CARATHÉODORY 9 Teorema 3.2 (Teorema di coicideza). Siao µ 1, µ 2 due misure su (, E) e si suppoga che µ 1 (A) = µ 2 (A) per ogi A i u π-sistema K tale che σ(k) = E, esiste ua successioe crescete ( ) N di elemeti di K co µ 1 ( ) < per ogi e. Allora µ 1 = µ 2. Dimostrazioe. Suppoiamo iizialmete che µ 1 sia fiita. Allora µ 2 () = lim µ 2 ( ) = lim µ 1 ( ) = µ 1 (). Quidi D = {A E : µ 1 (A) = µ 2 (A)} è u isieme di Dyki coteete K. Per la Proposizioe, D = E e duque µ 1 = µ 2. Se µ 1 (e duque ache µ 2 ) o è fiita, si cosiderio per ogi le restrizioi (µ i ), i = 1, 2. Essedo K, l isieme K = {A K : A } è u π-sistema su. Per la prima parte, µ 1 = µ 2 su σ(k ). Cosideriamo E = {B E : B σ(k )}. Questa è ua σ-algebra su coteete K, duque E E. L iclusioe opposta è ovvia. Quidi σ(k ) = E. Si ha quidi che, per ogi B E e ogi, Passado al limite su si coclude. µ 1 (B ) = µ 2 (B ). Si oti che seza la secoda ipotesi il Teorema è falso. Si preda la σ-algebra B dei Boreliai i R e K cosituito dai complemetari dei compatti. Allora K è u π-sistema e σ(k) = B. Tuttavia la misura di Lebesgue λ e la misura 2λ coicidoo su K. 4. Misura estera e Teorema di estesioe di Carathéodory Si defiisce misura estera su u isieme ua fuzioe η : P() [0, + ] che sia mootoa, σ-subadditiva e co η( ) = 0. U sottoisieme B di si dice η-additivo se, per ogi E P(), η(e) = η(e B) + η(e \ B). Per dimostrare che u isieme B è η-additivo, basta dimostrare la disuguagliaza (4.1) η(e) η(e B) + η(e \ B) E. Teorema 4.1. Sia η ua misura estera su. La famiglia E dei sottoisiemi η-additivi è ua σ-algebra e ν = η E è ua misura completa. Dimostrazioe. E del tutto evidete che se B è η-additivo, ache c B è η-additivo;, soo η-additivi. Siao B, B additivi. Dato E, si ha Ma η(e) = η(e B) + η(e \ B) = η(e B) + η ( (E \ B) B ) + η(e \ B \ B ) = η(e B) + η ( (E \ B) B ) + η ( (E \ (B B ) ). (E B) ( (E \ B) B ) = E (B B ),

10 1. σ-algebre E MISURE per cui η(e) η ( E (B B ) ) + η ( E \ (B B ) ), e duque B B E. Isieme ai puti elecati sopra, questo dà che E è u algebra. Ioltre, applicado l additività di B su E = B B, si ha η(b B ) = η(b) + η(b ). Sia ora (B j ) j N ua successioe di elemeti di E e sia S = j B j. Essedo E u algebra, gli isiemi B j = B j \ k<j B k soo i E, a due a due disgiuti e la loro uioe è S. Dato E e posto S i = j i B j, si ha, per σ-subadditività, additività e mootoia, η(e \ S) + η(e S) η(e \ S) + η(e B j) j ( = lim η(e \ S) + η(e Si ) ) i ( lim sup η(e \ Si ) + η(e S i ) ) i = η(e). Quidi S E ed E è ua σ-algebra. Ioltre η E, essedo σ-subadditiva e additiva su ua σ-algebra, è σ-additiva. Ifie, sia B co η(b) = 0. Allora B è η-additivo. Ifatti, dati comuque E, si ha η(e B) + η(e \ B) η(b) + η(e) = η(e). Quidi la codizioe (4.1) è soddisfatta. Lo stesso vale per ogi sottoisieme di B e duque ν è completa. E molto frequete icotrare misure estere defiite co la seguete procedura. Sia assegata ua fuzioe µ : S [0, + ], defiita su ua qualuque famiglia S P(). Si suppoga che S e µ( ) = 0. 5 Si poe, per E, { (4.2) µ (E) = if µ(a ) : (A ) N S, E } A, detta la misura estera idotta da µ. Il termie è giustificato dal seguete euciato. Lemma 4.2. La fuzioe µ è ua misura estera su. Se µ è σ-subadditiva su S, allora µ estede µ. Dimostrazioe. Le codizioi µ ( ) = 0 e di mootoia soo ovvie. Dimostriamo duque la σ- subadditività. Sia E j N E j. Se j µ (E j ) =, o c è iete da dimostrare. I caso cotrario, dato ε > 0, per ogi j si preda u ricoprimeto (A j ) N di E j co µ(a j) < µ (E j ) + 2 j ε. Allora {A j } j, N è u ricoprimeto umerabile di E e duque µ (E) µ(a j ) µ (E j ) + 2ε. j j Per l arbitrarietà di ε, µ (E) j µ (E j ). Suppoedo µ σ-subadditiva su S, dato A S, la scelta degli A co A 0 = A e gli altri vuoti forisce la disuguagliaza µ (A) µ(a). D altra parte, per σ-subadditività, se A A, co A S per ogi, µ(a) µ(a ), per cui µ (A) = µ(a). Possiamo ora discutere le estesioi di fuzioi additive su aelli a misure su σ-algebre. 5 I alterativa si può supporre che S, ma i tal caso vao cosiderate ache somme fiite, e ache vuote, i (4.2).

5. BORELIANI E MISURE DI BOREL 11 Lemma 4.3. Sia A u aello e µ ua fuzioe additiva su A. Siao µ la misura estera idotta da µ e E la σ-algebra degli isiemi µ -additivi. Allora σ(a) E. Dimostrazioe. Dimostriamo che ogi A A è µ -additivo. Da ogi ricoprimeto (A ) N di u isieme E co A A si ricavao i ricoprimeti (A ) di E A e (A ) di E \ A co A = A A, A = A \ A. Per l additività di µ, µ(a ) = µ(a ) + µ(a ) µ (E A) + µ (E \ A). Passado all estremo iferiore sui ricoprimeti (A ) si ha la (4.1). Quidi A E e lo stesso vale per σ(a). Si oti che il Lemma 4.3 o afferma che µ estede µ. Aggiugedo però l ipotesi di σ-additività di µ sull aello A, è possibile otteere il seguete risultato coclusivo. Teorema 4.4 (Teorema di estesioe di Carathéodory). Sia µ ua fuzioe σ-additiva su u aello A. Allora µ ammette u estesioe σ-additiva a σ(a). Se µ è σ-fiita, tale estesioe è uica. Dimostrazioe. Per dimostrare l esisteza, basta combiare il Lemma 4.3 co il Lemma 4.2. L uicità el caso σ-fiito segue dal Teorema di coicideza 3.2. 5. Boreliai e misure di Borel Sia (, τ) uo spazio topologico T 2. La σ-algebra dei sottoisiemi Boreliai di è B τ = σ(τ). U isieme Y si dice F σ se è uioe umerabile di chiusi, e G δ se è itersezioe umerabile di aperti. Ua misura µ su (, B τ ) si chiama misura di Borel. Ua misura di Borel si dice regolare se µ(k) < per ogi compatto K, per ogi Boreliao E si ha l uguagliaza 6 (5.1) µ(e) = sup { µ(c) : C E chiuso } = if { µ(a) : A E aperto }. Proposizioe 5.1. Sia µ ua misura di Borel regolare. Dato u qualuque Boreliao E di misura fiita, esistoo u isieme F σ C e u isieme G δ A co C E A e µ(a\c) = 0. Lo stesso vale per E misurabile relativamete al completameto µ di µ. Dimostrazioe. Sia E u Boreliao. Basta predere C = C, A = A, dove C E A e µ(a \ C ) < 1. Se E è misurabile rispetto a µ, esiste u Boreliao E tale che µ(e E ) = 0. Esiste quidi u Boreliao F E E co µ(f ) = 0. Siao C u F σ e A u G δ tali che C E A e µ(a \ C) = 0, e sia A u G δ coteete F e co µ(a ) = 0. Allora C \ A E A A, C \ A è u F σ, A A è u G δ e µ ( (A A ) \ (C \ A ) ) = µ ( (A A ) ( c C A ) ) = µ ( (A \ C) A ) = 0. Teorema 5.2. Sia (, τ) uo spazio topologico i cui ogi aperto è uioe umerabile di chiusi, e sia µ ua misura di Borel fiita su (, τ). Allora la codizioe (5.1) è soddisfatta. L ipotesi su (, τ) è soddisfatta i particolare dagli spazi metrizzabili. 6 I molti testi si sostituisce C chiuso co K compatto.

12 1. σ-algebre E MISURE Dimostrazioe. Mostriamo che, idipedetemete dalle proprietà della topologia, la famiglia E dei Boreliai E soddisfaceti la (5.1) è ua σ-algebra. Chiaramete,, E e E E = c E E. Sia ora E = N E, co E E per ogi. Esistoo C chiuso e A aperto tali che C E A e Se A = A, A è u aperto coteete E e µ(a \ E ) < 2 ε, µ(e \ C ) < 2 ε. µ(a \ E) µ(a \ E ) < 2ε. Si cosiderio ora S k = k C, che è u chiuso coteuto i E, e Ẽk = k E. Allora µ(ẽk \ S k ) < 2ε. Pioché Ẽk E, esiste k per cui µ(e \ Ẽk) < ε. Quidi µ(e \ S k ) < 3ε. Assumedo ora l ipotesi fatta su (, τ), si ha che dato u aperto A di, esistoo C chiusi tali che C A. Allora µ(a) = sup { µ(c ) }. Quidi τ E e questo dimostra la tesi. Sia d ua distaza su che iduca la topologia τ. Sia C = { x : d(x, c A) 1 }. Esso è u chiuso coteuto i A e C A. Quidi µ(a) = sup µ(c ). 6. Misura di Lebesgue su R e su R Su R si prede A 1 l aello geerato dagli itervalli limitati semiaperti (a, b], co a < b reali. elemeto di A 1 si esprime i modo uico ella forma (6.1) A = (a 1, b 1 ] (a 2, b 2 ] (a, b ], co a 1 < b 1 < a 2 < a < b. Poedo λ 1 (A) = (b j a j ) j=1 si ottiee ua fuzioe additiva su A 1. Essa è ache σ-additiva. Siao ifatti A k A 1 per k N a due a due disgiuti, e si suppoga che A = k A k A 1. Posto A k = (a k 1, b k 1] (a k k, b k k ], A = (a 1, b 1 ] (a, b ], come i (6.1), ciascu (a j, b j ] è l uioe disgiuta di itervalli tratti dagli (a k h, bk h ]. Basta quidi osservare che, se (a, b] è uioe disgiuta di itervalli (c i, d i ], i N, allora (d i c i ) = b a. i Ifatti, da u lato si ha che, per ogi m, (a, b] \ i m (c i, d i ] è u uioe fiita l (a l, b l ] come i (6.1). Per additività, i c i ) = b a i m(d (b l a l) b a, l e duque (d i c i ) b a. i N Ogi

6. MISURA DI LEBESGUE SU R E SU R 13 D altra parte, dato ε > 0, la famiglia { (c i, d i + ε2 i ) } è u ricoprimeto aperto di [a + ε, b]. Esiste i N quidi u sottoricoprimeto fiito { (c i, d i + ε2 i ) } i p, e duque (a + ε, b] i p(c i, d i + ε2 i ], da cui b a ε i N(d i c i ) + 2ε. Per l arbitrarietà di ε si ha la tesi. La σ-algebra σ(a) cotiee gli isiemi aperti e coicide co la σ-algebra B 1 dei Boreliai. Gli elemeti della σ-algebra L 1 degli isiemi λ 1-additivi soo gli isiemi misurabili secodo Lebesgue. L 1 si ottiee da σ(a) per completameto rispetto a λ 1. L estesioe λ 1 di λ 1 a L 1 è la misura di Lebesgue su R. Co abuso di liguaggio, idichiamo ache co λ 1 l estesioe a R = R {± } co σ-algebra L 1 = {E R : E R L 1 } e co λ 1 (E) = λ 1 (E R). I R, 2, si prede l aello A geerato dagli iperrettagoli (6.2) R = (a 1, b 1 ] (a 2, b 2 ] (a, b ], e si poe λ (R) = (b j a j ). j Ache i questo caso, la σ-algebra geerata da A cotiee gli aperti euclidei (ogi puto di u aperto A è coteuto i u iperrettagolo di cetro e lati razioali coteuto i A) e duque è la σ-algebra dei Boreliai e vale quato detto per = 1. Idichiamo co L il completameto di σ(a ) rispetto a λ. La defiizioe di λ dipede apparetemete dalla scelta di u sistema di riferimeto i R. Per dimostrare l idipedeza osserviamo le proprietà di ivariaza di λ rispetto alla strittura di spazio vettoriale di R. La misura di Lebesgue su R è ivariate per traslazioi, cioè dati E B e x R, ache E + x B ; λ (E + x) = λ (E). Le stesse proprietà valgoo per λ ed E L. Teorema 6.1. Sia µ ua misura di Borel su R, regolare e ivariate per traslazioi. Esiste allora c 0 tale che µ = cλ. Dimostrazioe. Per la regolarità di µ, essedo (0, 1] relativamete compatto, si ha µ ( (0, 1] ) = c <. Per additività, µ è σ-fiita e ( (0, 1 ] ) µ = c k k. Da questo segue che µ = cλ su A e, per il teorema di coicideza, µ = λ. Teorema 6.2. Sia A M, ua matrice reale o degeere e sia ϕ(x) = Ax. Se E B, allora ϕ(e) B e ( ) λ ϕ(e) = det A λ (E). Dimostrazioe. Si poga ( µ A (R) = λ ϕ 1 (R) ). Allora µ A si estede a ua misura di Borel regolare e ivariate per traslazioi. Per il Teorema precedete, esiste ua costate c(a) > 0 tale che µ A = c(a)λ. Per composizioe, c : GL R + è u omomorfismo di gruppi (moltiplicativi). Da questo e dalla cotiuità segue che:

14 1. σ-algebre E MISURE se A è ortogoale, detta B la palla uitaria di cetro l origie, si ha ϕ(b) = B, per cui c(a) = 1; siccome ogi A GL si scompoe come A = P DP, co P, P ortogoali e D diagoale 7, si ha c(a) = c(d); se D = diag(d 1,..., d ) è diagoale, posto Q = [0, 1], ϕ(q) è u iperrettagolo di lati d 1,..., d, per cui c(d) = det D. Questo dà la coclusioe. 7 Si cosideri B = t AA. Esseso B simmetrica defiita positiva, esiste P ortogoale tale che B = P 1 D P = t P D P co D diagoale a coefficieti positivi sulla diagoale. Esiste quidi D diagoale co D 2 = D. Allora t AA = t P D 2 P, per cui DP A 1 è ortogoale.

CAPITOLO 2 Itegrazioe 1. Fuzioi misurabili Siao (, E), (Y, F) due spazi misurabili. Ua fuzioe f : Y si dice misurabile se, per ogi F F, si ha f 1 (F ) E. Proprietà: è sufficiete verificare che f 1 (F ) E per F K co σ(k) = F; composizioe di fuzioi misurabili è misurabile; co Y = R, se f, g soo misurabili e c R, ache cf, f + g, fg, f g, f g soo misurabili; se f è misurabile per ogi, ache sup f, if f, lim sup f, lim if f soo misurabili. Ua fuzioe defiita su uo spazio topologico, misurabile rispetto all algebra di Borel si chiama fuzioe Boreliaa. Ua fuzioe semplice su è ua fuzioe misurabile ϕ che assume solo u umero fiito di valori a 1,..., a R. Quidi ϕ = a j χ Ej, co E j E per ogi j. j=1 Teorema 1.1. Sia f misurabile a valori i [0, + ]. Esiste ua successioe (ϕ ) N di fuzioi semplici a valori fiiti, mootoa crescete e covergete putualmete a f. Se f è limitata, esiste ua tale successioe covergete uiformemete a f. Dimostrazioe. Dato, basta porre { k ϕ (x) = 2 se k 2 f(x) < k+1 2,, 0 k < 2 se f(x). Corollario 1.2. Sia (E, µ) il completameto di (E, µ). Data ua fuzioe f E-misurabile, esiste g E- misurabile tale che µ { x : f(x) g(x) } = 0. Dimostrazioe. Possiamo supporre f 0. Sia (ϕ ) N ua successioe di fuzioi semplici E- misurabili co ϕ f. Se ϕ = j a jχ Ej, si preda E j E tale che µ(e j E j ) = 0. Si poga ψ = max a mj χ E m mj. Allora le ψ soo E-misurabili e formao ua successioe crescete. Posto j E =,j E j E j, si ha ψ = ϕ su \ E per ogi. Quidi g = lim ψ è E-misurabile e coicide co f fuori da E. Essedo µ(e) = 0 si ha la tesi. 15

16 2. INTEGRAZIONE 2. Itegrale di fuzioi reali o egative Sia (, E, µ) uo spazio di misura e sia ϕ ua fuzioe semplice o egativa su. Si poe ϕ dµ = a j µ(e j ), j=1 co la covezioe che 0 = 0. Chiaramete l itegrale è additivo e mootoo. Data ua fuzioe misurabile f 0 su, sia S(f) l isieme delle fuzioi semplici ϕ co 0 ϕ f. Si poe f dµ = sup ϕ dµ. ϕ S(f) Si dice che f è itegrabile su rispetto a µ se il suo itegrale è fiito. Prime proprietà: l itegrale su è mootoo; per ogi λ 0, λf dµ = λ f dµ; se f, g soo misurabili e uguali µ-quasi ovuque, allora 1 f dµ = g dµ; se µ è il completameto di µ e f è µ-itegrabile, essa è ache µ-itegrabile e f dµ = f dµ. Teorema 2.1 (Disuguagliaza di Chebishev, o di Markov). Sia f 0 itegrabile. Dato α > 0, µ ( {x : f(x) α} ) 1 f dµ. α Dimostrazioe. Sia E α = {x : f(x) α}. Allora αχ Eα f ed è misurabile. Per la mootoia dell itegrale, α µ(e α ) f dµ. Corollario 2.2. Se f 0 è itegrabile, l isieme su cui f > 0 è σ-fiito e l isieme su cui f = + è trascurabile. Teorema 2.3 (Teorema di covergeza mootoa). Sia f f µ-quasi ovuque, co f misurabile per ogi f. Allora f dµ = lim f dµ. Dimostrazioe. Seza perdere i geeralità, possiamo supporre che la covergeza sia ovuque. Per mootoia, f dµ lim f dµ. Sia ora ϕ S(f) co ϕ dµ < f dµ, i particolare fiito. Quidi ϕ è limitata e, posto E = {x : ϕ(x) > 0}, si ha µ(e) <. Sia E = {x E : f (x) ϕ(x)}. Si ha E E, per cui µ(e \ E ) 0. Allora f dµ f dµ E ϕ dµ E = ϕ dµ ϕ. E\E Ma ϕ ϕ µ(e \ E ) E\E 1 Si può supporre f g sostituedole co f g e f g. Sia E E co µ(e) = 0 l isieme dove f g. Se ϕ = 1 j a jχ Ej g, si poga E j = E j \ E. Allora µ(e j ) = µ(e j), ψ = 1 j a jχ E f e j φ dµ = ψ dµ. Quidi f dµ g dµ. L altra disuguagliaza è ovvia.

3. INTEGRALE DI FUNZIONI REALI E COMPLESSE 17 tede a 0. Quidi lim f dµ ϕ dµ. Corollario 2.4. Se f, g 0 soo misurabili, (f +g) dµ = f dµ+ g dµ. Se (f ) N è ua successioe di fuzioi misurabili o egative, f dµ = f dµ. Dimostrazioe. Siao ϕ, ψ fuzioi semplici co ϕ f, ψ g. Per covergeza mootoa, (f + g) dµ = lim (ϕ + ψ ) dµ = lim ϕ dµ + lim ψ dµ = f dµ + g dµ. Corollario 2.5 (Assoluta cotiuità dell itegrale). Sia f 0 itegrabile. Dato ε > 0 esiste δ > 0 tale che A E, µ(a) < δ = f dµ < ε. I particolare, se µ(a) = 0, f dµ = 0. A Dimostrazioe. Suppoiamo per assurdo che esista ε > 0 co la proprietà che, per ogi, esista A co µ(a ) < 2 e A f ε. Si poga B k = k A e g k = f(1 χ Bk ). Poiché g k f µ-quasi ovuque, si dovrebbe avere f dµ = lim k g k dµ. Ma g k dµ = f dµ f dµ f dµ ε, B k da cui l assurdo. Teorema 2.6 (Lemma di Fatou). Sia (f ) N ua successioe di fuzioi misurabili o egative. Allora lim if f dµ lim if f dµ. Dimostrazioe. Sia g k = if k f. Allora g k dµ if k Ma g k è crescete i k, per cui lim g k dµ = lim k k g k dµ lim k A f dµ. if f dµ. k 3. Itegrale di fuzioi reali e complesse Ua fuzioe f a valori i R si dice itegrabile se f + e f soo itegrabili, e si poe f dµ = f + dµ f dµ. Ua fuzioe a valori i C = C { } si dice itegrabile se Re f e Im f soo itegrabili 2 e l itegrale si defiisce per liearità. Proprietà: le fuzioi itegrabili a valori fiiti formao uo spazio vettoriale (risp. reale o complesso) e l itegrale è lieare; se f è misurabile, f è itegrabile se e solo se f è itegrabile, e vale f dµ f dµ ; le segueti codizioi soo equivaleti: 2 Precisamete, Re f e Im f soo defiite dove f. Negli altri puti si può far coto che etrambe siao uguali a +. Per il Corollario 2.2, la codizioe di itegrabilità rede la scelta irrilevate ai fii della determiazioe dell itegrale.

18 2. INTEGRAZIONE f dµ = 0; µ ( { : f(x) 0} ) = 0; per ogi E E, f dµ = 0. E Teorema 3.1 (Teorema di covergeza domiata, o di Lebesgue). Sia (f ) N ua successioe di fuzioi itegrabili tali che lim f = f µ-quasi ovuque; esiste ua fuzioe g 0 itegrabile tale che f g µ-quasi ovuque. Allora f è itegrabile e f dµ = lim f dµ. Dimostrazioe. Seza perdere i geeralità, possiamo supporre che la covergeza sia ovuque. Possiamo ache supporre f reale. La fuzioe f è certamete misurabile. Applicado il Lemma di Fatou a g + f e a g f, si ha da cui (g + f) dµ g dµ + lim if f dµ, f dµ = lim if (g f) dµ f dµ = lim sup f dµ. g dµ lim sup Corollario 3.2. Sia f ua serie di fuzioi itegrabili covergete quasi ovuque a f. Se f dµ <, allora f dµ = f dµ. f dµ, 4. Teoremi di Egorov e Vitali Teorema 4.1 (Teorema di Egorov). Sia (, E, µ) uo spazio di misura fiita, e sia (f ) N ua successioe di fuzioi misurabili covergete µ-quasi ovuque a f. Per ogi δ > 0. esiste u isieme E δ E co µ(e δ ) < δ tale che la covergeza sia uiforme su \ E δ. Dimostrazioe. Suppoedo, seza perdere i geeralità, che la covergeza sia ovuque, dati m, k > 0, sia B m,k = { x : f(x) f (x) < 1 m k}. Poiché per ogi m B m,k k, dato m esiste k(m) tale che µ( c B m,k(m) ) < δ/2 m. Se E δ = m c B m,k(m), si ha µ(e δ ) < δ e, per ogi m, per ogi k(m) e x E δ si ha f(x) f (x) < 1/m. Ua famiglia F di fuzioi itegrabili si dice uiformemete itegrabile se, per ogi ε > 0 esiste δ > 0 tale che (4.1) A E, µ(a) < δ = f F, f dµ < ε. Teorema 4.2 (Teorema di Vitali). Sia (, E, µ) uo spazio di misura fiita, e sia (f ) N ua successioe uiformemete itegrabile e covergete µ-quasi ovuque a f. Allora f è itegrabile e, per ogi E E, E f dµ = lim E f dµ. A

5. FUNZIONE DI RIPARTIZIONE 19 Dimostrazioe. Possiamo limitarci a E = e supporre che la covergeza si abbia ovuque. Essedo f limite µ-quasi ovuque di fuzioi misurabili, è misurabile. Dato ε > 0 siao δ dato dalla codizioe di itegrabilità uiforme e E δ l isieme forito dal Teorema di Egorov. Per il Lemma di Fatou, E δ f dµ ε. Esiste duque tale che, per e x E δ, si ha f(x) f (x) < ε. Allora (f f ) dµ f f dµ + f dµ + f dµ \E δ E δ E δ < ε(µ() + 2). Il Teorema di Vitali geeralizza il Teorema di Lebesgue (se per ogi f F è f g co g itegrabile, F è uiformemete itegrabile). I teoremi di Egorov e Vitali si estedoo a spazi di misura ifiita aggiugedo l ipotesi di tightess della successioe. Si dice che ua famiglia F di fuzioi itegrabili è tight se, per ogi δ > 0 eiste u isieme E δ co µ(e) < tale che f dµ < δ per ogi.f F.3 \E 5. Fuzioe di ripartizioe Sia f misurabile su (, E, µ) a valori i R. Si chiama fuzioe di ripartizioe, o fuzioe distribuzioe 4, la fuzioe λ f : R [0, + ] defiita da λ f (t) = µ ( {x : f(x) > t} ). Prime proprietà: λ f è o crescete, e i particolare Boreliaa; lim t λ f (t) = µ ( {f } ), e se µ è fiita, lim t + λ f (t) = µ ( {f = + } ) ; λ f è cotiua da destra; lim t t λ f (t) può essere uguale a µ ( {f t 0 } ) oppure a +, secodo che esista o meo t < t 0 co 0 λ f (t) < +. Se f 0, λ f (t) = + per t < 0 ed è più iteressate cosiderare la restrizioe di λ f a R +. Proposizioe 5.1. Ua fuzioe misurabile f 0 è itegrabile se e solo se λ f è itegrabile su R + e vale l idetità + f dµ = λ f (t) dt. Dimostrazioe. Siao f 0 fuzioi semplici, f f. Essedo { } { x : f(x) > t = x : f (x) > t }, 0 si ha che λ f λ f. Per il Teorema di covergeza mootoa, basta quidi verificare la tesi per ua fuzioe semplice, e questo segue da ua semplice sommazioe per parti. Si osservi che la Proposizioe 5.1 implica la disuguagliaza di Chebishev-Markov. Basta osservare che, per mootoia, si ha λ f (t 0 )χ [0,t0)(t) λ f (t), per ogi t 0 > 0 e itegrare i t. Si osservi che, se g 0 è già lei defiita su R + ed è o decrescete, la sua fuzioe distribuzioe λ g coicide co la sua iversa g 1, completata co tratti costati i corrispodeza dei salti di g e posta uguale a + sull itervallo [0, a] se a = lim x + g(x) > 0. 3 Si osservi che ua sigola fuzioe itegrabile è tight. 4 I fracese foctio de répartitio, i iglese (cumulative) distributio fuctio.

20 2. INTEGRAZIONE Si preda duque ua geerica f misurabile su uo spazio di misura (, E, µ) e si poga f (s) = λ 1 f, estesa a R + come detto sopra. Allora λ f = λ f. I particolare, per la Proposizioe 5.1, f dµ = f dλ 1. Più i geerle, si vede facilmete che, se Φ : R + R + è crescete, si ha λ Φ f = λ Φ f, e duque Φ(f) dµ = Φ(f ) dλ 1. La fuzioe f si chiama il riordiameto decrescete di f. 0 0 6. Misure prodotto Siao (, E), (Y, F) due spazi misurabili. Si chiama rettagolo misurabile i Y u isieme E F co E E, F F. Idicado co R la famiglia dei rettagoli misurabili, si defiisce la σ-algebra prodotto come E F = σ(r). Ovviamete, R è u π-sistema. Lemma 6.1. (6.1) Dato A Y, si poga, per x, risp. y Y, A x = {y : (x, y) A} Y, A y = {x : (x, y) A}. Se A E F, allora A x F per ogi x e A y E per ogi y Y. Siao µ, ν due misure σ-fiite 5 su (, E) e (Y, F) rispettivamete. Dato A E F, le fuzioi x ν(a x ), y µ(a y ) soo E- e F-misurabili rispettivamete e ν(a x ) dµ(x) = Y µ(a y ) dν(y). Dimostrazioe. Per il primo puto, sia D P( Y ) la famiglia degli isiemi A tali che ogi A x F e ogi A y E. Allora D è ua σ-algebra coteete R. Per il secodo puto, suppoiamo µ, ν fiite. Allora la famiglia D D degli isiemi A D per cui x ν(a x ) e y µ(a y ) soo misurabili e vale (6.1) è u sistema di Dyki coteete il π-sistema R. La coclusioe segue dal Teorema di Dyki. I geerale, siao, Y co µ( ), ν(y ) < e, Y Y, e si poga A = A ( Y ). Applicado (6.1) a (, µ ), (Y, ν Y ), si ha per ogi ν(a x ) dµ(x) = µ(a y Y ) dν(y). La coclusioe segue per covergeza mootoa. Teorema 6.2. Siao µ, ν due misure σ-fiite su (, E) e (Y, F) rispettivamete. Esiste u uica misura prodotto µ ν (o ache µ ν) su ( Y, E F) tale che (6.2) µ ν(e F ) = µ(e)ν(f ), per ogi E E, F F (co la covezioe 0 = 0), ed è data da (6.3) (µ ν)(e) = ν(a x ) dµ(x) = µ(a y ) dν(y). 5 Se ua delle due o è σ-fiita l uguagliaza o vale. Es: = Y = [0, 1], E = F = B (Borel), µ =Lebesgue, ν =coteggio. La diagoale è i B B. Y Y

7. COMPLETAMENTO DI MISURE PRODOTTO 21 Dimostrazioe. Defiedo per A E F λ(e) = ν(a x ) dµ(x) = Y µ(a y ) dν(y), si ottiee ua misura tale che λ(e F ) = µ(e)ν(f ). Se λ è u altra misura soddisfacete la stessa idetità, l uguagliaza λ = λ segue dal Teorema di coicideza. L operazioe di prodotto di σ algebre e di misure σ-fiite gode, i seso opportuo, delle proprietà commutativa e associativa. La verifica del seguete euciato è semplice. Corollario 6.3. Siao (, E), (Y, F) spazi misurabili. Allora A Y è i E F se e solo se A = {(y, x) : (x, y A} è i F E. Se µ, ν soo due misure σ-fiite su (, E) e (Y, F) rispettivamete, allora µ ν(a) = ν µ(a ). Data ua fuzioe f su Y, essa è E F-misurabile se e solo se f (y, x) = f(x, y) è F E-misurabile su Y, e µ ν-itegrabile se e solo se f è ν µ-itegrabile. I tal caso, f d(µ ν) = f d(ν µ). Y Y Siao (, E) (Y, F), (Z, G) tre spazi misurabili e siao λ, µ, ν tre misure su ciascuo di essi ell ordie. Allora sul prodotto Y Z si ha (E F) G = E (F G) = σ(r) (dove R è la famiglia degli iperrettagoli E F G co E E, F F, G G) e (λ µ) ν = λ (µ ν). 7. Completameto di misure prodotto I geerale, la misura prodotto µ ν o è completa, eache assumedo che i due fattori µ, ν siao completi. Basta che esistao E o E-misurabile e F Y o vuoto co ν(f ) = 0 per avere che E F F, µ ν( F ) = 0, ma E F E F perché o è soddisfatta la tesi del primo puto del Lemma 6.1. Date µ, ν misure σ-fiite su (, E) e (Y, F) rispettivamete, siao µ, ν, µ ν i loro completameti e quello di µ ν, e co E µ, F ν, (E F) µ ν le rispettive σ-algebre completate. Proposizioe 7.1. Sia A (E F) µ ν. Per µ-quasi ogi x, A x F ν e per ν-quasi ogi y, A y E µ. Si ha ioltre µ ν = µ ν. Dimostrazioe. Idichiamo co N (µ ν) E F l ideale degli isiemi (µ ν)-trascurabili. Segue allora dal Lemma 6.1 che E N (µ ν) E E F, E x N (ν) µ-q.o., E y N µ ν-q.o. Se N µ ν idica la famiglia dei sottoisiemi di elemeti di N (µ ν), si ha allora che E N µ ν E (E F) µ ν, E x N ν µ-q.o., E y N µ ν-q.o. E N µ ν. Questo forisce facilmete etrambe le affermazioi. Per esempio, se λ idica la misura di Lebesgue sull algebra dei Boreliai di R, si ha λ +m = λ λ m e duque λ +m = λ λ m = λ λ m (ma λ +m λ λ m ).

22 2. INTEGRAZIONE 8. Riduzioe di itegrali su spazi prodotto Il pricipio di riduzioe degli itegrali su spazi prodotto è basato sulla seguete osservazioe. Lemma 8.1. Data f 0 defiita su (, E), si cosideri l isieme S f = { (x, t) R : 0 < t < f(x) }. Allora f è misurabile se e solo se S f E B 1 ; se µ è ua misura σ-fiita su (, E), (8.1) f dµ = (µ λ 1 )(S f ). Dimostrazioe. Se f è misurabile, siao f fuzioi semplici co f f. Allora S f S f. Gli isiemi S f soo uioi fiite di rettagoli misurabili, per cui S f E B 1. Ioltre le f soddisfao (8.1), e per covergeza mootoa/σ-additività ache f la soddisfa. Viceversa, si suppoga S f E B 1. Per ogi t R, per cui, dati, k 0, l isieme S t f = { x : f(x) > t }, E,k = (S f ) (k+1)2 ( k2, (k + 1)2 ] = { (x, t) : f(x) (k + 1)2, k2 < t (k + 1)2 } e E = 0 k 2 E 2,k coicide co l isieme S f associato a ua fuzioe semplice f f. Quidi (µ λ 1 )(E ) = f dµ. Ioltre E,k E +1,2k E +1,2k+1, per cui E E +1. Si vede facilmete che E S f, per cui f f. Per covergeza mootoa si ha la tesi. Teorema 8.2 (Teorema di Toelli). Siao µ, ν misure σ-fiite su (, E), (Y, F) rispettivamete, e sia f 0 ua fuzioe E F-misurabile su Y. Allora per ogi x, la fuzioe f x (y) = f(x, y) è F-misurabile e, per ogi y Y, la fuzioe f y (x) = f(x, y) è E-misurabile; la fuzioe x Y f x dν è E-misurabile e la fuzioe y Y f y dµ è F-misurabile; (8.2) vale la formula di riduzioe ( ) f(x, y) dν(y) dµ(x) = Y Y ( ) f(x, y) dµ(x) dν(y) = f d(µ ν). Y Dimostrazioe. Per il Lemma 8.1, l isieme S f = { (x, y, t) Y R : 0 t < f(x, y) } è i E F B 1. Utilizzado il Lemma 6.3, si ha che per ogi x, l isieme (S f ) x = { (y, t) Y R : 0 t < f x (y) } = S fx è i F B 1, la fuzioe x ν λ 1 (S fx ) è E-misurabile, µ ν λ 1 (S f ) = ν λ 1(S fx ) dµ(x). Per il Lemma 6.3 e per simmetria i x e y, questo forisce la tesi. E importate avere ache il corrispodete euciato per fuzioe µ ν-misurabili (si pesi all uso co misure di Lebesgue). Corollario 8.3. Siao µ, ν misure σ-fiite su (, E), (Y, F) rispettivamete, e sia f 0 ua fuzioe (E F) µ ν -misurabile su Y. Allora per µ-quasi ogi x, la fuzioe f x (y) = f(x, y) è F ν -misurabile e, per ν-quasi ogi y Y, la fuzioe f y (x) = f(x, y) è E µ -misurabile;

8. RIDUZIONE DI INTEGRALI SU SPAZI PRODOTTO 23 la fuzioe x Y f x dν è E µ -misurabile e la fuzioe y Y f y dµ è E ν -misurabile; vale l idetità (8.2). Dal Teorema di Toelli segue il seguete teorema. Teorema 8.4 (Teorema di Fubii). Siao µ, ν misure σ-fiite su (, E), (Y, F) rispettivamete, e sia f ua fuzioe µ ν-itegrabile su Y. Allora per µ-quasi ogi x, la fuzioe f x (y) = f(x, y) è ν-itegrabile e, per ν-quasi ogi y Y, la fuzioe f y (x) = f(x, y) è µ-itegrabile; la fuzioe x Y f x dν è µ-itegrabile e la fuzioe y Y f y dµ è ν-itegrabile; vale l idetità (8.2). Dimostrazioe. Ci si può limitare al caso f 0. Sia g ua fuzioe E F-misurabile coicidete co f µ ν-quasi ovuque. L isieme G Y dove f g è coteuto i G co (µ ν)(g ) = 0. Per il Lemma 6.1, ν(g x) = 0 per µ-quasi ogi x, diciamo per x E co µ(e ) = 0. Per x E, f x = g x fuori da G x. La dimostrazioe si completa applicado il Teorema di Toelli. L ipotesi di σ-fiitezza ell euciato del Teorema di Toelli è ecessaria: si preda la fuzioe caratteristica della diagoale i Y, co = Y = [0, 1], µ la misura di Lebesgue e ν la misura del coteggio (v. sopra). Ivece tale ipotesi può essere rimossa (co opportue modifiche 6 ) dall euciato del Teorema di Fubii. L ipotesi di misurabilità di f sullo spazio prodotto è ecessaria. No è sufficiete assumerla per f x e f y separatamete per (quasi) ogi x, y. Dall uso combiato dei due Teoremi di Toelli e Fubii si ottiee il seguete corollario, di uso molto frequete. Corollario 8.5. Sia f (E F) µ ν -misurabile su Y e si suppoga che uo dei due itegrali iterati di f, per es. ( ) f(x, y) dν(y) dµ(x), Y sia covergete. Allora f è µ ν-itegrabile. I particolare, ache l altro itegrale iterato è covergete e vale la (8.2). 6 Iazitutto occorre dimostrare che esistoo i geerale misure su ( Y, E F) che soddisfio la (6.2). Questo si ottiee co il metodo di estesioe di Carathéodory. Si dimostra quidi che ogi fuzioe itegrabile rispetto a ua qualsiasi di tali misure è quasi ovuque ulla fuori da u prodotto Y Y che sia σ-fiito. Co questo ci si riporta al caso precedete. Questo argometo è piuttosto complicato e lo tralasciamo.

CAPITOLO 3 Itegrazioe e misure su spazi localmete compatti 1. Lemma di Urisoh per spazi localmete compatti Sia (, τ) uo spazio topologico T 2 localmete compatto. Per defiizioe, localmete compatto vuol dire che ogi x ha u itoro compatto. Co l ipotesi T 2 si ottiee di più. Lemma 1.1. Sia (, τ) T 2 localmete compatto. Allora ogi x ha u sistema fodametale di itori compatti. Dimostrazioe. Sia U c u itoro compatto di x. Dato y x, esistoo itori aperti e disgiuti U di x e V y di y. Allora U y = U c \ V y è compatto e cotiee U c U. Duque U y e V y soo itori disgiuti di x e y rispettivamete, co U y compatto. Sia ora U u itoro aperto di x. Dimostriamo che U cotiee u itoro compatto di x. Se U c U o c è ulla da dimostrare. Altrimeti cosideriamo K = U c \ U, che è compatto. Per ogi y K siao U y U e V y come sopra. Siao y 1,..., y K tali che K V y1 V y = W. Allora U c \ W è u compatto coteuto i U e che cotiee per cui è u itoro di x. U c U y1 U y, Lemma 1.2. Siao K A, co K compatto e A aperto. Esiste u aperto V relativamete compatto tale che K V V A. Dimostrazioe. Per il Lemma 1.1, per ogi x K esiste U x u itoro di x aperto e co chiusura compatta coteuta i A. Esistoo allora x 1,..., x tali che i corrispodeti U xj ricoproo K. Basta allora predere V uguale all uioe degli U xj. Teorema 1.3 (Lemma di Urisoh). Sia (, τ) T 2 localmete compatto. Dati K A co K compatto e A aperto, esiste ua fuzioe cotiua ϕ co supporto compatto coteuto i A, 0 ϕ 1 e ϕ = 1 su K. Dimostrazioe. Fissiamo iizialmete V 0 aperto relativamete compatto co K V 0 V 0 A. Sia Q l isieme dei umeri razioali della forma q = (2m + 1)2 (0, 1]. Per ogi q Q costruiamo u aperto relativamete compatto V q i modo che, se 0 q < q 1, q, q Q {0}, si abbia (1.1) K V q V q V q V q V 0. Procededo per iduzioe su, scegliamo V 1 i modo che K V 1 V 1 V 0. Suppoedo di aver defiito V q per q = (2m + 1)2 co <, i modo tale che valga (1.1) limitatamete a tale isieme di razioali, si preda q = (2m + 1)2. Esiste allora V q co V (2m+2)2 V q V q V 2m2. 25

26 3. INTEGRAZIONE E MISURE SU SPAZI LOCALMENTE COMPATTI Per x si poga {sup { } q Q {0} : x V q se x V 0 ϕ(x) = 0 se x V 0. Allora 0 ϕ 1, supp ϕ V 0 e ϕ = 1 su K. Per dimostrare che ϕ è cotiua, si osservi che, per a 1, ϕ 1( (a, + ) ) = V q, ϕ 1( [a, + ) ) = ϕ 1( (a, + ) ) = V q. q>a a <a a <a q>a Ma per a < a < a valgoo le iclusioi q>a V q poiché q>a V q V a e duque, se a < b < a, Quidi a <a q>a V q q>a V q, q>a V q V a V b. q>a V q = a <a q>a V q, e ϕ 1( [a, + ) ) è chiuso. I coclusioe ϕ è semicotiua sia superiormete che iferiormete, duque è cotiua. Corollario 1.4. Sia {A 1,..., A } u ricoprimeto aperto fiito di u compatto K di. Esistoo allora compatti K j A j co j K j = K; fuzioi h j C c () co 0 h j 1 e supp h j A j per 1 j, tali che j h j = 1 su K. Dimostrazioe. Dato x K, esiste j tale che x A j. Per il Lemma 1.1, esiste u itoro U x di x co U x A j e compatto. Dal ricoprimeto {U x } x K di K si estragga u sottoricoprimeto fiito {U xi } i I e si scompoga I ell uioe, o disgiuta, di I j = {i : U xi A j }. I compatti K j cercati soo K j = K U xi A j. i I j Sia ora ϕ j data dal Lemma di Urisoh applicato alla coppia K j A j e si poga h j (x) = ϕ j (x) 1 k ϕ k(x). Ogi h j è cotiua, supportata i A j e 0 h j 1. U puto x K rietra el primo caso e duque j h j(x) = 1. Si dice che le fuzioi h j costituiscoo ua partizioe dell uità su K subordiata al ricoprimeto {A j } j. 2. Misure di Rado Su qualuque spazio topologico (, τ), le fuzioi a valori reali semicotiue soo misurabili. duque il teorema seguete. Lemma 2.1. Sia µ ua misura di Borel tale che µ(k) < per ogi compatto K. Allora le fuzioi cotiue a supporto compatto soo µ-itegrabili. Dimostrazioe. Sia f cotiua co supporto compatto K, e duque misurabile. Essedo f f χ K, si ha f dµ <. Si ha

3. TEOREMA DI RAPPRESENTAZIONE DI RIESZ 27 Sia C c () lo spazio vettoriale delle fuzioi a valori reali, cotiue e a supporto compatto i. Si cosideri il fuzioale (2.1) Λ µ : C c () R, Λ µ (f) = f dµ. Tale fuzioale è lieare ed è positivo, cioè f 0 = Λ µ (f) 0. Si oti che u fuzioale lieare positivo è automaticamete mootoo (crescete). I geerale, il fuzioale Λ µ o idividua µ uivocamete, per esempio perché potrebbero o esserci (abbastaza) fuzioi cotiue a supporto compatto. Suppoiamo allora che (, τ) sia T 2 localmete compatto. Ua misura di Borel µ su si chiama misura di Rado se soddisfa le segueti proprietà: µ(k) < per ogi compatto K; µ è esteramete regolare, cioè per ogi E B τ, per ogi aperto A, µ(e) = if { µ(a) : A aperto coteete E } ; µ(a) = sup { µ(k) : K compatto coteuto i A }. Lemma 2.2. Siao µ, ν due misure di Rado su (, τ) T 2 localmete compatto. Se Λ µ = Λ ν, allora µ = ν. Dimostrazioe. Per la regolarità itera sugli aperti delle due misure, è sufficiete dimostrare che µ(k) = ν(k) per ogi compatto K. Dato ε > 0, esiste A K aperto co µ(a) < µ(k) + ε. Sia ϕ data dal Lemma di Urisoh. Allora ν(k) ϕ dν = ϕ dµ µ(a) µ(k) + ε. Quidi ν(k) µ(k). Per simmetria si ha la tesi. 3. Teorema di rappresetazioe di Riesz Teorema 3.1 (Teorema di rappresetazioe di Riesz). Sia (, τ) T 2 localmete compatto e sia Λ u fuzioale lieare su C c () positivo. Esiste allora u uica misura di Rado µ tale che Λ = Λ µ. Dato u aperto A, defiiamo ed estediamo quidi µ a P(), poedo µ(a) = sup{λ(f) : 0 f χ A }. (3.1) µ(e) = if { µ(a) : A E aperto }. Chiaramete, µ( ) = 0. Lemma 3.2. La fuzioe µ è mootoa, additiva sugli aperti σ-subadditiva, soddisfa la codizioe µ(k) < per ogi compatto K, è additiva sui compatti.

28 3. INTEGRAZIONE E MISURE SU SPAZI LOCALMENTE COMPATTI Dimostrazioe. La mootoia è ovvia. Siao A 1, A 2 aperti disgiuti. Data f C c () co 0 f χ A1 A 2, f si scompoe i modo uico come f 1 + f 2, co 0 f 1 χ A1 e 0 f 2 χ A2. Quidi µ(a 1 A 2 ) = sup{λ(f) : 0 f χ A } = sup{λ(f 1 ) : 0 f 1 χ A1 } + sup{λ(f 2 ) : 0 f 2 χ A2 } = µ(a 1 ) + µ(a 2 ). Questo dimostra il secodo puto. Seza assumere che A 1, A 2 siao disgiuti, sia ora f C c () co 0 f χ A1 A 2. Posto K = supp f, sia {h 1, h 2 } ua partizioe dell uità su K subordiata a {A 1, A 2 }. Allora f = fh 1 + fh 2 e duque Λ(f) = Λ(fh 1 ) + Λ(fh 2 ) µ(a 1 ) + µ(a 2 ). Prededo l estremo superiore su f, si ottiee la disuguagliaza µ(a 1 A 2 ) µ(a 1 ) + µ(a 2 ), cioè µ è subadditiva sugli aperti.. Per dimostrare la σ-subadditività su isiemi geerici, dati isiemi E, N, basta cosiderare E = E. Possiamo supporre che µ(e ) < per ogi. Dato ε > 0, per ogi esiste A E aperto co µ(a ) < µ(e ) + 2 ε. Posto A = A, sia 0 f χ A cotiua a supporto compatto coteuto i A. Allora esiste m tale che supp f A 0 A m. Per la subadditività sugli aperti, Λ(f) µ(a 0 A m ) j m µ(a j ) < µ(e ) + 2ε. Quidi µ(e) µ(a) µ(e ) + 2ε. Per l arbitrarietà di ε si ha la tesi. Sia ora K compatto, e sia f C c () co χ K f. Posto A = {f > 1 2 }, A è aperto e χ A 2f. Quidi µ(k) µ(a) 2Λ(f). Quidi µ(k) è fiita. Ifie, mostriamo l additività sui compatti. Siao K, K compatti disgiuti. Siao V, V rispettivi itori disgiuti. Dato A K K aperto, poiamo B = A V K, B = A V K. Allora µ(k) + µ(k ) µ(b) + µ(b ) = µ ( A (V V ) ) µ(a), e duque µ(k) + µ(k ) µ(k K ). La disuguagliaza opposta segue dalla σ-subadditività di µ. Idichiamo co A la famiglia degli isiemi E tali che µ(e) = sup { µ(k) : K E compatto } <. Lemma 3.3. A è u σ-aello coteete i compatti e gli aperti A co µ(a) < e µ è σ-additiva su A. Dimostrazioe. Dimostriamo ell ordie che: (i) A cotiee i compatti e gli aperti A co µ(a) < ; (ii) Se E A soo u ifiità umerabile di isiemi a due a due disgiuti co µ(e ) <, allora E = E A e µ(e) = µ(e ); (iii) A è u σ-aello e µ è σ-additiva su A. (i) Essedo µ(k) < per ogi compatto K, si ha ovviamete K A. Sia ora A u aperto. Dato α < µ(a), esiste f C c () co 0 f χ A e Λ(f) > α. Posto K = supp f A, per ogi aperto B coteete K si ha µ(b) > Λ(f) > α. Quidi 1 µ(k) > α. 1 Si oti che qui o è stata usata l ipotesi µ(a) <. Quidi l uguagliaza µ(a) = sup{µ(k) : K A compatto} è stata dimostrata per ogi aperto.

3. TEOREMA DI RAPPRESENTAZIONE DI RIESZ 29 (ii) Dato ε > 0, esistoo compatti K E co µ(k ) > µ(e ) 2 ε. Esiste allora 0 tale che (3.2) µ(k 0 K 0 ) = µ(k ) > µ(k ) ε > µ(e ) 3ε. 0 N N Per l arbitrarietà di ε, µ(e) N µ(e ). Per σ-subadditività si ha l uguagliaza. Duque µ(e) < + e per la (3.2) E A. (iii) U isieme E è i A se e solo se per ogi ε > 0, esistoo K compatto e A aperto, K E A, co µ(a) µ(k) < ε. Ma questa codizioe è equivalete a richiedere che, per ogi ε > 0, esistoo K compatto e A aperto, K E A, co µ(a \ K) < ε. Ifatti, se µ(a) µ(k) < ε, per ogi compatto K A \ K si ha µ(k ) = µ(k K ) µ(k) µ(a) µ(k) < ε. Essedo A \ K aperto, segue che µ(a \ K) < ε. L implicazioe opposta segue dalla subadditività di µ. Dati ora E, E A proviamo che E \ E A. Dato ε > 0, siao K, K, A, A tali che K E A, K E A. Allora K \ A E \ E A \ K, dove K \ A è compatto e A \ K aperto. Allora (A \ K ) \ (K \ A ) = A c K (A c K) = ( (A A ) \ K ) ( A \ (K K ) ) (A \ K ) (A \ K), per cui µ ( (A \ K ) \ (K \ A ) ) < 2ε. Poi, E E = E (E \ E) e si applica (ii). Ifie E E = E \ (E \ E ). Sia poi {E } A u famiglia umerabile superiormete limitata da E A. Allora gli isiemi E = E \ ( m< E ) m soddisfao le ipotesi i (ii). Quidi E A. La σ-additività di µ su A è dimostrata i (ii). Dimostrazioe del Teorema di Riesz. Cosideriamo la misura estera µ idotta da µ A. Per ogi E P(), { µ (E) = if µ(f ) : (F ) N A, E } F. Ma allora µ (E) = if { µ(a) : A aperto, E A } = µ(e). Questo è ovvio se µ (E) = +. Altrimeti, dato u ricoprimeto (F ) N A di E e dato ε > 0, si preda, per ogi, A F aperto co µ(a ) < µ(f ) + 2 ε. Se A = A, µ(a) < µ(f ) + 2ε. Quidi µ è ua misura sulla σ-algebra M degli isiemi µ-additivi, e A M. Dimostriamo che u qualuque aperto A è additivo 2, e duque l algebra B τ dei Boreliai è coteuta i M. Dato u isieme E, dobbiamo dimostrare che (3.3) µ(e A) + µ(e \ A) µ(e). Possiamo ovviamete supporre µ(e) <. Dato u aperto B E co µ(b) <, si ha B A A e duque ache B \ A A. Per l additività di µ su A, µ(e A) + µ(e \ A) µ(b A) + µ(b \ A) = µ(b). Passado all estremo iferiore su B si ottiee (3.3). Dimostriamo ora che, per f C c () a valori reali, Λ(f) = f dµ. Possiamo supporre f 0. Siao K = supp f, b = max f. Dato > 0, K si scompoe ell uioe fiita disgiuta dei sottoisiemi { E i = x K : (i 1) b f(x) < i b }, 1 i. 2 Se µ(a) <, A A e duque i M. Si tratta di dimostrarlo per µ(a) =.

30 3. INTEGRAZIONE E MISURE SU SPAZI LOCALMENTE COMPATTI Ogi E i è Boreliao, duque i M. Sia A i E i co µ(a i ) < µ(e i ) + 1 e f < i b 2 su A i. Sia {h i } ua partizioe dell uità di K subordiata al ricoprimeto {A i }. Allora f = i fh i e fh i i b χ A i per ogi i, per cui Λ(f) = Λ(fh i ) i i i b Λ(h i) i < i i b µ(a i) i b (µ(e i ) + 1 2 ) (i 1) b µ(e i) + b µ(k) + b i f dµ + ( b ) µ(k) + 1. Quidi Λ(f) f dµ. Cambiado f i f si ottiee la disuguagliaza opposta. Ifie, l uicità di µ è garatita dal Lemma 2.2. Cocludiamo co u cofroto tra le due codizioi µ è ua misura di Rado, µ è ua misura di Borel regolare per ua misura di Borel su uo spazio (, τ) T 2 localmete compatto. Nessua delle due implica l altra a causa delle diverse codizioi di regolarità itera: per ua misura di Rado, da u lato essa è richiesta solo per isiemi aperti, dall altro l estremo superiore è limitato alle misure dei compatti coteuti ell isieme. Sotto l ulteriore ipotesi di σ-compattezza su, si ha la coicideza tra le due codizioi. Lemma 3.4. Sia µ ua misura di Rado su localmete compatto e T 2. µ(e) <, si ha µ(e) = sup { µ(k) : K E compatto }, Per ogi Boreliao E co Dimostrazioe. Dato ε > 0, sia A E aperto co µ(a) < µ(e) + ε. Sia poi K A compatto co µ(k) > µ(a) ε. Allora µ(k \ E) µ(a \ E) < ε, µ(e \ K) µ(a \ K) < ε. Sia B K \ E aperto co µ(b) < 2ε. Allora K = K \ B E ed è compatto. Ioltre E \ K = (E \ K) (E B), per cui µ(e \ K ) µ(e \ K) + µ(b) < 3ε. Teorema 3.5. Sia (, τ) T 2, localmete compatto e σ-compatto. Le misure di Rado su coicidoo co le misure di Borel regolari. Dimostrazioe. Sia {K } ua famiglia umerabile di compatti che ricopre. Possiamo supporre che K. Sia ν di Rado e sia E u Boreliao. Se µ(e) <, si applica il Lemma 3.4. Se µ(e) = +, si poga E = E K. Allora µ(e ) < per ogi. Dato M > 0, esiste per cui µ(e ) > 2M, e duque u compatto F E co µ(f ) > M. Viceversa, sia µ regolare. Dato E Boreliao, sia C E chiuso. Allora µ(c K ) µ(c) e duque dove ogi C K è compatto. µ(e) = sup { µ(c K ) : C E chiuso, > 0 },