LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA Prof. Francesco Marchi 1 Esercitazione su: teoria e definizioni Indice 1 Dominio e segno 2 1.1 Esercizi di teoria......................................... 2 1.2 Impostazione dei calcoli relativi a dominio e segno...................... 2 1.3 Determinazione del dominio e segno di funzioni date..................... 2 2 Asintoti 3 2.1 Esercizi di teoria......................................... 3 2.1.1 Definizioni......................................... 3 2.1.2 Vero o falso........................................ 3 2.1.3 Quesiti vari........................................ 3 2.2 Determinazione di asintoti; intersezioni del grafico con i propri asintoti........... 3 2.2.1 Funzioni algebriche.................................... 3 2.2.2 Funzioni goniometriche................................. 3 2.2.3 Funzioni logaritmiche.................................. 4 2.2.4 Funzioni esponenziali................................... 4 2.3 Esercizi vari............................................ 4 2.3.1 Asintoti verticali..................................... 4 2.3.2 Asintoti orizzontali.................................... 4 3 Continuità e discontinuità 5 3.1 Studio di continuità....................................... 5 3.1.1 Funzioni algebriche.................................... 5 3.1.2 Funzioni goniometriche................................. 5 3.1.3 Funzioni esponenziali................................... 5 3.1.4 Funzioni definite a tratti [1]............................... 5 3.2 Esercizi con parametri...................................... 6 3.2.1 Esercizio 1........................................ 6 3.2.2 Esercizio 2........................................ 6 4 Calcolo differenziale 7 4.1 Definizioni e teoria........................................ 7 4.2 Calcolo di derivate tramite la definizione............................ 7 4.3 Derivabilità e non derivabilità.................................. 7 Riferimenti bibliografici 7 1 Per altri materiali didattici o per informazioni: Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/ Indirizzo email: fra.marchi@yahoo.it 1

1 Dominio e segno 1.1 Esercizi di teoria Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. Il dominio delle due funzioni seguenti è lo stesso 5 + 3 6 + 2 7 5 sin ; g() = 2. Si consideri la funzione h() = 6+2 5 + log( + 3). (a) Il punto = 3 appartiene al dominio. (b) Il punto = 0 appartiene al dominio. (c) La funzione non è definita per = 0.13 π. 1.2 Impostazione dei calcoli relativi a dominio e segno 7 5 sin + 5 4 + Impostare il sistema relativo alla determinazione del dominio delle seguenti funzioni, senza risolverlo. 1. f 1 () = 6 cos(4 + 3 ) + 5 log( 4) 2. f 2 () = tan( + 7) 3 + 8 1.3 Determinazione del dominio e segno di funzioni date Per le seguenti funzioni h() e g(): 8 h() = cos 2/2 2 + 4 + 4 g() = 2 4 Determinare il dominio e scriverlo sotto forma di intervallo. Studiare il segno e rappresentare sotto forma di intervallo i valori di per cui le funzioni sono positive. 2

2 Asintoti 2.1 Esercizi di teoria 2.1.1 Definizioni Si dia la definizione di: Asintoto verticale; asintoto orizzontale; asintoto obliquo 2.1.2 Vero o falso Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: Se il dominio di una funzione è limitato, il suo grafico non può avere asintoti orizzontali Se il dominio di una funzione è limitato, il suo grafico non può avere asintoti verticali f() Se esiste finito il lim +, allora f() ha un asintoto obliquo 2.1.3 Quesiti vari Si risponda ai seguenti quesiti: Quanti asintoti orizzontali può avere una funzione? E quanti asintoti verticali? 2.2 Determinazione di asintoti; intersezioni del grafico con i propri asintoti Si considerino le funzioni elencate qui di seguito. Per esse: Si determinino le equazioni degli asintoti Si stabilisca se le funzioni elencate qui di seguito intersecano i propri asintoti Si determinino le coordinate dei punti di intersezione delle funzioni con gli asintoti 2.2.1 Funzioni algebriche 22 5 2 3 (1) 2 + 5 2 2 + 6 (4) 2 + 5 6 2 1 (2) 2 3 + (5) 1 + 2 2 1 2 (3) 2 2 5 + 6 (6) 2.2.2 Funzioni goniometriche arctan + 1 (7) sin( 2) 2 (8) 3

2.2.3 Funzioni logaritmiche ln + 1 2.2.4 Funzioni esponenziali (9) 1 ln(2 9) (10) e2 e 2 (11) 2 2 9 (12) 2.3 Esercizi vari 2.3.1 Asintoti verticali Quali tra le funzioni elencate qui di seguito ha almeno un asintoto verticale? 1 2 1 (13) ln(1 + 2 ) (16) 1 2 + 1 (14) ln (17) 2 1 (15) 2.3.2 Asintoti orizzontali Quali tra le funzioni elencate qui di seguito ha almeno un asintoto orizzontale? 1 2 (18) 2 + + 1 (19) 2 + + 1 (20) ln (21) 4

3 Continuità e discontinuità 3.1 Studio di continuità Si studi la continuità delle funzioni indicate di seguito. In particolare: Si indichino gli eventuali punti di discontinuità. Si specifichi la natura dei punti di discontinuità. Si eliminino le discontinuità eliminabili. 3.1.1 Funzioni algebriche 2 6 + 9 2 9 (22) 1 (23) 3.1.2 Funzioni goniometriche 3 sin 2 (24) ( ) sin 2 3 (25) 3.1.3 Funzioni esponenziali 3 e 2 1 (26) e 2+2 (27) 3.1.4 Funzioni definite a tratti [1] 2 2 + 1, se > 0 3, se = 0 e + sin, se < 0 2 2 + 1, se > 0 1, se = 0 e + sin, se < 0 {e 1, se = 0 0, se = 0 e 1, se < 0 1, se = 0 sin 2, se > 0 5

3.2 Esercizi con parametri 3.2.1 Esercizio 1 Stabilisci per quale valore del parametro a è continua la seguente funzione: { 2 + 3 + 2a, se < 1 a 2 + 3 a, se 1 3.2.2 Esercizio 2 Stabilisci per quali valori dei parametri a e b è continua la seguente funzione: ae +2 + 2b, se 2 b 2 + 2a, se 2 < < 2 3 + a +5, se 2 6

4 Calcolo differenziale 4.1 Definizioni e teoria 1. Illustrare il concetto di rapporto incrementale di una funzione f() in un dato punto 0, anche avvalendosi di una rappresentazione grafica. 2. Siano f e g due funzioni qualsiasi. Ha senso affermare che la funzione f cresce più rapidamente di g? Perché? 3. Dare la definizione di derivata di una funzione in un dato punto, f ( 0 ). 4.2 Calcolo di derivate tramite la definizione Per le funzioni indicate di seguito: 1. Calcola il rapporto incrementale nel punto 0 a fianco indicato; 2. Fanne il limite per un incremento h che tende a zero; 3. Calcola la derivata f (); 4. Valuta la derivata nel punto 0 ; 5. Verifica l uguaglianza dei due valori ottenuti. Elenco delle funzioni: 2 3; 0 = 4 (28) 2 + 2 + 2; 0 = 3 (29) e ; 0 = 5 (30) 4.3 Derivabilità e non derivabilità Vedi [2], pag. 312. Riferimenti bibliografici [1] Il paesaggio matematico verde. Vol. 5; Fico, Cariani, Mattina 1 2 ; 0 = 2 (31) [2] Corso di Matematica per il Liceo Scientifico; Canepa, A.; Gerace, M. Paravia, 2009 7