Capitolo 3 Forme e Dimensioni Descrizione della realtà che ci circonda come insieme di elementi geometrici fondamentali Indice del capitolo 3.1 Elementi geometrici fondamentali........... 20 3.1.1 Il punto........................... 20 3.1.2 La linee e angoli...................... 21 3.1.3 Il piano........................... 23 3.2 Figure geometriche fondamentali............ 24 3.2.1 I triangoli.......................... 25 3.2.2 I quadrilateri........................ 27 3.2.3 I poligoni.......................... 32 Tabelle 3.1 L alfabeto greco........................... 22 Figure 3.1 Linea retta e linea curva...................... 21 3.2 Linea retta, semiretta e segmento................. 23 3.3 Angolo tra due semirette...................... 23 3.4 Linee parallele, incidenti e perpendicolari............ 24 19
20 Forme e Dimensioni 3.5 Piano individuato da due semirette................ 24 3.6 Piani paralleli, incidenti e perpendicolari............. 25 3.7 Tipologie di triangoli........................ 26 3.8 Convenzione sui triangoli..................... 27 3.9 Perimetro e area di un triangolo................. 28 3.10 Visualizzazione del teorema di pitagora............. 29 3.11 Quadrilatero come somma di triangoli.............. 29 3.12 Trapezi............................... 30 3.13 Parallelogramma.......................... 30 3.14 Rombo................................ 31 3.15 Rettangolo e quadrato....................... 31 3.16 Poligono scomposto in altri poligoni più semplici (triangoli e parallelogrammi).......................... 32 3.17 I poligoni regolari.......................... 33 3.1 Elementi geometrici fondamentali La realtà che ci circonda è formata da una composizione non casuale di elementi geometrici fondamentale. Ogni forma che noi vediamo può essere considerata come la composizione di altre più elementari. Lo scopo del nostro studio, si sposta ora sullo studio di tali forme e delle loro caratteristiche. 3.1.1 Il punto Il punto è l elemento fondamentale di ogni cosa, in quanto ogni immagine può essere vista come un insiemi di punti piccolissimi, o meglio infinitesimi 1. Pensiamo per esempio allo schermo della nostra televisione: se lo guardiamo da lontano, noi vediamo quello che ci è consueto, ovvero immagini in movimento, se ci avviciniamo a una distanza ragguardevole (qualche decina di centimetri) vediamo che queste non sono nient altro che un accostamento di moltissimi punti. Essendo il punto l elemento fondamentale della geometria, questo non ha dimensioni e non può quindi possedere nè area nè perimetro. 1 Se per infinito si intende qualcosa di notevolmente grande con infinitesimo indichiamo qualcosa di notevolmente piccolo.
3.1 Elementi geometrici fondamentali 21 Figura 3.1: Linea retta e linea curva 3.1.2 La linee e angoli Definiamo linea un insieme di punti accostati in fila tra di loro. Dati due punti A e B, figura 3.1,possiamo sempre descrivere un percorso che li collega. Se questi oltre ad essere in fila tra di loro procedono tutti nella stessa direzione questa prenderà il nome di linea retta o semplicemente retta, altrimenti la chiameremo linea curva o più banalmente curva.facendo riferimento alla figura 3.1, osserviamo che per definire visualmente una linea retta è sufficiente prendere un foglio, scegliere due punti qualsiasi e quindi tracciare, con il righello una linea che li colleghi tra di loro. Al contrario per disegnare una curva basta collegare i due punti precedenti con un percorso qualsiasi. In figura 3.2, possiamo invece osservare come la retta possa essere infinita e non avere origine, oppure abbia un origine e in questo caso prende il nome di semiretta. In ultimo nel caso in cui abbia un origine e una fine prende il nome di segmento. Consideriamo due semirette aventi l origine in comune (Figura 3.3), definiamo quindi l angolo come la quantità della quale deve essere ruotata la prima semiretta per sovrapporsi con la seconda. Convenzionalmente si usa indicare gli angoli attraverso le lettere greche (vedi tabella 3.1) Dalla figura 3.4, invece apprendiamo che due rette che non hanno punti in comune, si dicono parallele, mentre nel caso in cui abbiano un punto di intersezione prendono il nome di rette incidenti e loro incontro di punto d incidenza o di intersezione, che nella figura coincide con il punto I. Infine se l angolo formato dall incontro delle rette è
22 Forme e Dimensioni Maioscola Minuscola Pronuncia A α alfa B β beta Γ γ gamma δ delta E ε epsilon Z ζ zeta H η eta Θ θ, ϑ theta I ι iota K κ kappa Λ λ lambda M µ mu N ν nu Ξ ξ xi O o omicron Π π, pi P ρ, rho Σ σ, ς sigma T τ tau Υ υ upsilon Φ φ, ϕ phi X χ chi Ψ ψ psi Ω ω omega Tabella 3.1: L alfabeto greco
3.1 Elementi geometrici fondamentali 23 Figura 3.2: Linea retta, semiretta e segmento Figura 3.3: Angolo tra due semirette di 90 gradi queste prendono il nome di rette perpendicolari tra di loro. 3.1.3 Il piano Consideriamo due rette. Avendo una sola dimensione (la lunghezza) queste vengono dette monodimensionali, se voliamo aumentare le dimensioni a nostra disposizione (introducendo la larghezza) abbiamo bisogno di definire un altro elemento fondamentale della geometria: il piano. Questo è individuato da due rette e possiamo immaginarlo come l area racchiusa tra queste (Figura 3.5). Allo stesso modo delle rette possiamo definire piani paralleli, i piani che non hanno punti in comune e piani incidenti i pi-
24 Forme e Dimensioni Figura 3.4: Linee parallele, incidenti e perpendicolari Figura 3.5: Piano individuato da due semirette ani che hanno una retta in comune, inoltre se l angolo formato da questi piani è di 90 questi prendono il nome di piani ortogonali (Figura 3.6). 3.2 Figure geometriche fondamentali Consideriamo ora un piano su cui giaccio segmenti, che hanno tutti tra loro almeno un estremo in comune. Se proviamo a visualizzarli vediamo che questi formano una figura individata da linea chiusa spezzata. Al variare del numero di segmenti componenti questa linea, la figura cambia numero di lati e quindi nome. Il nostro compito sarà quello di esaminare le principali caratteristiche di queste figure fondamentali.
3.2 Figure geometriche fondamentali 25 Figura 3.6: Piani paralleli, incidenti e perpendicolari 3.2.1 I triangoli Il minimo numero di segmenti che ci occorrono per definire una figura è 3. Questa prende il nome di triangolo. Possiamo distinguere vari tipi di triangoli. Considerando la figura 3.7, vediamo che un triangolo generico con tutti i lati di misura differente prende il nome di triangolo scaleno. Se invece due lati su tre sono uguali, lo chiameremo isoscele. Infine se questo ha tutti i lati uguali tra di loro prende il nome di equilatero. Poniamo la somma degli angoli interni di una triangolo pari a 180. Detto questo possiamo dire che in un triangolo equilatero gli angoli interni sono tutti uguali e pari a 60 l uno. In un triangolo isoscele, invece, solo gli angoli alla base di questo sono uguali. Infine un triangolo che ha un angolo interno pari a 90 prende il nome di triangolo rettangolo. Quando rappresentiamo un triangolo generico, abbiamo una convenzione ben precisa da rispettare sull assegnazione delle lettere. Come vediamo in figura 3.8 usiamo le lettere maiuscole per indicare i vertici del triangolo (A, B, C), quelle minuscole per le lunghezze dei lati (a, b, c) mantenendo la stessa lettera del vertice opposto, e le lettere greche (α, β, γ) per gli angoli. Se sommiamo le lunghezze dei tre lati (AB, BC, CA) possiamo ottenere la lunghezza della spezzata chiusa che individua il nostro triangolo. Questa lunghezza prende il nome di perimetro del triangolo (e perimetro in generale per gli altri poligoni). Dette quindi a, b, c rispettivamente le misure dei lati del triangolo, il perimetro p è subito
26 Forme e Dimensioni Figura 3.7: Tipologie di triangoli calcolato come p = a + b + c Chiamiamo lo spazio racchiuso tra i lati area del triangolo Dalla figura 3.9, possiamo fare un semplice ragionamento: se indichiamo con h l altezza del vertice A rispetto al lato BC, ovvero la lunghezza del segmento che congiunge perpendicolarmente A con BC, possiamo calcolare l area A come A = a h 2 Introduciamo ora una proprietà dei triangoli rettangoli, che prende il nome di teorema di Pitagora. Precisiamo che per un triangolo rettangolo, i due lati perpendicolari tra di loro prendono il nome di cateti (maggiore e minore rispettivamente), mentre il lato opposto all angolo retto si chiamerà ipotenusa. Teorema 3.1 Dato un triangolo rettangolo (Figura 3.10) il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti, in formule: c 2 = a 2 + b 2
3.2 Figure geometriche fondamentali 27 Figura 3.8: Convenzione sui triangoli I criteri di congruenza Definiamo triangoli congruenti, i triangoli che hanno tutti i lati e tutti gli angoli uguali fra di loro. Esistono tre criteri per stabilire se due triangoli sono congruenti: Criterio 1 Due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l angolo compreso fra essi in comune; Criterio 2 Due triangoli sono congruenti sa hanno un lato e i due angoli ad esso adiacenti in comune; Criterio 3 Due triangoli sono congruenti se hanno tutti i lati uguali; 3.2.2 I quadrilateri Adesso aumentiamo il numero di lati e definiamo quindi quadrilatero una qualsiasi figura geometrica di quattro lati (Figura 3.11). Il perimetro è facilmente calcolabile come somma di lati, mentre per l area la quastione si fa complicata. Un metodo di calcolo più alla mano è sicuramente quello di vedere il quadrilatero come un insieme di triangoli e quindi calcolare l area del quarilatero come somma dell area dei triangoli (Figura 3.11). Esistono comunque dei casi particolari di quadrilatero dove è possibile calcolare il perimetro e l area in modo semplice, prendiamo in esame.
28 Forme e Dimensioni Figura 3.9: Perimetro e area di un triangolo I trapezi Un quadrilatero con due lati paralleli prende il nome di trapezio. Questo sarà scaleno se ha tutti i lati di diversa misura, isoscele se ha i due lati obliqui congruenti e rettangolo se ha un lato obliquo perpendicolare alle basi. Il perimetro del trapezio può essere rapidamente calcolato come la somma dei quattro lati p = a + b + c + d mentre l area del trapezio può essere espressa come Il parallelogramma A = (B + b) h 2 Un quadrilatero che ha i lati paralleli a due a due prende il nome di parallelogramma (Figura 3.13). A causa del parallelismo tra i lati, questo avrà anche i lati e gli angoli opposti congruenti tra di loro. Il perimetro è semplicemente dato dalla somma dei lati e quindi sarà p = a + a + b + b = 2(a + b) Mentre l area sarà facilmente calcolabile come A = a h
3.2 Figure geometriche fondamentali 29 Figura 3.10: Visualizzazione del teorema di pitagora Figura 3.11: Quadrilatero come somma di triangoli Il rombo Se un quadrilatero ha tutti i lati uguali ma non paralleli a due a due, questo prende il nome di rombo (Figura 3.14). Il tutto porta ad ottenere una figura con gli angoli opposti uguali e le diagonali perpendicolari tra loro. Il calcolo del perimetro è subito fatto come: p = a + a + a + a = 4a
30 Forme e Dimensioni Figura 3.12: Trapezi Figura 3.13: Parallelogramma Dette diagonale maggiore D e diagonale minore d i segmenti originati dalla congiungente i vertici opposti, possiamo calcolare l area come: A = D d 2 Il rettangolo Un quadrilatero con i lati paralleli e congruenti a due a due e tutti gli angoli retti prende il nome di rettangolo (Figura 3.15 di sinistra). Il perimetro è immediatamente calcolabile come p = a + a + b + b = 2(a + b)
3.2 Figure geometriche fondamentali 31 Figura 3.14: Rombo mentre l area si otterrá come A = a b Il quadrato Un caso particolare di quadrilatero e di rettangolo è il quadrato che ha tutti i lati e gli angoli congruenti, quest ultimi pari a 90 (Figura 3.15 di destra). Il perimetro è facilmente calcolabile come p = a + a + a + a = 4a mentre l area la otteniamo come A = a a = a 2 Figura 3.15: Rettangolo e quadrato
32 Forme e Dimensioni 3.2.3 I poligoni Una qualsiasi figura piana formata da tre o più lati prende il nome di poligono. I triangoli e i quadrilateri, visti prima, sono rispettivamente poligoni di 3 e 4 lati. Per poligoni con un numero superiore di lati non è possibile dare delle formule risolutive, piuttosto semplici, per il calcolo dell area a meno che questi non abbiano tutti i lati e gli angoli congruenti. In questo caso si parlerà di poligoni regolari (vedi 3.2.3). Comunque, in tutti i casi, è possibile tentare di vedere il poligono in questione come somma di più poligoni conosciuti (possibilmente quadrilateri e triangoli) e quindi calcolare, tramite le formule date in precedenza, l area e il perimetro (Figura 3.16). Figura 3.16: Poligono scomposto in altri poligoni più semplici (triangoli e parallelogrammi) I poligoni regolari Per poligono regolare si intente un poligono con tutti i lati e gli angoli congruenti (Figura 3.17). Data la misura del lato l, un poligono di n lati, avrà perimetro pari a p = l n Indicando con a l apotema di un poligono regolare (Figura 3.17), ovvero la distanza tra il centro del poligono e il lato del poligono, possiamo scrivere per un poligono di n lati A = n l a 2
3.2 Figure geometriche fondamentali 33 Figura 3.17: I poligoni regolari