8 GLI URTI Pe uto s ntende l nteazone ta due patcelle o due cop estes che s esplca attaeso oze d tpo pulso n un tepo tascuable spetto a tep tpc d osseazone del oto pa e dopo tale nteazone Sebbene l senso coune assoc ad un uto ta due cop l contatto ta quest n patca da un esae coscopco dell nteazone che s ha ta cop duante l uto è possble dedue che tale assunzone sulta pa d sgncato Ad esepo nell nteazone d due patcelle dotate della stessa caca queste non gungono a ealente a contatto a s espngono pe eetto dell ntensa epulsone colobana che s esplca ta loo a bee dstanza Consdeao l uto ta due patcelle solate spettaente d asse ed Posto F la oza esectata da su pe eetto F dell nteazone la quanttà d oto della patcella aeà d una quanttà p pa a: p t t F dt ; F analogaente se F è la oza esectata da su la aazone della quanttà d oto d saà: p t t F dt Le dpendenze tepoal delle oze F e F sulteanno n genee abbastanza coplcate; tuttaa dalla teza legge d Newton essendo F F sulta: p p ; coè se p p ( t ) p ( t ) e p p ( t ) p ( t ) alloa: p t p t p t p t oeo la quanttà d oto totale del sstea p( t) p ( t) p ( t) s antene costante duante l uto Tale sultato appesenta un oa conseguenza del atto che l sstea è solato qund non agscono su d esso oze estene e le oze d nteazone essendo ntene non poocano la aazone della quanttà d oto del sstea In pesenza d oze estene è possble consdeae appossataente aldo l pncpo conseazone della quanttà d oto del sstea puché tal oze non abbano caattee pulso e la duata dell uto sa abbastanza pccola Inatt la aazone p della quanttà d oto totale del sstea p douta alle sole oze estene può espes coe:
8- Gl ut t ( et ) ( et) p F dt F t t ( et ) pe cu se la eda della oza estena F nell nteallo t t t è pccola o se è tale l nteallo t sulta d conseguenza tascuable la aazone p della quanttà d oto totale ( et ) detenata da F Mente la quanttà d oto totale s consea n tutt gl ut n cu le oze estene agent sul sstea sono tascuabl l enega cnetca totale n geneale non s consea In patcolae la conseazone dell enega cnetca duante l uto ene adopeata pe stable una classcazone de pocess d uto Lo studo degl ut può essee solto sa spetto ad un sstea d eento nezale che nel sstea del cento d assa Se è la eloctà del cento d assa spetto al sstea d eento nezale (soltaente denonato n questo abto sstea del laboatoo) le eloctà delle due patcelle e spetto a questo sstea sono legate alle eloctà spetto al cento d assa e dalle elazon: uto p p p Il antaggo del sstea del cento d assa sede nel atto che n tale abto la quanttà d oto totale p della coppa d patcelle è nulla natt: p 0 p p Petanto attbuendo pedc ed spettaente a etto che caattezzano le patcelle pa e dopo l uto s ha: p 0 p 0 così p p p p coè un osseatoe posto nel sstea del cento d assa ede le due patcelle uoes eso l cento d assa con quanttà d oto ugual ed opposte pa dell uto ed allontanas dal cento d assa sepe con quanttà d oto ugual ed opposte dopo l uto In geneale p p e p p
Gl ut 8-3 8 Uto copletaente anelastco La assa pedta d enega cnetca s ha quando le due patcelle d assa e dopo l uto s uoono coe un unca patcella d assa pa alla soa Un uto d questo tpo è detto copletaente anelastco Indcando con e le eloctà pa dell uto e con eloctà delle due patcelle accoppate dopo l uto se ale l pncpo d conseazone della quanttà d oto sulta: oeo: coè dopo l uto la patcella d assa s uoe con la eloctà del cento d assa delle patcelle edataente pa dell uto qund nell uto s consea la eloctà del cento d assa Applcando l teoea d Köng (67) l enega cnetca pa dell uto ale: Ek E k ( ) ; d alta pate dopo l uto le patcelle sono n quete nel sstea del cento d assa e E k 0 così: E k coè nell uto è assobta l enega che le patcelle posseggono pa dell uto nel sstea del cento d assa Inatt la aazone E d enega cnetca pa e dopo l uto ale: Ek Ek Ek E k ; k tale enega ene utlzzata pe deoae peanenteente le due patcelle dopo l uto la Esepo: Consdeao l uto ta due patcelle solate d asse e la pa con eloctà e l alta n quete pa dell uto Supponao che l uto sa copletaente anelastco Dal pncpo d conseazone della quanttà d oto sulta: coè Qund dopo l uto l oto aene nella stessa dezone e eso del oto d pa dell uto Le enege cnetche pa e dopo l uto sono spettaente:
8-4 Gl ut Ek Ek ( ) pe cu la aazone d enega cnetca è: Ek Ek Ek ; n patcolae sulta: ( ) E k E k Petanto se s ha Ek Ek coè nell uto s pede la età dell enega cnetca nzale; se alloa E E coè s ha una pedta tascuable d enega; se segue E 0 oeo s pede tutta l enega k k cnetca nell uto k Esepo: Consdeao due patcelle solate d assa e n oto l una eso l alta con eloctà e lungo dezon pependcola ta loo Consdeao l sstea d eento con ogne O nel punto n cu s eca l uto e con gl ass oentat coe le eloctà e Dalla conseazone della quanttà d oto segue: ndcando con ϑ l angolo che oa l ettoe con l asse poettando la elazone pecedente sugl ass s ha: ; y O y J : ( ) y : ( ) cos ϑ sn ϑ da cu segue: tan ϑ ( ) ( ) Esepo: (pendolo balstco) Consdeao l dsposto d gua costtuto da un blocco d legno sospeso etcalente ad un lo Una pallottola d assa e eloctà detta ozzontalente uta l blocco e s concca Se l tepo d collsone soltaente dell odne de lles d secondo è pccolo spetto al peodo d oscllazone del pendolo l lo esta etcale duante l uto Sccoe sul sstea non agscono oze dette ozzontalente (la oza peso è etcale) la coponente della quanttà d oto lungo questa dezone s consea Petanto se è la assa del b blocco sospeso s ha: b doe è la eloctà del sstea pallottolablocco pa a: b h
Gl ut 8-5 b Dopo l uto dalla conseazone dell enega eccanca duante l oscllazone sulta: ( b) ( b) gh oeo: gh che sosttuta nell espessone pecedente onsce la eloctà nzale della pallottola: b gh 8 Uto elastco Se le oze ntene che s anestano duante l uto sono conseate olte a conseas la quanttà d oto s consea anche l enega cnetca In questo caso cop che s utano subscono deoazon d tpo elastco pe po tonae nella conguazone pecedente all uto Sccoe l enega potenzale non caba duante l uto esta costante anche l enega cnetca Pe tale uto che è detto petanto elastco algono qund le condzon: p p E E k k Nel caso d un uto n te denson a tal elazon cosponde un sstea d quatto equazon n se ncognte ente n un uto n due denson cosponde un sstea d te equazon n quatto ncognte In entab cas la soluzone del poblea chede olte alla conoscenza delle eloctà delle patcelle pa dell uto anche qualche noazone elata alle eloctà delle patcelle dopo l uto Il poblea può essee copletaente solto nel caso d uto undensonale aendo due equazon n due ncognte: Nel sstea del cento d assa sccoe le quanttà d oto total sono sepe nulle s ha: (8) (8) e nolte dalla conseazone dell enega cnetca sulta: Le ncognte sono dalle coponent lungo gl ass coodnat delle eloctà delle due patcelle dopo l uto
8-6 Gl ut (83) da cu segue : (84) ; (85) coè nel sstea del cento d assa la quanttà d oto d cascuna patcella esta costante n odulo a caba d eso Nel sstea d eento del laboatoo noto (86) dalla elazone k k segue 3 : Dalla elazone (83) segue ( ) ( ) oeo ( )( ) ( )( ) D alta pate sottaendo ebo a ebo le elazon (8) e (8) s ha: ( ) ( ) così ddendo ebo a ebo queste due espesson s ottene: Attaeso le elazon (8) e (8) è possble espee le eloctà e e spettaente coe ( ) petanto dalla pecedente denttà segue ( )( ) oeo e ddendo abo eb pe s ottene la pa delle due elazon analogaente s pocede pe la seconda 3 Ad esepo così suttando la elazone (84) s ottene: d alta pate sulta anche utlzzando la (86) segue: coè ( ) così sosttuendo nella pecedente espessone ed
Gl ut 8-7 In queste espesson hanno aloe segn delle eloctà nel senso che ssato l eso d una eloctà coe eento ad esepo quello d l segno d saà posto o negato spettaente se > 0 o se < 0 D conseguenza pe segn delle eloctà nal e aà la edesa egola coè se e saanno post o negat sgnca che l eso d e è o eno concode con quello d Dalle pecedent espesson sulta nolte che se alloa e coè a seguto dell uto s ha uno scabo d eloctà Se alloa e coè la eloctà della patcella d assa esta patcaente naata Inne se e la patcella d assa è ea 0 alloa e 0 coè la patcella d assa balza all ndeto e quella d assa esta patcaente ea Quest ulto caso s ha nella ccostanza n cu una patcella colpsce un copo asscco eo coe può essee una paete Osseao che se 0 la quanttà d oto totale pa dell uto è e assuendo che sa 0 la quanttà d oto non s consea Cò è spegato dal atto che è necessaa una oza estena d tpo pulso pe antenee eo l copo d assa e cò non consente la conseazone della quanttà d oto Esepo: Consdeao un uto oblquo conto una paete oble lsca Sa ϑ l angolo oato dalla dezone del ettoe eloctà con la noale alla paete; l ettoe può essee decoposto paallelaente e pependcolaente al pano n due etto spettaente d odulo snϑ e cosϑ L uto non aene nella dezone paallela alla paete pe cu n tale dezone s consea la quanttà d oto e petanto dopo l uto la coponente della eloctà n questa dezone contnua ad essee snϑ Nella dezone otogonale pe quanto sto la eloctà s nete e dopo l uto la coponente noale alla supece ale cosϑ Petanto e oa con la noale alla paete un angolo pa a ϑ coè s ha una stuazone analoga a quella della lessone d un aggo lunoso da pate d uno speccho pano snj J J cosj cosj snj 83 Uto anelastco Quando n un uto s consea la quanttà d oto n assenza d oze estene d tpo pulso non s consea l enega cnetca e le patcelle s sepaano dopo l nteazone l uto ene detto anelastco In tale ccostanza una pate dell enega cnetca pa dell uto nel sstea del cento d assa ene assobta nell nteazone conetendos n enega potenzale d deoazone o n caloe; coè s può scee: E k e Ek
8-8 Gl ut doe la quanttà e pende l noe d coecente d esttuzone e ale pe un uto elastco 0 pe un uto copletaente anelastco e n geneale 0 e La aazone elata d enega cnetca nell uto ale: E E E E E k k k e k k pe cu se e E k E k 0 coè l enega cnetca è conseata; ente se e 0 E k E k coè tutta l enega cnetca del oto elato al cento d assa è assobta e tasoata Dal pncpo d conseazone della quanttà d oto e dal pncpo d conseazone dell enega entab espess nel sstea d eento del cento d assa s ha: da cu segue 4 : (87) (88) e (89) (80) (8) e ; e 4 Queste elazon s deducono pocedendo n anea analoga al caso dell uto elastco Dalla elazone (89) segue e e oeo ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) e e e e D alta pate oltplcando abo eb della elazone (87) pe e e sottaendo la (88) s ha: ( ) ( ) e e così ddendo ebo a ebo queste due espesson s ottene: e e Attaeso le elazon (87) e (88) è possble espee le eloctà e e e e oeo: spettaente coe petanto dalla pecedente denttà segue e e ddendo abo eb pe s ottene la pa delle due elazon analogaente s pocede pe la seconda
Gl ut 8-9 coè coe nel caso dell uto elastco nel sstea del cento d assa la quanttà d oto d cascuna patcella caba d eso tuttaa non s antene costante n odulo a s duce d una quanttà paa al coecente d esttuzone Nel sstea d eento del laboatoo s ha 5 : ( ) ( ) e e ( ) ( ) e e (8) S not che tal espesson s conducono a quelle pope dell uto elastco pe e ente pe e 0 onscono caattestca elata all uto copletaente anelastco Esepo: Una patcella cade sopa un pano ozzontale patendo da un altezza h con eloctà nzale nulla Qund balza salendo all altezza h con h < h Stablao l coecente d esttuzone In questo caso dal pncpo d conseazone dell enega segue: da cu s ha gh gh e analogaente dopo l uto: gh da cu esplctando l segno d contao a quello d segue: gh In tale ccostanza la eloctà del secondo copo l pano è nulla; così dalla elazone (8) nel lte s ha: 5 Anche queste espesson s caano pocedendo coe nel caso dell uto elastco Ad esepo così suttando la elazone (80) s ottene: e d alta pate sulta anche utlzzando la (86) segue: coè ( ) così sosttuendo nella pecedente espessone ed ( ) ( ) e e e e e e ( ) e e e e e e
8-0 Gl ut e ( e ) l l e petanto: gh h e gh h 84 Ut ta punt ateal e cop gd o ta cop gd Il punto d patenza pe lo studo degl ut ta punt ateal e cop gd o degl ut ta cop gd è la detenazone delle legg d conseazone alde La costanza della quanttà d oto s ha se sul sstea agscono solo oze ntene o quelle estene non sono d tpo pulso In patcolae se esste un ncolo che tene eo un punto del copo gdo non s eca la conseazone della quanttà d oto poché duante l uto l ncolo sluppa una oza d tpo pulso La costanza dell enega cnetca del sstea s ha soltanto se è noto a po che l uto è d tpo elastco La costanza del oento angolae s ha qualoa spetto ad un ceto polo sso nel sstea d laboatoo o concdente col cento d assa l oento della sultante delle oze estene copese quelle ncola è nullo; s ha la conseazone del oento angolae se agscono solo oze ntene ndpendenteente dalla scelta del polo In patcolae pe un copo ncolato duante l uto ncol esplcano delle oze tal che l pulso I della oza sultante F e l pulso angolae I τ del oento sultante τ spettaente pa a I I τ t t Fdt τ dt sono ugual spettaente alla aazone della quanttà d oto ed alla aazone del oento angolae del sstea Coe gà sto ne pecedent esep essendo gandezze ettoal può aes la conseazone della quanttà d oto o del oento angolae solo ltataente ad alcune loo coponent Esepo: Un asta a poso su un pano ozzontale d assa e lunghezza l è colpta da un poettle d assa e eloctà pependcolaente all asta a dstanza dal cento O anendo conccato; stablao la eloctà lneae e angolae del sstea dopo l uto Sccoe nell uto copletaente anelastco agscono solo oze ntene s conseano la quanttà d oto e l oento angolae Petanto dalla pa legge segue: da cu segue: doe la poszone del cento d assa spetto al cento O è: O O
Gl ut 8- (83) e l cento d assa contnua a uoes dopo l uto lungo la lnea tatteggata d gua Assuendo quale polo pe l calcolo del oento angolae l cento d assa del sstea s ha: Iω L doe L è l oento angolae totale del sstea; l oento d neza spetto al cento O dell asta è dato dalla (75) e ale l e spetto al cento d assa pe l teoea d Huygens-Stene (77) ale l ; pe l poettle l oento d neza spetto ad O ale Petanto la elazone pecedente s sce: l ω da cu acendo uso della elazone (83) segue: ( ) ω l l ( ) e la otazone aene n senso antoao S not che ω dpende da pe cu colpendo l asta n O la eloctà del cento d assa aebbe lo stesso aloe detenato a ω sulteebbe nulla Esepo: Supponao che l asta dell esepo pecedente sa ncolata ad un esteo attono al quale uota senza attto Assuao pe seplctà che sult e sa d la dstanza dell esteo sso P dal punto d patto Stablao la eloctà angolae nale del sstea La pesenza del ncolo pedsce n questo caso l applcazone del pncpo d conseazone della quanttà d oto a causa della oza pulsa esectata dal ncolo È nece possble applcae l pncpo d conseazone del oento angolae spetto a P sccoe l oento delle oze ncola spetto a tale punto è nullo; petanto Iω L d doe I n questo caso ale: P I l d 3 d così: d ω l d 3 La quanttà d oto del sstea edataente pa dell uto è pa alla quanttà d oto del solo poettle Posto u s ha: ˆ p uˆ La quanttà d oto dopo l uto è pa alla soa della quanttà d oto del poettle e dell asta subto dopo l uto; le loo eloctà algono ω d e ω l così: l l p ˆ ˆ ˆ ωdu ω u ω d u petanto l pulso I delle oze del ncolo ale:
8- Gl ut d l l I p ˆ 3 ˆ p ω d u l u 3 l d 3 così se d > l 3 l pulso è detto coe ente se d < l 3 è opposto a e se d l 3 l pulso è nullo coè è coe se c s toasse nelle condzon del pecedente esepo con pa a l 3 l l 6 ottenendo qund lo stesso aloe della eloctà angolae 6 7l; oaente l eetto del ncolo contnua a anestas detenando la otazone dell asta dopo l uto y I y O J I I Esepo: Un asta d lunghezza l e assa uota con eloctà angolae ω n eso antoao n un pano etcale attono ad un asse sso ozzontale Una patcella d assa e eloctà colpsce un esteo dell asta e s concca Stablao la eloctà angolae dopo l uto Nell uto non s conseano né la quanttà d oto né l enega cnetca a s consea la coponente del oento angolae paallela all asse d otazone non essendo pesent oent esten n tale dezone; nece la coponente del oento angolae otogonale all asse d otazone douta alla patcella ene annullata nell uto dal oento esplcato da suppot dell asta che ncolano l asse d otazone La coponente del oento angolae lungo la dezone d otazone L pa dell uto ale: L Iω l ω essendo I l ; ente dopo l uto: l L I ω l l ω ( 3 ) l ω 4 Sccoe: L L sosttuendo s ha: O w ω 3 ω La otazone posegue n senso oao sccoe ω e ω hanno lo stesso segno Se sulta ω ω coè l uto non pooca eett sgncat sulla otazone dell asta; Se alloa ω 0 coè l asta s ea Pe detenae l pulso delle oze esectate dal ncolo stablao la aazone della quanttà d oto totale del sstea Le coponent della quanttà d oto lungo l asse d otazone (asse ) e lungo una dezone pependcolae all asse d otazone (asse y) sono: p ˆ l p ˆ ω y doe l ettoe p oentato nella dezone negata delle appesenta la quanttà d oto ognaa della patcella e p è la quanttà d oto della patcella subto dopo l uto douta alla otazone Essendo l asse d otazone sso e concdente col cento d assa dell asta l asta non contbusce L pulso ale qund: ˆ ˆ I p p lω y
Gl ut 8-3 ed ha odulo: I 4 lω ed l ettoe I stuato nel pano y oa con l asse y un angolo ϑ pa a : I ϑ actan actan I y lω L pulso del oento esectato dal ncolo è pa alla aazone della coponente del oento angolae otogonale all asse d otazone L n quanto coe sto la coponente paallela s consea Indcato con l ettoe poszone del punto d patto d s ha: L L 0 petanto I L L τ L ^ O I t che è detto lungo la dezone delle y negate ed ha odulo: I τ l y
8-4 Gl ut