Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni Rosa Maria Mininni a.a. 2014-2015 1 Introduzione ai modelli binomiali La valutazione degli strumenti finanziari derivati e, in particolare, la valutazione delle opzioni richiede spesso l impiego di tecniche di approssimazione numerica; tra gli algoritmi di approssimazione numerica l approccio più semplice è costituito dalle tecniche ad albero (binomial tree). La caratteristica fondamentale delle tecniche ad albero consiste nel restringere i prezzi possibili per il bene sottostante l opzione ad un insieme discreto di valori. Le tecniche ad albero sono interessanti in quanto non solo richiedono l impiego di strumenti matematici elementari ma in molte applicazioni forniscono dei risultati che risultano sufficientemente accurati. In particolare, l applicazione di tali tecniche alla risoluzione di problemi di finanza matematica ha dato spesso risultati soddisfacenti, proponendosi come uno strumento di valutazione che permette di ottenere delle ottime approssimazioni per il valore dei titoli derivati anche nei casi caratterizzati da una struttura particolarmente complessa. Lo scopo dei paragrafi che seguono è introdurre il funzionamento e analizzare l impiego degli alberi binomiali per la valutazione delle opzioni finanziarie su azioni. 2 Contratti di Opzione su azioni I contratti di opzione su azioni (stock options) sono stati trattati in borsa per la prima volta nel 1973. Da allora c è stata una fortissima crescita dei mercati delle opzioni, che vengono ora trattate in diverse borse sparse per tutto il mondo. Esistono due tipi fondamentali di opzioni: calls e puts. Le opzioni call danno al portatore il diritto di comprare un attività entro una certa data, per un certo prezzo. Il prezzo indicato nel contratto è detto prezzo di esercizio (exercise price) o prezzo base (strike price); la data indicata nel contratto è detta data di estinzione (expiration date) o scadenza (maturity). Le opzioni europee possono essere esercitate solo alla scadenza, Dipartimento di Matematica, Università di Bari Aldo Moro 1

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 2 mentre le opzioni americane possono essere esercitate in qualsiasi momento durante la loro vita. Le opzioni europee sono più facili da analizzare e alcune proprietà delle opzioni americane sono spesso dedotte da quelle delle corrispondenti opzioni europee. Le opzioni danno al poratore il diritto di fare qualcosa, ma il portatore non è obbligato ad esercitare questo diritto. Per acquistare un contratto di opzione si sostiene un costo. Esempio 2.1. Si consideri un investitore che compra 100 call europee scritte su azioni, con prezzo d esercizio K = 100$. Si supponga che il prezzo corrente dell azione è S 0 = 98$, che l opzione scada tra 2 mesi, cioè al tempo T = 2, e che il suo prezzo sia di 5$. L investitore può esercitare l opzione solo alla scadenza. Ne consegue che, se al tempo T = 2: il prezzo dell azione S T < 100$ l opzione non verrà esercitata (non ha senso comprare a 100$ un azione che ne vale meno). In questo caso l investitore perde l intero investimento iniziale che è pari a 100(5)$ = 500$; il prezzo dell azione S T > 100$ l opzione verrà esercitata. In questo secondo caso, supponiamo che S T = 115$. L investitore esercita quindi l opzione acquistando 100 azioni a 100$ l una. Se le azioni vengono immediatamente rivendute, l investitore consegue un profitto netto per call pari a 15$ 5$ = 10$ e un guadagno totale pari a 100(10)$ = 1000$ (in questo calcolo si sono trascurati i costi di tansazione e il valore temporale del denaro). Il guadagno netto unitario (o la perdita netta unitaria) dell investitore in funzione del prezzo finale S T dell azione sottostante è una funzione convessa non decrescente. Osserva: Talvolta l investitore può subire una perdita anche quando esercita un opzione. Si supponga, ad esempio, che S T = 103$. L investitore esercita l opzione ma subisce una perdita netta complessiva di 200$. Questo risultato è comunque migliore della perdita di 500$ che l investitore subirebbe nel caso in cui le opzioni non venissero esercitate. Chi acquista una call spera che il prezzo del titolo azionario sottostante aumenti, mentre chi acquista una put spera che il prezzo dell azione diminuisca. Esempio 2.2. Si consideri un investitore che compra 100 put europee scritte su azioni, con prezzo di esercizio K = 70$. Si supponga che il prezzo corrente del sottostante sia S 0 = 66$, che l opzione scada al tempo T = 3 mesi e che il suo prezzo sia di 7$. Allora, se al tempo T = 3: il prezzo dell azione S T > 70$ l opzione non verrà esercitata (non ha senso vendere a 70$ un azione che viene acquistata a un prezzo maggiore). In questo caso l investitore perde l intero investimento iniziale che è pari a 100(7)$ = 700$;

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 3 il prezzo dell azione S T < 70$ l opzione verrà esercitata. In questo secondo caso, supponiamo che S T = 50$. L investitore esercita quindi l opzione acquistando 100 azioni a 50$ l una e, in base alle condizioni sottoscritte nel contratto, le rivende a 70$ l una. L investitore consegue un profitto netto per call pari a 20$ 7$ = 13$ e un guadagno totale pari a 100(13)$ = 1300$ (in questo calcolo si sono trascurati i costi di tansazione e il valore temporale del denaro). Il guadagno netto unitario (o la perdita netta unitaria) dell investitore in funzione del prezzo finale S T dell azione sottostante è una funzione convessa non crescente. Nei contratti di opzione ci sono due controparti: a. l investitore che ha comprato l opzione (posizione lunga); b. l investitore che ha venduto o scritto l opzione (posizione corta); Chi vende l opzione incassa il premio ma può subire in futuro delle perdite. Il suo profitto è una perdita per la controparte, e viceversa. Esistono 4 tipi di posizioni sulle opzioni: 1. una posizione lunga su una call; 2. una posizione lunga su una put; 3. una posizione corta su una call; 4. una posizione corta su una put; È utile caratterizzare le posizioni su opzioni europee in termini del loro valore finale (payoff). Il costo iniziale dell opzione non viene considerato. Se K è il prezzo di esercizio e S T è il prezzo del titolo sottostante alla scadenza T dell opzione, allora il valore finale di una posizione lunga su una call europea è: (S T K) + := max(0, S T K) = Il valore finale di una posizione corta su una call europea è: (S T K) = min(0, K S T ). S T K, se S T > K; 0, se S T K. Il valore finale di una posizione lunga su una put europea è: (K S T ) + K S T, se S T < K; := max(0, K S T ) = 0, se S T K. Il valore finale di una posizione corta su una put europea è: (K S T ) := min(0, S T K).

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 4 3 Arbitraggio Illustriamo il concetto di arbitraggio con un semplice esempio. Esempio 3.1. Si consideri un azione che è trattata in borsa, sia a New York che a Londra. Si supponga che il prezzo dell azione sia di 172$ a New York e di 100 a Londra, con un tasso di cambio 1 = 1,75$. Un arbitraggista potrebbe comprare simultaneamente 100 azioni a New York e venderle a Londra per ottenere, senza rischio, un profitto pari a: 100(1, 75(100) 172)$ = 300$, in assenza di costi di transazione. Probabilmente, i costi di transazione eliminerebbero le possibilità di profitto per i piccoli investitori. Però le grandi società finanziarie hanno costi di transazione molto bassi sia sul mercato azionario sia sul mercato dei cambi. Di conseguenza, esse troverebbero molto attraente questa possibilità di arbitraggio e cercherebbero di trarne il maggior vantaggio possibile. L arbitraggio consiste nella possibilità di realizzare guadagni certi, cioè privi di rischio, entrando simultanenamente in transazioni che riguardano due o più mercati finanziari. Le opportunità di arbitraggio del tipo di quella appena descritta non possono durare a lungo. Infatti, non appena gli arbitraggisti cominceranno a comprare le azioni a New York, ad un aumento di domanda corrisponderà un aumento del prezzo in dollari. Analogamente, non appena essi incominceranno a vendere le azioni a Londra, ad un aumento dell offerta corrisponderà una diminuzione del prezzo in sterline. Molto rapidamente, i due prezzi diventeranno equivalenti, se confrontati sulla base del tasso di cambio corrente. In realtà, l esistenza di arbitraggisti affamati di profitti, rende impossibile che un importante differenza tra il prezzo in sterline e il prezzo in dollari possa mai manifestarsi. L esistenza di opportunità di arbitraggio è in aperto contrasto con il concetto di equilibrio. Un mercato in equilibrio è un mercato nel quale sono assenti opportunità di arbitraggio, non consentendo il sistema vigente dei prezzi di porre in essere operazioni prive di rischio che consentano un arricchimento illimitato. La prima conseguenza che discende dall assumere che in un certo mercato finanziario siano assenti opportunità di arbitraggio riguarda la relazione di identità che deve legare differenti strumenti i quali forniscono il medesimo risultato. In modo piu preciso si puo affermare quanto segue. Regola di identità dei prezzi. In condizioni di equilibrio, se due strumenti finanziari forniscono alla scadenza t = T lo stesso risultato, allora all epoca iniziale t = 0 devono avere lo stesso prezzo. La condizione di assenza di arbitraggi e la conseguente regola di identità dei prezzi appena enunciata, giocano un ruolo fondamentale per la valutazione ed il prezzaggio di strumenti finanziari complessi quali i titoli derivati. Infatti, se si deve prezzare uno specifico strumento e questo può essere replicato utilizzando un portafoglio composto di altri strumenti il cui prezzo è noto, allora il prezzo del primo deve coincidere con il prezzo del portafoglio che lo replica. In un mercato ove siano presenti simultaneamente diverse

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 5 attività rischiose il principio di assenza di arbitraggi può essere reso operativo studiando quali condizioni devono complessivamente realizzarsi affinchè il sistema dei prezzi sia tale da escludere permanenti opportunità di guadagni illimitati. Consideriamo un esperimento casuale con spazio campionario 1, 2,..., m} e supponiamo che al tempo t = 0 si possa accedere a n attività rischiose (scommesse, acquisto di titoli azionari o altro) connesse con l esperimento. Sia (x 1, x 2,..., x n ) una strategia di investimenti associata alle n attività rischiose, cioè x j R è la somma investita sull attività j (j = 1,..., n). Indichiamo con r j ( ) la funzione profitto per unità monetaria investita sull attività j. Ne consegue che, per ogni j = 1,..., n x j r j (i) è il profitto totale se i è il risultato dell esperimento al tempo finale T. Indichiamo con Z = (z ij ) mxn la matrice che ha come elementi i diversi profitti che si possono conseguire in relazione a ciascuna attività rischiosa, se si verifica uno specifico risultato dell esperimento aleatorio: Z = z 11 z 12... z 1n z 21 z 22... z 2n............ z m1 z m2... z mn dove z ij = x j r j (i) è il profitto fornito dalla j-esima attività qualora si verifichi il risultato i. Ne consegue che, se il risultato dell esperimento è i, il profitto totale al tempo finale T sarà n n z ij = x j r j (i). Vale il seguente teorema j=1 Teorema (dell Arbitaggio) 1. Una sola delle seguenti affermazioni è vera. j=1 (a) esiste una distribuzione di probabilità (p 1, p 2,..., p m ) associata allo spazio campionario 1, 2,..., m} tale che oppure m p i r j (i) = 0 per ogni j = 1, 2,..., n, i=1 (b) esiste una strategia di investimenti (x 1, x 2,..., x n ) associata alle n attività rischiose tale che n x j r j (i) > 0 per ogni i = 1, 2,..., m. j=1 Osserva. Sia X la v.a. che indica il risultato dell esperimento aleatorio. Il Teorema 1 dice che o esiste una distribuzione di probabilità (p 1, p 2,..., p m ) tale che

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 6 (a) se P(X = i) = p i per ogni i = 1, 2,..., m allora E[r j (X)] = 0 per ogni j = 1, 2,..., n, (1) cioè si è in una condizione di equilibrio, oppure (b) esiste una strategia di investimenti che determina un guadagno sicuro, cioè si è in una condizione di arbitraggio. Definizione 1. Le probabilità (p 1, p 2,..., p m ) per le quali si verifica la condizione (1) sono dette probabilità neutrali al rischio. Esempio 3.2. Consideriamo un sistema di scommesse (per esempio, le scommesse sui cavalli in una corsa) in cui si sceglie uno dei possibili risultati j (j = 1,..., m) e si scommette che j sia il risultato dell esperimento. Spesso si dice che il risultato j è quotato q j a 1, cioè a 1 unità monetaria scommessa sul risultato j corrisponde un profitto pari a q j. Supponiamo che la funzione profitto r j per unità monetaria scommessa sul risultato j sia così definita qj, se X = j, r j (X) = 1, se X j. Affinchè non ci sia arbitraggio, per il Teorema 1 deve esistere una distribuzione di probabilità (p 1, p 2,..., p m ) tale che, per ogni i (i = 1,..., m) da cui consegue Poichè 0 = E[r j (X)] = q j p j (1 p j ), p j = 1 1 + q j. m p j = 1, ne consegue che la condizione di non arbitraggio è: j=1 Quindi, se m j=1 m j=1 1 1 + q j = 1. 1 1 + q j 1 chi scommette otterrà un guadagno sicuro. Suppponiamo che in una corsa di cavalli, con 3 cavalli, valgono le seguenti quotazioni: q 1 = 1, q 2 = 2, q 3 = 3 Poichè 1 2 + 1 3 + 1 4 = 13 12 1, sicuramente si vince. Per esempio,

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 7 si scommette -1 sul cavallo 1 (si perde 1 se vince il cavallo 1 e si vince 1 se non vince il cavallo 1); si scommette - 0,7 sul cavallo 2 (si perde 1,4 se vince il cavallo 2 e si vince 0,7 se non vince il cavallo 2); si scommette - 0,5 sul cavallo 3 (si perde 1,5 se vince il cavallo 3 e si vince 0,5 se non vince il cavallo 3); Se vince il cavallo 1, chi scommette vince 1 + 0, 7 + 0, 5 = 0, 2. Se vince il cavallo 2, chi scommette vince 1 1, 4 + 0, 5 = 0, 1. Se vince il cavallo 3, chi scommette vince 1 + 0.7 1, 5 = 0, 2. Quindi, in ogni caso si vince sempre. 4 Modello Binomiale a uno stadio Il più diffuso e flessibile processo discreto per la valutazione di un opzione è senza dubbio quello binomiale. Esso si caratterizza per il fatto che il prezzo dell azione sottostante, qualunque sia il prezzo iniziale, può evolvere in due possibili stati alla fine di un periodo di tempo di ampiezza prefissata. Per motivi di semplicità si suppone, inoltre, che il mercato sia efficiente (non ci sono costi di transazione, è possibile vendere titoli allo scoperto senza limitazioni e cedere o prendere a prestito denaro allo stesso tasso (costante) di interesse, ecc.) e che non esistano opportunità di arbitraggio. Si suppone inoltre, anche se questa ipotesi può essere rimossa, che il bene sottostante l opzione non paghi dividendi durante la vita dell opzione. Iniziamo con il considerare una situazione molto semplice: Esempio 4.1. Il prezzo iniziale di un azione è di S 0 = 20$ e si sa che al tempo T = 3 mesi sarà pari a S T = 22$ oppure S T = 18$. Supponiamo di essere interessati a valutare una call europea per l acquisto dell azione al prezzo di esercizio K = 21$ alla scadenza T. Alla fine del trimestre, questa opzione avrà valore f c = S T K = 1$ se S T = 22$ e f c = 0$ se S T = 18$. Consideriamo un portafoglio che consiste di una posizione lunga su Q azioni e di una posizione corta su una call. Vogliamo determinare il valore di Q che rende il portafoglio privo di rischio. Il valore complessivo del portafoglio è pari a: V p = (22Q 1)$, se S T = 22$, f c = 1$ 18Q$, se S T = 18$, f c = 0$. Il portafoglio sarà privo di rischio se il valore di Q è scelto in modo tale che V p sia lo stesso in entrambi i casi, cioè se: 22Q 1 = 18Q, da cui si deduce che Q = 0, 25. Pertanto, il portafoglio privo di rischio è dato da:

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 8 1. una posizione lunga: 0,25 azioni; 2. una posizione corta: 1 opzione, e quindi il valore complessivo del portafoglio, V p, è pari a: (22 (0, 25) 1)$ = 4, 5$, V p = 18 (0, 25)$ = 4, 5$. Alla fine della vita dell opzione, il valore del portafoglio è sempre pari a 4,5$, indipendentemente dal fatto che il prezzo dell azione salga o scenda. In assenza di opportunità di arbitraggio, il tasso di rendimento di un portafoglio non rischioso deve essere pari al tasso d interesse privo di rischio. Si supponga che il tasso d interesse privo di rischio sia pari al 12% annuo. Ne segue che il valore corrente del portafoglio deve essere pari al valore attualizzato di 4,5$: 4, 5 e 0,12 (0,25) = 4, 367. Supponiamo ora che il valore corrente di un azione è S 0 = 20$. Vogliamo determinare il prezzo corrente, f 0, dell opzione in assenza di opportunità di arbitraggio. Il valore corrente del portafoglio è pari a 20 (0, 25) f 0 = 5 f 0, da cui 5 f 0 = 4, 367, e quindi f 0 = 0, 633$. Se f 0 > 0, 633$ = 5 f 0 < 4, 367. Ne consegue che il portafoglio renderebbe più del tasso d interesse privo di rischio. Se f 0 < 0, 633$ = 5 f 0 > 4, 367. Ne consegue che con la vendita allo scoperto del portafoglio rappresenterebbe un modo per prendere in prestito denaro a un tasso inferiore di quello privo di rischio. Possiamo generalizzare quanto appena presentato nell esempio 4.1, considerando un titolo azionario il cui prezzo iniziale sia S 0 e un opzione scritta su questo titolo il cui prezzo iniziale sia f 0. Supponiamo che l opzione scada al tempo T > 0 e che durante la sua vita il prezzo dell azione possa salire a S T = u S 0 oppure scendere a S T = d S 0 (u > 1, d < 1), rispettivamente con probabilità 0 < q < 1 e 1 q. L aumento proporzionale del prezzo dell azione quando c è un movimento al rialzo è u 1, mentre la riduzione proporzionale del prezzo dell azione quando c è un movimento al ribasso è 1 d. Indichiamo con f u il valore finale dell opzione se il prezzo dell azione sale e sia f d il valore finale dell opzione se il prezzo dell azione scende. Sia r il tasso di interesse privo di rischio costante e positivo, riferito al periodo in esame, al quale si può essere finanziati o investire il proprio denaro. Se si vuole evitare la

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 9 possibilità di arbitraggi si deve avere u > r > d. (2) Infatti, se ad esempio si avesse u > d > r, si potrebbe ottenere un profitto senza rischio e senza alcun esborso (arbitraggio) chiedendo denaro a prestito e investendolo nell acquisto del bene sottostante, ottenendo, in ogni caso, alla scadenza più di quanto si dovrà restituire. Allo scopo di comprendere il funzionamento del modello binomiale nell ambito della valutazione delle opzioni si consideri un opzione call di tipo europeo che scade alla fine del periodo T e ha prezzo d esercizio K. Alla scadenza l opzione call assume i due possibili valori: f u, c = max(0, us 0 K) f d, c = max(0, ds 0 K), (3) rispettivamente con probabilità p e 1 p. Come prima, immaginiamo di costruire un portafoglio di copertura che replica il payoff alla scadenza dell opzione call combinando in maniera opportuna il titolo azionario sottostante e titoli non rischiosi. Si indichi con Q il quantitativo di azioni sottostanti in portafoglio e con Y l importo monetario investito in titoli non rischiosi. Il valore iniziale (corrente) del portafoglio è V 0 = Q S 0 + Y Il valore del portafoglio alla scadenza T è Q us0 + e rt Y, con probabilità q, V p, c = Q ds 0 + e rt Y, con probabilità 1 q. Il portafoglio replica il payoff dell opzione se i coefficienti Q e Y sono tali che i valori di fine periodo del portafoglio coincidono con i valori di fine periodo dell opzione in entrambi gli stati possibili Q us 0 + e rt Y = f u, c Q ds 0 + e rt Y = f d, c. (4) Risolvendo questo sistema lineare nelle variabili Q e Y si ottiene Q = f u, c f d, c (u d)s 0, Y = u f d, c d f u, c (u d)e rt. (5) Si verifica facilmente che Q > 0 e Y < 0 e quindi si devono acquistare Q unità del titolo sottostante e prendere a prestito una quantità Y di moneta. In condizione di non arbitraggio il valore corrente f 0 dell opzione call deve coincidere con il valore corrente V 0 del portafoglio di copertura e quindi f 0 = Q S 0 + Y = f u, c f d, c u d + u f d, c d f u, c (u d)e rt = e rt d u d f u, c + u ert u d f d, c e rt (6)

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 10 Dalla (6) emerge una proprietà sorprendente del modello binomiale e cioè che il valore corrente dell opzione non dipende in alcun modo dalle probabilità q e 1 q. Tale proprietà comporta che il valore corrente dell opzione, f 0, è lo stesso sia che il prezzo dell azione sottostante passi da S 0 a u S 0 con probabilità del 99% sia che tale probabilità sia dell 1%. Tale caratteristica è dovuta all esistenza di un portafoglio che replica perfettamente il payoff dell opzione e ne individua esattamente il prezzo. Due operatori possono avere probabilità soggettive diverse associate ai due possibili prezzi finali del titolo sottostante; il portafoglio di copertura, tuttavia, non dipende dalla propensione al rischio o dalle opinioni degli operatori ma solo dall ipotesi che si cerchi di trarre vantaggio dalla possibilità di eventuali arbitraggi. Pertanto, non è necessario conoscere la struttura delle preferenze degli investitori. Fra le varie ipotesi che si possono introdurre sulle preferenze degli operatori e che per la presenza del portafoglio di copertura conducono allo stesso prezzo dell opzione, la più conveniente da un punto di vista computazionale è l ipotesi di neutralità al rischio. Le probabilità neutrali al rischio p e 1 p, rispettivamente, di rialzo e di ribasso del prezzo corrente S 0 dell azione, si possono determinare imponendo che il valore atteso del prezzo alla scadenza T dell azione sottostante l opzione E[S T ] = p us 0 + (1 p) ds 0 sia uguale al montante e rt S 0 ottenuto investendo il prezzo corrente dell azione al tasso di interesse privo di rischio r. Risolvendo l equazione si ottiene: p = ert d u d E[S T ] = e rt S 0 e 1 p = u ert u d Si osservi che lipotesi u > r > d garantisce che le probabilità neutrali al rischio siano strettamente positive. Da (6) e utilizzando le probabilità neutrali al rischio, il prezzo iniziale dell opzione si può riscrivere in forma più compatta e significativa come segue f 0 = e rt [p f u, c + (1 p) f d, c ] (8) La relazione (8) sottolinea che il prezzo corrente dell opzione può essere ottenuto in maniera molto semplice attualizzando al tasso privo di rischio il valore atteso del payoff alla scadenza, purchè tale valore atteso sia calcolato utilizzando non le vere probabilità q e 1 q ma le probabilità neutrali al rischio p e 1 p. Osserva. In questa ottica f 0 può essere assimilato alla posta richiesta per partecipare ad un gioco equo che ha come possibili risultati f u, c e f d, c : pagare una posta che coincide con il valore atteso del risultato implica un atteggiamento di indifferenza rispetto al rischio. Il fattore di sconto e rt rende comparabili nel tempo posta e risultato, riferiti ad istanti diversi. La portata generale del risultato (8), estendibile al caso multiperiodale illustrato nel paragrafo successivo, viene riassunta nella seguente proposizione. (7)

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 11 Proposizione 1. Se il mercato è completo ed in equilibrio esiste una unica misura di probabilità di neutralità rispetto al rischio P = (p, 1 p) tale che il prezzo corrente di un opzione è il valore atteso scontato dei suoi possibili payoff a scadenza, calcolato in base alla misura P. Esempio 4.2. Sia S 0 = 100 il prezzo corrente dell azione sottostante l opzione (all epoca t = 0) e si supponga che all epoca T = 1 il prezzo possa assumere solo i due valori us 0 = 200 oppure ds 0 = 50, cioè che dopo un periodo unitario di tempo il prezzo del titolo sottostante possa raddoppiare (u = 2) o dimezzarsi (d = 1/2). Inoltre, sul mercato sia disponibile un opzione call con prezzo d esercizio K = 100 e con scadenza T = 1 e sia r = 10% il tasso uniperiodale di interesse. Si vuole determinare il prezzo corrente dell opzione f 0 (all epoca t = 0). Utilizzando le equazioni (7), le probabilità neutrali al rischio risultano p = e0,1 0, 5 2 0, 5 = 0, 403 1 p = 0, 597. I possibili valori dell opzione alla scadenza sono f u, c = max(0, us 0 K) = 100 f d, c = max(0, ds 0 K) = 0 e, applicando l equazione (8) si trova f 0 = e 0,1 [0, 403(100)] = 36, 50 Da (5) si deduce che il portafoglio di copertura è formato da 100 Q = (2 1/2) 100 = 2 azioni sottostanti 3 100/2 Y = = 30, 16 unità monetarie (2 1/2) e0,1 Il valore di tale portafoglio all epoca T = 1 coincide con il valore dell opzione call sia se il prezzo del bene sottostante raddoppia sia se si dimezza.

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 12 5 Modello Binomiale multiperiodale L ipotesi che il prezzo finale del bene sottostante possa assumere due soli valori è chiaramente ben poco realistica. D altra parte, si può supporre di suddividere l intervallo di tempo che intercorre tra l epoca di valutazione e la scadenza dell opzione in un numero n adeguatamente elevato di sottoperiodi di uguale ampiezza. In ciascun sottoperiodo il prezzo di fine periodo è ottenuto moltiplicando il corrispondente prezzo di inizio periodo per il fattore di crescita u o per il fattore di diminuzione d. Tale procedura dà luogo ad un albero binomiale che descrive l andamento del prezzo del bene sottostante l opzione nei singoli sottoperiodi. Consideriamo dapprima, per semplicità, il caso in cui mancano due periodi alla scadenza T dell opzione. Consideriamo un titolo azionario, con prezzo corrente S 0, sottostante un opzione con prezzo iniziale f 0. Suddividiamo l intervallo di tempo [0, T ] in due sottointervalli di ampiezza T = T/2. Indichiamo con S i (i = 1, 2) il prezzo dell azione in ciascuno dei due periodi. Alla fine di ogni periodo i, il prezzo dell azione, S i, sale ad un livello pari a u volte il prezzo S i 1 all inizio del periodo o scende ad un livello pari a d volte il prezzo S i 1. Sia X i la variabile aleatoria così definita: X i = 1, se S i = u S i 1 con probabilità q, 0, se S i = d S i 1 con probabilità 1 q, i = 1, 2. (9) All epoca della scadenza T, cioè nel secondo periodo, il prezzo del bene sottostante S 2 può assumere uno dei seguenti valori: u (u S 0 ) = u 2 S 0, con probabilità q 2, u (d S 0 ) = u d S 0 = d (u S 0 ), con probabilità 2 q (1 q), d (d S 0 ) = d 2 S 0, con probabilità (1 q) 2. I corrispondenti payoff dell opzione sono: f 0, valore corrente, f u, f d, valori alla fine del primo periodo, f u u, f u d, f d d, valori alla fine del secondo periodo. La valutazione dell opzione può essere effettuata mediante una tecnica di programmazione dinamica che permette di percorrere all indietro l albero binomiale. Alla fine del primo periodo T (quando manca un solo periodo alla scadenza) si possono calcolare i due possibili valori dell opzione, f u e f d, come visto nel caso uniperiodale, attualizzando al tasso privo di rischio il valore atteso dei due corrispondenti payoff di fine periodo, calcolato con la misura di probabilità neutrale al rischio P = (p, 1 p) definita in (7). Applicando la (8) a f u u, f u d e f d d si ottiene f u = e r T [p f u u + (1 p) f u d ] f d = e r T [p f u d + (1 p) f d d ] (10) Applicando nuovamente questo procedimento ai payoff f u e f d si ottiene il prezzo dell opzione in corrispondenza dell epoca t = 0 : f 0 = e r T [p f u + (1 p) f d ] (11)

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 13 Sostituendo le equazioni (10) nella (11) si ottiene f 0 = e rt [p 2 f u u + 2 p (1 p) f u d + (1 p) 2 f d d ] (12) Questa formula è coerente con il principio di valutazione neutrale verso il rischio. Le quantità p 2, 2 p (1 p), (1 p) 2 sono le probabilità di raggiungere i nodi finali superiore, intermedio e inferiore. il prezzo dell opzione è uguale al suo valore atteso in un mondo neutrale verso il rischio, attualizzato al tasso di interesse r privo di rischio. Esempio 5.1. Consideriamo una put europea a 2 anni (T = 2), con prezzo di esercizio K = 52$, scritta su un azione il cui prezzo corrente è S 0 = 50$. Supponiamo che ci siano due intervalli temporali di 1 anno ( T = 1) e che in ciascun intervallo il prezzo dell azione salga o scenda in misura pari al 20% (cioè u = 1, 2, d = 0, 8). Supponiamo inoltre che il tasso di interesse privo di rischio sia pari a r = 5%. Alla fine del primo periodo si ottiene che il prezzo dell azione sottostante sale a S 1 = 60$ o scende a S 1 = 40$. Ne consegue che alla scadenza il prezzo S T dell azione sottostante assumerà uno dei seguenti valori: con corrispondenti payoff dell opzione put u 2 S 0 = 72$ u d S 0 = 48$ d 2 S 0 = 32$, f u u = max(0, K S T ) = 0$ f u d = max(0, K S T ) = 4$ f d d = max(0, K S T ) = 20$. Applicando la (7), le probabilità neutrali verso il rischio sono date da p = er T d u d = 0, 6282 1 p = 0, 3718. Applicando la (10) si ottengono i valori della put alla fine del primo periodo f u = 1, 4147$ f d = 9, 4636$, e applicando la (12) si ottiene il valore corrente dell opzione: f 0 = 4, 1923$. Studiamo ora il caso in cui il tempo T alla scadenza viene suddiviso in n sottoperiodi di ampiezza T = T/n. Consideriamo le variabili aleatorie X i (i = 1,..., n) definite in (9) che supponiamo indipendenti e con distribuzione di probabilità neutrale al rischio P = (p, 1 p) definita in (7) sostituendo T con T. Denotiamo con Y = n X i. i=1

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 14 La variabile aleatoria Y ha distribuzione binomiale, Y B(n, p), e indica il numero di volte in cui in n periodi temporali il prezzo dell azione sottostante l opzione è salito. Ne consegue che dopo n periodi, cioè alla scadenza T, il prezzo dell azione può essere scritto come S T = u Y d n Y S 0. (13) Indichiamo ciascun nodo dell albero binomiale con (i, j), dove i = 0, 1,..., n 1, j = 0, 1,..., i. L indice i rappresenta lo stadio dell albero, cioè il sottoperiodo considerato, e l indice j indica il nodo dello stadio che identifica il numero di volte in cui il prezzo del titolo azionario è salito in i periodi. Pertanto il prezzo del titolo sottostante l opzione in corrispondenza del nodo (i, j) è S ij = u j d i j S 0 i = 0, 1,..., n 1, j = 0, 1,..., i (14) Il corrispondente valore dell opzione può essere determinato ricorsivamente come segue f i,j = e r T [p f i+1,j+1 + (1 p) f i+1,j ] i = 0, 1,..., n 1, j = 0, 1,..., i (15) posto che f n,j = max(0, S T K) = max(0, S n,j K) j = 0, 1,..., n Applicando n volte la formula ricorsiva (15), da (13) si trova che il prezzo corrente di un opzione call in assenza di arbitraggio è f 0 = e r T E[max(0, S T K)] = e r T E[max(0, u Y d n Y S 0 K)] (16) n = e r T P(Y = i) max(0, u i d n i S 0 K) (17) i=0 ( n = e r T i=0 n i ) p i (1 p) n i max(0, u i d n i S 0 K) (18) Esempio 5.2. Si vuole calcolare il valore iniziale di una call europea a 3 anni sapendo che: S 0 = 80$, K = 80$, u = 1, 5, d = 0, 5, q = 0, 7, r = 0, 1. Consideriamo n = 3 periodi di ampiezza T = 1 anno. Le probabilità neutrali al rischio sono: p = e0,1 0, 5 = 0, 60 1 p = 0, 4. 1, 5 0, 5 All epoca di scadenza T i possibili valori per il prezzo del bene sottostante sono: u 3 S 0 = 270, con probabilità q 3 = 0, 343 u 2 d S 0 = 90, con probabilità 3q 2 (1 q) = 0, 441 S T = u d 2 S 0 = 30, con probabilità 3q(1 q) 2 = 0, 189 d 3 S 0 = 10, con probabilità (1 q) 3 = 0, 027.

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 15 Il calcolo del valore iniziale dell opzione, tuttavia, va effettuato utilizzando le probabilità neutrali al rischio e considerando per il prezzo finale dell azione sottostante la variabile aleatoria S T le cui realizzazioni sono: S T = u 3 S 0 = 270, con probabilità p 3 = 0, 216 u 2 ds 0 = 90, con probabilità 3p 2 (1 p) = 0, 432 u d 2 S 0 = 30, con probabilità 3p(1 p) 2 = 0, 288 d 3 S 0 = 10, con probabilità (1 p) 3 = 0, 064. Il prezzo iniziale della call è quindi ( ) 3 f 0 = e r T 3 p i (1 p) 3 i max(0, u i d 3 i S 0 K) i i=0 = e 0,3 (0, 064(0) + 0, 288(0) + 0, 432(10) + 0, 216(190)) 33, 60. Osserva. La procedura binomiale multiperiodale descritta per la valutazione di un opzione call europea può essere applicata senza sostanziali modifiche anche alla valutazione di un opzione put europea. Passando a opzioni di tipo americano, basta osservare che queste forniscono tutti i diritti che derivano da opzioni europee con in più la facoltà dell esercizio anticipato. Dunque il loro prezzo non potrà essere inferiore a quello delle corrispondenti europee. Se indichiamo con f c, f C il prezzo, rispettivamente, di un opzione call europea e di un opzione call americana, e con f p, f P il prezzo, rispettivamente, di un opzione put europea e di un opzione put americana, valgono le relazioni Consideriamo i due seguenti portafogli: f C f c f P f p. Portafoglio A: una call europea più un importo in denaro pari a Ke r T ; Portafoglio B: un titolo azionario. Nel portafoglio A, il denaro, investito al tasso di interesse privo di rischio r, diventa K alla scadenza T dell opzione. Se S T > K, la call viene esercitata al tempo T e il portafoglio A vale S T. Se S T < K, la call non viene esercitata e scade al tempo T senza valore (f T,c = 0). Pertanto, al tempo T il portafoglio A vale max(s T, K) Il portafoglio B vale S T al tempo T. Pertanto al tempo T, il portafoglio A vale sempre almeno quanto il portafoglio B. Ne segue che in assenza di opportunità di arbitraggio, questa relazione deve valere anche al tempo corrente, cioè f 0,c + Ke r T S 0 ossia f 0,c S 0 Ke r T. (19)

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 16 Dato che il peggio che può capitare alla call è che f T,c = 0, il suo valore corrente f 0,c deve essere positivo. Ciò vuol dire che Consideriamo ora i due seguenti portafogli: f 0,c max(s 0 Ke r T, 0). Portafoglio C: una put europea più un titolo azionario; Portafoglio D: un importo in denaro pari a Ke r T ; Se S T < K, la put del portafoglio C viene esercitata al tempo T e il portafoglio vale K. Se S T > K, la put non viene esercitata e scade al tempo T senza valore (f T,p = 0) e il portafoglio vale S T. Pertanto, al tempo T il portafoglio C vale max(s T, K) Se il denaro viene investito al tasso di interesse privo di rischio r, il portafoglio D vale K alla scadenza T dell opzione. Pertanto al tempo T, il portafoglio C vale sempre almeno quanto il portafoglio D. Ne segue che, in assenza di opportunità di arbitraggio, questa relazione deve valere anche al tempo corrente, cioè f 0,p + S 0 Ke r T ossia f 0,p Ke r T S 0. (20) Dato che il peggio che può capitare alla put è che f T,p = 0, il suo valore corrente f 0,p deve essere positivo. Ciò vuol dire che f 0,p max(ke r T S 0, 0). Se l azione sottostante non dà diritto a pagamenti intermedi dovuti a dividendi, cedole o altro, non conviene esercitare una call americana prima della scadenza. Infatti, indicando con H call = S 0 K il suo valore intrinseco ed, in virtù della (19), segue che questo è sempre strettamente minore del prezzo corrente dell opzione f 0,c S 0 Ke r T > H call. da cui f 0,c > H call. Se l esercizio anticipato della call americana fosse ottimale, f 0,c = H call. In conclusione, conviene vendere la call americana anzichè esercitarla. Diversa è la situazione per una put americana. Infatti, nel caso in cui il prezzo del sottostante sia molto basso (vicino a zero, ad esempio) conviene esercitare l opzione in quanto il valore K del prezzo di esercizio è il massimo che si possa realizzare. Inoltre, dalla (20) deve essere sempre f 0,p K S 0 := H put

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 17 dato che il prezzo corrente della put non può scendere al di sotto del suo valore intrinseco H put. Per quanto è stato appena detto, qualora il titolo sottostante non effettui pagamenti intermedi durante la vita dell opzione, la possibilità di esercizio prima della scadenza diviene una eventualità della quale tenere conto solo nel prezzare opzioni put americane. Ne consegue che nel prezzaggio delle opzioni di tipo americano, il modello binomiale richiede una modifica per tenere conto della suddetta eventualità. Si consideri che le opzioni americane valgono di più al crescere della vita residua, cioè il periodo rimanente fino alla scadenza T. A tal proposito, nel procedimento di valutazione all indietro è necessario verificare in corrispondenza di ciascun nodo se risulta conveniente l esercizio anticipato. Il prezzo di un opzione put americana in corrispondenza di ciascun nodo (i, j) C i,j = max(a i j, K S i j ) i = 0, 1,..., n 1, j = 0, 1,..., i, (21) è dato dal massimo fra il valore intrinseco S i j K e il valore A i,j = e r T [p C i+1,j+1 + (1 p) C i+1,j ] (22) calcolato sull albero attualizzando il valore atteso associato ai nodi successori (i + 1, j + 1) e (i + 1, j). Esempio 5.3. Si considerino un opzione put europea ed una americana emesse su un titolo azionario la cui quotazione corrente è S 0 = 500. Suppponiamo che il prezzo di esercizio sia K = 500, che le opzioni scadano fra 3 mesi (T = 3) e che il tasso istantaneo di rendimento per le attività non rischiose sia r = 0, 06 su base annua. Si desidera valutare le opzioni con il modello binomiale considerando n = 3 sottointervalli temporali di un mese nell ipotesi che u = 1, 13872 e d = 1/u = 0, 87818. ( Le probabilità neutrali al rischio sono T = T/3 = 3 ( ) ) 1 = 1/12 : 12 3 p = er T d u d = 1, 00501 0, 87818 = 0, 486809 1 p = 0, 513191. 1, 13872 0, 87818 I prezzi per l azione sottostante sono: S1 1 = u S 0 = 569, 36, S 1 0 = d S 0 = 430, 09, dopo 1 mese (stadio 1) S 2 2 = u 2 S 0 = 648, 34, S 2 1 = ud S 0 = 500, S 2 0 = d 2 S 0 = 385, 60, dopo 2 mesi (stadio 2) e alla scadenza T (stadio 3) S T = S 3 3 = u 3 S 0 = 738, 28 S 3 2 = u 2 d S 0 = 569, 36 S 3 1 = ud 2 S 0 = 439, 09 S 3 0 = d 3 S 0 = 338, 63.

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 18 I corrispondenti payoff finali delle opzioni put (europea e americana) sono: f 3,3 = C 3,3 = max(0, K S 3 3 ) = 0 f 3,2 = C 3,2 = max(0, K S 3 2 ) = 0 f 3,1 = C 3,1 = max(0, K S 3 1 ) = 60, 91 f 3,0 = C 3,0 = max(0, K S 3 0 ) = 161, 37 Allo stadio 2 i prezzi dell opzione put europea sono: f 2,2 = e r T [pf 3,3 + (1 p) f 3,2 ] = 0 f 2,1 = e r T [pf 3,2 + (1 p) f 3,1 ] = 31, 10 f 2,0 = e r T [pf 3,1 + (1 p) f 3,0 ] = 111, 91 mentre dalla (21) i prezzi dell opzione put americana risultano: C 2,2 = max(a 2 2, K S 2 2 ) = max(0, 148, 34) = 0 C 2,1 = max(a 2 1, K S 2 1 ) = max(31, 10, 0) = 31, 10 C 2,0 = max(a 2 0, K S 2 0 ) = max(111, 91, 114, 40) = 114, 40 dove, applicando la (22), risulta A 2 2 = f 2,2 A 2 1 = f 2,1 A 2 0 = f 2,0 Allo stadio 1 per la put europea si ha: f 1,1 = e r T [pf 2,2 + (1 p) f 2,1 ] = 15, 89 f 1,0 = e r T [pf 2,1 + (1 p) f 2,0 ] = 72, 21 mentre i prezzi della put americana risultano: C 1,1 = max(a 1 1, K S 1 1 ) = max(15, 89, 69, 36) = 15, 89 C 1,0 = max(a 1 0, K S 1 0 ) = max(73, 48, 69, 91) = 73, 48 dove A 1,1 = e r T [p C 2,2 + (1 p) C 2,1 ] = 15, 89 A 1,0 = e r T [p C 2,1 + (1 p) C 2,0 ] = 73, 48 Ne consegue che il prezzo corrente dell opzione europea è: e quello dell opzione americana è f 0 = e r T [pf 1,1 + (1 p) f 1,0 ] = 44, 56 C 0 = max(a 0, K S 0 ) = max(45, 22, 0) = 45, 22. dove A 0 = p C 1,1 + (1 p) C 1,0 = 45, 22.

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 19 5.1 Calibrare la volatilità Il prezzo di un opzione, dipende dal prezzo di esercizio K, dal comportamento nel tempo del prezzo dell attività sottostante, dal tasso di interesse, dal tempo alla scadenza e dalla volatilità. Volatilità è il termine usato per misurare l incertezza circa i futuri movimenti del prezzo del titolo, cioè è il tasso di variabilità per unità di tempo, che quantifica la maggiore o minore attitudine del prezzo del sottostante a subire oscillazioni nel tempo. Il simbolo usato per denotarla è σ. Al crescere della volatilità, cresce la probabilità che le realizzazioni nel tempo del titolo risultino molto brillanti o molto modeste. Per chi possiede l azione, questi due risultati tendono a compensarsi l uno con l altro. Non è invece così per chi possiede un opzione. Chi possiede una call trae beneficio dagli aumenti del prezzo dell azione ma ha un rischio di perdita limitato se il prezzo dell azione diminuisce, perchè al massimo può perdere il prezzo dell opzione. Analogamente, chi possiede una put trae beneficio dalla riduzione del prezzo dell azione ma ha un rischio di perdita limitato se il prezzo dell azione aumenta. Pertanto, il valore di un opzione aumenta al crescere della volatilità. È utile notare come la volatilità, a differenza delle altre variabili dalle quali dipende il prezzo di un opzione, non essendo direttamente osservabile sul mercato, occorre stimarla con opportune metodologie statistiche utilizzando i dati che provengono dall analisi del mercato reale (serie storiche), e quindi la correttezza di una qualunque formula di prezzaggio finisce con il dipendere dalla corretta stima di σ. Si è visto che modellando il processo del prezzo di un attività rischiosa tramite processi binomiali ad alberi, i parametri che devono essere specificati sono i fattori di variazione periodale u, d e la probabilità di rialzo del prezzo (nel mondo reale) q. I parametri u e d si scelgono in modo che risultino coerenti con la volatilità dei prezzi dell azione. Si suppongano note le stime ˆµ e ˆσ, rispettivamente, del tasso istantaneo, µ, di rendimento medio dell attività sottostante e della corispondente volatilità σ. Nel primo stadio di un albero binomiale, considerando un intervallo periodale di lunghezza T il tasso di variazione del prezzo dell azione è pari a (u 1) in caso di rialzo, e a (1 d) in caso di ribasso. Quindi se S 0 è il prezzo iniziale del titolo sottostante, alla fine del primo periodo T il prezzo dell azione è S 1,1 = u S 0, con probabilità q S T = S 1,0 = d S 0, con probabilità 1 q. Il montante del prezzo dell azione alla fine del primo periodo è S 0 eˆµ T. Abbiamo già visto che in un mercato in equilibrio ove gli operatori siano neutrali rispetto al rischio, E P[S T ] = p u S 0 + (1 p) d S 0 = S 0 e r T, dove P = (p, 1 p) è la probabilità neutrale al rischio e r è il tasso di interesse privo di rischio. La stessa condizione di equilibrio se viene riferita ad un mondo non indifferente al rischio, i cui operatori concordino sulle probabilità di aumento e diminuzione del prezzo

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 20 secondo la misura Q = (q, 1 q), diventa da cui si deduce che E Q [S T ] = q u S 0 + (1 q) d S 0 = S 0 eˆµ T, eˆµ T d q = (23) u d La (23) può quindi essere considerata quale primo vincolo che lega il dato di mercato ˆµ con i parametri q, u, d del modello. Una condizione ulteriore la si ricava utilizzando la volatilità, ponendo che V ar Q [S T ] = S 2 0 ˆσ 2 T, (24) affinchè la volatilità dell azione sia coerente con il modello binomiale. Si noti che V ar Q [S T ] = E Q [S 2 T ] (E Q [S T ]) 2 In base all equazione (23), la (24) diventa = S 2 0[q u 2 + (1 q) d 2 ] S 2 0[q u + (1 q) d] 2. eˆµ T (u + d) ud e 2ˆµ T = ˆσ 2 T (25) Cox, Ross e Rubinstein nel 1979 hanno proposto la seguente soluzione della (25) risolta imponendo alcune semplificazioni (si suppone che T sia sufficientemente piccolo): u = eˆσ T d = 1 u = e ˆσ T In conclusione, quando si utilizzano i modelli binomiali ad albero per il prezzaggio di un titolo azionario sottostante un opzione, i parametri del modello da specificare nel mondo reale sono q = eˆµ T d u d u = eˆσ T d = 1 u = e ˆσ T, dove ˆµ è il valore stimato del tasso di rendimento medio del titolo sottostante, mentre in un mondo neutrale verso il rischio p = er T d u d u = eˆσ T d = 1 u = e ˆσ T, dove r è il tasso di interesse privo di rischio. Se ne deduce che nel passaggio dal mondo reale al mondo neutrale verso il rischio, il tasso di rendimento atteso cambia ma la volatilità rimane inalterata (almeno per T sufficientemente piccolo).