Modelli e Metodi per l Automazione

Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Facoltà di Ingegneria Anno Accademico 20/202 ESEMPI ED ESERCIZI RETI DI CODE

7. Un sistema di produzione è costituito da 4 macchine M, M 2, M 3 e M 4, che eseguono la lavorazione di un prodotto secondo il seguente schema: M µ r, r,3 M 3 µ 3 λ r 2,3 M 2 M 4 µ 4 λ 2 r 2,4 Le macchine M e M 2 sono dotate di 2 server mentre le altre macchine sono monoserver. Considerando i seguenti valori: r, = 0.2; r 2,3 = 0.75; λ = 4 [ora ]; λ 2 = 3 [ora ]; µ = 5 [ora ]; = 4 [ora ]; µ 3 = 0.5 [ora ]; µ 4 = 2 [ora ]; determinare:. i coefficienti di utilizzo delle macchine; 2. il numero medio di materiali nel sistema; 3. il tempo medio di attraversamento del sistema. Per potere applicare la teoria relativa al modello di Jackson, attraverso la quale è possibile analizzare il comportamento a regime del sistema, è necessario specificare le ipotesi sotto le quali il modello considerato è un modello di Jackson. Siano pertanto valide le seguenti ipotesi:. tutti i clienti appartengono alla stessa classe; 2. il tempo di servizio di ogni nodo è una variabile aleatoria con pdf esponenziale; 3. gli arrivi sono tutti processi di Poisson; 4. i buffer hanno dimensione infinita; 5. tutti i processi stocastici corrispondono a variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite; 6. tutti i processi stocastici sono a due a due mutuamente indipendenti; 7. la popolazione dei clienti è infinita. Domanda Calcolo il rate medio complessivo di arrivi per ogni nodo. Λ = λ + 0.2 Λ Λ 2 = λ 2 + Λ 4 Λ 3 = 0.8 Λ + 0.75 Λ 2 Λ 4 = 0.25 Λ 2 Λ 0.2) = 4 Λ = 4 0.8 = 5 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 2

Λ 4 = 0.253 + Λ 4 ) = 0.75 + 0.25 Λ 4 Λ 4 0.25) = 0.75 Λ 4 = Λ 2 = 3 + = 4 Λ 3 = 0.8 5 + 0.75 4 = 4 + 3 = 7 Λ = 5 Λ 2 = 4 Λ 3 = 7 Λ 4 = I coefficienti di utilizzo delle macchine sono dati da: ρ i = Λ i m i µ i quindi ρ = 5 2 5 = 2 < ρ 2 = 4 2 4 = 2 < ρ 3 = 7 0.5 = 2 3 < ρ 4 = 2 = 2 < Tutti i nodi rispettano la condizione di stabilità. Esiste quindi una situazione di equilibrio stazionario e ha quindi senso calcolare il numero medio di materiali nel sistema e il tempo medio di attraversamento del sistema). Domanda 2 Il numero medio di clienti nel sistema è dato dalla somma del numero medio di clienti in ciascun nodo, cioè: n = L q + L q 2 + L q 3 + L q 4 Per la generica coda M/M/m i si ha: con L q i = m i ρ i + m iρ i ) mi ρ i m i! ρ i ) 2 π 0 π 0 = [ + m i n= m i ρ i ) n n! In particolare, per m i = risulta: ρ i L q i = ρ i mentre per m i = 2 risulta: L q i = 2ρ i ρ i 2 Si ha allora: L q = 2 2 = 3 = 4 3 4 4 L q 2 = 2 2 = 3 = 4 3 4 4 2 2 L q 3 = 2 = 3 2 L q 4 = = 2 2 3 3 2 2 = 2 = + m iρ i ) mi m i! ρ i ρ i ] Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 3

Il numero medio di clienti nel sistema è: Domanda 3 n = 4 3 + 4 3 + 2 + = 7 3 Il tempo medio di attraversamento può essere calcolato attraverso la formula: τ = v T q + v 2 T q 2 + v 3 T q 3 + v 4 T q 4 dove T q i è il tempo medio di permanenza nel nodo i e v i = Λ i λ + λ 2 è il visit count del nodo i ovvero il numero medio di passaggi attraverso il nodo i). Si ha: v = 5 7 v 2 = 4 7 v 3 = v 4 = 7 Inoltre, dalla legge di Little e quindi T q i = L q i Λ i T q = T q 2 = 4 3 T q 3 = 2 7 T q 4 = 5 = 4 5 4 3 4 = 3 Il tempo medio di attraversamento è pertanto: τ = 5 7 4 5 + 4 7 3 + 2 7 + 7 = 4 7 3 + 4 ) 3 + 2 + = 7 7 3 = 7 2 Allo stesso risultato si poteva arrivare applicando la legge di Little all intero sistema: n τ = λ + λ 2 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 4

7.2 Si consideri la rete di code aperta rappresentata in figura. Sono presenti 4 risorse: M è una risorsa multi-server 2 server) in grado di processare 20 pezzi all ora ciascun server); M2 e M3 sono due risorse mono-server in grado di processare rispettivamente α e β pezzi all ora; infine, M 4 è una risorsa multiserver 2 server) in grado di processare 8 pezzi all ora ciascun server). I materiali da processare arrivano dall esterno con una frequenza di λ pezzi all ora. Inoltre, a valle della risorsa M i materiali vengono instradati verso le due risorse M 2 e M 3 rispettivamente secondo le percentuali a e b. α pezzi/ora λ pezzi/ora 20 pezzi/ora a M2 8 pezzi/ora server β pezzi/ora M M4 2 server b 2 server M3 server Posto β = α/2, si chiede di determinare qual è l intervallo di valori di α affinché il sistema ammetta una distribuzione di probabilità stazionaria esprimere tale valore in funzione di a e λ). Inoltre, posto λ = 30, a = 0.4, α = 40 e β = 20, si chiede di determinare:. il tempo medio di attraversamento del sistema; 2. il numero medio di materiali in coda per ciascuna risorsa; 3. il tempo medio di attesa in coda per ciascuna risorsa. Per determinare l intervallo di valori di α affinché il sistema ammetta una distribuzione di probabilità stazionaria, consideriamo la condizione di stabilità Λ i m i µ i < con Λ i = λ i + N r j,i Λ j j= Si ha: Λ = λ Λ 2 = a Λ Λ 3 = b Λ Λ 4 = Λ 2 + Λ 3 Λ = λ Λ 2 = a λ Λ 3 = b λ Λ 4 = a + b)λ Essendo a + b = si ha Λ 4 = λ; pongo inoltre b = a e pertanto Λ = λ Λ 2 = a λ Λ 3 = a)λ Λ 4 = λ Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 5

Le condizioni per l esistenza della distribuzione di probabilità stazionaria sono quindi: λ 2 20 < a λ α < λ < 40 α > a λ α > a λ α > 2 a)λ a)λ β > a)λ < λ < 36 β λ < 36 λ 2 8 < Si noti che a > 2 a) quando a > 2. Quindi, ricordando che a è un valore compreso tra 0 e, 3 se 0 a 2 allora l intervallo di valori di α cercato è 2 a)λ, + ) 3 se 2 < a allora l intervallo di valori di α cercato è a λ, + ) 3 ovviamente con λ che deve essere minore di 36. Domanda Calcoliamo il tempo medio di attraversamento con la formula: τ = v T q + v 2 T q 2 + v 3 T q 3 + v 4 T q 4 dove T q i = L q i Λ i con L q i = ρ i ρ i se m i = 2ρ i ρ 2 i se m i = 2 v i = Λ i i λ i Con i valori dati si ottiene: i λ i = 30 Λ = 30 Λ 2 = 0.4 30 = 2 Λ 3 = 0.6 30 = 8 Λ 4 = 30 v = v 2 = 0.4 v 3 = 0.6 v 4 = Inoltre: e quindi: ρ = 30 2 20 = 30 40 = 0.75 ρ 2 = 2 40 = 0.3 ρ 3 = 8 20 = 0.9 ρ 4 = 30 2 8 = 30 36 0.833 L q = 2 0.75 0.75 2 =.5 0.4375 3.429 L q 2 = 0.3 0.3 = 0.3 0.7 0.429 L q 3 = 0.9 0.9 = 0.9 0. = 9 L q 4 = 2 0.833 0.833 2.667 0.306 5.455 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 6

Infine: T q = 3.429 30 T q 2 = 0.429 2 T q 3 = 9 = 0.5 ore 8 T q 4 = 5.455 30 0.4 ore 0.036 ore 0.82 ore Il tempo medio di attraversamento è: τ = 0.4 + 0.4 0.036 + 0.6 0.5 + 0.82 = 0.60 ore circa 36 minuti e mezzo) Domanda 2 Bisogna calcolare per ogni i =, 2, 3, 4) L w i = L q i m i ρ i Con i valori dati: L w = 3.429 2 0.75.929 L w 2 = 0.429 0.3 0.29 L w 3 = 9 0.9 = 8. L w 4 = 5.455 2 0.833 3.788 Domanda 3 Bisogna calcolare per ogni i =, 2, 3, 4) oppure T w i = T q i µ i T w i = L w i Λ i legge di Little) Con i valori dati: T w =.929 30 T w 2 = 0.29 2 T w 3 = 8. 8 T w 4 = 3.788 30 0.064 ore 0.0 ore = 0.45 ore 27 minuti) 0.26 ore circa 3.84 minuti) circa 0.66 minuti) circa 7.56 minuti) Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 7

7.3 Un sistema di produzione è costituito da 4 macchine M, M 2, M 3 e M 4 che eseguono la lavorazione di un prodotto secondo il seguente schema: λ M server r 2,3 M 3 2 server λ 2 M 2 2 server M 4 server r 4,2 M e M 4 sono dotate di un unico server, mentre M 2 e M 3 dispongono di 2 server. Inoltre, assumendo: r 2,3 = 0.6 e r 4,2 = 0.5 µ = 2 pezzi/ora, = 2 pezzi/ora, µ 3 = 4 pezzi/ora e µ 4 = 2 pezzi/ora λ = λ pezzi/ora e λ = 2λ pezzi/ora determinare:. quale macchina raggiunge per prima un coefficiente di utilizzo pari a al crescere di λ; 2. il numero medio di clienti nel sistema ponendo λ = ); 3. il tempo medio di attraversamento del sistema ponendo λ = ); 4. il tempo medio di attesa in coda per ciascuna macchina ponendo λ = ). Domanda I coefficienti di utilizzo delle macchine sono dati da: ρ i = Λ i m i µ i con Λ i = λ i + N j= r j,iλ j. Λ = λ = λ Λ 2 = λ 2 + r 4,2 Λ 4 = 2λ + 0.5 Λ 4 Λ 3 = r,3 Λ + r 2,3 Λ 2 = Λ + 0.6 Λ 2 Λ 4 = r 2,4 Λ 2 = 0.4 Λ 2 Λ = λ Λ 2 = 2λ + 0.5 Λ 4 = 2λ + 0.5 0.4 Λ 2 = 2λ + 0.2 Λ 2 0.8 Λ 2 = 2λ Λ 2 = 2.5λ Λ 3 = λ + 0.6 Λ 2 = λ + 0.6 2.5λ = 2.5λ Λ 4 = 0.4 Λ 2 = 0.4 2.5λ = λ Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 8

I coefficienti di utilizzo sono ρ = Λ = λ µ 2 = 0.5λ ρ 2 = Λ 2 = 2.5λ = 0.625λ 2 4 ρ 3 = Λ 3 = 2.5λ = 0.325λ 2µ 3 8 ρ 4 = Λ 4 = λ µ 4 2 = 0.5λ Al crescere di λ, la prima macchina che raggiunge un coefficiente di utilizzo pari a è la macchina M 2. Domanda 2 Pongo λ =. Devo determinare n = Si ha: 4 L q i con L q i = j= L q = 0.5 0.5 = L q 2 = 2 0.625 = 2.05 0.625) 2 L q 3 = 2 0.325 0.325) 2 0.693 L q 4 = 0.5 0.5 = Il numero medio di clienti nel sistema è quindi: n + 2.05 + 0.693 + 4.744 ρ i ρ i se m i = 2ρ i ρ 2 i se m i = 2 Domanda 3 Avendo a disposizione il numero medio di clienti nel sistema, posso calcolare il tempo medio di attraversamento del sistema con la legge di Little: τ = n 4 λ i i= Essendo si ha: 4 λ i = λ + λ 2 = 3 i= Domanda 4 τ = 4.744 3 =.58 ore Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 9

Sempre attraverso la legge di Little, avendo già calcolato per ogni macchina i valori L q i, posso determinare il tempo medio di attesa in coda per ciascuna macchina) attraverso la formula: T w i = L w i Λ i = L q i m i ρ i Λ i Si ha pertanto: T w = 0.5 = 0.5 ore 2.05 2 0.625 T w 2 0.80 0.320 ore 2.5 2.5 0.693 2 0.325 T w 3 0.068 0.027 ore 2.5 2.5 T w 4 = 0.5 = 0.5 ore Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 0

7.4 Un sistema di produzione è costituito da tre stazioni di lavoro A, B e C). Le stazioni di lavoro A e B sono costituite entrambe da una coda FIFO a capacità infinita e da un servitore in grado di processare 40 pezzi all ora. La stazione di lavoro C, che rappresenta la risorsa per il controllo della qualità, è costituita da una coda FIFO a capacità infinita e da due servitori in grado di processare 40 pezzi all ora ciascuno. I pezzi in uscita dalle stazioni A e B vengono instradati alla stazione C. Una percentuale α dei pezzi in uscita dalla stazione C subisce un ulteriore controllo della qualità, mentre una percentuale α 2 viene reinstradata alla stazione A per ulteriori lavorazioni. La restante percentuale di pezzi esce dal sistema di produzione. I pezzi entrano nel sistema attraverso le stazioni A e B con frequenza rispettivamente di 2 pezzi all ora e 28 pezzi all ora. Modellare il sistema descritto con una rete di code aperte e determinare:. quale valore massimo può assumere α affinché il sistema ammetta una distribuzione di probabilità stazionaria; 2. il tempo medio di permanenza dei pezzi nel sistema con α = 0.2); 3. il numero medio di pezzi nelle code FIFO cioè nei buffer) di ciascuna stazione di lavoro con α = 0.2). 4. il costo medio dovuto alla permanenza dei pezzi nelle code FIFO sapendo che il costo unitario è 3 e al minuto per ogni cliente presente in coda con α = 0.2). La rete di code descritta nel testo è la seguente: λ A A µ A C µ C a 2 3α 2 B µ B α λ B con: λ A = 2; λ B = 28; µ A = 40; µ B = 40; µ C = 40; m A = ; m B = ; m C = 2 Domanda Il rate medio complessivo di arrivi per ogni nodo è Λ A = 2 + α 2 Λ C Λ A = 2 + α 2 Λ C Λ B = 28 Λ B = 28 Λ C = Λ A + Λ B + α Λ C Λ C = 2 + α 2 Λ C + 28 + α Λ C Λ C α 2 α ) = 49 Λ C = 49 Λ A = 2 + α 2 = 98 2 3α 3α 2 98 98α 84 26α + 98α 84 28α 42 4α = 2 + = = = 2 3α 4 6α 4 6α 4 6α 2 3α Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202

42 4α Λ A = 2 3α Λ B = 28 Λ C = 98 2 3α Impongo Λ i < per ogni i =, 2, 3. Si ha: m i µ i 42 4α 402 3α) < 28 40 < 98 802 3α) < La prima disuguaglianza verificata per α < 9 53 α > 2. Si ha infatti: 3 42 4α 42 4α 80 + 20α < < 0 402 3α) 80 20α 38 + 06α > 0 α > 9 53 80 20α > 0 α < 2 3 38 + 06α 80 20α < 0 < 0 > 0 < 0 9 53 2 3 La seconda disuguaglianza sempre verificata. La terza disuguaglianza verificata per α < 3 20 α > 2. Si ha infatti: 3 98 98 60 + 240α < < 0 802 3α) 60 240α 62 + 240α > 0 α > 3 20 60 240α > 0 α < 2 3 62 + 240α 60 240α < 0 < 0 > 0 < 0 3 20 2 3 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 2

Complessivamente si ha quindi: 3 20 9 53 2 3 A queste condizioni bisogna aggiungere α > 0, α 2 > 0 e α + α 2 < le probabilità con cui si definisce l instradamento sono tutti valori compresi tra 0 e ). La terza di queste ultime condizioni fornisce α < 2 3. Deve quindi essere: Domanda 2 0 < α < 3 20 Pongo α = 0.2 che è compreso nell intervallo dei valori di α per cui esiste una distribuzione di probabilità stazionaria) e determino il tempo di permanenza dei pezzi nel sistema attraverso la formula: τ = v A T q A + v B T q B + v C T q C ovvero attraverso la somma dei tempi di permanenza nelle singole stazioni di lavoro, pesata dai relativi visit count. Dai conti precedenti, ponendo α = 0.2 =, si ottiene: 5 42 4 Λ A = 5 2 3 = 5 Λ B = 28 Λ C = 98 2 3 5 20 4 5 0 3 5 = 98 0 3 5 = 96 7 = 28 = 490 7 = 70 Essendo λ A + λ B = 49, i visit count sono: Λ A v A = = 28 λ A + λ B 49 = 4 7 Λ B v B = = 28 λ A + λ B 49 = 4 7 Λ C v C = = 70 λ A + λ B 49 = 0 7 Per quanto riguarda i tempi di permanenza nelle singole stazioni di lavoro, per i due nodi a singolo servitore si può utilizzare direttamente la formula T q i = µ i Λ i mentre per il nodo con due servitori sfruttiamo la legge di Little utilizzando la formula: Quindi: T q i = L q i Λ i con L q i = 2ρ i ρ i 2 e ρ i = Λ i 2µ i T q A = 40 28 = 2 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 3

T q B = 40 28 = 2 ρ C = 70 2 40 = 7 8 L q C = 2 7 8 49 64 Il tempo di permanenza dei pezzi nel sistema è pertanto: = 7 4 64 5 = 2 5 T q C = 2 5 70 = 2 5 70 = 8 75 τ = 4 7 Domanda 3 2 + 4 7 2 + 0 7 8 75 = 2 + 2 + 6 05 = 26 05 0.248 Avendo già determinato il tempo medio di permanenza nelle singole stazioni di lavoro, è possibile determinare il tempo medio di permanenza nelle code FIFO di tali stazioni di lavoro attraverso la formula: T w i = T s i µ i e da questo il numero medio di pezzi nelle code FIFO attraverso la legge di Little: L w i = T w i Λ i Quindi: Domanda 3 T w A = 2 40 = 0 3 20 = 7 20 T w B = 2 40 = 0 3 20 = 7 20 T w C = 8 75 64 5 = = 49 40 600 600 L w A = 7 49 28 = 20 30 L w B = 7 49 28 = 20 30 L w C = 49 343 70 = 600 60 Il costo medio dovuto alla permanenza dei pezzi nella coda FIFO della generica stazione di lavoro è costo unitario espresso in euro all ora per ogni cliente) L w i T w i Pertanto, essendo il costo unitario dato espresso in euro al minuto per ogni cliente, il costo medio complessivo richiesto è 3e 60 L w A T w A + 3e 60 L w B T w B + 3e 60 L w C T w C = 49 = 80 30 7 20 + 49 30 7 20 + 343 60 49 ) = 49 7 60 20 + 49 7 343 49 343 69 + = 8.33e 20 200 200 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 4

7.5 Un sistema di produzione è costituito da 3 macchine M, M 2 e M 3 che eseguono la lavorazione di un prodotto secondo il seguente schema: M server λ 0.2 0.8 M 3 2 server 0.8 0.4 λ 2 0.6 0.2 M 2 server M e M 2 sono dotate di un unico server, mentre M 3 dispone di 2 server. Inoltre, assumendo: µ = 2 pezzi/ora, = 3 pezzi/ora e µ 3 = 2 pezzi/ora λ = λ pezzi/ora e λ 2 = 2λ pezzi/ora determinare:. quale macchina raggiunge per prima un coefficiente di utilizzo pari a al crescere di λ; 2. il numero medio di clienti nel sistema ponendo λ = ); 3. il tempo medio di attraversamento del sistema ponendo λ = ); Domanda Determino il coefficiente di utilizzo ρ i = Λ i m i µ i in funzione di λ. E necessario innanzitutto calcolare il rate medio complessivo di arrivi per ogni nodo risolvendo il sistema di equazioni lineari dato dalla relazione Λ i = λ i + N j= r j,i Λ j. Si ha: Λ = λ + 0.4 Λ 2 Λ 2 = λ 2 + 0.2 Λ Λ 3 = 0.8 Λ + 0.6 Λ 2 + 0.2 Λ 3 Λ = λ + 0.4 Λ 2 Λ 2 = 2λ + 0.2 Λ Λ 3 = 0.8 Λ + 0.6 Λ 2 + 0.2 Λ 3 Λ 2 = 2λ + 0.2 λ + 0.08 Λ 2 0.92 Λ 2 = 2.2 λ Λ 2 = 2.2 0.92 λ 2.39 λ Λ = λ + 0.8 λ + 0.08 Λ 0.92 Λ =.8 λ Λ =.8 0.92 λ.957 λ Λ 3 = 0.8.8 2.2 λ + 0.6 0.92 0.92 λ + 0.2 Λ 3 0.8 Λ 3 = 2.76 0.92 λ Λ 3 = 2.76 0.736 λ = 3.75 λ Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 5

Λ.957 λ Λ 2 2.39 λ Λ 3 = 3.75 λ I coefficienti di utilizzo sono: ρ =.957 λ 0.9785 λ 2 ρ 2 = 2.39 λ 0.797 λ 3 ρ 3 = 3.75 λ 2 2 = 0.9375 λ La macchina che per prima raggiunge, al crescere di λ, un coefficiente di utilizzo pari a è la macchina. Domanda 2 Sia λ =. Il numero medio di clienti nel sistema è n = 3 i= L q i = L q + L q 2 + L q 3 = ρ ρ + ρ 2 ρ 2 + 2ρ 3 ρ 3 2 Sostituendo i valori calcolati nel punto precedente, si ottiene: Domanda 3 n = 0.9785 0.9785 + 0.797 0.797 + 2 0.9375 45.52 + 3.926 + 5.484 64.922 0.9375) 2 Essendo disponibile il numero medio di clienti nel sistema, è possibile calcolare il tempo medio di attraversamento del sistema tramite la legge di Little. Si ha infatti: τ = n λ + λ 2 = 64.922 + 2 2.64 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 6

7.6 Un ufficio anagrafico è costituito da 4 sportelli per l erogazione di un certo servizio. Siano essi S, S 2, S 3 e S 4. Ciascuno sportello è dotato di una propria coda. Gli sportelli e 4 hanno due impiegati che possono svolgere il servizio di tali sportelli, mentre gli sportelli 2 e 3 hanno un solo impiegato. Il tempo di servizio di ciascuno degli impiegati dello sportello S i, i =, 2, 3, 4, è una variabile aleatoria con funzione di densità di probabilità di tipo esponenziale caratterizzata dal parametro µ i. Gli sportelli sono organizzati in maniera sequenziale S S 2 S 3 S 4 ) e i clienti, all interno dell ufficio anagrafico, si comportano secondo la seguente regola: un cliente che è stato servito in un certo sportello può proseguire verso lo sportello successivo o uscire dall ufficio. La probabilità di proseguire allo sportello successivo è p. Una volta serviti dall ultimo sportello, i clienti escono dal sistema. I clienti entrano nel sistema attraverso uno qualunque dei quattro sportelli. Il processo di arrivo di clienti dall esterno allo sportello S i, i =, 2, 3, 4, è un processo di Poisson caratterizzato dal parametro λ i. Modellare il sistema descritto con una rete di code aperta e determinare:. le condizioni di stabilità dei quattro sportelli esprimere i parametri µ i, i =, 2, 3, 4, in funzione dei parametri p e λ i, i =, 2, 3, 4); Inoltre, posto p = 0.4 λ = 20 persone/ora λ 2 = 5 persone/ora λ 3 = 6 persone/ora λ 4 = 0 persone/ora µ = 2 persone/ora = 6 persone/ora µ 3 = 2 persone/ora µ 4 = 0 persone/ora determinare: 2. il tempo medio di permanenza di ciascun cliente nell ufficio anagrafico; 3. il tempo medio passato da ciascun cliente ad aspettare di essere servito cioè il tempo passato nelle code davanti agli sportelli); 4. la probabilità di non avere clienti in coda allo sportello S 4 solo nella coda davanti allo sportello, in servizio possono esserci clienti) e di non avere clienti né in coda né in servizio agli sportelli S, S 2 e S 3. La rete di code aperta descritta nel testo dell esercizio è: λ 2 λ 3 λ 4 λ µ µ 3 µ 4 p p p S S 2 S 3 S 4 p p p Il numero di servitori in ciascuna coda è: m = 2 m 2 = m 3 = m 4 = 2 Prima di rispondere alle domande, devo specificare le ipotesi sotto le quali il sistema dato è un modello di Jackson, per il quale posso quindi studiare il comportamento a regime del sistema. Oltre a quelle specificate nel testo del problema, siano valide le seguenti ipotesi:. tutti i clienti appartengono alla stessa classe; 2. i buffer hanno dimensione infinita; Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 7

3. tutti i processi stocastici corrispondono a variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite; 4. tutti i processi stocastici sono a due a due mutuamente indipendenti; 5. la popolazione dei clienti è infinita. Domanda La condizione di stabilità di un generico sportello è data da: Λ i m i µ i < essendo Λ i il rate medio complessivo di arrivi del nodo i-esimo. Calcolo quindi Λ i per ogni i =, 2, 3, 4 utilizzando la formula Λ i = λ i + N r j,i Λ j j= Si ha: Λ = λ Λ 2 = λ 2 + pλ Λ 3 = λ 3 + pλ 2 Λ 4 = λ 4 + pλ 3 Λ = λ Λ 2 = pλ + λ 2 Λ 3 = p 2 λ + pλ 2 + λ 3 Λ 4 = p 3 λ + p 2 λ 2 + pλ 3 + λ 4 Le condizioni di stabilità sono: Λ < λ < m µ 2µ Λ 2 < pλ + λ 2 < m 2 2 Λ 3 < p2 λ + pλ 2 + λ 3 < m 3 µ 3 µ 3 Λ 4 < p3 λ + p 2 λ 2 + pλ 3 + λ 4 < m 4 µ 4 2µ 4 µ > 2 λ > pλ + λ 2 µ 3 > p 2 λ + pλ 2 + λ 3 ) µ 4 > 2 p 3 λ + p 2 λ 2 + pλ 3 + λ 4 Domanda 2 Siano p = 0.4 λ = 20 persone/ora λ 2 = 5 persone/ora λ 3 = 6 persone/ora λ 4 = 0 persone/ora µ = 2 persone/ora = 6 persone/ora µ 3 = 2 persone/ora µ 4 = 0 persone/ora Devo calcolare il tempo medio di attraversamento del sistema. Tale tempo medio può essere calcolato utilizzando la legge di Little, una volta determinato il numero medio di clienti nel sistema il tempo richiesto è uguale al rapporto tra il numero medio di clienti nel sistema e il flusso complessivo in ingresso al sistema). Si ha infatti: 4 i= τ = L q i 4 i= λ i dove L q i rappresenta il numero medio di clienti nel nodo sportello) i. Tale valore può essere calcolato utilizzando la formula: ρ i se m i = ρ i L q i = 2ρ i ρi 2 se m i = 2 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 8

I coefficienti di utilizzo, calcolabili con la formula ρ i = Λ i m i µ i, sono: ρ = 20 2 2 = 20 24 0.833 ρ 2 = 3 6 = 3 6 0.82 ρ 3 =.2 2 =.2 2 0.933 ρ 4 = 4.48 2 0 = 4.48 = 0.724 20 e pertanto il numero medio di clienti L q i ad ogni sportello è: L q = 2ρ ρ 2 = 2 0.833 0.833) 2.666 0.694.666 0.306 5.444 L q 2 = ρ 2 = 0.82 ρ 2 0.82 = 0.82 0.88 4.39 L q 3 = ρ 3 ρ 3 = 0.933 0.933 = 0.933 0.067 3.925 L q 4 = 2ρ 4 ρ4 2 = 2 0.724 0.724) 2.448 0.524.448 0.476 3.042 Il tempo medio di attraversamento del sistema è quindi: τ circa 39 minuti). 5.444 + 4.39 + 3.925 + 3.042 20 + 5 + 6 + 0 26.730 4 0.652 Un altro modo per calcolare il tempo medio di attraversamento del sistema è utilizzare la formula: τ = v T q + v 2 T q 2 + v 3 T q 3 + v 4 T q 4 dove T q i è il tempo medio di permanenza nel nodo sportello) i, calcolabile con la formula T q i = L q i Λ i, e v i è il visit count del nodo sportello) i, definito come: v i = Λ i N i= λ i Nel nostro caso si ha: Λ = 20 Λ 2 = 0.4 20 + 5 = 3 Λ 3 = 0.6 20 + 0.4 5 + 6 =.2 Λ 4 = 0.064 20 + 0.6 5 + 0.4 6 + 0 = 4.48 4 λ i = 20 + 5 + 6 + 0 = 4 i= e quindi i visit count sono: v = 20 4 0.488 v 2 = 3 4 0.37 v 3 =.2 4 0.273 v 4 = 4.48 4 0.353 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 9

I tempi medi di permanenza nei nodi sono: T q = L q = 5.444 0.272 Λ 20 T q 2 = L q 2 = 4.39 0.332 Λ 2 3 T q 3 = L q 3 = 3.925 Λ 3.2.243 T q 4 = L q 4 Λ 4 = 3.042 4.48 0.20 Il tempo medio di permanenza di ciascun cliente nell ufficio anagrafico è quindi: τ = 0.488 0.272 + 0.37 0.332 + 0.273, 243 + 0.353 0.20 0.33 + 0.05 + 0.339 + 0.074 0.65 risulta un valore diverso dal precedente, 0.65 invece che 0.652, perché i valori utilizzati sono valori approssimati) Domanda 3 Il tempo medio passato da ciascun cliente in coda ad aspettare di essere servito tiene in considerazione esclusivamente i tempi medi di permanenza in coda T w i, i =, 2, 3, 4. In maniera analoga a quanto appena visto, il tempo richiesto è dato da: τ w = v T w + v 2 T w 2 + v 3 T w 3 + v 4 T w 4 I tempi medi di permanenza in coda sono dati, qualunque sia il numero di server, da T w i = T q i µ i e quindi nel nostro caso si ha: T w = T q 0.272 0.272 0.083 0.89 µ 2 T w 2 = T q 2 0.332 0.332 0.063 0.269 6 T w 3 = T q 3.243.243 0.083.60 µ 3 2 T w 4 = T q 4 0.20 0.20 0. 0.0 µ 4 0 Il tempo richiesto è: τ w = 0.488 0.89 + 0.37 0.269 + 0.273.60 + 0.353 0.0 0.092 + 0.085 + 0.37 + 0.039 0.533 Tale tempo corrisponde a circa 30 minuti e mezzo. Anche in questo caso si può utilizzare la legge di Little per determinare il tempo richiesto. Questa volta però il rapporto è tra il numero medio di clienti che aspettano in coda nell intero sistema e non il numero complessivo di clienti nel sistema, solo quelli in coda) e il flusso complessivo in ingresso al sistema, cioè: 4 i= τ = L w i 4 i= λ i Il numero medio di clienti in coda nell i-esimo sportello è dato da L w i = L q i m i ρ i, cioè nel nostro caso: L w = L q 2ρ 5.444 2 0.833 3.778 L w 2 = L q 2 ρ 2 4.39 0.82 3.507 L w 3 = L q 3 ρ 3 3.925 0.933 2.992 L w 4 = L q 4 2ρ 4 3.042 2 0.724.594 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 20

Si ha quindi: τ w 3.778 + 3.507 + 2.992 +.594 20 + 5 + 6 + 0 2.87 4 0.533 Domanda 4 La probabilità richiesta è uguale alla somma delle tre seguenti probabilità congiunte: probabilità che in tutti gli sportelli non ci sia nessun cliente; probabilità che nei primi tre sportelli non ci sia nessun cliente e nel quarto ci sia un cliente in servizio; probabilità che nei primi tre sportelli non ci sia nessun cliente e nel quarto ci siano due clienti in servizio; cioè: q = Π0, 0, 0, 0) + Π0, 0, 0, ) + Π0, 0, 0, 2) Essendo il sistema un modello di Jackson, le probabilità congiunte sono esprimibili come prodotto di probabilità marginali; si ha pertanto Π0, 0, 0, 0) = π 0) π 2 0) π 3 0) π 4 0) Π0, 0, 0, ) = π 0) π 2 0) π 3 0) π 4 ) Π0, 0, 0, 2) = π 0) π 2 0) π 3 0) π 4 2) ed è quindi necessario determinare le probabilità marginali π 0), π 2 0), π 3 0), π 4 0), π 4 ) e π 4 2). Le probabilità marginali richieste sono date da: ρ i se m i = π i 0) = ρ i + ρ i se m i = 2 { πi 0) 2ρ i se n = π i n) = Nel nostro caso si ha: π i 0) 2ρ 2 i se n = 2 π 0) = ρ + ρ 0.833 + 0.833 0.67.833 0.09 π 2 0) = ρ 2 0.82 0.88 π 3 0) = ρ 3 0.933 0.067 π 4 0) = ρ 4 + ρ 4 0.724 + 0.724 0.276.724 0.60 π 4 ) = π 4 0) 2ρ 4 0.60 2 0.724 0.232 π 4 2) = π 4 0) 2ρ 2 4 0.60 2 0.724)2 0.320 0.524 0.68 Le tre probabilità congiunte sono: Π0, 0, 0, 0) 0.09 0.88 0.067 0.60.824 0 4 0.000824) Π0, 0, 0, ) 0.09 0.88 0.067 0.232 2.659 0 4 0.0002659) Π0, 0, 0, 2) 0.09 0.88 0.067 0.68.926 0 4 0.000926) e quindi la probabilità richiesta è: q =.824 + 2.659 +.926) 0 4 6.409 0 4 0.0006409) Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 2

7.7 Una ditta gestisce un sistema informatico costituito da tre siti web. Al sito S e al sito S 2 si collegano in media λ = 5 e λ 2 = 2 utenti/s dall esterno del sistema e, dopo essersi registrati, entrano nel sistema. Al sito S 3 non si può accedere direttamente dall esterno. Un utente collegato al sito S, dopo aver svolto una transazione cioè dopo essere stato servito) termina il collegamento con probabilità 0.8, mentre con probabilità 0.2 viene ridiretto al sito S 2. Un utente collegato al sito S 2, dopo aver svolto una transazione termina il collegamento con probabilità 0.5, mentre con probabilità 0.5 viene ridiretto al sito S 3. Un utente collegato al sito S 3, dopo aver svolto una transazione termina il collegamento con probabilità 0.9, mentre con probabilità 0. viene ridiretto al sito S. In attesa di eseguire una transazione ad un sito, gli utenti attendono nella coda del sito di capacità infinita. Si suppone di avere a disposizione tre server da allocare ai tre siti. Il server A è in grado di eseguire µ A = 2.5 transazioni/s. Il server B è in grado di eseguire µ B = 8 transazioni/s. Il server C è in grado di eseguire µ C = 6 transazioni/s. L operazione di registrazione è una transazione come le altre, dunque fra gli utenti in coda ai siti S e S 2 non occorre distinguere quali sono già registrati e quali sono in attesa di registrarsi.. Modellare questo processo come una rete aperta di code markoviane, indicando i tassi medi di servizio per ora incogniti) dei tre siti come µ A, µ B e µ C. Sotto quali ipotesi, finora non menzionate, questo modello è valido? 2. Discutere la stabilità di questo processo in funzione dei tre tassi µ A, µ B e µ C. 3. Allocare i tre server ai tre siti in modo da minimizzare il tempo medio di collegamento cioè il tempo medio di attraversamento della rete) di un utente a regime. 4. Il sito S 3 contiene immagini JPEG protette da copyright e per ogni transazione che consiste in un prelevamento di immagine) l utente collegato paga 0.5 euro. Quanto guadagna in una ora la ditta da questo servizio? Domanda Riassumendo quanto contenuto nel testo, i dati che caratterizzano il modello a rete di code sono i seguenti: Sito S : si collegano in media λ = 5 utenti/secondo un utente collegato al sito svolge una transizione e poi: va al sito S 2 con probabilità r,2 = 0.2 si scollega con probabilità r,0 = 0.8 Sito S 2 : si collegano in media λ 2 = 2 utenti/secondo un utente collegato al sito svolge una transizione e poi: va al sito S 3 con probabilità r 2,3 = 0.5 si scollega con probabilità r 2,0 = 0.5 Sito S 3 : non ci si può collegare dall esterno un utente collegato al sito svolge una transizione e poi: torna al sito S con probabilità r 3, = 0. si scollega con probabilità r 3,0 = 0.9 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 22

Il modello a rete di code è pertanto il seguente. λ 2 S 2 0.5 0.2 0.5 λ S µ S 3 µ 3 0.8 0.9 0. Si noti che, non essendovi a priori una assegnazione delle tre risorse A, B e C ai tre siti S, S 2 e S 3, le frequenze medie di servizio µ, e µ 3 variano a seconda dell assegnazione che viene effettuata. Le ipotesi necessarie sono:. i clienti del sistema informatico sono tutti dello stesso tipo; 2. il tempo di servizio dei tre server sono variabili aleatorie con funzione di densità di probabilità di tipo esponenziale con parametri µ A, µ B e µ C ); 3. il processo di arrivo dei clienti dall esterno ai siti S e S 2 sono processi di Poisson caratterizzati dai parametri λ e λ 2 ); 4. tutti i processi stocastici di arrivo, di servizio, di instradamento) corrispondono a sequenze di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite; 5. tutti i processi stocastici sono a due a due mutuamente indipendenti; 6. il numero di potenziali clienti del sistema è infinito. Domanda 2 Il sistema informatico è stabile se la condizione di stabilità Λ i m i µ i < è verificata per ogni nodo della rete cioè per ogni sito del sistema). Il rate medio di arrivo nei tre siti è Λ = λ + 0. Λ 3 Λ 2 = λ 2 + 0.2 Λ Λ 3 = 0.5 Λ 2 Λ = 5 + 0. Λ 3 Λ 2 = 2 + 0.2 Λ Λ 3 = 0.5 Λ 2 Λ = 5 + 0.05 Λ 2 = 5 + 0. + 0.0 Λ 0.99 Λ = 5. Λ = 50 99 = 70 33 Λ 2 = 2 + 5 70 33 = 00 33 Λ 3 = 2 00 33 = 50 33 Tornando alla condizione di stabilità, dato che m i = i =, 2, 3, allora il sistema è stabile se: µ > 70 transazioni/secondo 5.52) 33 > 00 transazioni/secondo 3.030) 33 µ 3 > 50 transazioni/secondo.56) 33 si è indicato come dimensione transazioni/secondo in quanto ogni utente fa una sola transazione per sito visitato). Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 23

Domanda 3 Il tempo medio di collegamento corrisponde al tempo medio di attraversamento della rete di code aperta. Per quanto riguarda l allocazione dei server, si osservi subito che, per rispettare la condizione di stabilità, è necessario allocare il server A quello più lento) al sito S 3. Rimane quindi da decidere se allocare il server B al sito S e il server C al sito S 2 o viceversa. Il tempo medio di collegamento al sito S i è dato da: T q i = µ i Λ i Devo pesare tale valore con il visit count v i, cioè con il valore atteso del numero di visite di un cliente al sito S i. Il visit count è dato da: v i = Λ i λ dove si è indicato con λ il flusso di ingresso complessivo, cioè λ + λ 2. Una volta disponibili tali valori, si ha: τ = v T q + v 2 T q 2 + v 3 T q 3 Nel nostro caso: T q = µ 30 = 33 T q 2 = 00 = 33 T q 3 = 5 2 50 = 66 65 33 33 33 µ 70 33 33 00 v = 30 33 7 = 70 23 v 2 = 00 33 7 = 00 23 v 3 = 50 33 7 = 50 23 si noti che sono stati lasciati indicati µ e non essendo stata ancora fatta l assegnazione dei server per quanto riguarda i siti S e S 2 ). Il tempo medio di collegamento è quindi: τ = 70 23 Osserviamo che: 70 733 µ 70) = 00 733 00) = 33 33 µ 70 + 00 23 33 33 00 + 50 23 66 65 = 70 733 µ 70) + 00 733 00) + 20 9 85 98 0.867) se µ = 6 85 329 0.258) se µ = 8 25 287 0.087) se = 8 50 343 0.46) se = 6 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 24

Essendo, 0.258 + 0.46 = 0.404 minore 0.867 + 0.087 = 0.954, conviene assegnare il server più veloce il server B, che esegue 8 transazioni/secondo) al sito S e quello più lento il server C, che esegue 6 transazioni/secondo) al sito S 2. Con tale assegnazione, il tempo medio di collegamento risulta essere: Il tempo medio di collegamento è quindi: Domanda 4 τ = 85 329 + 50 343 + 20 0.624 secondi 9 Per calcolare il guadagno devo conoscere il throughput del sito S 3. A regime, il throughput di una coda è uguale al tasso di ingresso in condizioni di equilibrio stocastico, cioè a regime, quello che entra è uguale a quello che esce...). Il guadagno è pertanto: dove: g = c T Λ 3 c è il costo unitario 0.5 e) T è l intervallo considerato 3600 secondi = ora Λ 3 è il throughput del sito S 3 50 33 utenti/secondo) Quindi: g = 0.5 3600 50 33 2727.27e Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 25

7.8 Un sistema di produzione è costituito da una stazione di carico/scarico, da due risorse di lavorazione A e B) e da una stazione per il controllo della qualità. I materiali che entrano nel sistema attraverso la stazione di carico/scarico vengono inizialmente processati dalla risorsa A. Dopo essere stati processati dalla risorsa A, un quarto dei materiali viene processato dalla risorsa B mentre la restante parte passa direttamente alla stazione per il controllo della qualità. I materiali in uscita dalla risorsa B escono dal sistema sempre attraverso la stazione di carico/scarico). Il 50% dei materiali che hanno subito il controllo della qualità vengono reinstradati alla risorsa A, il 20% vengono reinstradati alla risorsa B e la restante parte esce dal sistema sempre attraverso la stazione di carico/scarico). Tutte le operazioni hanno tempi distribuiti esponenzialmente con valori medi /µ CS = 4 minuti per la stazione di carico/scarico, /µ A = 5 minuti e /µ B = 0 minuti rispettivamente per le risorse di lavorazione A e B, /µ Q = 2.5 minuti per la stazione per il controllo della qualità. I materiali si muovono solo su pallet e nel sistema sono sempre presenti 2 pallet. Tutte le risorse sono monoserver. Modellare il sistema descritto con una rete di code chiusa e determinare:. il numero medio di materiali pallet) presenti nelle risorse di lavorazione A e B; 2. l utilizzazione delle risorse di lavorazione A e B; 3. la probabilità che entrambi i materiali si trovino nella risorsa A; 4. il throughput del sistema espresso in termini di materiali prodotti dal sistema in un ora). La rete di code chiusa descritta nel testo è la seguente: 0.75 0.4 CS A B Q 0.25 0.3 0.2 in cui CS è la stazione di carico/scarico, A e B sono le due risorse di lavorazione e Q è la stazione per il controllo della qualità. Determiniamo i valori richiesti sia attraverso l applicazione del teorema di Gordon-Newell che attraverso il metodo di Denning e Buzen. Gordon-Newell Il numero di stati possibili è ) ) N + k 4 + 2 S = = = k 2 ) 5 = 2 5! 2!5 2)! = 5 4 3 2 2 3 2 = 0 Sia n i il numero di pezzi nel nodo i, i =, 2, 3, 4 si faccia riferimento alla corrispondenza CS, 2 A, 3 B e 4 Q). Gli stati possibili sono: Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 26

n n 2 n 3 n 4 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Il teorema di Gordon-Newell fornisce il modo per calcolare la distribuzione di probabilità congiunta πn, n 2, n 3, n 4 ). Essa è data da: πn, n 2, n 3, n 4 ) = C N i= x i n i β i n i ) con β i n i ) =, i, essendo tutte le macchine monoserver. pertanto πn, n 2, n 3, n 4 ) = C N n x i i. Per il calcolo dei valori x i, i =, 2, 3, 4, si risolve a meno di una costante arbitraria) il sistema lineare omogeneo µ i x i = N r j,i µ j x j j= in cui, sulla base della corrispondenza considerata, si ha µ = 4 = 0.25), = 5 = 0.2), µ 3 = 0 = 0.) e µ 4 = 2 25 = 0.08). Si ha: 4 x = 0 x 3 + 3 0 2 25 x 4 5 x 2 = 4 x + 2 2 25 x 4 0 x 3 = 4 5 x 2 + 5 2 25 x 4 2 25 x 4 = 3 4 5 x 2 Pongo x come costante arbitraria k. x 4 = 25 2 3 20 x 2 = 5 8 x 2 5 x 2 = 4 k + 25 5 8 x 2 = 4 k + 3 40 x 2 x 4 = 5 8 2 k = 5 4 k = 3.75 k x 3 = 0 20 2 k + 2 25 5 ) 4 k Riassumendo: x = k x 2 = 2 k x 3 = 8 5 k 4 x = 0 x 3 + 3 25 x 4 5 x 2 = 4 x + 25 x 4 0 x 3 = 20 x 2 + 2 25 x 4 2 25 x 4 = 3 20 x 2 i= 5 3 ) x 2 = 40 4 k x 2 = 8 4 k = 2 k = 0 0 k + 3 ) 50 k = k + 3 5 k = 8 5 k =.6 k x 4 = 5 4 k Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 27

Per il calcolo della costante di normalizzazione C = N ) si costruisce la seguente tabella. n x i i n S i= n n 2 n 3 n 4 n x n x 2 2 n x 3 3 n x 4 4 2 0 0 0 k 2 k 2 0 2 0 0 4 k 2 4 k 2 0 0 2 0 64 25 k2 64 25 k2 225 225 0 0 0 2 6 k2 6 k2 0 0 k 2 k 2 k 2 0 0 k 0 0 k 0 0 2 k 8 5 k 8 5 k2 5 4 k 5 4 k2 8 5 k 6 5 k2 5 0 0 2 k 4 k 5 2 k2 8 0 0 5 k 5 4 k 6 k2 = + 4 + 64 25 + 225 6 + 2 + 8 5 + 5 4 + 6 5 + 5 2 + 6 Quindi, la costante di normalizzazione è: C = 400 k2 = Le probabilità di stato sono: 400 k 2 ) k 2 = 5200 + 2944 + 025 400 k 2 = 400 k2 π2, 0, 0, 0) = 400 π0, 2, 0, 0) = 600 π0, 0, 2, 0) = 024 π0, 0, 0, 2) = 5625 π,, 0, 0) = 800 π, 0,, 0) = 640 π, 0, 0, ) = 500 π0,,, 0) = 280 π0,, 0, ) = 3000 π0, 0,, ) = 2400 0.022) 0.088) 0.056) 0.308) 0.044) 0.035) 0.082) 0.070) 0.64) 0.3) Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 28

A questo punto, avendo a disposizione tali probabilità di stato a regime), è possibile rispondere alle domande. Domanda Per quanto riguarda la risorsa di lavorazione A, il numero medio di materiali è dato da: n 2 = π 2 ) + 2 π 2 2) dove π 2 n) è la probabilità marginale) che vi siano a regime) n materiali pallet) nella risorsa di lavorazione A che quella con i = 2). Le probabilità marginali sono facilmente determinabili attraverso le probabilità congiunte. Si ha infatti: Quindi: π 2 ) = π,, 0, 0) + π0,,, 0) + π0,, 0, ) = π 2 2) = π0, 2, 0, 0) = 600 0.088) 800 + 280 + 3000 = 5080 0.278) n 2 = 5080 + 2 600 = 8280 0.453) Analogamente, per quanto riguarda la risorsa di lavorazione B che quella con i = 3), si ha: Quindi: π 3 ) = π, 0,, 0) + π0,,, 0) + π0, 0,, ) = π 3 2) = π0, 0, 2, 0) = 024 0.056) 640 + 280 + 2400 = 4320 0.236) n 3 = 4320 + 2 024 = 6368 0.349) Domanda 2 L utilizzazione di una risorsa può essere calcolata come: ρ i = π i 0) dove π i 0) la probabilità marginale) che la risorsa i-esima sia vuota e quindi non sta lavorando). Tale probabilità è facilmente calcolabile tramite le probabilità congiunte. Per quanto riguarda la risorsa di lavorazione A si ha: e quindi: π 2 0) = π2, 0, 0, 0) + π0, 0, 2, 0) + π0, 0, 0, 2) + π, 0,, 0) + π, 0, 0, ) + π0, 0,, ) = 400 + 024 + 5625 + 640 + 500 + 2400 = = 589 0.634) ρ 2 = π 2 0) = 589 = 6680 Per quanto riguarda la risorsa di lavorazione B si ha: e quindi: 0.366) π 3 0) = π2, 0, 0, 0) + π0, 2, 0, 0) + π0, 0, 0, 2) + π,, 0, 0) + π, 0, 0, ) + π0,, 0, ) = 400 + 600 + 5625 + 800 + 500 + 3000 = = 2925 0.707) ρ 3 = π 3 0) = 2925 = 5344 0.293) Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 29

Domanda 3 La probabilità richiesta è π 2 2) = π0, 2, 0, 0) = 600 0.088) Domanda 4 Il throughput corrisponde al flusso che attraversa la risorsa di carico/scarico, cioè Si ha: e quindi: X = Λ = ρ m µ = [ π 0) ] µ essendo m = ) π 0) = π0, 2, 0, 0) + π0, 0, 2, 0) + π0, 0, 0, 2) + π0,,, 0) + π0,, 0, ) + π0, 0,, ) = = ρ = π 0) = Il throughput è: 600 + 024 + 5625 + 280 + 3000 + 2400 4929 = 3340 0.83) X = 3340 4 = 835 pezzi/minuto 0.046) che corrisponde a X = 60 Denning e Buzen 835 = 5000 pezzi/ora 2.742) = 4929 0.87) In questo caso, sia la risorsa di carico/scarico la risorsa 0. Si consideri quindi la corrispondenza 0 CS, A, 2 B e 3 Q. Determino i visit count, imponendo che dalla risorsa di carico/scarico si passa una e una sola volta. Si ha pertanto: v 0 = v = v 0 + 0.5 v 3 v 2 = 0.25 v + 0.2 v 3 v 3 = 0.75 v v 0 = v = + 0.5 v 3 v 2 = 0.25 v + 0.2 v 3 v 3 = 0.75 v v 3 = 0.75 + 0.5 v 3 ) = 0.75 + 0.375 v 3 0.625 v 3 = 0.75 v 3 =.2 v = + 0.5.2 = + 0.6 =.6 v 2 = 0.25.6 + 0.2.2 = 0.4 + 0.24 = 0.64 v 0 = v =.6 v 2 = 0.64 v 3 =.2 Inoltre, risulta: v 0 = µ 0 0.25 = 4 v =.6 µ 0.2 = 8 v 2 = 0.64 0. = 6.4 v 3 =.2 µ 3 0.08 = 5 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 30

Domanda Per determinare il numero medio di materiali nella risorsa di lavorazione A, costruisco la matrice Gi, j) attraverso la relazione ricorsiva Gi, j) = Gi, j) + v i µ i Gi, j ) con le dovute condizioni iniziali) con l accortezza di mettere in fondo la risorsa di cui voglio determinare le probabilità marginali. Si consideri pertanto la seguente tabella che contiene la matrice Gi, j). j = 0 j = j = 2 colonna 0 colonna colonna 2 CS 0 riga 0 4 6 B 2 riga 0.4 82.56 Q 3 riga 2 25.4 463.56 A riga 3 33.4 730.76 Attraverso gli elementi di questa matrice posso calcolare le probabilità marginali relative alla risorsa di lavorazione A l ultima elencata nella tabella). Si ha: π 0) = Pr{n = 0} = π ) = Pr{n = } = π 2) = Pr{n = 2} = v µ v µ v µ ) 0 ) ) 2 G2, 2) G3, 2) = 463.56 730.76 = 463.56 730.76 0.634 G2, ) G3, 2) = 8 25.4 730.76 = 203.2 730.76 0.278 G2, 0) G3, 2) = 64 730.76 = 64 730.76 0.088 Il numero medio di materiali nella risorsa di lavorazione A è pertanto: n = π ) + 2 π 2) = 0.278 + 2 0.088 = 0.454 In maniera analoga, per determinare il numero medio di materiali nella risorsa di lavorazione B, costruisco la matrice Gi, j), questa volta con l accortezza di mettere in fondo la risorsa di lavorazione B. Si consideri pertanto j = 0 j = j = 2 colonna 0 colonna colonna 2 CS 0 riga 0 4 6 A riga 2 2 Q 3 riga 2 27 57 B 2 riga 3 33.4 730.76 Le probabilità marginali relative alla risorsa di lavorazione B l ultima elencata nella tabella) sono: π 2 0) = Pr{n 2 = 0} = π 2 ) = Pr{n 2 = } = π 2 2) = Pr{n 2 = 2} = v2 v2 v2 ) 0 ) ) 2 G2, 2) G3, 2) = 57 730.76 = 57 730.76 0.708 G2, ) G3, 2) = 6.4 27 730.76 = 72.8 730.76 0.236 G2, 0) G3, 2) = 40.96 730.76 = 40.96 730.76 0.056 Il numero medio di materiali nella risorsa di lavorazione B è quindi: n 2 = π 2 ) + 2 π 2 2) = 0.236 + 2 0.056 = 0.348 Domanda 2 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 3

Dai conti appena fatti, è immediato concludere che: ρ = π 0) 0.634 0.366 ρ 2 = π 2 0) 0.708 0.292 Domanda 3 La probabilità richiesta è π 2) 0.088 Domanda 4 Il throughput del sistema si calcola in relazione alla stazione di carico/scarico corrisponde al flusso in ingresso/uscita a tale risorsa in condizioni di equilibrio stocastico). Tuttavia, con il metodo di Denning e Buzen, per il calcolo del throughput si può utilizzare una qualsiasi delle tabelle costruite, a prescindere da quale risorsa è stata messa nell ultima riga. Il throughput è infatti X = GN, K ) GN, K) = G3, ) G3, 2) cioè dipende dai valori dell ultima riga della matrice Gi, j). Ma l ultima riga è invariante rispetto alla sequenza con cui vengono considerate le risorse; per questo motivo si può utilizzare una qualsiasi delle tabelle già costruite intanto l ultima riga è sempre uguale). Si ha quindi: X = che corrisponde a X = 60 G3, ) G3, 2) = 33.4 0.046 pezzi/minuto 730.76 33.4 2.742 pezzi/ora 730.76 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 32

7.9 Un sistema di produzione è costituito da una stazione di carico/scarico CS ) e da due risorse di lavorazione M e M2 ). Tale sistema può essere modellato come una rete di code chiusa, come illustrato nella seguente figura. µ CS µ M µ M2 0.8 CS M M2 0.8 Tutte le risorse sono monoserver e nel sistema sono sempre presenti 3 materiali. Inoltre, le operazioni svolte dalle tre risorse hanno tempi distribuiti esponenzialmente caratterizzati dai seguenti valori: µ CS = 0.25 materiali/minuto µ M = µ CS µ M2 = 2 µ CS Si chiede di determinare:. i coefficienti di utilizzo delle tre risorse; 2. il numero medio di materiali su ciascuna delle due risorse di lavorazione; 3. il throughput del sistema espresso in materiali prodotti all ora. Risolvo attraverso il metodo di Denning e Buzen. Sia quindi la risorsa di carico/scarico la risorsa 0. Si consideri pertanto la corrispondenza 0 CS, M e 2 M2. Determino innanzitutto i visit count attraverso risolvendo il sistema lineare omogeneo definito dalla relazione v i = Si ha: 2 r j,i v j j=0 v 0 = 0.8 v 2 v = v 0 + 0.2 v v 2 = 0.8 v + 0.2 v 2 Esprimendo tutto in funzione di v 0 si ottiene: v 2 = 0.8 v 0 =.25 v 0 0.2)v 2 = 0.8 v v 2 = v v 2 =.25 v 0 Pongo v 0 = ottenendo i seguenti visit count: v 0 = v =.25 v 2 =.25 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 33

I tempi medi passati in servizio sono v 0 = µ 0 0.25 = 8 minuti v =.25 = 0 minuti µ 0.25 v 2 =.25 0.25 = 5 minuti Domanda Devo innanzitutto calcolare la probabilità di stato a regime per le tre risorse del sistema 0 CS, M e 2 M2). Costruisco quindi tre volte la matrice Gi, j) attraverso la relazione ricorsiva Gi, j) = Gi, j)+v i /µ i )Gi, j ), con le dovute condizioni iniziali), mettendo in fondo la prima volta la risorsa 0 CS), la seconda volta la risorsa M) e la terza volta la risorsa 2 M2). Pongo la risorsa 0 in fondo. j = 0 j = j = 2 j = 3 colonna 0 colonna colonna 2 colonna 3 M riga 0 0 00 000 M2 2 riga 5 75 875 CS 0 riga 2 23 359 4747 Si hanno le seguenti probabilità marginali relative alla risorsa 0 CS): ) 0 v0 G, 3) π 0 0) = Pr{n 0 = 0} = G2, 3) = 875 4747 = 875 4747 0.395 π 0 ) = Pr{n 0 = } = π 0 2) = Pr{n 0 = 2} = π 0 3) = Pr{n 0 = 3} = µ 0 v0 µ 0 v0 µ 0 v0 µ 0 ) ) 2 ) 3 Il coefficiente di utilizzo della stazione di carico/scarico è: ρ 0 = π 0 0) = 875 4747 = 2872 4747 0.605 Pongo la risorsa in fondo. G, 2) G2, 3) = 8 75 4747 = 400 4747 0.295 G, ) G2, 3) = 64 5 4747 = 960 4747 0.202 G, 0) G2, 3) = 52 4747 = 52 4747 0.08 j = 0 j = j = 2 j = 3 colonna 0 colonna colonna 2 colonna 3 M2 2 riga 0 5 25 25 CS 0 riga 3 29 57 M riga 2 23 359 4747 Si hanno le seguenti probabilità marginali relative alla risorsa M ): ) 0 v G, 3) π 0) = Pr{n = 0} = G2, 3) = 57 4747 = 57 4747 0.244 π ) = Pr{n = } = π 2) = Pr{n = 2} = π 3) = Pr{n = 3} = µ v µ v µ v µ ) ) 2 ) 3 G, 2) G2, 3) = 0 29 4747 = 290 4747 0.272 G, ) G2, 3) = 00 3 4747 = 300 4747 0.274 G, 0) G2, 3) = 000 4747 = 000 4747 0.20 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 34

Il coefficiente di utilizzo della risorsa di lavorazione M è: ρ = π 0) = 57 4747 = 3590 4747 0.756 Pongo la risorsa 2 in fondo. j = 0 j = j = 2 j = 3 colonna 0 colonna colonna 2 colonna 3 CS 0 riga 0 8 64 52 M riga 8 244 2952 M2 2 riga 2 23 359 4747 Si hanno le seguenti probabilità marginali relative alla risorsa 2 M 2): π 2 0) = Pr{n 2 = 0} = π 2 ) = Pr{n 2 = } = π 2 2) = Pr{n 2 = 2} = π 2 3) = Pr{n 2 = 3} = v2 v2 v2 v2 ) 0 ) ) 2 ) 3 Il coefficiente di utilizzo della risorsa di lavorazione M2 è: Domanda 2 ρ 2 = π 2 0) = 2952 4747 = 795 4747 0.378 G, 3) G2, 3) = 2952 4747 = 2952 4747 0.622 G, 2) G2, 3) = 5 244 4747 = 220 4747 0.257 G, ) G2, 3) = 25 8 4747 = 450 4747 0.095 G, 0) G2, 3) = 25 4747 = 25 4747 0.026 Il numero medio di materiali sulle risorse di lavorazione è dato da: n i = Si ha quindi: Domanda 3 3 j π i j) i =, 2 j=0 n = 0 57 4747 + 290 4747 + 2 300 4747 + 3 000 290 + 2600 + 3000 = = 6890 4747 4747 4747.45 n 2 = 0 2952 4747 + 220 4747 + 2 450 4747 + 3 25 220 + 900 + 375 = = 2495 4747 4747 4747 0.526 Il throughput è dato da: ovvero: X = X = 60 GN, K ) GN, K) = G2, 2) G2, 3) = 359 0.076 pezzi/minuto 4747 359 4747 = 2540 4.538 pezzi/ora 4747 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 35

7.0 Un sistema di produzione è costituito da una stazione di carico/scarico CS ) e da tre risorse di lavorazione M, M2 e M3 ). Tale sistema è modellato come una rete di code chiusa, come illustrato nella seguente figura. M µ M 0.4 CS µ CS 0.4 0.2 M2 µ M2 M3 µ M3 0.2 0.8 Tutte le risorse sono monoserver e nel sistema sono sempre presenti 3 materiali. Inoltre, le operazioni svolte dalle tre risorse hanno tempi distribuiti esponenzialmente con valori medi: /µ CS = 2 minuti risorsa CS) /µ M = 5 minuti risorsa M) /µ M2 = 0 minuti risorsa M2) /µ M3 = 4 minuti risorsa M3) Determinare:. i coefficienti di utilizzo delle macchine M e M2; 2. il numero medio di materiali presenti nella macchina M3; 3. il throughput del sistema espresso in termini di materiali prodotti dal sistema in un ora). Risolvo l esercizio sia facendo uso del teorema di Gordon-Newell che attraverso il metodo di Denning e Buzen. Gordon-Newell La dimensione dello spazio di stato numero di stati possibili) è ) ) ) N + k 4 + 3 6 6! S = = = = k 3 3 3!6 3)! = 6 5 4 3 2 3 2 3 2 = 20 Sia n i il numero di pezzi nel nodo i, i =, 2, 3, 4 si faccia riferimento alla corrispondenza CS, 2 M, 3 M2 e 4 M3). Gli stati possibili sono: n n 2 n 3 n 4 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 n n 2 n 3 n 4 0 2 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 36

Dovendo utilizzare la formula πn, n 2, n 3, n 4 ) = C N n x N i i β i= i n i ) = C n x i i i= per il calcolo della probabilità congiunta πn, n 2, n 3, n 4 ), è necessario determinare i valori x i, i =, 2, 3, 4 si noti che β i n i ) =, i, in quanto tutte le macchine sono monoserver). Per il calcolo dei valori x i, i =, 2, 3, 4, si risolve a meno di una costante arbitraria) il sistema lineare omogeneo N µ i x i = r j,i µ j x j j= in cui, sulla base della corrispondenza considerata, si ha µ = µ CS = 0.5, = µ M = 0.2, µ 3 = µ M2 = 0. e µ 4 = µ M3 = 0.25. Si ha: 0.5 x = 0.8 0.25 x 4 0.2 x 2 = 0.4 0.5 x 0. x 3 = 0.4 0.5 x 0.25 x 4 = 0.2 x 2 + 0. x 3 + 0.2 0.5 x + 0.4 0.25 x 4 Dovendo comunque risolvere il sistema a meno di una costante arbitraria, pongo per semplicità x CS = x =. Risulta pertanto x = 0.4 0.5 x 2 = = 0.2 0.4 0.5 x 3 = = 2 0. 0.5 x 4 = 0.8 0.25 = 2.5 [ N )] n Per il calcolo della costante di normalizzazione C = x i i si costruisce la seguente tabella. n S i= n n 2 n 3 n 4 n x n x 2 2 n x 3 3 n x 4 4 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 8 8 0 0 0 3 5.625 5.625 2 0 0 2 0 0 2 2 2 0 0 2.5 2.5 2 0 0 0 2 0 2 2 0 2 0 2.5 2.5 0 2 0 4 4 0 2 0 4 4 0 0 2 4 2.5 0 0 0 2 6.25 6.25 0 0 2 6.25 6.25 0 0 2 2 6.25 2.5 0 2 2 0 2.5 2.5 0 2 2.5 5 0 2 2.5 5 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 37

= + + 8 + 5.625 + + 2 + 2.5 + + 2 + 2.5 + 4 + 4 + 0 + 6.25 + 6.25 + 2.5 + 2 + 2.5 + 5 + 5 = 94.25 La costante di normalizzazione è: C = 94.25 Le probabilità di stato sono: π3, 0, 0, 0) = 94.25 0.0 π0, 3, 0, 0) = 94.25 0.0 π0, 0, 3, 0) = 8 94.25 0.085 π0, 0, 0, 3) = 5.625 94.25 0.66 π2,, 0, 0) = 94.25 0.0 π2, 0,, 0) = 2 94.25 0.02 π2, 0, 0, ) = 2.5 94.25 0.027 π, 2, 0, 0) = 94.25 0.0 π0, 2,, 0) = 2 94.25 0.02 π0, 2, 0, ) = 2.5 94.25 0.027 π, 0, 2, 0) = 4 94.25 0.042 π0,, 2, 0) = 4 94.25 0.042 π0, 0, 2, ) = 0 94.25 0.06 π, 0, 0, 2) = 6.25 94.25 0.066 π0,, 0, 2) = 6.25 94.25 0.066 π0, 0,, 2) = 2.5 94.25 0.33 π,,, 0) = 2 94.25 0.02 π,, 0, ) = 2.5 94.25 0.027 π, 0,, ) = 5 94.25 0.053 π0,,, ) = 5 94.25 0.053 A questo punto, avendo a disposizione tali probabilità di stato a regime), è possibile rispondere alle domande. Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 38

Domanda Per quanto riguarda la macchina M, il coefficiente di utilizzo è dato da: ρ M = ρ 2 = π 2 0) dove π 2 0) la probabilità marginale) che la macchina M sia vuota e quindi non sta lavorando). E possibile calcolare tale probabilità attravewrso le probabilità congiunte. Si ha infatti: e quindi: π 2 0) = π3, 0, 0, 0) + π0, 0, 3, 0) + π0, 0, 0, 3) + π2, 0,, 0) + π2, 0, 0, )+ + π, 0, 2, 0) + π0, 0, 2, ) + π, 0, 0, 2) + π0, 0,, 2) + π, 0,, ) = = 0.0 + 0.085 + 0.66 + 0.02 + 0.027 + 0.042 + 0.06 + 0.066 + 0.33 + 0.053 = 0.70 ρ 2 = π 2 0) = 0.70 = 0.290 Analogamente, per quanto riguarda la macchina M 2, si ha: ρ M2 = ρ 3 = π 3 0) dove π 3 0) la probabilità marginale) che la macchina M2 sia vuota e quindi non sta lavorando). In questo caso si ha: e quindi: π 3 0) = π3, 0, 0, 0) + π0, 3, 0, 0) + π0, 0, 0, 3) + π2,, 0, 0) + π2, 0, 0, )+ + π, 2, 0, 0) + π0, 2, 0, ) + π, 0, 0, 2) + π0,, 0, 2) + π,, 0, ) = = 0.0 + 0.0 + 0.66 + 0.0 + 0.027 + 0.0 + 0.027 + 0.066 + 0.066 + 0.027 = 0.423 ρ 3 = π 3 0) = 0.423 = 0.577 Domanda 2 Per quanto riguarda la risorsa di lavorazione M3, il numero medio di materiali è dato da: n M3 = n 4 = π 4 ) + 2 π 4 2) + 3 π 4 3) dove π 4 n) è la probabilità marginale) che vi siano a regime) n materiali pallet) nella macchina M3 che quella con i = 4). Le probabilità marginali appena considerate sono facilmente determinabili attraverso le probabilità congiunte. Si ha infatti: Quindi: π 4 ) = π2, 0, 0, ) + π0, 2, 0, ) + π0, 0, 2, ) + π,, 0, ) + π, 0,, ) + π0,,, ) = = 0.027 + 0.027 + 0.06 + 0.027 + 0.053 + 0.053 = 0.293 π 4 2) = π, 0, 0, 2) + π0,, 0, 2) + π0, 0,, 2) = 0.066 + 0.066 + 0.33 = 0.265 π 4 3) = π0, 0, 0, 3) = 0.66 n 4 = 0.293 + 2 0.265 + 3 0.66 =.32 Domanda 3 Il throughput è da intendersi come il flusso che attraversa la risorsa di carico/scarico, cioè X = Λ CS = Λ = ρ m µ = [ π 0) ] µ essendo m = ) Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 39

Si ha: π 0) = π0, 3, 0, 0) + π0, 0, 3, 0) + π0, 0, 0, 3) + π0, 2,, 0) + π0, 2, 0, )+ + π0,, 2, 0) + π0, 0, 2, ) + π0,, 0, 2) + π0, 0,, 2) + π0,,, ) = = 0.0 + 0.085 + 0.66 + 0.02 + 0.027 + 0.042 + 0.06 + 0.066 + 0.33 + 0.053 = 0.70 Pertanto: X = 0.70) 0.5 = 0.45 pezzi/minuto 8.685 pezzi/ora) Denning e Buzen In questo caso, si usa considerare la risorsa di carico/scarico come la risorsa 0. Si consideri pertanto la corrispondenza 0 CS, M, 2 M2 e 3 M3. Determino i visit count, imponendo che dalla risorsa di carico/scarico si passa una e una sola volta. Si ha pertanto: v 0 = 0.8 v 3 = v = 0.4 v 0 v 2 = 0.4 v 0 v 3 = v + v 2 + 0.2 v + 0.2 v 3 v 0 = v = 0.4 v 2 = 0.4 v 3 =.25 I tempi medi passati in servizio nei nodi della rete di code chiusa sono: x CS = x 0 = v 0 = µ 0 0.5 = 2 = 2 x M = x = v µ = 0.4 0.2 = 0.4 5 = 2 x M2 = x 2 = v 2 = 0.4 = 0.4 0 = 4 0. x M3 = x 3 = v 3 µ 3 =.25 0.25 =.25 4 = 5 Per rispondere alle domande, determino le probabilità marginali relative alle 3 macchine del sistema. Costruisco quindi tre tabelle Gi, j) attraverso la relazione ricorsiva Gi, j) = Gi, j) + v i µ i Gi, j ) con le dovute condizioni iniziali) mettendo ogni volta nell ultima riga la macchina della quale voglio determinare le probabilità marginali. Si ha pertanto: Tabella per la determinazione delle probabilità marginali della macchina M j = 0 j = j = 2 j = 3 colonna 0 colonna colonna 2 colonna 3 CS 0 riga 0 2 4 8 M2 2 riga 6 28 20 M3 3 riga 2 83 535 M riga 3 3 09 753 Da questa tabella si ricava: Pr{n M = 0} = Pr{n = 0} = π 0) = v µ ) 0 G2, 3) G3, 3) = 535 753 = 535 753 0.70 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 40

Pr{n M = } = Pr{n = } = π ) = Pr{n M = 2} = Pr{n = 2} = π 2) = Pr{n M = 3} = Pr{n = 3} = π 3) = v µ v µ v µ ) ) 2 ) 3 G2, 2) G3, 3) = 2 83 753 = 66 753 0.22 G2, ) G3, 3) = 4 753 = 44 753 0.058 G2, 0) G3, 3) = 8 753 = 8 753 0.0 Tabella per la determinazione delle probabilità marginali della macchina M 2 j = 0 j = j = 2 j = 3 colonna 0 colonna colonna 2 colonna 3 CS 0 riga 0 2 4 8 M3 3 riga 7 39 203 M riga 2 9 57 37 M2 2 riga 3 3 09 753 Da questa tabella si ricava: Pr{n M2 = 0} = Pr{n 2 = 0} = π 2 0) = Pr{n M2 = } = Pr{n 2 = } = π 2 ) = Pr{n M2 = 2} = Pr{n 2 = 2} = π 2 2) = Pr{n M2 = 3} = Pr{n 2 = 3} = π 2 3) = v2 v2 v2 v2 ) 0 ) ) 2 ) 3 G2, 3) G3, 3) = 37 753 = 37 753 0.42 G2, 2) G3, 3) = 4 57 753 = 228 753 0.303 Tabella per la determinazione delle probabilità marginali della macchina M 3 j = 0 j = j = 2 j = 3 colonna 0 colonna colonna 2 colonna 3 CS 0 riga 0 2 4 8 M riga 4 2 32 M2 2 riga 2 8 44 208 M3 3 riga 3 3 09 753 Da questa tabella si ricava: Domanda Pr{n M3 = 0} = Pr{n 3 = 0} = π 3 0) = Pr{n M3 = } = Pr{n 3 = } = π 3 ) = Pr{n M3 = 2} = Pr{n 3 = 2} = π 3 2) = Pr{n M3 = 3} = Pr{n 3 = 3} = π 3 3) = Il coefficiente di utilizzo della macchina M è v3 µ 3 v3 µ 3 v3 µ 3 v3 ρ M = ρ = π 0) = 0.290 = 0.70 Il coefficiente di utilizzo della macchina M2 è ρ M2 = ρ 2 = π 2 0) = 0.42 = 0.579 µ 3 ) 0 ) ) 2 ) 3 G2, ) G3, 3) = 6 9 753 = 44 753 0.9 G2, 0) G3, 3) = 64 753 = 64 753 0.085 G2, 3) G3, 3) = 208 753 = 208 753 0.276 G2, 2) G3, 3) = 5 44 753 = 220 753 0.292 G2, ) G3, 3) = 25 8 753 = 200 753 0.266 G2, 0) G3, 3) = 25 753 = 25 753 0.66 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 4

Domanda 2 Il numero medio di materiali nella macchina M3 è n M3 = n 3 = π 3 ) + 2 π 3 2) + 3 π 3 3) = 0.292 + 2 0.266 + 3 0.66 = = 0.292 + 0.532 + 0.498 =.322 Domanda 3 Il throughput è X = GN, K ) GN, K) = G3, 2) G3, 3) = 09 0.45 pezzi/minuto 8.685 pezzi/ora) 753 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 42

7. Un sistema manifatturiero di compone di: a) una risorsa di lavorazione; b) una stazione di verifica della qualità che, dopo la verifica invia nuovamente alla stazione di lavorazione il 0% dei pezzi che riceve; c) una stazione di carico/scarico utilizzata per scaricare i prodotti finiti dal pallet su cui si trovano e per caricare su pallet i componenti di base necessari per la lavorazione. Tutte le operazioni hanno tempi distribuiti esponenzialmente con valori medi /µ a = 0.5 minuti per la risorsa di lavorazione, /µ b = 0. minuti per la stazione di verifica e /µ c = 0.333 minuti per la stazione di carico/scarico. I pezzi nel sistema si muovono solo su pallet e nel sistema sono sempre presenti 2 pallet. Tutte le risorse sono monoserver. Modellare il sistema come una rete di code chiusa e determinare:. il numero medio di pezzi pallet) presenti su ogni macchina; 2. la probabilità che entrambi i pallet siano in fase di lavorazione. La rete di code chiusa che rappresenta il sistema consiste di 3 nodi. Siano: nodo 0 stazione di carico/scarico CS); nodo risorsa di lavorazione M); nodo 2 stazione di verifica V ). Graficamente, la rete di code chiusa è: M µ CS µ 0 V 0. 0.9 Domanda Per determinare il numero medio di pezzi pallet) presenti su ogni macchina del sistema, determino innanzitutto i visit count di ciascun nodo della rete di code risolvendo il sistema 2 v i = r j,i v j i = 0,, 2 j=0 Si ha: v 0 = 0.9 v 2 v = v 0 + 0. v 2 v 2 = v Risolvo lasciando indicato v 0 ovvero il visit count della stazione di carico/scarico): v 2 = 0.9 v 0 = 0 9 v 0 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 43

v = v 2 = 0 9 v 0 Impongo v 0 = ottenendo: v 0 = v = 0 9 v 2 = 0 9 Da questi valori ottengo: v 0 = µ 0 3 = 3 v = 0 µ 9 2 = 5 9 v 2 = 0 9 0 = 9 Al fine di determinare le probabilità di stato a regime, calcolo le matrici Gi, j). Essendo tutte le risorse monoserver, posso utilizzare la relazione ricorsiva semplificata Gi, j) = Gi, j) + v i /µ i ) Gi, j ). Per trovare il numero medio di pezzi pallet) nella stazione di carico/scarico, costruisco la matrice mettendo come ultima riga quella relativa al nodo 0. Si ha quindi: j = 0 j = j = 2 colonna 0 colonna colonna 2 5 25 M riga 0 9 8 2 3 V 2 riga 3 8 58 CS 0 riga 2 8 Attraverso questa matrice posso calcolare le probabilità di stato a regime relative al nodo 0. Si ha: ) 0 3 v0 G, 2) Pr{n CS = 0} = Pr{n 0 = 0} = π 0 0) = G2, 2) = 8 = 3 58 0.535 Pr{n CS = } = Pr{n 0 = } = π 0 ) = Pr{n CS = 2} = Pr{n 0 = 2} = π 0 2) = µ 0 v0 µ 0 v0 µ 0 ) ) 2 Il numero medio di pezzi nella stazione di carico/scarico è: n 0 = 0 3 58 + 8 58 + 2 9 58 = 36 58 = 8 29 0.62 G, ) G2, 2) = 3 G, 0) G2, 2) = 9 58 8 2 3 58 8 58 8 = 8 58 0.30 = 9 58 0.55 Per trovare il numero medio di pezzi pallet) nella risorsa di lavorazione, costruisco la matrice mettendo come ultima riga quella relativa al nodo. Si ha quindi: j = 0 j = j = 2 colonna 0 colonna colonna 2 V 2 riga 0 9 8 4 3 CS 0 riga 9 8 58 M riga 2 8 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 44

Attraverso questa matrice posso calcolare le probabilità di stato a regime relative al nodo. Si ha: Pr{n M = 0} = Pr{n = 0} = π 0) = Pr{n M = } = Pr{n = } = π ) = Pr{n M = 2} = Pr{n = 2} = π 2) = v µ v µ v Il numero medio di pezzi nella risorsa di lavorazione è: µ ) 0 3 G, 2) G2, 2) = 8 ) ) 2 n = 0 3 58 + 20 58 + 2 25 58 = 70 58 = 35 29.207 G, ) G2, 2) = 5 9 58 8 G, 0) G2, 2) = 25 8 4 9 58 8 58 8 = 3 58 0.224 = 20 58 0.345 = 25 58 0.43 Per trovare il numero medio di pezzi pallet) nella stazione di verifica, costruisco la matrice mettendo come ultima riga quella relativa al nodo 2. Si ha quindi: j = 0 j = j = 2 colonna 0 colonna colonna 2 CS 0 riga 0 3 9 8 49 M riga 9 8 58 V 2 riga 2 8 Attraverso questa matrice posso calcolare le probabilità di stato a regime relative al nodo 2. Si ha: Pr{n V = 0} = Pr{n 2 = 0} = π 2 0) = Pr{n V = } = Pr{n 2 = } = π 2 ) = Pr{n V = 2} = Pr{n 2 = 2} = π 2 2) = v2 v2 v2 Il numero medio di pezzi nella stazione di verifica è: Domanda 2 ) 0 49 G, 2) G2, 2) = 8 ) ) 2 n = 0 49 58 + 8 58 + 2 58 = 0 58 = 5 29 0.72 G, ) G2, 2) = 9 58 8 G, 0) G2, 2) = 8 8 9 58 8 58 8 = 49 58 0.845 = 8 58 0.38 = 58 0.07 La probabilità che entrambi i pallet siano in lavorazione corrisponde a Pr{n M = 2}, cioè alla probabilità di avere due clienti nel nodo. In base a quanto calcolato in precedenza, la probabilità richiesta è: Pr{n M = 2} = π 2) = 25 58 0.43 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 45

7.2 Un sistema di produzione è costituito da una stazione di carico/scarico CS ), da due macchine di lavorazione M e M2 ) e da una risorsa per il controllo della qualità CQ ). I materiali entrano nel sistema attraverso la stazione di carico/scarico CS. Un materiale che entra nel sistema viene processato dalla macchina M con probabilità 0.6 e dalla macchina M2 con probabilità 0.4. I materiali che vengono processati dalla risorsa M subiscono, al termine della lavorazione, un controllo della qualità dalla risorsa CQ. Il 20% dei materiali che subiscono il controllo della qualità vengono reinstradati alla macchina M2, mentre la restante parte esce dal sistema attraverso la stazione di carico/scarico). Invece, tutti i materiali che vengono processati dalla risorsa M2, al termine della lavorazione, escono dal sistema sempre attraverso la stazione CS). Tutte le risorse sono monoserver e nel sistema sono sempre presenti 3 materiali. Inoltre, le operazioni svolte dalle tre risorse hanno tempi distribuiti esponenzialmente con valori medi: /µ CS = 4 minuti risorsa CS) /µ M = 6 minuti risorsa M) /µ M2 = 0 minuti risorsa M2) /µ CQ = 2 minuti risorsa CQ) Modellare il sistema descritto con una rete di code chiusa e determinare:. i coefficienti di utilizzo delle due macchine M e M2; 2. il numero medio di materiali presenti nella macchina M; 3. il numero medio di materiali presenti nella macchina M2; 4. il throughput del sistema espresso in termini di materiali prodotti dal sistema in un ora). La rete di code chiusa è: M µ M CQ µ CQ 0.8 CS µ CS 0.6 0.2 0.4 M2 µ M2 Volendo risolvere il problema con il metodo di Denning e Buzen, determino innanzitutto i visit count. A tale proposito, si consideri la corrispondenza nodo 0 CS, nodo M, nodo 2 M2 e nodo 3 CQ. Si ha: v 0 = 0.8 v 3 + v 2 v = 0.6 v 0 v 2 = 0.4 v 0 + 0.2 v 3 v 3 = v v 2 = 0.4 v 0 + 0.2 0.6 v 0 = 0.52 v 0 v 3 = 0.6 v 0 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 46

Pongo v 0 = e ottengo v 0 = v = 0.6 v 2 = 0.52 v 3 = 0.6 I tempi medi passati in servizio nei nodi sono: x CS = x 0 = v 0 = 4 = 4 minuti µ 0 x M = x = v = 0.6 6 = 3.6 minuti µ Domanda x M2 = x 2 = v 2 = 0.52 0 = 5.2 minuti x CQ = x 3 = v 3 µ 3 = 0.6 2 =.2 minuti Devo calcolare la probabilità marginali) di stato a regime per le risorse M e M2. Calcolo, due volte, la matrice Gi, j) attraverso la relazione ricorsiva Gi, j) = Gi, j) + v i /µ i ) Gi, j ), con le dovute condizioni iniziali), mettendo in fondo la prima volta la risorsa M) e la seconda volta la risorsa 2 M2). Determinazione delle probabilità marginali della macchina M. j = 0 j = j = 2 j = 3 colonna 0 colonna colonna 2 colonna 3 CS 0 riga 0 4 6 64 M2 2 riga 9.2 63.84 395.968 CQ 3 riga 2 0.4 76.32 487.552 M riga 3 4 26.72 943.744 Da questa tabella si ricava: Pr{n M = 0} = Pr{n = 0} = π 0) = Pr{n M = } = Pr{n = } = π ) = Pr{n M = 2} = Pr{n = 2} = π 2) = Pr{n M = 3} = Pr{n = 3} = π 3) = Il coefficiente di utilizzo della macchina M è v µ v µ v µ v ρ M = ρ = π 0) = 0.57 = 0.483 µ ) 0 ) ) 2 ) 3 G2, 3) G3, 3) = 487.552 943.744 = 487.552 943.744 0.57 G2, 2) G3, 3) = 3.6 76.32 943.744 = 274.752 943.744 0.29 G2, ) G3, 3) = 2.96 0.4 943.744 = 34.784 943.744 0.43 G2, 0) G3, 3) = 46.656 943.744 = 46.656 943.744 0.049 Determinazione delle probabilità marginali della macchina M 2. j = 0 j = j = 2 j = 3 colonna 0 colonna colonna 2 colonna 3 CS 0 riga 0 4 6 64 M riga 7.6 43,36 220.096 CQ 3 riga 2 8.8 53,92 284,8 M2 2 riga 3 4 26.72 943.744 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 47

Da questa tabella si ricava: Pr{n M2 = 0} = Pr{n 2 = 0} = π 2 0) = Pr{n M2 = } = Pr{n 2 = } = π 2 ) = Pr{n M2 = 2} = Pr{n 2 = 2} = π 2 2) = Pr{n M2 = 3} = Pr{n 2 = 3} = π 2 3) = Il coefficiente di utilizzo della macchina M è v2 v2 v2 v2 ρ M2 = ρ 2 = π 2 0) = 0.302 = 0.698 ) 0 ) ) 2 ) 3 G2, 3) G3, 3) = 284, 8 943.744 = 284, 8 943.744 0.302 G2, 2) G3, 3) = 5.2 53, 92 943.744 = 280.384 943.744 0.297 G2, ) G3, 3) = 27.04 8.8 943.744 = 237.952 943.744 0.252 G2, 0) G3, 3) = 40.608 943.744 = 40.608 943.744 0.49 Domanda 2 Il numero medio di materiali presenti nella macchia M è n M = n = 0 π 0) + π ) + 2 π 2) + 3 π 3) = = 0 0.57 + 0.29 + 2 0.43 + 3 0.049 = 0.29 + 0.286 + 0.47 = 0.724 Domanda 3 Il numero medio di materiali presenti nella macchia M2 è n M2 = n 2 = 0 π 2 0) + π 2 ) + 2 π 2 2) + 3 π 2 3) = = 0 0.302 + 0.297 + 2 0.252 + 3 0.49 = 0.297 + 0.504 + 0.447 =.248 Domanda 4 Il throughput è X = GN, K ) GN, K) = G3, 2) G3, 3) = 26.72 0.34 pezzi/minuto 943.744 In un ora vengono prodotti 60 26.72 = 8.056 pezzi. 943.744 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 48

7.3 Si consideri la rete di code chiusa rappresentata in figura, in cui circolano n clienti. Ogni sistema a coda dispone di un unico server. I tempi di servizio alle due code sono distribuiti in modo esponenziale con parametri µ e. Si valutino le probabilità di stato a regime. µ Non essendo specificata la presenza di una risorsa di carico/scarico, ne consideriamo una virtuale collocata a monte della risorsa e quindi a valle della risorsa 2), come illustrato nella seguente figura. µ 0 µ Sia tale risorsa il nodo 0 della rete di code. Essendo tale risorsa fittizia, si ipotizza µ 0 = +. Data la struttura della rete di code chiusa, è evidente che i visit count sono v 0 = v = v 2 = I tempi medi passati nei nodi sono di conseguenza: x = v 0 = µ 0 + = 0 x = v = µ µ x 2 = v 2 = Utilizzando il metodo di Denning e Buzen, costruiamo la tabella Gi, j) attraverso la relazione ricorsiva Gi, j) = Gi, j) + v i µ i Gi, j ) inizializzata da Gi, 0) = i e da G0, j) = Si ha: v0 µ 0 ) j j. j = 0 j = j = 2 j = 3 j = n colonna 0 colonna colonna 2 colonna 3 colonna n 0 riga 0 0 0 0 0 riga µ µ 2 µ 3 µ n 2 riga 2 G2, ) G2, 2) G2, 3) G2, n) Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 49

con: e quindi G2, ) = + = µ + µ µ G2, 2) = µ 2 + + ) µ µ G2, 3) = µ 3 + µ µ 2 + µ + 2 = µ 2 + µ + G2, n) = µ n + µ n +... + µ n + n µ n n = ) µ 2 = µ 2 2 + µ + 2 µ 2 2 = µ 3 + + µ µ 2 + 2 µ 3 = µ 3 + + µ 3 2 + 2 µ 3 µ 3 2 n µ n j j j=0 µ n n Attraverso la matrice Gi, j) determino le probabilità di stato a regime. Si ha: π 2 0) = Pr{n 2 = 0} = v2 ) 0 G, n) G2, n) = µ n µ n n n µ n j j j=0 = n n µ n j j j=0 π 2 ) = Pr{n 2 = } = π 2 2) = Pr{n 2 = 2} = v2 v2 ) ) 2 G, n ) G2, n) G, n 2) G2, n) = µ n = µ 2 2 µ n 2 µ n n n µ n j j j=0 µ n n n µ n j j j=0 = µ n n µ n j j j=0 = µ 2 n 2 n µ n j j j=0. π 2 k) = Pr{n 2 = k} = v2 ) k G, n k) G2, n) = µ k 2 µ n k µ n n n µ n j j j=0 = µ k n k n µ n j j j=0. π 2 n) = Pr{n 2 = n} = v2 ) n G, n 2) G2, n) Con lo stesso procedimento, si può dimostrare che = µ n µ n n 2 n µ n j j j=0 = µ n n µ n j j j=0 π h) = Pr{n = h} = µ n h h n µ n j j j=0 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 20/202 50