Modelli e Metodi per l Automazione

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1 Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Facoltà di Ingegneria Anno Accademico 2011/2012 ESEMPI ED ESERCIZI CATENE DI MARKOV

2 5.1 Si consideri un sistema di produzione costituito da un unica macchina multiserver (con 2 server) che processa generici pezzi (tutti dello stesso tipo). Il sistema ha le seguenti caratteristiche: i 2 server lavorano in parallelo; in un singolo intervallo di tempo arriva al più un pezzo da lavorare; un pezzo arriva, nel generico intervallo di tempo, con probabilità α; se entrambi i server sono liberi, il pezzo viene lavorato dal server 1; se entrambi i server sono occupati, un pezzo in arrivo viene scartato; se, in un certo intervallo di tempo, un server sta lavorando un pezzo, ha probabilità β di completare la lavorazione; se un pezzo in arrivo trova entrambi i server occupati ma uno dei due server completa la propria lavorazione, allora il pezzo in arrivo viene messo in lavorazione. Si modelli il sistema come una catena di Markov a tempo discreto (DTMC) e si determini: 1. la probabilità che il sistema sia vuoto in k = 3; 2. la probabilità che, in k = 3, non vi siano job che terminano; 3. la probabilità che il sistema rimanga vuoto nel passaggio da k = 1 a k = 2; 4. il vettore di probabilità di stato stazionario (se esiste). Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 2011/2012 2

3 5.2 Un sistema di produzione consiste di una sola macchina, che è soggetta a due diverse tipologie di guasti; quando sta lavorando, con probabilità p 1 può subire un guasto di tipo 1, con probabilità p 2 può subire un guasto di tipo 2 e con probabilità (1 p 1 p 2 ) può continuare a lavorare. Quando invece è inattiva a causa di un guasto di tipo i, la probabilità che sia riparata e riprenda a lavorare è r i, i = 1, 2. Si determini la catena di Markov che modella questo sistema. Inoltre, supponendo che il tasso di produzione della macchina sia 1 quando è attiva e 0 quando è guasta, calcolare il tasso di produzione a regime. Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 2011/2012 3

4 5.3 Un sistema di produzione consta di 3 macchine; quotidianamente, ogni macchina si guasta con probabilità p, indipendentemente dallo stato delle altre macchine. Alla fine di ogni giornata, le macchine guaste sono affidate ad un tecnico riparatore, che può lavorare su una macchina alla volta; se all inizio di una giornata il riparatore ha una o più macchine guaste da riparare, entro la fine della medesima giornata ne riconsegnerà una aggiustata. Assumendo come stato del sistema il numero x n di macchine operative alla fine del giorno n, cioè all inizio del giorno n + 1, inclusi eventuali guasti e riparazioni avvenuti durante quel giorno, si modelli il sistema con una catena di Markov a tempo discreto. Determinare, nel caso in cui p = 0.25, la percentuale di giorni che comincia con j macchine operative, j = 0, 1, 2, 3, e il numero medio di macchine operative all inizio di una tipica giornata. Inoltre, se una macchina operativa allinizio di una giornata induce un ricavo r a fronte di un costo c di riparazione, calcolare il profitto giornaliero. Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 2011/2012 4

5 5.4 Un certo tipo di componente di una macchina viene di solito sostituito ogni 5 settimane, ma talvolta è necessario sostituirlo prima. In pratica, è stato stimato che: il 10% dei componenti viene rimpiazzato alla fine della prima settimana; il 15% dei componenti vecchi di una settimana sono rimpiazzati alla fine della seconda settimana; il 35% dei componenti vecchi di 2 settimane sono sostituiti alla fine della terza settimana; il 40% dei componenti vecchi di 3 settimane sono sostituiti alla fine della quarta settimana. Determinare la matrice delle probabilità di transizione P della catena di Markov a tempo discreto che modella il processo descritto; ricavare la distribuzione dell età di un componente dopo che il sistema ha funzionato per un lungo tempo. Se un componente è vecchio di k settimane, k = 0, 1, 2, 3, 4, quanto tempo passerà mediamente prima che venga sostituito? Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 2011/2012 5

6 5.5 Un magazzino decentralizzato di un sistema di produzione distribuito riceve materiali da due centri di produzione (A e B) e invia gli stessi a un terzo centro di produzione (C), come indicato in figura. A B Magazzino C A e B inviano sempre al magazzino un materiale alla volta e ciascuno di essi può mandare al più un materiale al giorno. Analogamente, C preleva sempre dal magazzino un materiale alla volta e può prelevare al più un materiale al giorno. Un arrivo di materiale nel magazzino (indipendentemente dal centro di produzione che lo ha inviato) ha probabilità p di accadere nell arco di una giornata, mentre un materiale presente nel magazzino ha probabilità q di partire nell arco di una giornata. Nel caso in cui nella stessa giornata si ha sia un arrivo (o più arrivi) che una partenza, allora si suppone che la partenza avvenga sempre dopo l arrivo (o gli arrivi). Nel caso in cui il materiale o i materiali in arrivo non trovano posto nel magazzino allora essi vengono immediatamente scartati. Sapendo che il magazzino può ospitare al massimo 3 materiali, e che all inizio il magazzino è vuoto, modellare la dinamica dello stato del magazzino come una catena di Markov omogenea a tempo discreto (DTMC) e, una volta fissati p = 0.4 e q = 0.6, determinare: 1. la probabilità che il magazzino rimanga vuoto nei primi 2 giorni di attività; 2. la probabilità che il magazzino sia pieno dopo 3 giorni di attività; 3. la percentuale di giorni che cominciano con j, j = 0, 1, 2, 3, materiali immagazzinati; 4. il numero medio di materiali presenti nel magazzino in ogni giornata. Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 2011/2012 6

7 5.6 Una macchina produttiva con il passare del tempo si deteriora fino a diventare inutilizzabile. Si supponga di avere una macchina produttiva che, al termine di ogni ciclo produttivo della durata di una settimana, può trovarsi in uno dei seguenti stati di deterioramento: macchina nuova ; macchina usata ; macchina deteriorata ; macchina guasta ; Una macchina appena comprata (oppure appena riparata) si può considerare nuova per due cicli produttivi dopo di che diventa usata. Una macchina usata ha probabilità 0.2 di diventare, al termine del ciclo produttivo, deteriorata. Una macchina deteriorata ha probabilità 0.4 di diventare, al termine del ciclo produttivo, guasta. Una macchina guasta può essere utilizzata ancora per un ciclo produttivo dopo di che è necessario riparare la macchina o comprarne una nuova (è equivalente ed il risultato è comunque quello di avere una macchina nuova ). Si modelli il sistema con una DTMC (catena di Markov a tempo discreto) omogenea e, supponendo che all inizio la macchina sia appena stata comprata, si determini: 1. la probabilità che la macchina sia deteriorata dopo 1 mese di funzionamento; 2. la probabilità, a regime, di dovere riparare la macchina o comprarne una nuova; 3. il costo medio giornaliero per la manutenzione a regime ipotizzando che, al termine di ogni ciclo produttivo, una macchina usata richieda la spesa di 100 euro, una macchina deteriorata richieda la spesa di 180 euro e, infine, una macchina nuova richieda la spesa di 420 euro. 4. qual è il risparmio medio giornaliero nel caso in cui la macchina, quando è appena comprata o appena riparata, rimane nuova per quattro cicli produttivi invece che due? Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 2011/2012 7

8 5.7 Un sistema di produzione è composto da una sola macchina che processa tre categorie di prodotti. Si assume che ogni lavorazione abbia durata pari ad una unità temporale e che la macchina possa operare in due diverse modalità: con una sequenza di lavorazione prefissata che prevede una prima lavorazione per la prima classe di prodotti, quindi una seconda lavorazione per la seconda classe di prodotti e, infine, una terza lavorazione sulla terza classe di prodotti; con una sequenza di lavorazione definita in modo probabilistico secondo cui, al termine di ogni lavorazione, viene scelta la lavorazione successiva; in particolare, sia p i, i = 1, 2, 3, la probabilità con cui viene scelta la i-esima tipologia di prodotto (ovviamente p 1 + p 2 + p 3 = 1). Si modellino entrambe le situazioni con catene di Markov a tempo discreto (DTMC) omogenee, in cui lo stato rappresenti la classe di prodotto in lavorazione in ogni unità di tempo e si valuti, in entrambi i casi, il throughput per le tre classi di prodotti. Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 2011/2012 8

9 5.8 Una risorsa produttiva è in grado di eseguire operazioni di tipo a e operazioni di tipo b. La risorsa esegue, nell arco di una stessa giornata, sempre la stessa operazione. Il giorno successivo, invece, potrà eseguire la stessa operazione del giorno precedente oppure l altra operazione, secondo la seguente regola: se in un certo giorno la risorsa ha eseguito a, la probabilità di eseguire a anche il giorno successivo è p a ; se in un certo giorno la risorsa ha eseguito b, la probabilità di eseguire b anche il giorno successivo è p b. Inoltre, la risorsa può guastarsi. In particolare, la risorsa ha probabilità q a di guastarsi dopo aver eseguito una operazione di tipo a e probabilità q b di guastarsi dopo aver eseguito una operazione di tipo b. Inoltre, una volta guastatasi, la risorsa rimane inattiva per due giorni, dopodiché viene impostata per l esecuzione di una operazione di tipo a. Si modelli il sistema con una DTMC (catena di Markov a tempo discreto) omogenea. Inoltre, supponendo che, nel primo giorno di funzionamento, la macchina esegua una operazione di tipo b, e fissati p a = 0.5, p b = 0.4, q a = 0.1 e q b = 0.2, si determini: 1. la probabilità che la macchina sia funzionante dopo 1 settimana (pari a 5 giorni) di funzionamento; 2. la percentuale di giorni in cui è stata eseguita l operazione a ; 3. la percentuale di giorni in cui è stata eseguita l operazione b ; 4. il costo mensile medio dovuto al non funzionamento della macchina sapendo che ogni giorno in cui la macchina è guasta costa all azienda 120 euro (si supponga 1 mese costituito da 20 giorni). Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 2011/2012 9

10 5.9 Un impianto manifatturiero è in grado di realizzare quattro tipologie di prodotti: A, B, C e D. considerino le due seguenti situazioni: 1. non esiste una sequenza di lavorazione prefissata ma in ogni caso le lavorazioni seguono la seguente regola: dopo la realizzazione di un prodotto A, con probabilità p si procede alla realizzazione di un prodotto di tipo B, mentre con probabilità (1 p) si realizza nuovamente un prodotto di tipo A; dopo la realizzazione di un prodotto B, con probabilità p si procede alla realizzazione di un prodotto di tipo C, mentre con probabilità (1 p) si realizza nuovamente un prodotto di tipo B; dopo la realizzazione di un prodotto C, con probabilità (1 p) si procede alla realizzazione di un prodotto di tipo D, mentre con probabilità p si realizza nuovamente un prodotto di tipo C; dopo la realizzazione di un prodotto D, con probabilità (1 p) si procede alla realizzazione di un prodotto di tipo A, mentre con probabilità p si realizza nuovamente un prodotto di tipo D; 2. si esegue sempre la sequenza di lavorazione AABBCCDDAABB... Tutte le lavorazioni hanno una durata fissa uguale a 1 ora. Si supponga inoltre che nello stato iniziale l impianto manifatturiero sia impostato sullo stato lavorazione di un prodotto A. Modellare, per entrambe le situazioni, la dinamica dell impianto manifatturiero attraverso una catena di Markov omogenea a tempo discreto (DTMC) e determinare, per entrambe le situazioni: 1. la probabilità che, al termine di una mattinata di lavoro di 4 ore, siano stati realizzati 2 prodotti A e 1 prodotto C (per la prima situazione si consideri p = 0.4); 2. le probabilità di stato a regime (se possibile); 3. il throughput per ciascuna tipologia di prodotto. Si Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 2011/

11 5.10 La sicurezza di un impianto è basata su cinque livelli: livello 1 significa impianto sicuro mentre livello 5 significa impianto altamente pericoloso; i livelli 2, 3 e 4 sono livelli intermedi che rappresentano una pericolosità crescente dell impianto. Un impianto si trova inizialmente in sicurezza ma può cambiare livello sulla base dell accadimento di due tipologie di eventi imprevisti: guasti e incidenti. Un guasto, che nell arco di una settimana ha probabilità α di accadere, provoca l innalzamento del livello di sicurezza di una unità (se il sistema si trova a livello 5 e accade un guasto, il sistema rimane a livello 5). Un incidente, che nell arco di una settimana ha probilità β di accadere, provoca l innalzamento del livello di sicurezza di due unità (se il sistema si trova a livello 4 e accade un incidente, il sistema passa a livello 5 e se il sistema si trova a livello 5 e accade un incidente, il sistema rimane a livello 5). Durante una settimana può avvenire al più un guasto e al più un incidente. Nel caso in cui, nella stessa settimana, si ha sia un guasto che un incidente, il guasto viene ignorato e si considera esclusivamente l incidente. Infine, nel caso in cui durante una settimana non accadono né guasti né incidenti allora il livello di sicurezza può essere abbassato di una unità (se il sistema si trova a livello 0 e non accadono né guasti né incidenti, il sistema rimane a livello 0). Modellare la dinamica del livello di sicurezza dell impianto come una catena di Markov omogenea a tempo discreto (DTMC) e, una volta fissati α = 0.5 e β = 0.2, determinare: 1. la probabilità che il sistema sia in sicurezza (livello 1) dopo due settimane; 2. la probabilità che il sistema sia altamente pericoloso (livello 5) dopo due settimane; 3. la percentuale di settimane passate a livello di sicurezza i, i = 1, 2, 3, 4, 5. Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 2011/

12 5.11 Si modelli con una catena di Markov a tempo discreto (DTMC) omogenea la dinamica delle telefonate in un telefono con le seguenti caratteristiche: in un singolo intervallo di tempo arriva al più una telefonata; la probabilità che arrivi una telefonata è α; se la linea è occupata, una telefonata in arrivo viene persa; se la linea è libera, una telefonata in arrivo viene accettata; la probabilità che una chiamata termini, in un ogni intervallo di tempo, è β; se, in un certo intervallo di tempo, vi è sia un arrivo di una telefonata che la conclusione della chiamata, la nuova chiamata viene accettata. Si determini la matrice delle probabilità di transizione in un passo. Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 2011/

13 5.12 Si consideri un giocatore d azzardo che gioca ad un gioco con le seguenti caratteristiche: bisogna puntare un numero (uno solo) di una ruota composta da 12 numeri; la probabilità di indovinare il numero (vincere) è 1/12; se si vince, si vincono 3 euro (2 euro + 1 euro di puntata); se si perde, si perde la puntata (1 euro); all inizio si hanno 3 euro. Si modelli il sistema come una catena di Markov a tempo discreto (DTMC) e si determini la probabilità di avere raddoppiato il capitale dopo 3 puntate. Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 2011/

14 5.13 Un sistema di produzione è composto da 2 macchine (M1 e M2) soggette a guasto e da una risorsa di riparazione in grado di riparare tutte e due le macchine a seguito di un guasto. Il tempo di interguasto è, per entrambe le macchine, distribuito in modo esponenziale, con parametro 2λ per la macchina M 1 e λ per la macchina M2. La risorsa di riparazione è in grado di riparare una macchina alla volta e ha un tempo di riparazione, indipendente dalla macchina guasta, distribuito in modo esponenziale con parametro 3λ. Quando le macchine sono entrambe guaste la risorsa di lavorazione viene dedicata alla riparazione della macchina M 1. Si modelli il sistema con una CTMC (catena di Markov a tempo continuo) omogenea e si determinino le seguenti quantità a regime: 1. numero medio di macchine guaste; 2. numero medio di macchine funzionanti; 3. probabilità di avere i, i = 1, 2, macchine funzionanti. Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 2011/

15 5.14 Si consideri un sistema manifatturiero e in particolare il suo deposito per lo stoccaggio dei prodotti finiti. Il deposito può contenere fino a un massimo di 3 prodotti finiti. I prodotti finiti arrivano al deposito secondo un processo di Poisson con tasso medio pari a λ = 3 prodotti alla settimana. Se arriva un nuovo prodotto ma il deposito è pieno, il prodotto viene scartato dal deposito e inviato ad altra destinazione. I prodotti escono dal deposito per andare verso i rivenditori finali. In particolare, vi sono due tipologie di rivenditori finali: quelli di tipo A richiedono un prodotto alla volta (la richiesta viene espletata secondo un processo di Poisson con frequenza pari a µ A = 2 prodotti alla settimana), mentre quelli di tipo B richiedono due prodotti alla volta (con frequenza µ B = 1 prodotti alla settimana). Nel caso in cui il deposito non abbia prodotti a sufficienza per soddisfare una richiesta da parte di un rivenditore finale, essa viene scartata. Modellare la dinamica del deposito come una catena di Markov omogenea a tempo continuo (CTMC) e determinare il numero medio di prodotti finiti presenti nel deposito. Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 2011/

16 5.15 Un deposito immagazzina due tipologie di prodotti P 1 e P 2 nella quantità di un pezzo alla volta. Un camion periodicamente rimuove uno dei due prodotti dal magazzino dando priorità al prodotto P 1. Lo stato del sistema sia modellato con la variabile x i, i = 1, 2, che rappresenta il numero di componenti presenti in magazzino per le due tipologie di prodotti. Si assume, inoltre, che: quando x i = 0, il prodotto P i viene rimpiazzato con un rate λ i di tipo poissoniano; quando x 1 = 1, il camion raggiunge il deposito per prelevare il prodotto P 1 con un rate µ 1 di tipo poissoniano; quando x 2 = 1 e x 1 = 0, il camion raggiunge il deposito per prelevare il prodotto P 2 con un rate µ 2 di tipo poissoniano. Si modelli il sistema con una CTMC e si calcolino le probabilità di stato nel transitorio e a regime per il sistema considerato. Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 2011/

17 5.16 Un sistema di produzione è composto da due macchine (M 1 e M 2 ) soggette a guasti. La macchina M 1 si guasta direttamente mentre la macchina M 2 prima si usura (ma funziona ancora) e poi si guasta. I rate secondo i quali le macchine di guastano o si usurano sono di tipo poissoniano. La macchina M 1 si guasta con un rate di 2 rotture al mese mentre la macchina M 2 si usura con un rate pari a 2 volte al mese e si guasta, se usurata, con un rate di 4 rotture al mese. Le risorse, se guaste, vengono riparate indipendentemente l una dall altra. Il rate di riparazione uguale per entrambe le macchine ed è pari a 1 riparazione al mese. Si modelli il sistema come una catena di Markov a tempo continuo (CTMC) omogenea e si determinino le seguenti probabilità a regime: 1. probabilità che entrambe le macchine siano funzionanti; 2. probabilità che almeno una macchina sia funzionante; 3. probabilità che entrambe le macchine siano guaste. Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 2011/

18 5.17 Si consideri un sistema di produzione costituito da due macchine M 1 e M 2 e da una risorsa per la loro riparazione; i tempi di interguasto di M i, i = 1, 2, hanno distribuzione esponenziale con parametro λ i, mentre i tempi di riparazione seguono la distribuzione esponenziale con parametro µ i. Quando le macchine sono entrambe guaste, la risorsa di lavorazione viene equamente divisa tra le due. Si modelli il sistema descritto con una catena di Markov a tempo continuo con 4 stati. Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 2011/

19 5.18 Ad una fermata della metropolitana i passeggeri arrivano secondo un processo di Poisson con tasso di 4 al minuto; i treni passano ad intervalli distribuiti in modo esponenziale con media di 5 minuti. Nell ipotesi che tutti i passeggeri che si trovino in banchina all arrivo del treno riescano a salirvi, modellare il sistema con una CTMC e calcolare il numero medio di passeggeri che sale su ogni treno. Prof. Davide Giglio Modelli e Metodi per l Automazione Anno Accademico 2011/