Interazione tra pareti di Bloch nel modello a membrana flessibile

Interazione tra pareti di Bloch nel modello a membrana flessibile Chiara Di Donato, Alessandro Magni Istituto Elettrotecnico Nazionale Galileo Ferraris - settore MATERIALI Corso Massimo D Azeglio, 42 10125 Torino, Italia 1. Il punto di partenza del nostro studio è la struttura a domini di Weiss [1] di un ferromagnete. Il comportamento dei materiali ferromagnetici e le proprietà che da questo si possono ricavare sono legate alla dinamica di magnetizzazione e cioè alla variazione della magnetizzazione M da un dominio a quello adiacente dovuta allo spostamento di una regione estremamente sottile del materiale, detta parete di Bloch [2]. L osservazione della struttura a domini è possibile utilizzando differenti metodi uno dei quali fa riferimento ad una tecnica magneto-ottica che sfrutta l effetto Kerr della luce riflessa da una superficie magnetizzata. 1

Presso l Istituto Galileo Ferraris è possibile una osservazione sperimentale della struttura a domini e delle pareti di Bloch mediante un dispositivo che utilizza proprio l effetto Kerr della luce riflessa [3] e che è schematizzato nella figura 1: Fig.1: Dispositivo sperimentale per l osservazione dei domini tramite l effetto Kerr. I raggi 1 e 2 del fascio di luce laser passano attraverso al Polarizzatore a prisma di Nicol (P) (che ha un coefficiente di estinzione di 10-7 ) e così polarizzati (1 P, 2 P) incidono sul lamierino magnetico (provino) che per semplicità supponiamo contenga solo due domini antiparalleli. Durante la riflessione il piano di polarizzazione del raggio 1 P è ruotato di un piccolo angolo in senso orario (1 Q) e quello del raggio 2 P di un altro piccolo angolo in senso antiorario (2 R) e ciò è dovuto al fatto che sono stati riflessi da domini con opposta magnetizzazione. Successivamente i due raggi passano attraverso un analizzatore a prisma di Nicol (A) e vanno a formare l immagine del provino nel piano oculare di un microscopio. Per osservare l immagine dei domini di opposta magnetizzazione si utilizza un analizzatore incrociato rispetto al raggio 2 R : il raggio 2 R è così estinto e l immagine che compare nell oculare dell obiettivo appare come una zona scura. Poiché l analizzatore non è incrociato con 1 Q l immagine del dominio appare come la zona più chiara. Ecco che i domini appaiono come bande chiare alternate a bande scure. Il segnale ottico, mediante un fotorivelatore, viene trasformato in un segnale elettrico che una volta amplificato (PREAMLIFICATORE) viene inviato ad una analizzatore di segnali. 2

Da un punto di vista teorico per descrivere il moto di una parete si utilizza un modello a membrana flessibile e per calcolare il campo delle correnti indotte da essa generato si risolve l equazione di Poisson scritta a partire dalle equazioni di Maxwell. Il campo delle correnti indotte è dato dall equazioni di Maxwell [4] che in unità di emu si scrivono: D (1.1) H e = 4πj con = 0 t (1.2) H = 0 (1.3) Considerando l approssimazione e B E = t B M (1.4) 4π 4πv M t t e sostituendo j=σe, dove σ è la conducibilità elettrica, nella (1.3) si ottiene: (1.5) j 4πσ v M 4πσv dove / n è la variazione perpendicolare alla parete. Facendo ancora il rotore della (1.1) ed utilizzando la (1.5) si ha: n M n (1.6) H e 2 ( 4π ) σv n M n e ricordando che = ( )- 2 ed essendo H e = 0 otteniamo: (1.7) 2 H e 2 M ( 4π ) σvn equazione di Poisson n La componente z della precedente equazione è: (1.8) n 2 2 z He z ( 4π ) σv M n Dal momento che M z è una costante, tranne che all interno della parete, all esterno l equazione per H ez è: (1.9) 2 H ez = 0 3

Possiamo ancora considerare il fatto che se la magnetizzazione è una funzione a gradino data da M z = - M s sulla parte positiva della parete e M s sulla parte negativa, l equazione (1.8) diventa: 2 2 (1.10) H 2( 4π ) σv M δ ( n ) e z (trascurando lo spessore della parete) n s Nell equazione di Poisson il termine di sorgente è rappresentato da una distribuzione non nulla solo nella regione occupata dal volume della parete. La difficoltà principale che si incontra in questo problema è legata al fatto che la funzione matematica che descrive la parete è incognita perché funzione a sua volta del campo delle correnti indotte. Questo problema è stato risolto con un metodo di calcolo autoconsistente di validità generale per un qualsiasi sistema di equazioni accoppiate. Per la prima volta nell ambito di questo modello si è ricavata la soluzione all equazione del moto della parete tenendo conto dell interazione tra pareti di cui si erano sempre trascurati gli effetti. Come verrà mostrato in seguito, l interazione magnetica tra pareti fa sì che il movimento di ciascuna parete risulti frenato riducendo lo spostamento e aumentando il piegamento della parete, che viene indicato col termine bowing. Verranno riportati i risultati sperimentali che sottolineano la necessità dell introduzione dell interazione, e quelli della simulazione che sono in accordo con le precedenti considerazioni e cioè con lo schema seguente: interazione tra pareti diminuzione dello spostamento aumento del bowing In questo modo, i meccanismi che riguardano la dinamica di magnetizzazione dei materiali ferromagnetici, possono essere compresi meglio. 4

Per tenere conto dell interazione tra pareti nel nostro modello a membrana flessibile, cioè volendo generalizzare la teoria di Pry & Bean [5], l unica che fino ad ora è stata utilizzata quando si considerano pareti interagenti, cominciamo col far riferimento ad una struttura a domini antiparalleli (a 180 ) con pareti equidistanti l una dall altra (d). Indichiamo in figura 2, lo schema dal quale partiremo per le nostre considerazioni: la magnetizzazione (M) di ciascun dominio in una sezione a z=cost. del provino ferromagnetico sarà una volta uscente, una volte entrante nel foglio. In figura 2 è rappresentata la situazione tipica per ciascuna parete di Bloch all interno del provino se si trascurano gli effetti di bordo. z x M z x z y D M d sezione a z = cost. y M Fig.2: Schematizzazione di un provino ferromagnetico a nastro sottile di spessore D nella direzione x, infinitamente esteso nella direzione y e di lunghezza unitaria L = 1 lungo z, in cui si possono osservare i domini magnetici con la rispettiva magnetizzazione e le pareti di separazione(pareti di Bloch). In condizioni dinamiche e per la natura stessa dei domini una qualsiasi parete (in questo caso quella centrale) spostandosi, si trova sempre tra due pareti: una parete le si avvicina e l altra le si allontana. La simmetria del problema ci consente di affermare che quello che capita ad una parete all interno del materiale vale anche per tutte le altre. 5

Tenendo conto che l effetto del campo delle correnti indotte decade esponenzialmente con la distanza tra le pareti si può, senza grosse restrizioni, considerare l interazione considerando il contributo dovuto alle prime pareti vicine. Ricordiamo, però, che un corretto bilancio delle forze che agiscono su una parete deve tenere conto del bowing della parete stessa. Il campo delle correnti indotte che agisce su ciascuna parete viene pertanto calcolato tenendo conto del campo creato in ciascun punto della parete dal moto di tutti gli altri elementi della parete stessa e aggiungendo il campo delle correnti indotte creato dalle due pareti contigue alla parete stessa (rispettivamente una a destra e un altra a sinistra). Se applichiamo un campo esterno sinusoidale la parete centrale, così come tutte le altre, si sposta e dopo un periodo T, rioccupa la stessa posizione di equilibrio che aveva all inizio. Pertanto, in condizioni dinamiche, lo schema di prima (figura 2) ad un certo istante t, si presenta come in figura 3: M X d 0 spo(x;t) y (0) (h;t) d 2 (x;t) P(x,y) d 1 (x;t) y (0) (x;t) D H EXT y H ec H ec H ec H ec Fig. 3: Disposizione delle pareti di Bloch ad un istante t generico durante il processo di magnetizzazione. Nella figura: - M magnetizzazione - H EXT campo esterno - H EC campo delle correnti indotte - d 0 distanza iniziale tra pareti in condizioni di smagnetizzazione - v (h) velocità della parete nel punto di ordinata x=h - spo(x;t) spostamento della parete - D spessore del provino 6

L equazione di equilibrio viene applicata alla parete rappresentata in neretto e tiene conto del campo delle correnti indotte creato dalle due pareti contigue rappresentate dalle curve in grigio. In un determinato istante t, indicando con y (0) (x) il profilo della parete centrale (è stato aggiunto l apice 0 per distinguerlo da quello della parete di destra e di sinistra che invece saranno caratterizzati dagli apici 1 e 2 rispettivamente), il campo delle correnti indotte prodotto in un punto della parete stessa dal moto di una coppia di elementi infinitesimi di parete, dx, nei punti x=h e x=-h è dato da [6]: (1.11) dh EC 4ISD 1 n n D n (x) = π π v(h) cos h cos - x exp y 1 n D D 2 π ' ρ π D che in forma più compatta si riscrive: (0) D - x 2 y (0) (h) dh (1.12) dh EC (centrale) = k(x) exp[α y (0) (x)-y (0) (h) ]dh dove: k(x, h) 4I = SD 1 nπ nπ D ' v(h) cos h cos - x ρ n D 1 π D 2 (1.13) α = -nπ/d Il campo delle correnti indotte agenti sulla parete, in assenza di interazione con le pareti vicine, risulta pertanto dato da: (1.14) H EC = D/2 0 dh (centrale) EC dh Grazie alla geometria del problema e al principio di sovrapposizione degli effetti, il campo delle correnti indotte dovuto anche agli analoghi elementi infinitesimi delle altre due pareti, nello stesso punto P(x,y) è dato da: 7

(1.15) dh EC (totale) = dh EC (centrale) +dh EC (sinistra) +dh EC (destra) dove dh EC (sinistra) e dh EC (destra) sono dati rispettivamente da: (1.16) dh EC (destra) = k(x) exp[α d 1 (x;t) ]dh con d 1 (x;t)=d 0-2spo(x;t)- y (1) (x;t)-y (1) (h;t) (1.17) dh EC (sinistra) =k(x)exp[α d 2 (x;t) ]dh con d 2 (x;t)=d 0 +2spo(x;t)+y (2) (x;t)+y (2) (h;t) k(x,h) ed α sono stati già definiti nell espressione 1.13, d 0 è la distanza iniziale tra pareti, d 1 (vedi figura 3) rappresenta la componente lungo y della distanza del punto P(x,y) sulla parete, dalla coppia di elementi infinitesimi di parete, individuati da x=h e da x=-h, sulla parete di destra; d 2 è la componente lungo y della distanza del punto P(x,y) sulla parete, dalla coppia di elementi infinitesimi di parete, individuati sempre da x=h e da x=-h ma sulla parete di sinistra. Osserviamo che d 1 e d 2 dipendono da x e t: infatti sono individuati da funzioni lineari di spo(x;t) e del profilo y (i) (x;t) (i=1,2). Il campo delle correnti indotte sulla parete centrale, può essere ottenuto integrando il dh EC (totale) ossia considerando: (totale) (1.18) HEC = D/2 0 dh (totale) EC dh allorché si conoscano i profili y (0) (x;t), y (1) (x;t), y (2) (x;t), nonché le distanze d 1 (x;t) e d 2 (x;t) al tempo in cui i profili vengono calcolati. Per simmetria le funzioni y (1) (x;t) e y (2) (x;t) sono specularmente identiche a quelle di y (0) (x;t) e quindi il metodo autoconsistente, ossia il metodo di calcolo numerico per ottenere i profili della parete consente di ricavare contemporaneamente tutti i profili per ogni valore del tempo t in cui è stato suddiviso un periodo T. 8

Stiamo considerando i moduli dei campi delle correnti indotte, perché si può facilmente far vedere che in tutti i punti del provino tali campi ad un generico valore del tempo t sono diretti tutti nello stesso verso in direzione opposta a quella del campo applicato (vedi figura 3). La crescita complessiva del campo delle correnti indotte è tale che, da una parte, si riduce lo spostamento di ciascuna parete di Bloch, mentre dall altra, viene aumentato il bowing di ogni singola parete. Queste equazioni non sono integrabili da un punto di vista analitico e sono state implementate in un metodo di calcolo numerico autoconsistente che è dello stesso tipo di quello descritto in un precedente lavoro [7]. 9

2. Riportiamo ora alcuni risultati sia sperimentali che teorici che mostrano come l interazione tra pareti possa migliorare l accordo tra risultati sperimentali e risultati teorici ricavati in base alla teoria sopra descritta. In figura 4 vengono riportate le curve sperimentali (ottenute tramite misure effettuate con l apparecchiatura ad effetto Kerr descritta in figura 1) dello spostamento di parete in superficie in funzione del campo applicato, per differenti valori della frequenza di magnetizzazione, confrontate con quelle ottenute mediante un modello teorico precedente che non tiene conto dell interazione tra pareti: Fig. 4: Risultati sperimentali relativi allo spostamento di una parete in un provino amorfo (Metglas2605sc), ottenuti mediante l apparecchiatura ad effetto Kerr per diversi valori della frequenza di magnetizzazione (punti), sono confrontati con i risultati teorici ottenuti mediante un modello teorico precedente che non tiene conto dell interazione (curve tratteggiate) Si nota come a parità di piccoli spostamenti ci sia una deviazione consistente dei punti sperimentali rispetto alla previsione teorica. Per un particolare valore della frequenza riportiamo in figura 5 il confronto tra la curva teorica dello spostamento in funzione del campo che tiene conto nelle equazioni dell interazione e quella che non ne tiene conto per due particolari simulazioni: una relativa ad un provino amorfo e l altra relativa ad un monocristallo. Può essere 10

interessante notare come per il monocristallo, il cui spessore è all incirca 80 volte più grande di quello dell amorfo, l effetto dell interazione risulti molto più evidente. Questo mette in evidenza come l interazione tra pareti diventa rilevante quando la distanza tra pareti è dell ordine dello spessore; viceversa l interazione è sempre più trascurabile quando lo spessore è molto più piccolo della distanza iniziale tra pareti. Fig. 5 Infine in figura 6 si riporta un confronto fra tre curve che mette in evidenza come l aver introdotto l interazione migliori il confronto tra risultati teorici e risultati sperimentali mostrando tuttavia che esistono altri effetti non tenuti in conto dalla teoria che giocano un ruolo non trascurabile sulla dinamica della parete. Potrebbe trattarsi di termini dissipativi di tipo magnetoelastico legati al fatto che nelle misure sperimentali per ottenere una struttura regolare a domini antiparalleli è necessario applicare uno sforzo tensionale piuttosto elevato (70 Mpa). 11

Fig. 6 L obbiettivo più importante che è stato raggiunto è comunque quello di aver generalizzato la teoria di Pry & Bean, che tiene conto degli effetti dell interazione, ma nell ambito di un modello che considera le pareti come piani rigidi. La teoria svolta non tiene conto degli effetti dell anisotropia cristallina ed in effetti è stato applicata soltanto a provini amorfi. Una generalizzazione importante che è in corso di sviluppo riguarda proprio l introduzione nelle equazioni di base del termine di energia relativo all anisotropia cristallina. Questo permetterà di confrontare i risultati sperimentali ottenuti sui monocristalli (dove, come si è già detto, l effetto dell interazione diventa assai più importante che nel caso dei materiali amorfi) con i risultati della teoria. Referenze: [1] P.Weiss, J. Phys. 6, 667, 1907 [2] F. Bloch, J.Phys. 74, 293, 1932 [3] M. Celasco, A. Masoero, P. Mazzetti, A. Stefanescu Tecniche di misura per via ottica delle perdite di potenza in lamierini ferromagnetici LXXXV Riunione Nazionale REI, Riva del Garda, Sett. 1984, memoria 9, pag. 1-9 [4] W. J. Carr, Jr. Magnetic domain wall bowing in a perfect metallic crystal, J. Appl. Phys. Vol47, No 9, September 1976 [5] R. H. Pry and Bean Calculation of the Energy Loss in Magnetic Sheet Materials Using a Domain Model, J. Appl. Phys. 29, 532, 1958 [6] J. E. L. Bishop Rucling a novel low-loss domain wall motion for (100)[001] SiFe IEEE Trans. on Magn. MAG 12, 3, 1976 [7] A. Maraner, C. Beatrice, P. Mazzetti Single Bloch wall dynamics in amorphous ribbons: a comparison betwen experimental and theoretical results 12