Probabilità discreta

CAPITOLO 2 Probabilità discreta Esercizio 2.1 Eventi Un opportuno spazio degli eventi è dato da: Ω{(M,M), (M,F), (F, M), (F, F)}. L evento unione di primo figlio femmina e secondo figlio maschio è dato da {(F, M), (F, F), (M,M)}, mentre l evento intersezione è dato da {(F, M)}. Esercizio 2.2 Un opportuno spazio degli eventi è dato da: Ω{R, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 2, 26, 27, 28, 29, 30, 30L}. L evento promosso è dato da {18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 2, 26, 27, 28, 29, 30, 30L}. L evento complementare all evento voto maggiore di 27 è dato da {R, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 2, 26, 27}. L evento voto minore di 21 è incompatibile con l evento voto maggiore di 21 e con l evento voto maggiore di 27. Inoltre l evento voto minore di 27 è incompatibile con l evento voto maggiore di 27. Esercizio 2.3 Lo spazio degli eventi è Ω{(X, Y, z) X, Y {testa, croce}, z {1, 2, 3, 4,, 6}}. Se le monete o il dado sono truccati lo spazio degli eventi si riduce ad un sottoinsieme di Ω. Esercizio 2.4 Gli eventi composti sono i seguenti: {A, B} peso alla nascita inferiore a 200 g; {B, C} peso alla nascita superiore a 100 g; {A, C} peso alla nascita inferiore a 100 g o superiore a 200 g; {A, B, C} peso alla nascita qualsiasi. Esercizio 2. Ω{(i, j) i {A, B, C}, j {P, N, R}}. 7

8 2. PROBABILITÀ DISCRETA Distribuzioni di probabilità Esercizio 2.6 No. Il fatto che due eventi siano diversi non mi consente di affermare che le loro probabilità siano diverse. Ad esempio, se A Ω ha probabilità 1/2, allora l evento complementare B Ω \ A (che senza dubbio è diverso da A) haanch esso probabilità 1/2. Esercizio 2.7 Che sia multiplo di 3, dato che ogni multiplo di 9 è anche multiplo di 3. Esercizio 2.8 Lo spazio degli eventi è quello dell esercizio 2.3. Esso contiene 24 eventi elementari, ognuno dei quali ha probabilità 1/24. L evento due teste e un 2 è un evento elementare, pertanto avrà probabilità 1/24. Esercizio 2.9 1/6 (1 (1/2) 6 ). Esercizio 2.10 Rispettivamente 1/128 e 18/2048. Esercizio 2.11 Idueeventisonoequiprobabili,conprobabilità ( 2) (1/2). Esercizio 2.12 La probabilità che sia 8 è 8/90, mentrechesia12è7/90. Lospazio degli eventi è l insieme dei naturali compresi tra 10 e 99. Lesommepiùprobabilisono9e 10, entrambe con probabilità 1/10. Esercizio 2.13 La probabilità di ottenere 1 è 1/6,cosìcomelaprobabilitàdiottenere 6. Laprobabilitàdiottenere7 è 0. Esercizio 2.14 La probabilità di ottenere 1 è 1/9. Laprobabilitàdiottenere6 è 2/9. La probabilità di ottenere 7 è 0. Esercizio 2.1 probabilità 1/n. La somma più probabile, lanciando due dadi a n facce, è n +1, con Esercizio 2.16 Le somme meno probabili, lanciando due dadi a n facce, sono 2 e 2n, entrambe con probabilità 1/n 2. Esercizio 2.17 1/2. Esercizio 2.18 1/8. Esercizio 2.19 1/4. Esercizio 2.20 (a) 18/37; (b) 22/37; (c) 2/37. Frequenze relative Esercizio 2.21 Rispettivamente 0.28, 0.14, 0.03, 0.6. Esercizio 2.22 Esercizio 2.23 7/12. Esercizio 2.24 0.687. Esercizio 2.2 Circa 0.687. Esercizio 2.26 30/116. La probabilità che sia sana è 2/,mentrequellachesiamalataè3/. La probabilità di guarigione è /12,mentrequelladinonguarigioneè

PROBABILITÀ CONDIZIONATA 9 Assiomi della probabilità Esercizio 2.27 La probabilità di essere sordi e muti è 0.0%, mentrequelladiessere sordi o muti è 1.0%. Esercizio 2.28 Esercizio 2.29 No. No. Esercizio 2.30 0.68. Esercizio 2.31 44.% Esercizio 2.32 12/300. Esercizio 2.33 Eventi indipendenti A e A c sono indipendenti se e solo se uno dei due ha probabilità zero. Esercizio 2.34 Due eventi incompatibili sono indipendenti se e solo se almeno uno dei due ha probabilità zero. Esercizio 2.3 Rispettivamente 1/2, 1/3, 1/6. Esercizio 2.36 Sì in tutti e tre i casi. Esercizio 2.37 Sono eventi indipendenti. La legge di Hardy-Weinberg Esercizio 2.38 La probabilità che contenga l allele A è 0.3, mentre quella che contenga l allele B è 0. 8. Esercizio 2.39 Rispettivamente (0.6) 2 2 0.3 0.266 e 2 0.6 0.12 (0.266) 2. Esercizio 2.40 p GG 0.49, p Gb 0.42, p bb 0.09. Esercizio 2.41 p c 0.3, p L 1 0.3, p cc 0.3, P LL (1 0.3) 2, p Lc 2(1 0.3) 0.3. Esercizio 2.42 p B 0.3, p V 0.2, p R 0.4, p BB 0.122, p VV 0.062, p BV 0.17, p RR 0.16, p RB 0.28, p RV 0.20. Probabilitàcondizionata Esercizio 2.43 0.2808. Esercizio 2.44 La probabilità richiesta è 1/4, enondipendedalladistribuzionedi probabilità dei vari genotipi. Esercizio 2.4 Infatti si calcola come p(entrambi maschi) p(almeno un maschio). Esercizio 2.46 0.0072. Esercizio 2.47 (a) 0.062; (b) 0.2; (c) 0.0; (d) 0.2; (e) 1.

10 2. PROBABILITÀ DISCRETA Esercizio 2.48 (a) 0.9; (b) 0.613; (c) 0.71; (d) 0.36; (e) 0. Esercizio 2.49 Rispettivamente 9.66% e 8.41%. Esercizio 2.0 Esercizio 2.1 p(a B C) p(a B C) p(b C) p(a B C) p(a B C) p(b C) p(a B C) p(b C). Esercizio 2.2 p(a B C) p(b C) p(a B C) p(a C B). p(c B) p(a C B) p(b) p(b C) p(c B) p(b) Esercizio 2.3 p(b A c ) p(b Ac ) p(a c ) p(b) p(b A) 1 p(a) p(b) p(a) p(b A) 1 p(a) Esercizio 2.4 (a) 8.29%; (b) 17.6%. Esercizio 2. p(a B C)+p(A B c C) p(a B C)+p(A Bc C) p(a C) p(a C). Esercizio 2.6 0.49736. Esercizio 2.7 0.028248. Esercizio 2.8 0.6397. Esercizio 2.9 (a) 0.486402; (b) 0.04839; (c) 0.41241. Per errori di approssimazione.

CALCOLO COMBINATORIO 11 Esercizio 2.60 Fare 4. Calcolo combinatorio Esercizio 2.61 12. Esercizio 2.62 Non è un caso: l evento in un gruppo di 2 persone ce ne sono due che hanno lo stesso compleanno può essere riparafrasato come l evento in un gruppo di 2 persone tutti hanno lo stesso compleanno, e ai fini del calcolo delle probabilità è irrilevante che tu faccia parte o meno del gruppo. Esercizio 2.63 (a) 720, 040, 40320. (b) 040, 20160, 60480. (c) 1/6, 1/42, 1/336. (d) 63 10 9,0.104,1/84. (e) 4, 10, 20, 462. (f) 3764376, 9702, 67910864. Esercizio 2.64 k+1 (a) k+1 m ; (b) P n,h h ; (c) ( ) n+1 6. Esercizio 2.6 (a) x 4 +4x 3 +12x 2 +16x +16; (b) k ( n n0 k) y k ; (c) x 6 x 4 y 2 x 2 y 4 + y 6 ; (d) 32a +80a 4 b +80a 3 b 2 +40a 2 b 3 +10ab 4 + b. Esercizio 2.66 In caso di estrazioni con reimbussolamento abbiamo: (a) (3/4) ; (b) 4 (4 3) 3 3 12. In caso di estrazioni senza reimbussolamento abbiamo: (a) 9 12 8 11 7 10 6 9 8 ; (b) 4 / ( ) 12. Esercizio 2.67 Rispettivamente 0.8737, 0.1083, 0.03163, 0.00269. Esercizio 2.68 484. Esercizio 2.69 Se ogni compito può apparire al più una volta posso effettuare l assegnazione in 3 modi diversi. Se sono ammesse ripetizioni posso effettuare l assegnazione in 210 modi diversi. Esercizio 2.70 7392. Esercizio 2.71 (a) 1/10 ; (b) 1/!; (c) 2/!; (d) 1/10 3.

12 2. PROBABILITÀ DISCRETA Esercizio 2.72 (a) 1/10 4 ; (b) 1/10 3 ; (c) 1/(4 10 3 ); (d) 1/4!; (e) 2/4!. Esercizio 2.73 (a) 210; (b) 120; (c) ( n k) se k n,0altrimenti; (d) ( n k 1) se k n +1,0altrimenti. Esercizio 2.74 (a) (4/) 30 ; 30! (b) (6!) / 30. Esercizio 2.7 Rispettivamente 2/ ( 2 ), ( 13 Esercizio 2.76 ) ( 4/ 2 ), 1 2 48 44 40 36 2 1 0 49 48. 4 12 se sono ammesse ripetizioni, nessuna altrimenti. Esercizio 2.77 Rispettivamente 9/24, 8/24 e 0. [Errata per la prima edizione: nel testo dell esercizio sostituire 6 con 4 entrambe le volte.] Esercizio 2.78 (a) 4/2; (b) 1 48 47 46 4 44 2 1 0 49 48 ; (c) 48/(2 1 0 49 48). Esercizio 2.79 (a) 4/40; (b) 1 36 3 34 40 39 38 ; 38 ; 38 ; 38. (c) 3 4 40 4 39 3 (d) 4 40 3 39 2 (e) 36 40 3 39 34 Esercizio 2.80 (a) (1/6) 6 ; (b) 6!/6 6 ; (c) ( ) 6 3 3 6 6 ; 6 (d) ( ) 2 3 6. Esercizio 2.81 biologia ha 10080 anagrammi, chimica ne ha 1260 e matematica ne ha 302400. Esercizio 2.82 (a) 6!; (b) 1/3; (c) rispettivamente 7!, 2/7. Esercizio 2.83 4 (a) y i ; i1

b i ; n+1 (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) i2 k x i ; i0 n x 2i ; i0 4 a 3 i ; i1 N (x i y i ) 2 ; i1 ( 1) i zi 2 ; i2 3 x 2i 1. i0 Esercizio 2.84 (a) q 1 + q 2 + q 3 + q 4 + q + q 6 ; (b) x 1 + x 0 + x 2 + x 3 + x 4 ; (c) 0+1+2 2 +3 2 14. DISTRIBUZIONE BINOMIALE 13 Esercizio 2.8 (a) Segue dalla proprietà associativa della somma; (b) Segue dalla proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto; (c) Segue da (a) e (b). Esercizio 2.86 Distribuzione binomiale Circa 0.13, 0.116, 0.384, 0.19 rispettivamente. Esercizio 2.87 Sapendo che il primo figlio è maschio otteniamo circa 0.263, 0, 0., 0.767 rispettivamente. Sapendo che il primo figlio è femmina otteniamo circa 0, 0.237, 0.263, 0.263 rispettivamente. Esercizio 2.88 0.386. Esercizio 2.89 0.26. Esercizio 2.90 Esercizio 2.91 6 10 2. Esercizio 2.92 Almeno 4. Circa 0.42 e 0.68 rispettivamente.