ESERCIZI DI ELETTROTECNICA

1 esercizi in corrente continua completamente svolti ESERCIZI DI ELETTROTECNICA IN CORRENTE CONTINUA ( completamente svolti ) a cura del Prof. Michele ZIMOTTI 1

2 esercizi in corrente continua completamente svolti RICHIAMI DI MATEMATICA DAL NUMERO DECIMALE ALLA FRAZIONE DECIMALE Dato il numero decimale scrivere la frazione decimale corrispondente: Es: 0.23 = 23/ 100 7.7523 = 77523 / 10000 REGOLA: Si scrive il numero decimale senza la virgola e si divide 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali. DALLA FRAZIONE DECIMALE AL NUMERO DECIMALE Data la frazione decimale scrivere il numero decimale corrispondente: Es: 12/100= 0.12 4/1000= 0.004 REGOLA: Si scrive il numeratore e a partire dalla cifra unità si sposta la virgola verso sinistra di tanti posti quanti sono gli zeri a denominatore POTENZE DECIMALI ad esponente positivo ad esponente negativo 10E 1 = 10 10E -1 = 0.1 10E 2 = 100 10E -2 = 0.01 10E 3 = 1000 10E -3 = 0.001 10E 4 = 10000 10E -4 = 0.0001 2

3 esercizi in corrente continua completamente svolti GRANDEZZE ELETTRICHE E LORO UNITA DI MISURA DENOMINAZIONE UNITA DI MISURA SIMBOLO TENSIONE EL VOLT V CORRENTE EL AMPERE A RESISTENZA EL OHM Ω POTENZA EL WATT W ENERGIA EL JUOLE J ENERGIA TERMICA CALORIA Cal SCALA DEI MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI multipli sottomul tipli DENOMINAZION SIMBOLO VALORE DEC E GIGA G 10E 9 MEGA M 10E 6 KILO K 10E 3 base milli m 10E -3 micro µ 10E -6 nano n 10E -9 EQUIVALENZA Quando si scende si multipla la base 10E 3 *n, dove n rappresenta il numero di posti che separa il valore iniziale da quello finale; viceversa quando si sale si divide per lo stesso fattore 10E 3 *n. Esempio: 12 kw = 12*(10E 3 *1) W = 12.000 [W] 25,4 ma = 25,4 / (10E 3 *1) A = 25,4/1000 A = 0.0254 [A] 3

4 esercizi in corrente continua completamente svolti SISTEMA METRICO DECIMALE MISURE DI LUNGHEZZA Denominazione Simbolo Val Decimale Miriametro Mm 10E 4 Chilometro Km 10EE 3 Ettometro hm 10 2 Decametro dam 10E 1 metro m 1 decimetro dm 10E -1 centimetro cm 10E -2 millimetro mm 10E -3 MISURE DI SUPERFICIE Miriametro Quad Mm 2 10E 8 Chilometro Quad Km 2 10E 6 Ettometro Quad ettaro Decametro Quad ara hm 2 ha dam 2 a 10E 4 10E 2 Metro Quadr m 2 1 Decimetro quad dm 2 10E -2 Centimetro quad cm 2 10E -4 Millimetro quad mm 2 10E -6 MISURE DI VOLUME Decastero das 10E 1 Metro cubo m 3 1 stero s 1 decistero ds 10E -1 decimetrocubo dm 3 10E -3 Centimetro cubo cm 3 10E -6 Millimetro cubo mm 3 10E -9 4

5 esercizi in corrente continua completamente svolti RESISTIVITA DEI MATERIALI CONDUTTORI Più usati Nome Resistività a 0 C r o [Ω*mm 2 /m] Coefficiente di temperatura a 0 C a o RAME 0.016 0.00426 ALLUMINIO 0.0265 0.0043 ACCIAIO 0.14 0.0039 FERRO 0.13 0.0047 OTTONE 0.085 0.0039 PIOMBO 0.198 0.0043 NICHELIO 0.118 0.006 PLATINO 0.103 0.0036 ARGENTO 0.015 0.0038 ARGENTANA 0.37 0.00017 NICHELINA 0.4 0.0001 MANGANINA 0.44 0.00001 COSTANTANA 0.5 0.00002 NICROMO 1.06 0.000051 MERCURIO 0.94 0.00089 TUNGSTENO 0.0505 0.0042 5

6 esercizi in corrente continua completamente svolti RESISTIVITA A T C ρ (T) =ρ o *(1+α o *T) INTENSITA DI CORRENTE Dove Q = quantità di elettricità t = tempo in secondi I = Q / t [A] DENSITA DI CORRENTE δ= I /s [A/mm 2 ] Dove s sezione del conduttore s = 3.14*d 2 /4 [mm 2 ] d= diametro del conduttore = rad.q.( 4*s/ 3.14) FORMULE USATE PER LA RISOLUZIONE DEI CIRCUITI 1 a LEGGE DI OHM V AB = R AB *I AB I AB = V AB /R AB R AB = V AB / I AB 2 a LEGGE DI OHM R = ρ T *L/ s Dove ρ T è la resistività del materiale conduttore alla temperatura T C L è lunghezza del conduttore in metri S è la sezione del conduttore in mm 2 LEGGE DI OHM PER UN CIRCUITO CHIUSO Dove E AB è la fem del generatore R i è la resistenza interna del generatore R è la resistenza totale del circuito esterno I AB = E AB / ( R i +R) CADUTA DI TENSIONE INTERNA AL GENERATORE V i = R i *I CADUTA DI TENSIONE % v L% = 100* (V L / V a ) Dove V L è la caduta di tensione sulla linea V a è la tensione di arrivo TENSIONE DISPONIBILE AI MORSETTI DEL GENERATORE V AB = E V i CORRENTE DI C. TO C. TO DEL GENERATORE I CC = E / R i 6

7 esercizi in corrente continua completamente svolti LEGGI DI KIRCHHOFF 1 A LEGGE AI NODI: la somma aritmetica delle correnti entranti ai nodi è uguale alla somma delle correnti uscenti. 2 A LEGGE ALLE MAGLIE: la somma algebrica di tutte le fem che agiscono in una maglia è uguale alla somma algebrica delle cadute di tensione lungo i lati appartenenti alla stessa maglia. COLLEGAMENTI PRATICI IMPORTANTI SERIE DI RESISTENZE 1. L intensità di corrente è la stessa per tutte le resistenze della serie 2. Le ddp tra i capi delle singole resistenze sono proporzionali alle singole resistenze 3. La ddp totale agente agli estremi della serie è la somma aritmetica delle singole ddp 4. L intera serie equivale ad un'unica resistenza di valore pari alla somma aritmetica delle singole resistenze che la compongono: R S = R 1 +R 2 +R 3 +R 4 +.. PARALLELO DI RESISTENZE 1. La ddp applicata è la stessa per tutte le resistenze del parallelo 2. Le correnti nelle singole resistenze sono inversamente proporzionali alle rispettive resistenze 3. La corrente totale che attraversa il complesso delle resistenze in parallelo costituisce la corrente nel circuito principale ed è la somma delle correnti nelle singole resistenze derivate. 4. L intero parallelo o arco multiplo equivale ad un'unica resistenza di valore pari al reciproco della somma dei reciproci delle singole resistenze : R p = 1/ (1/R 1 +1/R 2 +1/R 3 +1/R 4 +..) CASI PARTICOLARI 1. Se le resistenze del parallelo sono due, la relazione precedente si semplifica: R p = ( R 1 *R 2 ) / ( R 1 +R 2 ) 2. Se le resistenze del parallelo sono tutte uguali ad R: R p = R / n 7

8 esercizi in corrente continua completamente svolti CONCETTI ENEREGETICI POTENZA ELETTRICA P = L / t [W ] POTENZA GENERATA: P = E *I [W ] POTENZA ASSORBITA P = V*I = R*I 2 = V 2 / R PERDITA SULLA LINEA P L = R*I 2 PERDITA % SULLA LINEA p% = 100* R*I 2 / Pu RENDIMENTO DEL GENERATORE Rend = Pd/Pg Dove Pd è la potenza disponibile ai morsetti del generatore, Pg è la potenza dello stesso generatore RENDIMENTO DELL UTILIZZATORE Rend = Pu/Pg Dove Pu è la potenza assorbita dall utilizzatore Pg è la potenza dello stesso generatore ENERGIA ELETTRICA W = P * t [J] oppure [Ws] ENERGIA TERMICA E T = 0.000238 * R*I 2 * t(s) [ cal] E T = 0.856 * R*I 2 * t(h) [ cal] COSTO ENERGIA ELETTRICA Costo = E T * p u Dove pu è il prezzo unitario PESO SPECIFICO: ps = Peso / Volume [Kg/dmc] [ g / mmc] 8

9 esercizi in corrente continua completamente svolti RISOLUZIONE DEI CIRCUITI COL METODO ZIM Introduzione In un circuito funzionante a vuoto c è la presenza di una tensione, ma non scorre corrente. In un circuito funzionante a carico c è la presenza di una tensione e la circolazione di una corrente. Il metodo ZIM consiste nell applicazione di 5 fasi: 1 a fase: INDIVIDUAZIONE Individuare tutti i morsetti e punti di connessione dei componenti attivi ( generatori) e passivi ( resistenze) presenti nel circuito funzionante a carico; 2 a fase: IDENTIFICAZIONE identificare tutti i punti di connessione con una lettera dell alfabeto ad esclusione delle seguenti V R I G E, con il seguente criterio: assegnare la stessa lettera a quei punti di connessione uniti da un tratto di conduttore, mentre lettere diverse a quei punti di connessione separati dal simbolo del generatore o del resistore. 3 a fase: SEMPLIFICAZIONE Semplificare il circuito applicando le conoscenze della serie: componenti attraversati dalla stessa corrente ( oppure quando la fine di uno è l inizio solo di un altro) ; del parallelo, componenti che presentano la stessa ddp oppure che presentano le stesse lettere agli estremi). Il procedimento termina quando si arriva ad una sola resistenza da collegare ai morsetti del generatore. Naturalmente è necessario riscrivere tanti circuiti quante sono le semplificazioni usate. Per ogni circuito modificato è necessario conservare la stessa identificazione dei morsetti per la parte non modificata. 4 a fase: ANALISI Dall ultimo circuito calcolare la corrente erogata dal generatore applicando la legge di OHM. Risalire al primo circuito e per esso applicare tante leggi di OHM quante sono le correnti incognite. 5 a fase: RICERCA Dopo aver scritto tutte le relazioni di OHM per il calcolo delle correnti, si riprende la prima relazione: se in essa è noto il valore della ddp. Basta eseguire il calcolo per avere il valore della corrente. In caso contrario, a partire dall ultimo circuito fino al primo, individuare quel circuito in cui sono presenti i due punti della ddp, con un solo componente tra essi, e calcolare la ddp incognita per il calcolo della corrente richiesta. Procedere in modo analogo per le atre correnti. 9

10 esercizi in corrente continua completamente svolti ES.1 Eseguire le seguenti trasformazioni 12 ma=.a 25 KV=..V 2,4 mw=...:w 29,4 A=.mA 12,3 KΩ=..Ω 12,345 MW=.W 12 cm =.m 23,45 mm =.m 3 Km =..m 320 m =...mm 20 mm 2 =.m 2 100 cm 2 =...m 2 1,2 m 2 =..cm 2 2,5 m 2 =.mm 2 17 m 3 =,,,,,,,,mm 3 14 cm 3 =..mm 3 20800 mm 3 =..m 3 SOLUZIONE Eseguire le seguenti trasformazioni 12 ma= 12*10-3 A= 0.012 A 25 KV= 25*10 3 V = 25000 V 2.4 mw= 2.4*10-3 W= 0.0024 W 29.4 A= 29.4*10 3 ma= 29400 ma 12.3 KΩ= 12,3*10 3 Ω= 12300 Ω 12,345 MW=12,345*10 6 W= 12345000 W 12 cm =12*10-2 m= 0.012 m 23,45 mm =23,45 * 10-3 m = 0.02345 m 3 Km =3*10 3 m = 3000 m 320 m =320 *10 3 mm= 320000 mm 20 mm 2 =20* 10-6 m 2 =0.00002 m 2 100 cm 2 =100* 10-4 m 2 = 0.01 m 2 1,2 m 2 = 1,2 * 10 4 cm 2 = 12000 cm 2 2,5 m 2 =2,5 * 10 6 mm 2 = 2500000 mm 2 17 m 3 = 17 * 10 9 mm 3 = 17000000000 mm 3 14 cm 3 = 14 * 10 3 mm 3 = 14000 mm 3 20800 mm 3 =20800* 10-9 m 3 = 0.0000208 m 3 10

11 esercizi in corrente continua completamente svolti ES.2 Calcolare la resistenza elettrica che deve presentare un conduttore di piombo di lunghezza L = 4 Km. di diametro di 2mm, alla temperatura di 0 C. SOLUZIONE DATI CALCOLARE Pb 1. R=? L = 4 Km d= 2mm T =0 C La resistenza elettrica del conduttore piombo si calcola applicando la legge di OHM: R = ρ T *L/ s Dove ρ T =alla temperatura di 0 C= 0.198 [Ω*mm 2 /m] L = 4 Km = 4000 m S= 3,14 *d 2 /4 = 3.14 * 4 / 4 = 3.14 mm 2 Ritornando alla formula precedente e sostituendo i valori noti si ha: R = 0.198 * 4000 / 3.14 = 252.2 Ω ES.3 Calcolare la sezione di un conduttore di ferro, lungo 5 Km, alla temperatura di 15 C, con resistenza elettrica di 2,3 KΩ. SOLUZIONE DATI CALCOLARE Fe 1. s=? L = 5 Km R = 2,3 KΩ. T = 15 C La sezione del conduttore di ferro si ricava dalla formula inversa della legge di OHM s = ρ T *L / R Dove ρ T = 15 C = ρ 0 *( 1+α*T) = 0.13* ( 1+ 0.0047*15) = 0.14 [Ω*mm 2 /m] L= 5 Km = 5000 m R = 2,3 KΩ Sostituendo i valori numerici nella formula precedente si ha: s= 0.14 * 5000/2300 = 0.3 mm 2 11

12 esercizi in corrente continua completamente svolti ES.4 Calcolare la lunghezza di un conduttore di rame che deve presentare una resistenza elettrica da 120 Ω, di diametro d= 2,5 mm, alla temperatura di 20 C. SOLUZIONE DATI CALCOLARE Cu 1. L=? R = 120 Ω d= 2,5 mm T =20 C La lunghezza del conduttore di rame si ricava dalla formula inversa della legge di OHM L = s* R / ρ T Dove ρ T = 20 C = ρ 0 *( 1+α*T) = 0.016* ( 1+ 0.00426*20) = 0.017 [Ω*mm 2 /m] R = 120 Ω s= 3,14 *d 2 /4 = 3.14 * 2.5 2 / 4 = 4.9 mm 2 Sostituendo i valori numerici nella formula prevedente: L= 4.9 *120 / 0.017 = 34588,23 m 12

13 esercizi in corrente continua completamente svolti ES.5 Un generatore di corrente continua con E = 120 V e resistenza interna Ri = 2 Ω, alimenta un utilizzatore che presenta una resistenza di 10 Ω. Calcolare: La corrente erogata dal generatore La cdt interna del generatore La tensione disponibile ai suoi morsetti SOLUZIONE CIRCUITO EL. CALCOLARE 1.E = 120 V 1.I AC = 2.Ri = 2 Ω 2.Vi =V BC 3.Ru=10 Ω 3.Vd =V AB DATI Per calcolare la corrente erogata dal generatore si applica la legge di OHM per un circuito chiuso: I AC = V AC / R AC Dove R AC, detta resistenza totale, è la resistenza somma di tutte le resistenze incontrate dalla corrente quando si propaga nel circuito, comprese tra il morsetto + e del generatore: R AC = R AB +R BC = (2+10)= 12 Ω Pertanto la corrente precedente risulta, sostituendo i valori numerici noti: I AC = 120 / 12 = 10 A Per calcolare la cdt interna Vi si applica la legge di OHM : Vi= V BC = R BC * I BC = 2 *10 = 20 V Per calcolare la tensione disponibile ai morsetti del generatore, si applica la seguente formula: Vd = E Vi = 120 20 = 100 V 13

14 esercizi in corrente continua completamente svolti ES.6 Un utilizzatore presenta una resistenza Ru= 100 Ω e viene attraversato da una corrente I = 10 ma erogata da un generatore di tensione con resistenza interna Ri = 1 Ω. Calcolare la fem del generatore. SOLUZIONE CIRCUITO EL. DATI CALCOLARE 1.Ru= 100 Ω 1.E= 2.Ri = 1 Ω 3. I AB = 10 ma Dalla legge di OHM per un circuito chiuso si calcola la fem del generatore: E = Vd + Vi Dove Vd è la tensione disponibile ai morsetti esterni del generatore A e B : quindi essa è anche V AB, e cioè con la legge di OHM: Vd= V AB = R AB * I AB = 100 *10*10-3 = 1000 mv = 1 V Dove Vi detta cdt interna del generatore risulta: Vi= V BC = R BC *I BC = Ri*I AB = 1*10*10-3 = 10 mv = 0,01 V Pertanto la fem del generatore risulta: E = 1+ 0,01 = 1,01 V 14

15 esercizi in corrente continua completamente svolti ES.7 Un generatore di corrente continua con fem E = 220 V, resistenza interna Ri =5 Ω alimenta un utilizzatore che presenta le seguenti caratteristiche nominali: Vn= 250V, In= 2,5 A. Calcolare: la corrente assorbita dall utilizzatore La c.d.t. interna del generatore La ddp ai capi dell utilizzatore SOLUZIONE CIRCUITO EL. CALCOLARE 1.E = 220 V 1.I AB = 2.Ri = 5 Ω 2.Vi =V BC 3.Vn=250 V 3.V AB 4. In= 2,5 A DATI Dalle caratteristiche nominali dell utilizzatore si ricava la sua resistenza che è costante a tutte le condizioni di carico: R AB = Ru = Vn / In = 250 / 2,5 = 100 Ω La corrente assorbita dall utilizzatore, essendo anche la corrente erogata dal generatore, si calcola applicando la legge di OHM: I AC = V AC / R AC Dove V AC = E = 220 V R AC = R AB + R BC = 100+5= 105 Ω Pertanto la corrente precedente: I AC = 220 / 105 =2,09 A La cdt Vi = V BC = R BC * I BC = 5*2,09= 10,47 V La ddp ai capi dell utilizzatore : V AB = R AB *I AB = 100*2,09= 209 V 15

16 esercizi in corrente continua completamente svolti ES.8 Un generatore di corrente continua con fem E = 220 V, Ri=5 Ω alimenta due utilizzatori collegati in parallelo di cui le caratteristiche nominali sono rispettivamente le seguenti: V n1 = 250 V - I n1 = 25 A V n2 = 260 V - I n2 = 13 A Calcolare: la corrente erogata dal generatore La cdt interna del generatore La tensione disponibile ai morsetti del generatore La corrente assorbita da ciascun utilizzatore SOLUZIONE CIRCUITO EL. DATI CALCOLARE 1.E = 220 V 1.I AC = 2.Ri = 5 Ω 2.Vi =V BC 3.Vn1=250 V 3.V AB 4. In1= 25 A 4. I1= 5. V2n=260 V 5. I2 = 6. In2= 13 A Dalle caratteristiche nominali dei due carichi si calcolano le rispettive resistenze applicando la legge di OHM: Ru1 = Vn1 / In1 = 250 / 25= 10 Ω Ru2= Vn2 / In2 = 260 / 13 = 20 Ω Per calcolare la corrente richiesta Iac, erogata dal generatore, si semplifica il circuito assegnato applicando la regola del parallelo e della serie di resistenze, fino ad arrivare ad una sola resistenza detta resistenza equivalente totale da applicare ai morsetti del generatore di fem E che coincide con la Vac e al termine si applica la legge di OHM (1) I AC = V ac / R ac 16

17 esercizi in corrente continua completamente svolti Per fare questo si procede per gradi. Si applica la regola del parallelo a quelle resistenze che presentano i morsetti identificati dalle stesse lettere: nel nostro caso Ru1 e Ru2, entrambe presentano A e B : Rp = (Ru1*Ru2) / ( Ru1+Ru2)= (10*20)/(10+20)= = 6,67 Ω Si modifica il circuito in seguito alla semplificazione: Si applica la regola della serie tra la Rp e la Ri, e cioè Rs = Rp + Ri = 6,67+5= 11,67 Ω Si modifica nuovamente il circuito nel seguente: A questo punto si applica la formula precedente (1): I AC = V ac / R ac =220/11,67=18,85 A Per calcolare la cdt sulla resistenza interna, si prende in esame il secondo circuito, e in esso si applica la legge di OHM: Vi = V BC = R BC * I BC Dove R BC = Ri = 5 Ω I BC = I AC = 18,85 A Quindi Vi= 5*18,85= 94,26 A La tensione disponibile ai morsetti del generatore: V AB = E - Vi = 220-94,26 = 125,74 V Per calcolare la corrente assorbita da ciascun utilizzatore si applica la legge di OHM per ognuno: I1 = V AB / Ru1 = 125,74 / 10 = 12,58 A I2 = V AB / Ru2 = 125,74 / 20 = 6,3 A 17

18 esercizi in corrente continua completamente svolti ES.9 Un generatore di corrente continua, di resistenza interna trascurabile, alimenta tramite una linea lunga 1 km un utilizzatore. La linea è costruita con conduttore di rame ( ρ cu =0,0175 [Ω*mm 2 / m] ) a sezione costante, avente un diametro di 25/10 di mm. La resistenza dell utilizzatore è il 90% della resistenza complessiva. Calcolare: 1.la resistenza della linea 2. la resistenza dell utilizzatore 3. In un secondo tempo si allaccia in parallelo al 1 carico un 2 carico per cui la resistenza complessiva del circuito si abbassa del 30%. Calcolare la resistenza del 2 carico. SOLUZIONE CIRCUITO EL. DATI CALCOLARE L = 1 km 1 R L ρ cu =0,0175 [Ω*mm 2 / m] d = 25/10 di mm. 3. R u2 R u1 = 90% R T R T = R T - 30% R T La resistenza della linea si calcola con la seguente relazione: R L = ρ cu * 2 L/ s Dove L = 1000 m s = 3,14 * d 2 /4 = 3,14 * 2,5 2 / 4 = 4,9 mm 2 Quindi la R L = 0,0175 *2* 1000 / 4,9 = 7,14 Ω Per calcolare la resistenza dell utilizzatore si fa sistema fra le due espressioni seguenti: R T = R u1 + R L R u1 = 90% R T R T = 0,9* R T +R L R T -0,9* R T = R L R T ( 1-0,9) = R L R T = R L / 0,1 = 7,14 / 0,1 = 71,4 Ω Quindi la R u1 = 90% * R T = 90/100 * 71,4 = 64,2 Ω 18

19 esercizi in corrente continua completamente svolti Per calcolare la resistenza del 2 carico in parallelo al 1 si tiene conto della terza richiesta del problema: R T = R T -30% R T = 0,7* R T = 0,7 * 71,4 = 49,98 Ω La resistenza R u2 si deduce dal calcola della R T e cioè: R T = R L + ( R u1 *R u2 ) / ( R u1 +R u2 ) Dopo alcuni passaggi di semplificazione si ottiene: R u2 = 129 Ω ES.10 Una linea a due conduttori, lunga 3 km, di rame, diametro 35/10 mm, alimenta all arrivo un utilizzatore. Calcolare : la resistenza della linea La resistenza dell utilizzatore sapendo che la resistenza della linea è uguale all 8% della resistenza totale del circuito In un secondo tempo si deriva dal punto intermedio della linea un secondo carico per cui la resistenza complessiva del circuito si abbassa del 20%. Calcolare la resistenza del secondo carico. SOLUZIONE CIRCUITO EL. DATI CALCOLARE L = 3000 m 1. R L d = 3,5 mm 2. R u1 ρ cu = 0,0175 Ω*mm 2 / m 3. R u2 R L = 8% R T R T = R T - 20% R T La resistenza della linea di rame si calcola con la seguente formula: R L =ρ cu *2*L / s Dove s = 3,14 * d 2 / 4= 3.14*3.5 2 / 4 = 9.62 mm 2 La resistenza della linea: R L = 0,0175 *2*3000 / 9,62 = 10.91 Ω La resistenza dell utilizzatore poiché è in serie alla linea, risulta: R u1 = R T - R L Essendo R L = 8/100 R T, si ricava la resistenza R T in funzione della R L : R T = 100/8 R L = 100 / 8 * 10.91 = 136.4 Ω 19

20 esercizi in corrente continua completamente svolti Quindi R u1 = 136.4-10.91 =125,4 Ω Per calcolare la resistenza del secondo utilizzatore si procede nel seguente modo: R T = R T - 20 % R T = 80 % R T = = 80/100 * 136.4 = 109.12 Ω Essendo il 2 utilizzatore derivato a metà della linea risulta: R T = R L /2 + ( R L /2 + R u1 ) // R u2 ( Il simbolo // corrisponde al parallelo) Dopo alcuni passaggi e ordinando rispetto alla sola incognita R u2 si ricava il suo valore: R u2 = 497.6 Ω ES.11 Una linea a due conduttori lunga 1200 m, di rame, con diametro da 28/10 mm, alimenta all arrivo un utilizzatore da 50 Ω. In un secondo tempo si allaccia alla linea a 800 m di distanza dall origine, un 2 utilizzatore avente una resistenza di 60 Ω, e a 200 metri dall origine un 3 utilizzatore avente una resistenza di 35 Ω. Calcolare: la resistenza complessiva del circuito con i tre utilizzatori allacciati La resistenza complessiva del circuito col 2 e 3 utilizzatore allacciato. SOLUZIONE 20

21 esercizi in corrente continua completamente svolti CIRCUITO EL. DATI CALCOLARE L = 1200 m 1. R T12 d = 2,8 mm 2. R T23 ρ cu = 0,0175 Ω*mm 2 / m R u3 = 50 Ω R u2 = 60 Ω R u1 = 35 Ω La resistenza dei tronconi di linea di rame si calcola con la seguente formula: R L =ρ cu *2*L / s Dove s = 3,14 * d 2 / 4= 3.14*2,8 2 / 4 = 6,15 mm 2 La resistenza del 1 tronco di linea: R L1 = 0,0175 *2*200/ 6,15 = 1,13 Ω La resistenza del 2 tronco di linea: R L2 = 0,0175 *2*600/ 6,15 = 3,41 Ω La resistenza del 3 tronco di linea: R L3 = 0,0175 *2*400/ 6,15 = 2,27 Ω La resistenza complessiva con i tre utilizzatori e i tronchi di linea, risulta: R T =((( R u3 +R L3 ) //R u2 )+R L2 //R u1 )+R L1 R s1 = R u3 +R L3 = 50+2,27= 52.27 Ω R p1 = (R u2 *R s1 ) / (R u2 +R s1 ) = (60*52.27) / ( 60+52.27) = = 29.93 Ω R s2 = R L2 + R p1 = 29.93+3.41= 33.34 Ω 21

22 esercizi in corrente continua completamente svolti R p2 = ( R s2 *R u3 ) / ( R s2 +R u3 ) = ( 33.34*35 ) / ( 33.34 + 35 )= = 17.07 Ω R T = R L1 + R p2 = 1.13+ 17.07= 18.2 Ω R s1 = R L2 + R u2 = 3.41+60= 63.41 Ω R p1 = (R u3 *R s1 ) / (R u3 +R s1 ) = ( 35*63.41) / ( 35+63.41) = 22.55 Ω R T = R L1 + R p1 = 1.13+ 22.55= 23.68 Ω 22

23 esercizi in corrente continua completamente svolti ES.12 Un generatore di cc alimenta tramite una linea di rame lunga 200 m un utilizzatore. La densità di corrente nel conduttore di linea è uguale a 4 A/mm 2 ; la resistenza interna del generatore è i 2/3 della resistenza della linea; la cdt percentuale della linea riferita alla tensione in arrivo è uguale all 8%; la resistenza totale del circuito è uguale a 15 Ω. Calcolare : la fem del generatore Il diametro del conduttore di linea SOLUZIONE CIRCUITO EL. DATI CALCOLARE L= 200 m 1. E= ρ cu = 0,0175 Ω*mm 2 / m 2. d= δ= I/s = 4 A/mm 2 R i = 2/3 R L R T = 15 Ω v L % = 8% Applicando il 2 principio di Kirchhoff si calcola la fem del generatore: E V AB V B C V CB = 0 Dove V AB, tensione sulla linea, applicando la legge di OHM, risulta: V AB = R AB * I R AB è la resistenza della linea, quindi risulta: ρ cu 2L/s Quindi sostituendo nell espressione precedente si ricava: V AB = R AB * I = cu 2L*I/s = 0,0175 *2*200*4= 27.2 V Dalla conoscenza della tensione sulla linea % riferita all arrivo: v L% =100* V L /V A mediante una formula inversa si ricava la tensione in arrivo V A = 100* V L / v L% Sostituendo le tensioni con i punti indicati si ottiene: V BC = 100*V AB / 8= 100*27.2/8=340 V La cdt interna V CD applicando la legge di OHM risulta: V CD = Ri*I = (2/3 R L )*I = 2/3 V L = 2/3 *27.2 = 18.13 V Pertanto ritornando alla formula precedente della fem si ricava: E = 27.2+340+18.13 = 385.33 V Per calcolare il diametro del conduttore si applica la seguente relazione: d = rad.q (4*s/ 3.14 ) La sezione s si calcola dalla formula inversa della densità di corrente : s = I/ δ Dove la corrente erogata dal generatore I risulta, applicando la legge di OHM per un circuito chiuso: I = E / RT = 385.33 / 15 = 25.7 A Quindi s= 25.7 / 4 = 6.4 mm 2 Pertanto il diametro d= radq ( 4*6.4/3.14) = 2.86 mm 23

24 esercizi in corrente continua completamente svolti ES.13 Un generatore di c.c. sviluppa una tensione costante di 300 V e alimenta tramite una linea di rame due utilizzatori aventi ubicazioni diverse. Il primo è posto alla distanza di 180 m dal generatore, e alla tensione nominale di 250 V assorbe la corrente nominale di 12A; Il secondo è posto alla distanza di 400 m dal generatore e alla tensione nominale di 230 V assorbe la corrente nominale di 14 A. La linea è costruita con conduttore di sezione costante da 35/10 di mm. La corrente di corto circuito del generatore è di 350 A. Si supponga che i valori delle resistenze degli utilizzatori possano ritenersi costanti alle diverse condizioni di carico. Calcolare la corrente assorbita da ciascun utilizzatore. SOLUZIONE CIRCUITO EL. DATI CALCOLARE E=300 V 1. I1 ρ cu = 0,0175 Ω*mm 2 / m 2. I2 d=3.5 mm Icc= 350A L 1 = 180 m V n1 = 250V I n1 = 12A L 2 =400 m V n2 = 230V Per calcolare le correnti assorbite da ciascun utilizzatore, è necessario calcolare prima la corrente totale, erogata dal generatore, applicando la legge di OHM: I = E / R T La resistenza totale è R T = (R u2 +R L2 ) //R u1 + R L1 +Ri Le singole resistenze valgono rispettivamente: Ru1= Vn1 / In1= 250/12= 20.8 Ω Ru2 = Vn2 / In2 = 230 / 14 = 16.45 Ω ( resistenze degli utilizzatori : essendo costante nelle diverse condizioni di carico, si ricavano dalle caratteristiche nominali) Essendo la sezione costante essa vale: s= 3,14 * d 2 / 4 = 3.14*3.5 2 /4 = 9.6 mm 2 24

25 esercizi in corrente continua completamente svolti Quindi la resistenza del secondo e del primo tronco di linea risultano: R L2 = ρ cu 2L 2 /s = 0.0175*2*(400-180)/9.6=0.8 Ω R L1 = ρ cu 2L 1 /s = 0.0175*2*180/9.6= 0.65 Ω La resistenza interna del generatore, nota la Icc e la fem del generatore, risulta: Ri = E/ Icc = 300/350 = 0.86 Ω Ritornando alla formula precedente della resistenza totale e sostituendo i valori numerici: RT = 10.95 Ω. La corrente erogata dal generatore : I = E / R T = 300/10.95= 27.4 A Per calcolare la corrente assorbita dal 1 utilizzatore, è necessario conoscere la ddp ai suoi capi, che risulta essere V BD, quindi: V BD = E Ri*I R AB *I = E -( Ri+R AB )*I = =300*( 085+0.65)*24.4= 258.5 V Applicando la legge di OHM ai due lati dell arco doppio si hanno le correnti assorbite dagli utilizzatori: I 1 = V AB / R U1 = 258.5/20.8= 12.43 A I 2 = V AB / ( R u2 + R L2 )= 258.5/(16.45+0.8) = 14.98 A 25

26 esercizi in corrente continua completamente svolti ES.14 Parte prima. Si abbia un forno elettrico a resistenza alimentato con una tensione continua pari a V=230 [V] (ma nulla cambierebbe se fosse alimentato con una tensione alternata di valore efficace 230 [V]). Si vuole determinare il valore della resistenza R J del forno sapendo che esso deve essere in grado di elevare da J 1 =20 [ C] a J 2 =60 [ C] la temperatura di una quantità d olio minerale pari a 50 litri nel tempo di 15 minuti. Si assuma per il forno un rendimento del h=90%. Il sistema allo studio può essere rappresentato con la seguente figura: I V R h Per prima cosa si deve determinare il lavoro termico necessario per realizzare il voluto riscaldamento dell olio. Come si sa dal corso di fisica, la quantità di calore W J necessaria per riscaldare una sostanza si determina con l espressione: WJ = m cs ( J2 - J1) [cal] dove m [kg] è la massa della sostanza, c S [cal/( C g)] è il calore specifico della sostanza, J 1 e J 2 [ C] le temperature iniziale e finale della sostanza. Nel nostro caso la massa la determiniamo attraverso il volume v [dm 3 ] e la densità dell olio minerale d [kg/dm 3 ]: v = 50 [l] = 50 [dm d = 0,875 [kg/dm 3 3 ] ] m = v d = 50 0,875 = 43,75 [kg] Il calore specifico per l olio minerale vale c S =458,6 [cal/(kg C)], siamo quindi in grado di determinare il calore necessario: 4 S ( J2 - J1) = 43,75 458,6 (60-20) 80,25 10 W = m c = J [cal] Ricordando che una caloria equivale a 4,187 joule abbiamo infine: 4 W J = 80,25 10 4,187 = 33,60 10 [J] Considerando che detto lavoro deve essere compiuto in 15 minuti, calcoliamo la potenza calorica del forno: 5 26

27 esercizi in corrente continua completamente svolti P J = W t J = 33,60 10 15 60 5 = 3733 [W] Naturalmente, essendo il forno non ideale ma caratterizzato da un rendimento pari al 90% ovvero pari a 0,90, la potenza elettrica della resistenza riscaldante sarà maggiore: h = P P J R P R PJ = = h 3733 = 4148 [W] 0,90 Considerando che è nota la tensione applicata alla resistenza, mediante la legge di Joule possiamo trovare la resistenza stessa: 2 V V V 230 PR = V I = V = R = = = R R P 4148 La corrente assorbita dalla resistenza vale: 2 R 2 12,75 [ohm] PR 4148 I = = = 18,03 V 230 [A] Parte seconda. La resistenza sopra calcolata deve essere realizzata con un filo di Nichel-Cromo a spirale che presenta una resistività a zero gradi centigradi pari a 1,06 [Ω mm 2 /m] ed un coefficiente di temperatura a zero gradi centigradi pari a 5,1 10-5 [ C -1 ]. Considerando in base all esperienza una densità di corrente d I =9 [A/mm 2 ] calcoliamo la sezione e la lunghezza del filo necessario allo scopo. La sezione si calcola immediatamente: I I 18,03 d I = s = = 2 [mm 2 ] s di 9 = Visto il piccolissimo valore del coefficiente di temperatura possiamo ritenere in questa applicazione trascurabile la variazione di resistività conseguente alla variazione di temperatura. Ricordando come la resistenza dipende dalle dimensioni avremo infine: r l R s 12,75 2 R = l = = = 24,06 [m] s r 1,06 27

28 esercizi in corrente continua completamente svolti ESERCIZI DA SVOLGERE N.1 Un generatore in cc con resistenza interna trascurabile, alimenta attraverso una linea lunga 1 Km un utilizzatore. La linea è costruita con conduttore di rame a sezione costante avente un diametro di 25/10 mm. La resistenza dell utilizzatore è il 90% della resistenza complessiva del circuito. Calcolare: 1. la resistenza della linea 2. la resistenza dell utilizzatore 3. in un secondo tempo si allaccia in parallelo al 1 carico un 2 utilizzatore per cui la resistenza complessiva del circuito si abbassa del 30%. Calcolare la resistenza del 2 utilizzatore N.2 Si deve costruire una linea a 2 conduttorii lunga 10 Km per una portata di 200 A, s= 60 mm 2 di rame. Calcolare : 1. il diametro del conduttore di linea 2. resistenza elettrica del conduttore di linea 3. il peso del conduttore di linea N.3 Una linea a conduttori lunga 15 Km è costruita con conduttore di rame da 35/10 di mm e alimenta all arrivo un utilizzatore. Calcolare: 1. la resistenza della linea 2. la resistenza dell utilizzatore sapendo che la resistenza della linea è uguale all 8% della resistenza complessiva del circuito. 3. in un secondo tempo si deriva dal punto intermedio della linea un 2 utilizzatore per cui la resistenza complessiva del circuito si abbassa del 20%. N.4 Una linea a 2 conduttori lunga 1200 metri, di rame da 28/10 mm di diametro alimenta all arrivo un utilizzatore di 50 ohm. In un secondo tempo si allaccia alla linea a 800 metri di distanza dall origine un 2 utilizzatore avente una resistenza di 60 ohm e a 200 metri di distanza dall origine un terzo utilizzatore avente una resistenza di 35 ohm. Calcolare : 1. la resistenza complessiva del circuito con i tre utilizzatori allacciati 2. la resistenza complessiva del circuito col 2 e 3 utilizzatore allacciati 28