Appunti di Finanza quantitativa

Antonio Mannolini Roberto Renò Appunti di Finanza quantitativa ARACNE

Copyright MMVIII ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133 A/B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 978 88 548 1740 1 I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: aprile 2008

Indice 1 Il principio di assenza di arbitraggi 7 1.1 IlmodellodiCox,RosseRubinstein.... 7 1.2 Mercatouniperiodaleadeventifiniti... 8 2 Il modello di Black, Scholes e Merton 13 2.1 Ipotesidelmodello.... 13 2.2 Lavalutazionedeiderivatiditipoeuropeo... 15 2.3 Ilvalorediunacalleuropea.... 18 2.4 Hedging... 19 2.5 Volatilitàimplicitamodel-free.... 21 3 Modelli a volatilità stocastica 23 3.1 IlimitidelmodellodiBlackeScholes... 23 3.1.1 Testdinormalità... 25 3.1.2 Dipendenzaserialedeirendimenti... 27 3.1.3 Effettosmile.... 28 3.1.4 Proprietàdeirendimenti... 30 3.2 Modelliatempodiscreto... 31 3.2.1 Modelliomoschedastici... 31 1

3.2.2 ModelloARCH... 32 3.2.3 ModelloGARCH... 34 3.2.4 StimadelmodelloGARCH(1,1)... 36 3.2.5 IlmodelloGARCH-M... 37 3.2.6 ModelliGARCHasimmetrici.... 37 3.2.7 Modelliavolatilitàstocastica.... 38 3.3 Modelliatempocontinuo... 39 3.3.1 IlmodelloGARCH(1,1)continuo... 40 3.3.2 IlmodelloSABR... 41 3.3.3 Modelliaffini... 41 4 Modelli per i tassi di interesse 44 4.1 Introduzione:ilcasodeterministico.... 44 4.2 Alcunedefinizionidibase... 46 4.3 Modelliperiltassoabreve... 53 4.4 Alcunimodellispecificiperiltassoabreve... 56 4.4.1 IlmodellodiVasicek.... 56 4.4.2 IlmodellodiCox,IngersolleRoss... 58 4.4.3 Modelliaffini... 60 4.4.4 IlmodellodiHullandWhite,ovveroilVasicekesteso.... 61 4.5 Durationstocastica.... 61 4.6 Lapratica... 62 4.7 IModelliHJM... 63 4.7.1 IprezzidelleopzionieuropeenelModelloHJMGaussiano... 64 2

5 Modelli di mercato per i derivati sui tassi di interesse 65 5.1 ModellodiBlack:formulazionegeneraleesuagiustificazione... 65 5.2 MisurediMartingalaequivalenti... 66 5.2.1 IlBankaccountcomenumerario... 67 5.2.2 IlprezzodiunoZerocouponBondcomenumerario.... 67 5.3 CapeFloor.... 69 5.3.1 IcapletsonoopzioniputsuglizerocouponBond!... 69 5.3.2 IlBenchmark:ilmodellodiBlackperiCAP... 70 5.3.3 Alcuneosservazionisulsignificatodellavolatilità... 70 5.3.4 CapconmodellicheammettonoespressioniinformachiusadelleBondoptions... 71 5.3.5 Cap con modelli che non ammettono espressioni in forma chiusa delle Bond options. 71 5.3.6 OsservazionisulsignificatodiATMCAP... 72 5.3.7 EsempiodiunapossibileapplicazionepraticadiCap&Floor... 72 5.4 Leswapoption... 73 5.4.1 Richiamisulcontrattoswap... 73 5.4.2 Swaption... 74 5.4.3 Ladescrizioneanaliticadelpayoff... 75 5.5 LaValutazioneconglishortrate... 75 5.5.1 LaProceduradiJamshidian... 76 5.5.2 ApplicazionealleSwaption... 76 5.5.3 LaValutazioneconilmodellodiBlack-76... 77 5.5.4 SulsignificatodiATMSwaption... 79 5.6 Ritardinonnaturaliedaggiustamentiperlaconvessità... 80 5.6.1 Approccio1:EspansioneinSeriedeltasso... 81 3

5.6.2 L approcciodelcambiodinumerario.differentialswap... 83 6 Modelli per il rischio di credito 85 6.1 Modellistrutturali... 85 6.2 Modelliinformaridotta... 86 6.2.1 Statisticabinomiale... 86 6.2.2 ProcessidiPoisson... 87 6.2.3 IlvalorediunTCNsoggettoarischiodicredito... 89 6.2.4 Unmodelloperilrischiodicredito... 90 7 Modelli per i prezzi dell energia elettrica 93 7.1 Introduzione... 93 7.2 Proprietàempirichedeiprezzidell energiaelettrica... 94 7.2.1 Volatilitàelevata... 94 7.2.2 Salti.... 95 7.2.3 Stagionalità.... 96 7.2.4 Meanreversion... 96 7.2.5 Persistenzadellavolatilità... 96 7.3 Modelli:specificazioneestima... 97 7.3.1 Modelliatempodiscreto... 97 7.3.2 Modelliatempocontinuo... 100 7.3.3 Stimadiunmodellocontinuo.... 101 Riferimenti bibliografici 105 A Esercizi e quesiti 109 A.1 Esercizi... 109 4

A.2 Quesiti... 113 A.3 Approfondimenti... 116 5

Questo testo rappresenta una guida ai principali argomenti che sono, ad oggi, oggetto dello studio della finanza quantitativa; più che come un testo completo esso è pensato come una bussola per orientarsi in un mondo oggi estremamente ampio ed allo stesso tempo altamente specializzato. La finanza quantitativa è oggi infatti una disciplina estremamente ingegnerizzata e di difficile collocazione accademica, frequentata da matematici, fisici, statistici, economisti. Abbiamo quindi voluto presentare i principali modelli per le azioni, i tassi di interesse, i bond soggetti a rischio di credito, l energia elettrica, concentrandoci sempre sull intuizione economica più che sul formalismo, che è comunque ineliminabile. L organizzazione del materiale é contemporanea all organizzazione dei corsi quantitativi della laurea specialistica in Finanza presso l Università di Siena, che sono stati progettati con lo stesso spirito. L esposizione ha giovato dell esperienza di alcuni anni di insegnamento in tali corsi. La lettura di questi appunti presuppone una preparazione buona di matematica, probabilità e statistica e va comunque integratoatestidedicatiperlaprecisazionedeiconcettipiùcomplessidalpuntodivistaformale,eatestiedarticoli specializzati per l approfondimento di temi singoli, ai quali viene fatto puntuale riferimento nel testo. Si tenga comunque presente che la maggior parte dei concetti necessari per la finanza quantitativa sono descrivibili con una matematica standard, e che l eccesso di formalismo va lasciato a chi vi è interessato. Gli esercizi proposti in appendice sono volutamente privi di soluzione per invitare gli studenti al gusto della riflessione. Riflettereediscuteresudiunproblemaèdigranlungapiùimportantecherisolverlo,eciauguriamocheilnostro lavoro ci aiuti ad insegnare almeno questo. Desideriamo anche ringraziare i nostri studenti(che come spesso accade in questi casi sono anche le nostre cavie), cui questo testo è dedicato, per il loro inesauribile pungolo e per la loro spesso vivace intelligenza. In particolare, ringraziamo Davide Pirino, Alessandro Rubino e Alessandro Russo. Tutti gli errori, soprattutto quelli più grossolani, restano comunque i nostri. Antonio Mannolini Roberto Renò Siena, 11 marzo 2008 6

Capitolo 1 Il principio di assenza di arbitraggi 1.1 Il modello di Cox, Ross e Rubinstein Consideriamounmercatouniperiodale(cisonosoloduetempi: t = 0et = 1)incuisianopresentidue attivifinanziari.ilprimoèuncontoinbanca:afrontediuninvestimentoin t = 0pariaB,restituiscein t = 1lasomma B(1 + R).Ilsecondo,un azione,afrontediuninvestimento Sin t = 0,restituiscein t = 1 lasomma usconprobabilità poppurelasomma dsconprobabilità 1 p,con u > d. Perchènonsiano possibili arbitraggi, si ha: u > 1 + R > d In tale mercato, supponiamo di voler valutare un derivato; cercare cioè il prezzo C di un titolo che promette, in t = 1, C u o C d asecondadell andamentodelsottostante.unesempioèrappresentatodaunasemplice opzionedigitaleconstrike K;seilprezzodelsottostanteèmaggioredi K,l opzionepaga 1,seèminoredi K l opzione paga 0. Come fare a trovare il prezzo C? Una prima e intuitiva risposta potrebbe essere di calcolare il valore atteso scontato del derivato, cioè: C? = 1 1 + R [pc u + (1 p)c d ] Vedremo ora come questa intuizione sia del tutto errata. Il motivo economico è che tale valutazione è valida sel agenteèneutralealrischio;mainfinanzagliagentisonoavversialrischio. Poiché includere in un modello finanziario l avversione al rischio degli agenti è impraticabile, valutiamo allora il derivato usando il seguente ragionamento. Investiamo S nel titolo rischioso e B nel conto in banca. 7

Intotale,quindi,ilvaloredell investimentoès+ B,etaleinvestimentorestituisce us + B(1 + R)con probabilità poppure ds + B(1 + R)conprobabilità 1 p.risolviamoallorailsistema,conincognite Se B: us + B(1 + R) = C u (1.1) ds + B(1 + R) = C d Lasoluzioneè: S = C u C d u d B = 1 uc d dc u 1 + R u d (1.2) Poiché il nostro investimento replica esattamente il derivato in t = 1, se imponiamo l assenza di arbitraggi abbiamocheilvaloredelderivatoin t = 0deveessereugualeaS+ B,con Se Bdatida(1.2).Abbiamo quindi aggirato le preferenze degli agenti e trovato che: C = C u(1 + R d) + C d (u 1 R) u d Anzitutto,notiamocheilvalore Cdelderivatonondipendeda p.quindiilprezzodelderivatonondipende dal valore atteso futuro del sottostante. Notiamo poi che, se definiamo abbiamo che: q = 1 + R d u d C = 1 1 + R [qc u + (1 q)c d ] chesarebbeunvaloreattesoscontatose qfosselaprobabilitàdiottenere C u. Notiamo infine che vale l identità: S = 1 [qus + (1 q)ds] 1 + R 1.2 Mercato uniperiodale ad eventi finiti I risultati del modello di Cox-Ross-Rubinstein non sono una casualità legata al modello binomiale, ma nascondono in realtà un fatto più profondo, pur di natura formale, che lega la consistenza fra gli attivi finanziari ad un adeguata interpretazione probabilistica. In questo paragrafo analizziamo un mercato stilizzato che, pur nella sua semplicità, è costituito da tutti gli ingredienti fondamentali del problema delle scelte in condizione di incertezza, e nel quale le preferenze degli agenti non giocano un ruolo. Gioca invece un ruolo fondamentale l ipotesi di mercati perfetti, e in particolare il principio di assenza di arbitraggi. 8

Supponiamocheinunmercatoperfettosianopresenti Nattivi, S 1,...,S N,iqualisonocontrattabilisolo indueistantiditempo(mercatouniperiodale),cheindicheremocon t = 0et = 1. Ilvaloredegliattivi nel futuro è aleatorio, e per semplicità ipotizzeremo che lo spazio degli eventi Ω sia un insieme finito, anchesearbitrariamentevasto.detta Klacardinalitàdi Ω,denotiamocon ω 1,...,ω K ipossibilieventi.la probabilitàdiognieventoèdatada p(ω j ), j = 1,...,K,dove p( )soddisfalacondizione: K p(ω i ) = 1 i=1 La probabilità p( ) prende il nome di probabilità della natura ed è la probabilità con la quale si verificano i diversieventi.pertantociascunodegliattivifinanziari S i ha Kpossibilirealizzazioniin t = 1chedenotiamocon S1(ω i 1 ),...,S1(ω i K ),con i = 1,...,N.Ilvalorealtempo t = 0,oprezzo,delle Nattivitàfinanziare ènotoeloindichiamocon S0,...,S 1 0. N Traquesteattivitàpuòesserepresenteomenountitoloprivodi rischio,chehacioèlastessarealizzazionein t = 1intuttiglistatidinatura. Commento 1.1 Notiamo come in questo mercato siano perfettamente note le realizzazioni degli attivi nel futuro in corrispondenza dei diversi stati di natura. In pratica non è così: le realizzazioni degli attivi non sono conosciute dagli agenti, che utilizzano un modello. Il modello va poi giudicato a seconda di quanto spieghi i dati osservati nei mercati. Nel mercato qui considerato, il modello è considerato perfettamente noto. Esempio 1.2 Supponiamo che gli stati di natura vengano determinati dal lancio di una moneta, e pertanto siano due: testa o croce, entrambi con probabilità 0.5. Nel mercato siano presenti tre attivi, entrambi con valore pari ad 1 prima dellancio.dopoillancio,ilprimoattivovale1.ilsecondovale 3sevienetesta,e0sevienecroce.Ilterzovale 1.5se viene testa, e 0.75 se viene croce. Quale attivo preferite? I prezzi permettono arbitraggi? Avendo a disposizione una data ricchezza W, possiamo investirla in un portafoglio delle attività finanziarie. Secompriamo x i unitàdell attivo S i,ilvincolodibilanciosaràquindi: N W = x i S0 i (1.3) i=1 Inunmercatoperfetto,leunità x i possonoancheesserenegativeindicandolapossibilitàdivenditaallo scoperto.ilvalore W delportafoglioaltempo t = 1dipendedallarealizzazionefutura ω Ω,esaràquindi dato da: N W (ω) = x i S1(ω) i ω Ω (1.4) i=1 Per decidere se in tale mercato sono possibili o meno arbitraggi è possibile svolgere il seguente ragionamento.perottenereunarbitraggio,devotrovare,adesempio,deipesi x i taliche Win(1.3)sianegativo(cioè unguadagnoimmediato),eche W siapositivoonullo. Civieneinaiutoilseguenteteoremadialgebra lineare: 9

Teorema1.3 (Farkas Lemma)Siconsiderino m + 1vettori d 0,d 1,...,d m in R n.alloraleseguentiduepossibilità sono mutualmente esclusive: Esistono mnumerinonnegativi z 1,...,z m taliche d 0 = m z i d i (1.5) Esisteunvettore h R n taleche n i=1 h id 0,i < 0e n i=1 h id k,i 0perogni k = 1,...,m. i=1 PossiamoapplicareilTeorema1.3alnostrocaso:ilvettore d 0 èilvettoredeiprezzidegliattiviin t = 0;i vettori d 1,...,d K sonoivettori S i (ω)alvariaredi i,perognunodeipossibili Kvaloridi ω.l assenzadella possibilità di arbitraggi implica che il vettore h della seconda possibilità del Teorema 1.3 non può esistere, pertantoèveralaprimapossibilità.d altraparte,seèveralaprimapossibilità,ilteorema1.3cidiceche non è possibile effettuare arbitraggi, in quanto un arbitraggio in questo mercato si può, senza perdita di generalità, sempre scrivere in tale forma. Abbiamo perciò dimostrato il seguente: Corollario 1.4 Il mercato uniperiodale con attività aleatorie finite ed eventi finiti è privo di arbitraggi se e soltanto seesistono Knumeri z j 0, j = 1,...,N,taliche: S i 0 = N z j S1(ω i j ), i = 1,...,N (1.6) i=1 L assenza di arbitraggi è quindi equivalente al poter esprimere i prezzi delle attività aleatorie come combinazioni lineari dei valori futuri, con pesi che non dipendono dagli attivi finanziari. La combinazione lineare(1.6)puòformalmenteessereespressacomeunvaloremedio.seindichiamocon Z = K i=1 z iecon q i = z i /Z,otteniamo: S i 0 = Z N q i S1(ω i j ), i=1 i = 1,...,N dove K i=1 q i = 1. Pertanto,interpretandoipesinormalizzati q i comeunamisuradiprobabilità Q, possiamo scrivere: S i 0 = ZE Q [ S i 1], i = 1,...,N (1.7) Abbiamo quindi dimostrato la seguente equivalenza: il mercato è privo di arbitraggi se e soltanto se esistono una misura di probabilità Q e una costante Z per cui vale l equazione(1.7). Tale probabilità assume un ruolo fondamentale in matematica finanziaria: essa si indica come probabilità neutrale al rischio, perché nell equazione(1.7) il prezzo dipende solo dal valore atteso del valore futuro; si chiama inoltre probabilità martingala equivalente, per le sue proprietà probabilistiche che verranno approfondite in seguito. In ogni caso, a parte migliorie tecniche, come rendere continuo il tempo e infiniti i possibili eventi, l equazione(1.7) è la formula di valutazione che si utilizza in matematica finanziaria anche dopo aver introdotto l aleatorietà. 10

Nellapratica,unodegliattivièprivodirischio: ilcontoinbancaoleobbligazioni. Pertantoèusuale ipotizzare che uno degli attivi assuma sempre lo stesso valore nell istante t = 1, indipendentemente dalla realizzazione ω.supponiamochetaleattivosiailprimo,pertantoseilsuoprezzoès 1 0ilsuovalorein t = 1 sarà S 1 1 = S 1 0(1 + R)concertezza,essendo Runacostantereale,positivasevaleilpostulatod impazienza, cheesprimeiltassodiinteresse.pertantoilvaloreattesodella(1.7)scompare,esiottiene S 1 0 = Z(1 + R)S 1 0 da cui segue: Riassumiamo quindi nel seguente: Z = 1 1 + R Teorema 1.5 (Primo teorema fondamentale della matematica finanziaria) Supponiamo che in un mercato uniperiodaleesistanounnumerofinitodiattivi,echelospaziodeglieventisiafinito.supponiamoinoltrecheesistaunattivo privodirischio,echeilsuorendimentopercentualeistantaneosiapariar.ilmercatosaràprivodiarbitraggisee soltantoseesisteunaprobabilità Qtaleche,perogniattivo S,ilsuoprezzoèdatoda: S 0 = 1 1 + R EQ [S 1 ] (1.8) Commento 1.6 L equazione(1.8) è un equazione di valutazione che esprime il prezzo come valore atteso scontato dell attivo nel futuro! Però la probabilità usata non è quella che regola gli eventi futuri, ma la probabilità neutrale al rischio. A questo punto potremmo supporre che esista un legame fra la probabilità neutrale al rischio e le preferenze degli agenti, ed in effetti è così per approfondimenti si veda Huang and Litzenberger(1988). Esempio 1.7 Nel mercato dell esempio 1.2 non è possibile effettuare arbitraggi. Basta trovare una probabilità neutrale alrischio,adesempiocon R = 0,q 1 = 2/3,q 2 = 1/3siottengonoiprezziunitarideitreattivi. Notiamo come in tale mercato il problema della valutazione degli attivi rischiosi non sia ancora risolto. Infatti, il Teorema 1.3 assieme all ipotesi di assenza di arbitraggi implicano l esistenza della probabilità neutrale al rischio, ma non la sua unicità: potrebbero esistere diverse probabilità neutrali al rischio, e quindi diversiprezzi S 0 compatibiliconl assenzadiarbitraggio. Qualisonolecondizionipercuitaleprezzoé unico? Si tratta di risolvere un tipico problema di algebra lineare, cioè chiederci sotto quali condizioni la soluzione del sistema lineare(1.5) è unica. Conviene però riformulare il problema in termini economici. Definizione 1.8 Il mercato uniperiodale con attività finite ed eventi finiti si dice completo se, per ogni variabile aleatoria X(ω),con ω Ω,esistono Nnumerireali x i, i = 1,...,Ntalipercui W (ω) = X(ω)perogni ω Ω. L estensione della definizione di completezza in mercati più complicati(multiperiodali, tempi continui e eventi infiniti) è analoga. L interpretazione della definizione di completezza è immediata; il mercato è completose,ognivoltachevieneintrodottounnuovoattivo X,questoèreplicabileconunportafoglio x i 11

degliattivigiàpresentisulmercato. Senededuceche,seiprezzidegliattivisonodati,inassenzadi arbitraggi è dato anche il prezzo di X e tale prezzo è determinato in maniera univoca. Ogni variabile aleatoria X ha K possibili realizzazioni: tante quante gli eventi di Ω. Pertanto la completezza èequivalentealfattoche,perognivettore X R K,esistonounvettore x R N percuivale Sx = X,con S lamatricedi R K N cheall elemento (i,j)associailvalore S j 1 (ω(i)), i = 1,...,K, j = 1,...,N.Pertantoil mercatoècompletosel immaginedi Sètutto R K.Abbiamodimostratolaseguente: Proposizione 1.9 Il mercato uniperiodale con attività finite ed eventi finiti è completo se e soltanto se il rango della matrice S i (ω j ), i = 1,...,N, j = 1,...,KèpariaK. Seilmercatoèprivodiarbitraggiedèpresenteuntitoloprivodirischio,valelacaratterizzazione(1.8).Ma seilmercatoècompleto,alloraèpossibileunasolarealizzazionedelprezzo S 0,perchèl esistenzadiuna seconda realizzazione porterebbe ad un arbitraggio. D altro canto, se esiste un unico prezzo allora vuol direnonsolochelamatrice Shaperimmagine R N,maanchecheilsuonucleoènullo.Maseilnucleoè nullo,alloralamatrice Shaperimmagineanche R K,cioè N = K.Combinandolacompletezzael assenza di arbitraggi si ottiene quindi il seguente: Teorema 1.10 (Secondo teorema fondamentale della matematica finanziaria) Un mercato uniperiodale con un numerofinitodiattivieunnumerofinitodieventi,incuisiapresenteuntitoloprivodirischio,èprivodiarbitraggie contemporaneamente completo se e soltanto se esiste una misura di probabilità neutrale al rischio per la quale vale la (1.8), e tale probabilità è unica. Notiamo che la probabilità naturale non ha nessun ruolo nel determinare i prezzi, in quanto potrebbe avercelo solo se introduciamo le preferenze degli agenti, che invece qui sono assenti. Esempio1.11 NelmodellouniperiodaleCRR,abbiamodueattivi(N = 2),iltitoloprivodirischioeiltitolorischioso,eduestatidinatura(K = 2).Quindi N = Keilmercatorisultaprivodiarbitraggiecompleto.Pertantoogni nuovo attivo è replicabile usando i due attivi di partenza. UnesempiodimercatoincompletoèilmodelloCRRincuisiaabbianotrepossibilistatidinaturain t = 1 anziché due. 12

Capitolo 2 Il modello di Black, Scholes e Merton Il modello descritto in questo capitolo è stato formulato nella sua forma originari da Black and Scholes (1973)eMerton(1973)edèvalsoaisuoitreideatoriilpremioNobelperl economia. Essoèpiùspesso citatocomemodellodiblackescholes,senzacitareilcontributodimerton. 1 Talemodelloènatopensando al problema della valutazione delle opzioni finanziarie su azioni o indici azionari, ed è il punto di partenza nonchè il metro di paragone naturale(benchmark) per qualsiasi modello più ampio. Molti identificano il modello di Black e Scholes con la distribuzione lognormale dei prezzi. Tuttavia il contributo fondamentale di questa teoria non sta nella specificazione del modello dei prezzi, che è chiaramente smentita dai fatti, come discusso nel capitolo 3, ma nella tecnica per trovare il prezzo di un opzione con un modello in tempo continuo senza far ricorso alle preferenze degli agenti, ma utilizzando solo l assenza di arbitraggio e il concetto di replicazione di un portafoglio. 2.1 Ipotesi del modello L ipotesi principale del modello di Black e Scholes è che il mercato sia perfetto. Un mercato si dice perfetto sehatreproprietà.laprimaècheessosiaperfettamentecompetitivo,cioèglioperatorinonsonoingrado di influenzare il prezzo dei titoli scambiati con le loro operazioni e sono perciò detti price taker, ed inoltre gliagentipreferisconoilpiùalmeno(nonsazietà).lasecondaproprietàècheilmercatosiaprivodiattriti, cioè non ci siano tasse, costi di transazione e sia possibile vendere allo scoperto. Inoltre i titoli possono essere acquistati e venduti in quantità arbitrarie e infinitamente divisibili, e non c è rischio di credito. 1 IrisultatiespostiinquestocapitolosonostatiraggiuntiindipendentementedaBlackeScholesprima,edaMertonpoi.Merton raccontachequandoblackescholeshannotenutoilloroseminarioallasuauniversità,luisièsvegliatotardienonvihaassistito; pertanto non sapeva che lavorassero sullo stesso argomento. 13

Le prime due proprietà hanno un carattere tecnico, e servono a semplificare la trattazione. Pur essendo generalmente non rispettate nei mercati reali, esse hanno un impatto minimo sui risultati raggiunti. Si pensi ad esempio ai costi di transazione: essi ci sono ma sono minuscoli rispetto ai volumi tipicamente scambiati sui mercati finanziari. Più delicata è la possibilità di vendere allo scoperto, la quale però è generalmente verificata per grandi istituti finanziari, e perfettamente verificata nel caso che il titolo scambiato sia un futures su di un indice, come nel caso delle opzioni più scambiate al mondo, contrattate con sottostante il futures sullo S&P 500. La terza proprietà è invece cruciale, ed è l assenza nel mercato di arbitraggi non rischiosi. Definiamo un arbitraggiononrischiosocomeunportafogliodititolichehacostonullo,echeha,inunaqualsiasidata futura,valorenulloepositivoinalmenounostatodinatura 2. Èchiarochel esistenzadiunportafoglio di arbitraggio comporterebbe una domanda infinita dello stesso, e quindi è ragionevole supporre che tali portafoglio non esistano nei mercati finanziari reali. Come vedremo in seguito, le conseguenze dell assenza di arbitraggi non rischiosi sono cruciali per la teoria. Nel modello di Black e Scholes sono presenti due titoli scambiabili. Consideriamo l orizzonte temporale [0,T],identificandocon t = 0l istanteiniziale.ilprimotitolo, B(t),prendeilnomedimoneymarketaccount, e segue la seguente dinamica: db(t) = rb(t)dt, (2.1) con r una costante reale positiva. La notazione usata nell equazione(2.1) è una riscrittura formale dell equazionedifferenzialeordinaria B (t) = rb(t),lacuisoluzioneè: B(t) = B(0)e rt (2.2) Pertanto il valore del money market account evolve secondo una legge esponenziale di tasso r. In qualche maniera possiamo interpretarlo come una specie di conto in banca. L ipotesi di mercato perfetto implica cheèpossibilecomprareevendere B(t),ilchevuoldirecheèpossibilefinanziarsioprestareildenaroallo stesso tasso r. Mentre tale ipotesi non è chiaramente verificata per prestiti di piccole dimensioni, essa è invece piuttosto solida per le banche di affari, che si scambiano il denaro al tasso Euribor, e il differenziale ditassofradomandaeoffertaèminimo. Il secondo titolo scambiabile, S(t), è invece un attivo rischioso e la sua dinamica è data dall equazione differenziale stocastica: ds(t) = µs(t)dt + σs(t)dw t, (2.3) dove µ e σ sono costanti reali e positive. Nel caso che S(t) rappresenti un azione o un indice azionario, poiché in equilibrio la domanda aggregata dei titoli rischiosi è positiva e gli investitori sono avversi al rischio,deveessere µ > r,altrimentinoncisarebbedomandadeltitolorischioso.inunmondoincuigli investitori sono neutrali al rischio sarebbe invece µ = r. 2 Unostatodinaturaèunevento ω Ω 14

L attivo rischioso è quindi determinato da un equazione differenziale stocastica nota come moto browniano geometrico, poiché µ e σ sono costanti. La soluzione dell equazione(2.3) si trova notando che, per il lemma di Itô: per cui: S(t) = S(0)exp d log S = ds S σ2 2 dt ] [(µ )t σ2 + σw t, (2.4) 2 pertanto S(t)èdistribuitosecondounadensitàdiprobabilitàlognormaleconmedia (µ σ2 2 )tevarianza σ2 t. ) Ciò vuol dire che il rendimento logaritmico, definito come log è distribuito secondo una densità di probabilità normale. ( S(t) S(0) 2.2 La valutazione dei derivati di tipo europeo Perderivato,nelmodellodiBlackeScholes,intendiamounattivoilcuivaloredipendadalvaloredi S(t). Adesempio,nelcasodiun opzionecalleuropea,abbiamocheilvaloreascadenza T,opayoff,èdatoda (S(T) K) +,dove x + = max(x,0)indicalapartepositivadiunnumero xekèilprezzodiesercizio,o strike. In generale, definiamo un derivato tramite una funzione ϕ(s(t)) che indichi il valore del derivato a scadenza 3.Perl opzionecalleuropeasiavrà ϕ(x) = (x K) +,perl opzioneputeuropeasiavrà ϕ(x) = (K x) +. Comevienevalutatounderivatoin t = 0,conoscendoilsuovaloreascadenza(t = T)?Èchiarochepoiché ilvaloreterminaledi S(T)èaleatorio,ancheilvaloredelderivatoin Tlosarà. Scriviamoilvaloredel derivato in un istante generico t tramite una funzione di due variabili, che chiamiamo F(t, S(t)). Potremmo essere tentati dal rispondere a questa domanda facendo il valore atteso del payoff futuro, cioè: F(0,S(0)) = P(0,T)E[ϕ(S(T))], dove P(0,T)èilfattoredisconto.Inteoriasaremmoingradodisvolgerequestocalcolo,perchèconosciamo la distribuzione di probabilità di S(T), data dalla(2.4) e il fattore di sconto, dato dalla legge esponenziale di tasso r, ma come sappiamo dalle nozioni di scelte in condizioni di incertezza, tale risposta sarebbe errata, perché non tiene conto dell avversione al rischio degli agenti, che richiedono un premio al rischio per detenere un attivo rischioso. Per effettuare la valutazione, utilizzeremo allora l ipotesi di assenza di arbitraggio. L argomento svolto è ilseguente.supponiamodidisporrediun unitàdiricchezza,ediinvestireunaquota u S eunaquota u F della propria ricchezza nel titolo rischioso S(t) e nel derivato F(t, S(t)) rispettivamente. Si avrà quindi 3 L estensioneaderivatiilcuivaloredipendadall interatraiettoria,comeleopzioniasiatiche,èimmediata. 15

u S + u F = 1,eperl ipotesidimercatoperfetto,unadelleduequantitàpotràesserenegativa.chiamiamo V (t)ilvaloreditaleportafoglio.avremoquindi V (0) = u S S(0)+u F F(0,S(0)).Perconoscerel evoluzione V (t)delvaloreditaleportafoglio,occorreconoscereladinamicadi S(t),datadalla(2.3),edi F(t,S(t)). Poichéladinamicadelderivatodipendesolodaltempoedalladinamicadi S(t),cheènota,possiamo usareillemmadiitôescrivere: df(t) = F F dt + t S ds + 1 ( 2 σ2 S 2 2 F F S 2 dt = t dove abbiamo sostituito ds con la(2.3). Sfruttando quindi il fatto che: la dinamica del portafoglio è data da: ( dv (t) V (t) = u 1 F F F t + µs F S + 1 2 σ2 S 2 2 F S 2 dv V = u ds S S + u df F F, F + µs S + 1 ) 2 σ2 S 2 2 F S 2 dt + σs F dw(t). (2.5) S ) 1 dt + u S S µsdt + u 1 F F σs F S dw(t) + u SσdW(t). (2.6) Lasceltadi u S e u F modificalasceltadelportafoglio.èsemprepossibileeffettuarequestasceltainmaniera tale da annullare la parte stocastica della diffusione di V (t), risolvendo il sistema: lacuisoluzioneèdatada: 1 u F = 1 S F u S + u F = 1 S F u F F S + u S = 0, u F S = S S F F S 1 S F F S (2.7) (2.8) A questo punto entra in gioco l argomento dell assenza degli arbitraggi non rischiosi. Se scegliamo di investire nel portafoglio V, formato dal titolo rischioso S e dal derivato F, secondo le proporzioni indicate dalla(2.8), otteniamo un portafoglio privo di rischio, così come privo di rischio è il money market account B(t). Pertanto, affinché non siano possibili arbitraggi, i due attivi B(t) e V (t) devono avere lo stesso rendimento,pariar.imponiamoquestacondizionesostituendo u F e u S,datidalla(2.8),nelladiffusione(2.6), epoiimponiamocheildriftsiapariar.dopounpo dialgebra,eimponendolacondizioneascadenza F(T,S(T)) = ϕ(s(t)),otteniamo: F F + rs t S + 1 2 σ2 S 2 2 F S 2 = rf F(T,S) = ϕ(s) Osserviamo l equazione(2.9). Si tratta di un equazione alle derivate parziali del secondo ordine, in particolare tale equazione è nota come equazione del calore. Data la funzione ϕ(x), che ne definisce la condizione a scadenza, essa può essere risolta o mediante tecniche analitiche, o con metodi numerici. L equazione(2.9) (2.9) 16

forniscequindi,informaimplicita,lasoluzionealnostroproblema,cioèilvaloredi F(t,S(t))inogniistante t [0,T],einparticolarein t = 0.Infinenotiamocheilrisultatoottenutorestavalidoanchese µeσnon sono costanti, ma sono anch esse funzioni di t, S(t). Notiamo poi una caratteristica dell equazione(2.9) che ha un importante interpretazione economica. Nell equazione(2.9), non compare la costante µ, cioè il termine di deriva del titolo rischioso. Tale parametro è pertanto ininfluente ai fini della valutazione delle opzioni, mentre invece i parametri r e soprattutto σ influiscono sul valore del derivato. Per intuire il motivo per il quale µ non compare nella (2.9), usiamo un interpretazione probabilistica dell equazione alle derivate parziali fornita dalla formula di Feynman-Kac. Tale formulacidicechelasoluzione F(t,S)dell equazione(2.9)èdatada: F(t,S(t)) = e r(t t) E[ϕ(X(T)) F t ] (2.10) dove la variabile aleatoria X soddisfa l equazione differenziale stocastica: dx(t) = rx(t)dt + σx(t)dw (t) (2.11) con X(0) = S(0)eW (t)èunmotobrowniano. Eccochenell equazione(2.10)rispuntailvaloreatteso scontato del payoff dell opzione! Tuttavia abbiamo sostituito al valore effettivo del titolo sottostante S lavariabilefittizia X,cheperòdifferisceda Ssoloperilfattodiaversostituito µcon r. Lavariabile X rappresenta quindi il valore del titolo rischioso in un mondo neutrale al rischio. Riscriviamo quindi la soluzione F nel seguente modo: F(t,S(t)) = e r(t t) E Q [ϕ(s(t)) F t ] (2.12) doveilvaloreatteso E Q ècalcolatoconunadensitàdiprobabilità Qincui µ = r. Sedefiniamotale probabilità come probabilità neutrale al rischio, possiamo dire che il valore di un derivato è dato dal valore atteso scontato, sotto la probabilità neutrale al rischio, del payoff del derivato a scadenza. Quindi la logica dicalcolareilvaloredelderivatocomevaloreattesoscontatoèsbagliatasesiusailvaloreattesosottola misura di probabilità in cui S(t) segue la diffusione(2.3). Definiamo tale probabilità probabilità naturale e la indichiamo con P. È invece un ragionamento giusto se usiamo la probabilità neutrale al rischio. Come si passa dalla probabilità naturale a quella neutrale al rischio? È chiaro che cambiare misura di probabilità ha effetto solo sul moto Browniano, che è l unica variabile aleatoria da cui le altre dipendono. In termini matematici, il cambio di probabilità è fornito dal teorema di Girsanov. Per passare dalla diffusione(2.3) alla diffusione(2.11) occorre che: W (t) = W(t) + µ r t, (2.13) σ eilteoremadigirsanovcidicecheinquestocasoilcambiodiprobabilitàèdatoda: ( dq dp = exp µ r σ t 1 (µ r) 2 ) 2 σ 2 t (2.14) 17

Lagrandezza µ r σ,chegiocaquindiunruolocrucialenelpassaredallaprobabilitànaturaleallaprobabilità neutrale al rischio, è detta premio al rischio. Essa ha un interpretazione economica naturale: è il rendimento in eccesso richiesto dagli investitori per unità di σ, che è una misura della rischiosità del titolo, per detenere il titolo rischioso. Dal punto di vista pratico, le soluzioni fornita dall equazione differenziale parziale(2.9) e dal valore atteso (2.12) sono entrambe fornite in forma esplicita. La possibilità di scrivere la soluzione in forma esplicita dipende dalla funzione ϕ( ) che esprime il payoff del derivato. Tuttavia, qualora la funzione ϕ( ) sia tale da non consentire di scrivere la soluzione in forma implicita, la formulazione(2.10) è più comoda perchè permette il raggiungimento della soluzione con tecniche Monte Carlo. Anche l equazione(2.9) può essere risolta con metodi numerici(metodo delle differenze finite), ma con molte più difficoltà. Notiamo infine che i risultati esposti dipendono unicamente dall assenza di arbitraggio, e sono totalmente indipendenti dalle preferenze degli agenti. Questo fatto è un notevole punto di forza della teoria, poiché le preferenze degli agenti sono difficilmente quantificabili, mentre l assenza di arbitraggi è verificabile(e verificata) in ogni mercato. 2.3 Il valore di una call europea Usiamo i risultati nel paragrafo precedente per trovare il valore di una call europea. In questo caso abbiamo ϕ(x) = (x K) +.Usiamolaformulazioneprobabilistica(2.10)escriviamoquindi: + F(t,S(t)) = e r(t t) (S(T) K) + dq(s) 0 L integrale inizia da 0 perchè S(T) ha una distribuzione lognormale, quindi con supporto solo sui numeri positivi. L integrale in questione si calcola sfruttando esplicitamente la soluzione per S(T) sotto Q. Infatti ( ) S(T) = S(t)e Y,dove Y è,sotto Q,unavariabilealeatorianormaleconmedia r σ2 2 (T t)evarianza [( ) σ 2 (T t). Alloraconvienescrivere S(T) = exp r σ2 2 (T t) + σ ] T t Z,dove Zèunavariabile normale standard. Il prezzo della call diventa quindi: F(t,S(t)) = e r(t t) + ( S(t)e r σ2 2 (T t)+σ T t z K ) + φ(z)dz dove φ(z) = 1 2π e z2 2 nullo se: cioè se: èladensitàdiunadistribuzionenormalestandard. L argomentodell integraleè z < S(t)e r σ2 2 log K S(t) ( (T t)+σ T t z K, r σ2 2 σ T t ) (T t) = z 0, 18

quindi abbiamo: F(t,S(t)) = e r(t t) + z 0 ( S(t)e r σ2 2 (T t)+σ T t z K ) φ(z)dz. Ora calcoliamo separatamente i due pezzi nell integrale. Per il primo abbiamo: e r(t t) + z 0 S(t)e r σ2 2 (T t)+σ T t z 1 2π e z2 2 dz = S(t) 2π + z 0 e 1 2 (z σ T t) 2 dz. Sedefiniamolafunzione N(x) = x φ(x)dx,cioèladensitànormalestandardcumulata,sfruttandola simmetriadelladistribuzionenormaleabbiamochel integralesopraèugualeas(t)n( z 0 +σ T t).per il secondo pezzo dell integrale abbiamo: In conclusione, abbiamo: e r(t t) + z 0 K 2π e z2 2 dz = Ke r(t t) N( z 0 ) F(t,S(t)) = S(t)N( z 0 + σ T t) Ke r(t t) N( z 0 ) Definiamo ora: d 1 = σ T t z 0 = log S(t) K + ( r + σ2 2 σ T t ) (T t) (2.15) d 2 = d 1 σ T t (2.16) Abbiamo: F(t,S(t)) = S(t)N(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ) (2.17) Laformula(2.17)ènotacomeformuladiBlackeScholes.Laformulaperl opzioneputpuòesseretrovata facendo ricorso alla put-call parity. 2.4 Hedging La procedura di hedging(copertura) consiste nel risolvere il seguente problema: dato un derivato, il cui valore nel tempo è dato dalla funzione F(t, S(t)), si costruisca un portafoglio formato dal sottostante e dal titolo privo di rischio che abbia lo stesso valore in ogni istante temporale. Tale portafoglio garantirebbe una replicazione, cioè la possibilità di detenere un attivo finanziario del tutto equivalente al derivato, ma utilizzando i due titoli che costituiscono il modello di Black& Scholes. Supponiamo di avere un attivo rischioso che si evolve secondo il moto geometrico browniano(2.3) e un titolo risk-free che se evolve secondo la legge esponenziale(2.1). Supponiamo di avere venduto un opzione europeaconpayoffascadenzadatoda ϕ(s(t)). 19

Il payoff a scadenza è incerto: l acquisto di un opzione è un attività rischiosa. L hedging(o copertura) consiste nell annullamento del rischio insito nell acquisto del derivato. Per eliminare il rischio, aggiungiamo in portafoglioquotedelsottostante.costruiamodunqueunportafogliodalvalore V compostoda u S quote delsottostantee(1 u S )quotedeltitolorisk-free.lavariazionepercentualedivaloreditaleportafoglio sarà data da: da cui si ricava facilmente: dv t V t = u S ds t S t + (1 u S ) db t B t dv t V t = u S (µdt + σdw t ) + (1 u S )rdt = u s (µ r)dt + rdt + u s σdw t Adessoimponiamocheilvaloredelportafoglio V t siaugualealvalore F(t,S t )chevogliamoreplicare. Utilizzando il lemma di Itô e sostituendo nell espressione precedente otteniamo: df F = 1 ( F F t + µs F t S + 1 ) 2 σ2 S 2 2 F S 2 dt + 1 F F S σsdw t LasoluzionediunaSDEèunica,pertantose V 0 èparialprezzodell opzione,iterminidiffusividi Vedi F devono coincidere; pertanto ricavo la condizione di hedging: u S = S F F S (2.18) Notiamo che il termine di drift di V coincide con quello di F automaticamente, per l assenza di arbitraggio cheimponelapde(2.9). Pertanto, la quota di portafoglio da investire nel sottostante per effettuare la copertura non dipende dalla volatilitàdelsottostantestesso.talequota u S èproporzionalea F S,cherappresentailnumerodiquotedel sottostante da acquistare per unità del derivato. Tale termine prende il nome di definito da = F S, e per questo motivo la procedura appena esposta è nota come -hedging. Ad esempio, per un opzione call si ottiene facilmente: = N(d 1 ) Possiamo anche affermare che il delta esprime la variazione infinitesima di prezzo del derivato per unitá di variazione del prezzo del sottostante. 20

La strategia di hedging mira quindi a neutralizzare l effetto stocastico di un derivato. La somma del portafoglio replicante e del derivato ha valore zero in ogni istante. Dov è dunque la convenienza dell operazione? Per un intermediario finanziario, il guadagno deriva dalla vendita dell opzione ad un prezzo superiore a quello teorico per la presenza di un margine di intermediazione. Tale margine costituisce il costo del servizio finanziario, ma poiché tale servizio riguarda un evento dall esito incerto(il payoff a scadenza dell opzione), è possibile che il guadagno in media(rappresentato dal margine) non sia in realtà sufficiente a coprire le perdite potenziali. Quindi viene reinvestito nella strategia di hedging per realizzare un portafoglio completamente immunizzato. In tale maniera, gli intermediari riescono a trasformare un bilancio positivo ma stocastico in un bilancio positivo e certo. Tuttavia, è anche necessario osservare che il delta varia nel tempo, costringendo ad un continuo ribilanciamento del portafoglio costruito per la copertura. Il -hedging è quindi limitato da costi di transazione (dipendono dai volumi scambiati), mancanza di liquiditá sul mercato del sottostante e dal costo di eventuali vendite allo scoperto del sottostante; tutto questo senza accennare al rischio di modello, cioè il rischio cheilmodellodiblackescholesnondescrivaadeguatamenteladinamicadelsottostanteechequindiil non sia adeguato alla copertura. In ogni caso, il -hedging funziona tanto meglio quanto minore è la velocitá di variazione del delta. Tale velocitánonèaltrocheladerivatadeldeltarispettoalsottostante,eprendeilnomedi Γ: Γ = S = 2 F S 2 Allo stesso modo si definiscono poi le restanti greche per ogni fattore di rischio relativo al prezzo di un opzione, precisamente: ρ = F r esprimeilrischioditassodiinteresse V ega = F σ esprimeilrischiodivolatiltià Θ = F t esprimeilrischiotemporale Come nel caso del Gamma, le derivate seconde incrociate(valga, vanna)permettono di esprimere le rischiosità delle greche stesse. 2.5 Volatilità implicita model-free La volatilità implicita, ottenuta invertendo la formula di Black e Scholes, gioca un ruolo fondamentale in finanza. In varie salse, essa rappresenta l ingrediente di valutazione fondamentale per i derivati, sia sulle azioni che sui tassi di interesse. Tuttavia, essa soffre della limitazione di essere definita dal modello di Black 21

e Scholes, cioè dalla diffusione lognormale. Non rappresenta quindi un indicatore affidabile se il modello sottostante non è lognormale. Per questo motivo, sui mercati finanziari odierni è utilizzata una volatilità implicita che non dipende da alcun modello(model-free), e che coincide con la volatilità implicita di Black e Scholes nel caso in cui questo sia il modello che ha generato i rendimenti. La definizione di volatilità implicita model-free si basa sulla seguente osservazione(britten-jones and Neuberger,2000).Ilprezzoin tdiunacallconmaturitàtestrike Ksiscrive: + C t (T,K) = e r(t t) (S T K) + ψ(s T = S)dS 0 dove ψ(s T = S)èlaprobabilitàriskneutraldiosservareilprezzo Sascadenza,nonnecessariamentedata dalla lognormale. Se derivo rispetto a K ottengo: C K + t) = e r(t e se derivo una seconda volta rispetto a K ottengo: K ψ(s t = S)dS 2 C K 2 = e r(t t) ψ(s T = K) Pertanto, posso ottenere la probabilità futura di ottenere un certo prezzo derivando due volte il prezzo oggi della call rispetto allo strike. Tale intuizione viene generalizzata nella seguente proposizione: ( ) 2 T E Q ds + u C 0 (T,Ke r(t t) ) C 0 (t,ke r(t t) ) = 2 S u K 2 dk (2.19) t 0 Definiamo la model-free implied volatility proprio come: ( T IV (t,t) = E Q t ds u S u ) 2 (2.20) Inteoria,essapuòesserecalcolatadisponendodeiprezzidicallconstrikechevannoda 0a+ ;inogni caso, essa viene calcolata ed ampiamente utilizzata con gli strike disponibili, usando tecniche di interpolazione. Il vantaggio di questa misura di volatilità implicita è di non dipendere dal modello con cui sono state valutate le call. 22