Valutazione di un opzione cliquet floored nell ambito di un modello basato sui processi di Sato

POLITECNICO DI MILANO Facolta di Ingegneria dei Sistemi Corso di Studi in INGEGNERIA MATEMATICA Valutazione di un opzione cliquet floored nell ambito di un modello basato sui processi di Sato Il Relatore Prof.Carlo Sgarra Il Candidato Mattia Albertella,matr.719717 Anno Accademico 2009-2010

Indice Introduzione 1 1 I processi Levy 6 1.1 Infinita divisibilità........................ 6 1.2 La formula di Lévy-Khintchine.................. 8 1.3 Processi di Lévy.......................... 9 1.4 Decomposizione di Lévy-Ito................... 14 1.5 Processi di Lévy come modelli di mercato............ 16 2 I processi di Sato 19 2.1 Processi autodecomponibili.................... 19 2.2 Processi di Sato.......................... 24 3 Prodotti strutturati 27 3.1 Caratteristiche dei prodotti strutturati............. 28 3.2 Alcuni prodotti.......................... 33 4 I processi di Sato e la valutazione dei prodotti strutturati 47 4.1 Proprietà dei rendimenti..................... 48 4.2 La varianza della varianza realizzata per i processi di Sato.. 51 4.3 I modelli.............................. 54 4.4 Valutazione di alcuni prodotti.................. 56 4.5 Osservazioni sui risultati..................... 58 5 Valutazione di un prodotto cliquet floored 61 5.1 Metodo Ziggurat......................... 61 5.2 Simulazione del processo di Sato................ 63 1

5.3 Valutazione di un opzione cliquet floored............ 65 5.4 Variazione dei parametri..................... 68 6 Conclusioni e possibili sviluppi 73 A Processi di Lévy 75 A.1 Funzioni caratteristiche...................... 75 A.1.1 Distribuzioni su interi non negativi........... 75 A.1.2 Distribuzioni sulla semiretta positiva.......... 75 A.1.3 Distribuzione sulla retta dei numeri reali........ 76 A.2 Triple di Lévy........................... 77 A.2.1 γ.............................. 77 A.2.2 la misura di Lévy v(dx)................. 78 B Densità autodecomponibili 79 2

Sommario Dal famoso articolo di Black and Scholes del 1973 sulla valutazione delle opzioni, una notevole quantità di articoli è stata scritta sull argomento. Tuttavia, col passare del tempo, l ipotesi fondamentale del modello di Black- Scholes che il sottostante segua una diffusione lognormale con una volatilità costante si è rivelata sempre più difficile da sostenere; di conseguenza, negli ultimi 40 anni sono stati presentati diversi modelli alternativi, in quanto si è iniziato ad osservare divari molto significativi tra i prezzi di opzioni su vari indici azionari e prezzi dati dal modello di Black-Scholes. Due ipotesi sono fondamentali nel modello di Black-Scholes per poter prezzare derivati: i) la volatilità è costante, ii) i prezzi devono seguire una traiettoria continua. Tutte le estensioni del modello di Black-Scholes che tentano di catturare l effetto smile della volatilità si basano sul rilassamento di almeno una delle ipotesi. Rimuovendo l ipotesi di volatilità costante si arriva ai modelli di volatilità stocastica, in cui il parametro della volatilità segue una diffusione correlata con quella del sottostante; uno di questi modelli è stato presentato da Heston. Rimuovendo l ipotesi di continuità della traiettoria si giunge invece ai modelli con salti, nei quali il prezzo del sottostante segue un processo di Lévy del tipo jump-diffusion o del tipo pure jumps : i processi della prima classe sono caratterizzati da un processo diffusivo che viene interrotto da salti in tempi aleatori; invece quelli della seconda presentano un numero infinito di salti in ogni intervallo e per questo vengono detti processi ad attività infinita. I modelli con salti attribuiscono gli errori del modello Black-Scholes ai timori di un futuro crollo delle quotazioni che non vengono presi in considerazione nella valutazione delle opzioni, questi modelli ritengono dunque che un crollo delle quotazioni sia un evento plausibile. In particolare i processi di Lèvy sono un tema di ricerca molto studiato in finanza in quanto si adattano bene a descrivere l andamento delle distribuzioni

dei rendimenti dello stock nel caso in cui questi siano caratterizzati da code spesse ed elevata curtosi e per questo motivo svariati modelli sono stati presentati durante gli ultimi anni. I più noti sono i modelli Merton normal jump-diffusion e Kou double exponential jump-diffusion, che sono modelli di tipo jump-diffusion; bisogna però osservare che lo sviluppo di entrambi richiede la conoscenza di complicate funzioni speciali nel caso in cui si cerchi una formula di prezzo a partire dalla distribuzione di probabilità. Invece sono di tipo pure jumps i modelli Variance Gamma e Normal Inverse Gaussian, i quali possono essere ottenuti attraverso la subordinazione di un moto Browniano. Di seguito un modello importante è stato proposto da Carr, Geman, Madan e Yor: si tratta di una distribuzione a 4 parametri chiamata CGMY in seguito generalizzata a 6 parametri. Recentemente E.Eberlein e D.B.Madan si sono interessati ad una sottoclasse dei processi di Lévy, i cui elementi sono detti processi di Sato, studiando l impatto dovuto dal loro utilizzo come modelli del prezzo logaritmico degli stocks nel prezzaggio dei prodotti strutturati; l articolo in cui presentano i risultati ottenuti ha dato origine a questa tesi. Nel primo capitolo vengono introdotti i processi di Lévy dandone la definizione e presentando l importante risultato noto come formula Lévy- Khintchine e la decomposizione di Lévy-Ito; presentato l aspetto matematico si spiega perchè il mondo finanziario si è interessato a questa tipologia di processi. Il secondo capitolo è dedicato ai processi di Sato: partendo dalla definizione di processi autodecomponibili si arriva a presentare le caratteristiche che contraddistinguono questi processi. Il capitolo successivo è invece dedicato ai prodotti strutturati la cui presenza nei mercati finanziari è in continua espansione, basti pensare che nel 2004 il volume che li riguardava in Usa era di 12 billioni di dollari, nel 2005 era pari a 50 billioni e nel 2006 era cresciuto di un ulteriore 25%; dopo avere presentato le caratteristiche principali che possono essere presenti in questi prodotti, vengono introdotti quelli più noti. 2

Nel quarto capitolo viene presentato l articolo di E.Eberlein e D.B.Madan, riportando le loro considerazione sui processi di Sato e le loro proprietà matematiche e illustrando i risultati che hanno ottenuto dal loro studio effettuato. Infine nel quinto capitolo viene prezzato uno dei prodotti precedentemente illustrati attraverso un modello basato sul processo di Sato VGSSD, mentre nel sesto capitolo vengono proposti futuri sviluppi. Since Black and Scholes published their article on option pricing in 1973, there has been an explosion of theoretical and empirical work on the subject. However, over the last thirty years, a vast number of pricing models have been proposed as an alternative to the classic Black-Scholes approach, whose assumption of lognormal stock diffusion with constant volatility is considered always more flawed, because the distribution perceived by market participant and incorporated into option prices is substantially negatively skewed, in contrast to the essentially symmetric and slightly positively lognormal distribution underlying the Black-Scholes model. There are two assumptions that have to be made in order to price derivatives with the Black-Scholes model: volatility is costant and asset prices follow continuous sample paths. Therefore, extensions of the Black-Scholes model that capture the existence of volatility smile can be grouped in two approaches, each one relaxing one of these two assumptions. Relaxing the first assumption leads to the stochastic volatility family of models, where the volatility parameter follows a separate diffusion, as proposed by Heston. Relaxing the assumption of continuous sample paths, leads to jump models, where stock prices follow an exponential Lévy process of jump-diffusion type or pure jumps type. Jump models attribute the biases in Black-Scholes model to fears of a further stock market crash; they would interpret the crash as a revelation that jumps 3

can in fact occur. Lévy processes are an active field of research in finance, and many models have been presented during the last years. Some famous models are Merton normal jump-diffusion and Kou doubleexponential jump-diffusion, which are of jump-diffusion type, and Variance Gamma and Normal Inverse Gaussian which are pure jump models and can be obtained through the subordination of a Brownian motion. Recently, E. Eberlein and D.B.Madan have studied a subclass of Lévy processes called Sato processes, analyzing the impact caused by their use as models of the logarithmic price in the valuation of structured products; the paper in which present the results obtained gave rise to this thesis. The first chapter introduces the Lévy processes giving their definition, the important result known as the formula Lévy-Khintchine and Levy-Ito decomposition, explaining why the financial world is interested in this type of process. The second chapter is focused on the Sato processes : starting with the definition of self-decomposable processes all the most important characteristics that concerning these processes are showed. The next chapter introduces the structured products whose presence in the financial markets is still growing, just consider that in 2004 their volume was 12 billions of U.S. dollars, in 2005 was 50 billions and in 2006 and was by a further 25 %; after presenting the main features that they may have, the most famous ones are defined. In the fourth chapter the paper by E. Eberlein and D.B.Madan was introduced, reporting their consideration of Sato processes and their mathematical properties and explaining the results they obtained from their analysis. Finally in the fifth chapter a structured product was priced by a model based on the process of VGSSD Sato; future developments will be proposed in the last chapter. 4

Introduzione Non è noto con precisione quando venne ideato il primo derivato, ma è risaputo che già i fenici e i romani ricorressero a contratti simili. Lo stesso Talete, matematico e filosofo dell antica Grecia, attraverso ad accordi che ricordano le opzioni moderne riusciva ad utilizzare i frantoi a prezzi inferiori rispetto a quelli previsti. Un altro esempio storico importante più vicino ai giorni nostri è quello riguardante il commercio dei tulipani nel XVII secolo, periodo in cui i commercianti ricorrevano ad opzioni di tipo call per impedire che a causa di eventuali disastri naturali il prezzo d acquisto risultasse troppo elevato e parimenti i coltivatori attraverso opzioni di tipo put si assicuravano un buon prezzo di vendita. Il mercato di questi derivati crebbe in maniera significativa attirando cosi l attenzione degli speculatori che attraverso un accurato mix dei prodotti riuscirono a garantirsi dei profitti; però, come spesso accade, questa pratica si rivelò disastrosa, infatti quando non furono più in grado di sostenere gli impegni presi la situazione degenerò fino al crollo del mercato. Attraverso quest ultimo esempio si intuisce quanto sia importante evitare possibili speculazioni attraverso modelli che consentano di prezzare il più correttamente possibile i derivati ma che al contempo richiedano il minor numero possibile di parametri; necessità rafforzata dal fatto che in seguito sono stati ideati dei prodotti più complessi, detti prodotti strutturati, che combinano strumenti finanziari classici come azioni e investimenti a tesso fisso con i derivati. Pioniere in questo campo fu Bachelier che nel 1900 studiò i processi stocastici con lo scopo di utilizzarli per modellizzare l andamento futuro dei mercati 1

finanziari; il suo modello basato sul moto Browniano era tuttavia pieno di imperfezioni al punto che ammetteva la possibilità di prezzi negativi. Successivamente vennero proposte delle varianti di questo modello ma nessuna ottenne grande successo. Fu solo nel 1973 che questo campo di studio ebbe una svolta decisiva quando Black e Scholes simultaneamente a Merton proposero un modello per il prezzaggio di opzioni europee basato sul moto Browniano geometrico avente come ipotesi che la volatilità fosse costante e che i prezzi seguissero traiettorie continue. L importanza di questo modello venne in seguito riconosciuta attraverso la consegna del premio Nobel nel 1997. Tuttavia non passò molto tempo prima di scoprire che anche questo modello, seppur molto valido, non fosse perfetto; in particolare uno dei problemi che il modello B&S possiede consiste nel fatto che è stato osservato come i prezzi logaritmici degli indici non abbiano la distribuzione Normale ipotizzata poichè presentano asimmetria e un livello di kurtosi più elevato rispetto a quello ipotizzato. Di conseguenza si cominciarono a studiare delle varianti aventi una distribuzione più flessibile rispetto a quella Normale. Un primo tentativo venne fatto con i modelli a volatilità stocastica, i quali sebbene garantissero prestazioni migliori, vennero successivamente accantonati in quanto presentavano delle complicazioni rilevanti; per questo motivo vennero seguite altre strade. Tra la fine degli anni 80 e i primi anni 90 gli studiosi si concentrano quindi su modelli di mercato basati sui processi detti di Lévy, questo perchè dovendo migliorare B&S era necessario utilizzare un processo che possedesse incrementi stazionari e indipendenti ma che fosse basato su una distribuzione più generale rispetto a quella Normale; questa tipologia possedeva le caratteristiche desiderate. Il nome di questi processi deriva da Paul Lévy matematico che fu tra i primi a studiarli e in seguito a sviluppare la teoria ad essi associata. L importanza dei processi di Lévy deriva dai seguenti fatti: sono analoghi a cammini casuali a tempo continuo; 2

formano sottoclassi speciali sia dei processi di Markov che delle semimartingale per i quali l analisi da una parte fornisce indicazioni preziose per i casi generali e dall altra risulta più semplice; sono il caso più semplice di cammino casuale le cui evoluzioni sono continue a destra e hanno salti di ampiezza casuale che si manifestano casualmente; diversi casi speciali di processi di Lévy sono stati ampiamente studiati, infatti ne fanno parte sia il moto Browniano che il processo di Poisson; sono flessibili dato che per ogni incremento t qualsiasi distribuzione infinitamente divisibile può esser scelta come distribuzione degli incrementi su periodi di tempo t. Nel 1987 Madan e Seneta, in seguito ai loro studi sul mercato azionario australiano, proposero un modello basato sul processo di Lévy con incrementi aventi distribuzione Varianza Gamma e per questo indicato con VG; tre anni più tardi Eberlein e Keller presentarono il loro modello iperbolico mentre Barndoff-Nielsen propose un processo di Lévy basato sulla distribuzione Gaussiana Normale Inversa comunemente indicato con l acronimo NIG. In seguito venne compreso che questi tre modelli altro non erano che casi particolari del modello iperbolico generalizzato sviluppato da Eberlein e altri tra il 1998 e il 1999. Più recentemente Schoutens ha introdotto un modello detto Meixner, mentre Carr, Geman, Madan e Yor hanno presentato il modello CGMY. Come si è potuto capire le ricerche degli studiosi non sono ancora giunte a termine, anzi questi sono sempre alla ricerca di miglioramenti; proprio con questo proposito Carr, Geman, Madan e Yor nel 2007 si sono interessati al concetto di autodecomponibilità, in quanto le leggi che hanno questa proprietà sono associabili alla legge per unità di tempo dei processi additivi autosimili; questo studio è stato ripreso da Eberlein e lo stesso Madan portandoli ad affermare nell articolo Sato Processes and the Valuation of Structured Products come la classe di processi di Lévy caratterizzata da autodecomponibilità denominata per l appunto processi di Sato sia ancora più adeguata per la valutazione dei prodotti strutturati. 3

Questa tesi trae origine proprio da quest ultimo articolo. Nel primo capitolo viene introdotto il concetto di infinita divisibilità legata alle distribuzioni e alle variabili casuali e se ne forniscono degli esempi, viene poi presentata la formula di Lévy Khintchine che classifica l insieme di tutte le distribuzioni infinitamente divisibili fornendo una forma canonica per la funzione caratteristica. Di seguito viene data la definizione dei processi di Lévy, che sono essenzialmente dei processi stocastici con incrementi stazionari e indipendenti, in cui ciascuna variabile casuale risulta infinitamente divisibile e la cui distribuzione è quindi determinata dalla formula presentata in precedenza. Il capitolo si conclude presentando degli esempi di processi di Lévy e spiegando la loro importanza nella modellizzazione dei mercati. Il secondo capitolo è dedicato ai processi di Sato: viene definito il concetto di autodecomponibilità, precisando come Sato nel 1999 abbia mostrato che questa proprietà coincide con il fatto che la densità h(x) sia funzione decrescente per x>0 e crescente per x<0, per poi spiegare come tale sottoclasse di processi di Lévy abbia variabili casuali autodecomponibili prive di componente gaussiana. Nel terzo capitolo vengono presentati i prodotti strutturati, spiegando come le caratteristiche più importanti che possono essere presenti sono quelle dette knock-in, knock-out, barriera e diritto d opzione. Successivamente viene fatta una panoramica dei prodotti strutturati più diffusi al momento sui mercati, illustrando la struttura del loro payoff e gli aspetti per i quali gli investitori li acquistano. Il quarto capitolo è incentrato sull articolo di Eberlein e Madan che ha dato origine a questa tesi: dopo aver spiegato gli aspetti più importanti relativi alla valutazione dei prodotti strutturati vengono riportate alcune proprietà dei rendimenti e alcuni indici statistici ottenuti attraverso il confronto con i dati reali dei prezzi di opzioni europee scritte sull indice S&P500 a giustificazione dell utilizzo dei processi di Sato; in seguito viene presentato il concetto di varianza realizzata per questa tipologia di processi. Nell ultima parte del capitolo vengono illustrati i modelli presi in considerazione oltre a quelli basati sui processi di Sato e vengono valutati i risultati 4

ottenuti prezzando sei diversi prodotti. Infine nel quinto capitolo viene spiegata una procedura per la simulazione di un processo di Sato, ma poichè tale procedura è basata sul metodo Ziggurat sviluppato da Marsaglia e Tsang la prima parte del capitolo è dedicata ad una breve presentazione di questo algoritmo. Successivamente viene simulato il processo di Sato VGSSD che permette di valutare il prodotto strutturato cliquet floored presentato nel terzo capitolo, arrivando così a concludere il capitolo con delle considerazioni sui risultati ottenuti. Nel capitolo finale vengono proposti i commenti e i futuri sviluppi riguardo l argomento trattato. 5

Capitolo 1 I processi Levy In questo capitolo vengono introdotti il concetto di infinita divisibilità, la formula di Lévy-Khintchine, i processi di Lévy e la decomposizione di Lévy-Ito spiegando il motivo per il quale questa tipologia di processi viene ampiamente utilizzata in finanza. Non saranno riportate le dimostrazioni dei vari teoremi, lemmi e proposizioni, ma verranno fornite le indicazioni su dove sia possibile trovarle. Maggiori dettagli riguardo questi argomenti possono essere trovati in Applenbaum [2] e in Sato [19]. 1.1 Infinita divisibilità Indichiamo con µ n la convoluzione di una misura di probabilità µ con sè stessa ripetuta n volte, cioè µ n =µ µ } {{ } n Definizione 1.1. Una misura di probabilità µ su R d è infinitamente divisibile se per ogni intero positivo n esiste una misura di probabilità µ n su R d tale che µ=µ n n. Lemma 1.1. Se µ 1 e µ 2 sono infinitamente divisibili allore µ 1 µ 2 risulta infinitamente divisibile. Dimostrazione in [19] pag 32 6

Definizione 1.2. Sia X una variabile aleatoria a valori in R d con legge f X, X è detta infinitamente divisibile se per ogni n N esiste una successione di variabili aleatorie Y (n) 1,...,Y (n) n indipendenti e identicamente distribuite tale che X=Y d (n) (n) 1 +...+Y n Sia φ X (u)=e[e i(u,x) ] la funzione caratteristica di X dove u R d allora Proposizione 1.1. Le seguenti sono equivalenti: 1. X è infinitamente divisibile 2. f X ammette l ennesima radice di convoluzione che è anche legge di una variabile aleatoria per ogni n N 3. φ X ammette un ennesima radice che è anche funzione caratteristica di una variabile aleatoria per ogni n N. Dimostrazione in [2] pag 23-24 Proposizione 1.2. La funzione caratteristica di una legge infinitamente divisibile non si annulla mai. Dimostrazione in [19] pag 32 Due esempi di variabili infinitamente divisibili sono: Poisson Considerata d=1 e una variabile casuale X che assume valori nel insieme n N {0}, questa è detta Poisson se esiste λ>0 tale che P (X = n) = λn n! e λ ; in tal caso si scrive X π(λ). E facile verificare che φ X (u) = exp [λ (e iu 1)] da cui si vede che X è infinitamente divisibile dove Y (n) j π( λ ) per 1 j n con n N. n Poisson composta Supposto che {Z (n)} n N sia una successione di variabili casuali i.i.d. che assumono valori in R d aventi legge f Z, sia N π(λ) una Poisson indipendente da tutte le Z(n) allora una variabile 7

casuale X è detta Poisson composta se X=Z(1)+...+Z(N) e si scrive X (λ,f Z ). Si tratta quindi di una random walk con numero di passi casuale controllato dalla variabile aleatoria N, la funzione caratteristica è data da φ X (u) = exp [ R d λ (e iu 1) f Z (dx) ] ; di conseguenza X è infinitamente divisibile con Y (n) j π( λ n,f Z) per 1 j n con n N. In particolare quando f Z è atomica con massa unitaria si riottiene la distribuzione di Poisson. Riportiamo infine un teorema interessante che lega l infinita divisibilità alle Poisson composte Teorema 1.1. Ogni misura di probabilità infinitamente divisibile può essere ottenuta come limite debole di una successione di distribuzioni Poisson composte. Dimostrazione in [2] pag 31 1.2 La formula di Lévy-Khintchine Per caratterizzare l infinita divisibilità di una variabile aleatoria in termini della sua funzione caratteristica, si ricorre alla formula proposta da P.Lévy e A.Y. Khintchine nel 1930. Per prima cosa definiamo il concetto di misura di Lévy Definizione 1.3. Sia ν una misura di Borel definita in R n {0}, questa è una misura di Lévy se ( y 2 1 ) ν (dy) <. R n {0} Osservazione 1. Se la misura di Lévy è nella forma nu (dx) = u (x)dx u(x) viene detta densità di Lévy, questa ha le stesse proprietà della densità di probabilità ma non deve essere necessariamente integrabile e avere massa zero nell origine. 8

Osservazione 2. Ogni misura di Lévy su R d \ {0} è σ-finita, invece ogni misura finita su R d \ {0} è di Lévy. Definita la misura di Lèvy è possibile passare al risultato noto come formula di Lévy-Khintchine la quale fornisce una rappresentazione delle funzioni caratteristiche di tutte le distribuzioni infinitamente divisibili: Teorema 1.2. Lévy-Khintchine Sia µ una misura di probabilità sui boreliani di R d e φ µ (u) la sua funzione caratteristica, µ è infinitamente divisibile se esiste un vettore a R d, una matrice simmetrica n n definita positiva Σ e una misura di Lévy su R n {0} tale che per ogni u R d φ µ (u) = exp {i(a,u) 12 (u, Σu) + [ e i(u,y) 1 i (u,y)1 B(0,1) (y) ] } ν (dy) R d {0} dove B(0,1) è la palla n-dimensionale centrata in zero e di raggio unitario. (1.1) Viceversa ogni applicazione nella forma (1.1) è la funzione caratteristica di una misura di probabilità infinitamente divisibile su R d. Dimostrazione in [2] pag 28-29 La tripletta (a,σ,ν) è detta terna caratteristica della variabile aleatoria X infinitamente divisibile. Alcuni esempi sono: caso gaussiano: a è la media, Σ è la matrice di covarianza e ν=0 Poisson: a=0, Σ=0 e ν=cδ 1 dove δ 1 è la misura di Dirac concentrata in 1 Poisson composta: a=0, Σ=0 e ν=λµ dove λ>0 e µ è una misura di probabilità 1.3 Processi di Lévy Prima di poter definire i processi di Lévy occorre introdurre il concetto di processo stocastico e altre nozioni ad esso legato 9

Definizione 1.4. Una famiglia {X t } t 0 di variabili casuali su R d con t [0,+ ) definite su un comune spazio di probabilità è detta processo stocastico. Definizione 1.5. Un processo stocastico X definito sullo spazio di probabilità (Ω,F,P) è detto avere incrementi indipendenti se per ogni n N e 0 t 1 < t 2 <... < le variabili aleatorie (X (t j+1 ) X (t j )) 1 j n sono indipendenti. Definizione 1.6. Un processo stocastico X definito sullo spazio di probabilità (Ω,F,P) è detto avere incrementi stazionari se X (t j+1 ) X (t j ) d = X (t j+1 t j ) X (0). A questo punto possiamo procedere con la definizione di processo di Lévy Definizione 1.7. X è un processo di Lévy se : 1. X è a incrementi indipendenti 2. X(0)=0 q.c. 3. X è a incrementi stazionari 4. X è stocasticamente continuo, cioè per ogni a>0 e per ogni s 0 lim P ( X (t) X (s) > a) = 0 t s 5. Esiste Ω 0 F con P (Ω 0 ) = 1 tale che per ogni ω Ω 0 X t (ω) è continua a destra per t 0 e ha limite sinistro per t>0 Osservazione 3. In presenza delle prime tre condizioni la quarta può essere sostituita da per ogni a>0. lim P ( X (t) > a) = 0 t 0 10

Osservazione 4. La quarta condizione non implica che le traiettorie siano continue, bensì che vengono esclusi i processi che ammettono salti in tempi prefissati e quindi non aleatori. Ad esempio il processo di Poisson è un processo stocasticamente continuo ma non continuo. Perciò quello che viene richiesto è che fissato un tempo t la probabilità di trovare un salto in t è nulla, ovvero le discontinuità si hanno solo per tempi aleatori. Osservazione 5. Un processo di Lévy su R d è detto processo di Lévy d-dimensionale. Nel caso in cui vengano soddisfatte soltanto le prime quattro condizioni si parla di processo di Lévy in legge. Se un processo stocastico soddisfa le prime due e le ultime due questi viene definito processo additivo, mentre se soddisfa solamente le prime due e la quarta allora è detto processo additivo in legge. Un ulteriore metodo per identificare i processi di Lévy viene fornito dal seguente teorema Teorema 1.3. Sia X=X(t) t 0 un processo stocastico, X è un processo di Lévy se esiste una successione di processi di Lévy (X n,n N) dove X n ={X n (t)} t 0 tale che X n (t) converge in probabilità a X(t) per ogni t 0 e per ogni a>0 lim lim sup P ( X n(t) X(t) > a) = 0. n t Dimostrazione in [2] pag 42-43 Per spiegare la relazione che intercorre tra i processi di Lévy e l infinita divisibilità si ricorre alla seguente Proposizione 1.3. Se X è un processo di Lévy allora X(t) è infinitamente divisibile per ogni t 0. Dimostrazione in [2] pag 40 11

Proposizione che permette di scrivere la funzione caratteristica nella forma per ogni t 0 e u R d. φ X(t) (u) = e η(t,u). Tuttavia bisogna prestare attenzione al fatto che quanto scritto sopra non fornisce una condizione sufficiente per indentificare i processi di Lévy in quanto Teorema 1.4. Se {X t } t 0 è un processo additivo in legge su R d allora per ogni t la distribuzione di X t è infinitamente divisibile. Dimostrazione in [19] pag 51 Altra nozione importante per i processi di Lévy è il simbolo di Lévy Definizione 1.8. La mappa η : R d C è detto simbolo di Lévy (o esponente di Lévy o esponente caratteristico). Nel caso in cui due processi di Lévy con lo stesso esponente caratteristico abbiano la stessa legge, e quindi abbiano stessa distribuzione unidimensionale, per via delle proprietà di incrementi indipendenti e stazionari segue che coincidono anche le loro distribuzioni finito dimensionali. Teorema 1.5. Sia X un processo di Lévy, allora φ X(t) (u) = e tη(u). per ogni u R d e t 0, dove η è il simbolo di Lévy di X(1). Dimostrazione in [2] pag 41 Osservazione 6. Il teorema appena proposto permette di scrivere η(t,u)=tη(1,u) per ogni t 0 12

La formula di Lévy-Khintchine precedentemente introdotta per un processo di Lévy X={X(t)} t 0 risulta essere E [ e i(u,x(t))] ( = exp t {i(a,u) 12 (u, Σu) + [ e i(u,y) 1 i (u,y)1 B(0,1) (y) ] }) ν (dy) R d {0} per ogni t 0 e u R d, dove (a,σ,ν) è la terna caratteristica di X(1). Esempi di processi di Levy sono: 1. Processo di Poisson si tratta di un processo di Lévy N che assume valori in N {0}; da quanto scritto in precedenza sappiamo che la sua distribuzione è infinitamente divisibile ed ottenibile come convoluzione di n distribuzioni di Poisson indipendenti di parametri λ e la cui terna n di Lévy risulta (0,0,λδ 1 ). 2. Processo di Poisson Composto anche questo processo, la cui distribuzione è stata precedentemente introdotta, risulta essere un processo di Lévy avente distribuzione infinitamente divisibile con terna (λ xf 0< x <1 Z (dx),0,λf Z (dx)); l esponente caratteristico risulta essere η (u) = λ (e iux 1) f Z (dx) 3. Moto Browniano lineare è noto che la funzione caratteristica per una variabile aleatoria normale con media γ e varianza s 2 è e iuxµ (γ,s)(dx) = e 1 2 s2 u 2 +iuγ R quindi risulta infinitamente divisibile con terna (γ,s,0). L esponente caratteristico η(u)=iγu - 1 2 s2 u 2 coincide con quello del processo Browniano lineare definito da X t = γt + sb t dove X risulta essere un processo a incrementi indipendenti e stazionari con traiettorie continue, per questo motivo anche il moto Browniano lineare è un processo di Lévy. 13

1.4 Decomposizione di Lévy-Ito In questo paragrafo vengono presentati i risultati principali riguardanti la decomposizione di Lévy-Ito, maggiori dettagli a riguardo possono essere trovati in Sato [19]. L obiettivo è quello di caratterizzare le traiettorie di un processo di Lévy in termini della sua terna caratteristica, in particolare si vuole dimostrare che per ogni esponente caratteristico associato ad una distribuzione infinitamente divisibile esiste un processo di Lévy con lo stesso esponente caratteristico. Per la formula di Lévy-Khintchine ogni esponente caratterestico di una distribuzione infinitamente divisibile può essere così riscritta: η (u) = [iau 12 ] σ2 u 2 + (1.2) ( + ν (R\ ( 1, 1)) e iux 1 ) ν (dx) x 1 ν (R\ ( 1, 1)) + (1.3) [ ( + e iux 1 iux ) ] ν (dx) (1.4) 0< x <1 per ogni u R con a R, σ 2 0 e ν misura in R\ {0} che verifica R (1 x2 )ν (dx) <. Se si riesce a dimostrare che ad ogni espressione tra parentesi quadre numerate da (1.2), (1.3), (1.4) corrisponde un esponente caratteristico per un particolare processo di Lévy allora si ha che η può essere visto come l esponente caratteristico di un processo ottenuto come somma di tre processi di Lévy indipendenti, e per via di quanto viene enunciato nel seguente lemma il processo ottenuto è a sua volta di Lévy. Lemma 1.2. La somma di processi di Lévy è ancora un processo di Lévy. Dimostrazione in [19] pag 65-66 La condizione sulla misura ν richiede che ν (B)< per ogni boreliano B tale che la parte interna di B c contenga {0} e in particolare che ν (R\( 1, 1)) <. Nel caso in cui ν (R\ ( 1, 1)) = 0 allora il processo corrispondente a (1.3) è assente. 14

Per quanto visto negli esempi precedenti (1.2) e (1.3) corrispondono rispettivamente agli esponenti caratteristici del moto Browniano lineare così definito: e al processo di Poisson composto X (1) t = σx t + at,t 0 X (2) t = N t i=1 X i,t 0 con {N t } t 0 processo di Poisson di intensità ν (R\ ( 1, 1)) e {X i } i 1 variabili aleatorie i.i.d. con distribuzione ν(dx) ν(r\( 1,1)). A questo punto per riuscire nell intento bisogna dimostrare che esiste un processo di Lévy il cui esponente caratteristico coincide con (1.4), ma ( e iux 1 iux ) ν (dx) = ( λ n e 0< x <1 n 0 2 iux 1 ) F n (dx) + (n+1) x <2 n iuλ n 2 (n+1) x <2 n xf n (dx) (1.5) dove λ n = ν ({ x : 2 (n+1) x < 2 n}) e F n (dx) = λ 1 n ν (dx) {x:2 (n+1) x <2 n }. Si tratta quindi della somma di al massimo una quantità numerabile di processi di Poisson composti con differenti intensità di arrivo con l aggiunta di un coefficiente di deriva. Quanto appena scritto porta al seguente enunciato Teorema 1.6. (Decomposizione Lévy-Ito). Dati a R, σ 0 e una misura ν concentrata in R\ {0} che verifica (1 R x2 )ν (dx) <, esistono uno spazio di probabilità e tre processi di Lévy indipendendti X (1), X (2), X (3), dove X (1) è un moto Browniano lineare, X (2) è un processo di Poisson composto che ammette soltanto salti di ampiezza maggiore di 1 e X (3) è una martingala a puro salto contenente i salti più piccoli con esponente caratteristico dato da 15

(1.4). Dimostrazione in [2] pag 108 Definito X=X (1) +X (2) +X (3) si ha un processo di Lévy che ammette come esponente caratteristico ν (u) = iau 1 ( ) 2 u2 σ 2 + e iux 1 iux1 x <1 ν (dx) R Osservazione 7. Se σ>0, dato che un moto Browniano è a variazioni illimitate anche il processo X lo è, nel caso in cui σ = 0 invece non è detto il processo sia a variazioni limitate; eventuali variazioni illimitate sono dovute esclusivamente a contributi del processo X (3) visto che un processo di Poisson composto è a variazioni limitate. Osservazione 8. Vale anche il viceversa di quello che è stato appena scritto, ovvero un processo di Lévy a variazione limitata è un processo di Poisson composto se e solo se il suo coefficiente di deriva è nullo e la misura ν è finita; inoltre è possibile mostrare che l esponente di Lévy è limitato soltanto nel caso del processo Poisson composto. 1.5 Processi di Lévy come modelli di mercato In questa sezione viene affrontato brevemente il problema relativo a due argomenti fondamentali quali l assenza di arbitraggio e le completezza dei mercati in cui l evoluzione del sottostante è determinata da un processo di Lévy, per maggior dettagli riguardo questi due temi si rimanda a [5], [3] e [20]. In un mercato privo di arbitraggi e completo il prezzo di un prodotto strutturato è unico è pari al costo della strategia necessaria per replicarlo. Nei mercati reali l assenza di arbitraggio è sia una ipotesi fondamentale che 16

una proprietà posseduta dalla maggior parte dei modelli, mentre la completezza non è ne realistica ne robusta a livello teorico; le strategie di copertura perfetta non esistono e sono presenti rischi dai quali non è possibile ottenere protezione nemmeno tramite una strategia a tempo continuo. E noto che una volta individuata una misura martingala equivalente il valore V t (H T ) di un prodotto con payoff finale H T è definito da : V t (H T ) = e r(t t) E [H T F t ]. Nel caso di processi di Lévy è possibile semplificare questa espressione riducendola alla convoluzione tra le densità di transizione per il processo di Lévy e la funzione di payoff, questo perchè un processo di Lévy {X t } 0 t T può essere visto come una variabile aleatoria sullo spazio Ω=D([0,T]) di tutte le funzioni continue a destra con limite a sinistra nella σ-algebra F grazie al seguente teorema: Teorema 1.7. Ogni processo di Lévy ha una sua versione cadlag 1 che è ancora un processo di Lévy. Dimostrazione in [19] pag 63 In generale però i processi di Lévy danno luogo a mercati incompleti, gli unici che portano a mercati completi sono il moto Browniano e il processo di Poisson. Nel secondo teorema fondamentale dell asset pricing si evidenzia come la completezza del mercato sia legata all unicità della misura martingala equivalente, ma questa proprietà è a sua volta collegata a quella di rappresentazione predicibile che viene così definita: Definizione 1.9. Sia {X t } t 0 un processo di Lévy e X t = X t X t, si dice che il processo X verifica la proprietà di rappresentazione predicibile, abbreviata con PRP, se ogni variabile aleatoria quadrato integrabile Y F T è così rappresentata T Y = E [Y ] + a (i) s d ( H s (i) E [ ]) H s (i) (1.6) dove i=1 1 dal francese continue à droite et limité à gauche 0 17

{ } { a (i) s H (i) s 0 s T } 0 s T I coefficienti predicibili sono predicibili sono definite da { { a (i) s } H s (1) H s (i) i 1 = X s = 0 u s ( X u) i possono essere interpretati in termini di copertura di minima varianza, in particolare il termine a (1) corrisponde alla strategia di copertura più vicina al mercato. Tornando ai due processi di Lévy presi in considerazione in quanto danno origine a mercati completi si ha che nel caso del moto browniano le traiettorie sono continue, quindi segue che H (i) s =0 per ogni i 2 per via dell assenza di salti e la sommatoria in (1.6) si riduce ad un unico termine permettendo così di riscrivere la PRP come Y = E [Y ] + T 0 a i dw s Poichè ciò che si ottiene è la proprietà di rappresentazione predicibile per martingale si può affermare che il processo {a s } definisce la strategia ammissibile e autofinanziante cercata. Invece per quanto riguarda il processo di Poisson {N t } t 0 i salti hanno ampiezza unitaria, di conseguenza H s (i) =N s per i 2 e per ogni Y F T quadrato integrabile si ha Y = E [Y ] + T 0 a i d (N s λs) Poichè si ottiene nuovamente la proprietà di rappresentazione predicibile per martingale è possibile affermare che il processo {a s } definisce la strategia ammissibile e autofinanziante cercata. E doveroso però osservare che quest ultimo caso è privo di senso, economicamente parlando, in quanto un processo di Poisson è caratterizzato da salti crescenti di ampiezza unitaria, situazione irreale nei mercati. 18

Capitolo 2 I processi di Sato In questo capitolo vengono presentati i processi di Sato, una sottoclasse di processi di Lévy recentemente proposta per la valutazione dei prodotti strutturati. 2.1 Processi autodecomponibili Recentemente Carr, Geman, Madan e Yor hanno mostrato che un ampia classe di processi additivi autosimili può sintetizzare lo sviluppo del prezzo di un generico prodotto strutturato, classe definita dalla condizione che la legge per unità di tempo sia autodecomponibile. Inizialmente vengono fornite alcune definizioni preliminari. Definizione 2.1. Una doppia successione di variabili aleatorie {Z nk } dove k = 1, 2,... e r n ;n = 1, 2,... su R d è detta vettore nullo se, per ciascun n fissato, le variabili Z n1,..., Z nrn sono indipendenti e se per ciascun ǫ>0 si ottiene lim n max P [ Z nk > ǫ ] = 0 1 k r n Definizione 2.2. Una misura di probabilità µ su R d infinitamente divisibile è detta stabile se per ogni a>0 esistono b>0 e c R d tale che ˆµ (z) a = ˆµ (bz) e i<c,z> dove ˆµ è la funzione caratteristica della misura µ. 19

Definizione 2.3. Un processo di Lévy {X t } t 0 è detto stabile se la distribuzione di X t in t=1 risulta stabile. Definizione 2.4. Una misura di probabilità µ su R d è detta banale se è di Dirac, altrimenti viene chiamata non banale Definizione 2.5. Sia µ una misura di probabilità su R d, allora è chiamata autodecomponibile o di classe L se per ogni b>1 esiste una misura di probabilità ρ b su R d tale che ˆµ(z) = ˆµ(b 1 z) ˆρ b (z) (2.1) dove z R d ; mentre è detta semi-autodecomponibile se esistono b>1 e misure di probabilità ρ b che soddisfano l equazione. Proposizione 2.1. Se µ è autodecomponibile allora µ è infinitamente divisibile e per ogni b>1 ρ b in (2.1) è infinitamente divisibile e unicamente determintata. Dimostrazione in [19] pag 93 La classe delle distribuzioni autodecomponibili è caratterizzata attraverso il seguente teorema Teorema 2.1. Siano {Z n } n 1 variabili casuali indipendenti in R d, S n = n k=1 Z k e µ una misura di probabilità su R d. i)supposto che esistano b>0 e c R d per n=1,2,... tali che P bn,s n+c n µ per n + (2.2) e {b n Z k : k = 1,...,n;n = 1, 2,...} (2.3) è un vettore nullo, allora µ è autodecomponibile. ii) Per ogni distribuzione autodecomponibile µ su R d è possibile trovare {Z n } indipendenti, b n >0 e c n R d che soddisfano (2.2) e (2.3). Dimostrazione in [19] pag 92-93 20

Lemma 2.1. Supposto che µ sia non banale, {Z n } indipendenti, b>0 e c R d soddisfano (2.2) e (2.3) allora b n 0 e b n+1 b n Dimostrazione in [19] pag 91 0 per n +. Definizione 2.6. Un processo stocastico {X t } t 0 è detto autosimile se per ogni λ>0 e per tutti gli istanti t vale che X (λt) = a (λ)x (t) Nel 1991 Sato dimostrò che una legge è autodecomponibile se e solo se corrisponde alla legge per unità di tempo di un processo additivo autosimile. Si può quindi passare alla definizione di processo autodecomponibile. Definizione 2.7. I processi di Lévy corrispondenti a distribuzioni autodecomponibili sono detti processi autodecomponibili. Più precisamente un processo autodecomponibile {X t } è un processo di Lévy con distribuzione autodecomponibile in t=1 e distribuzione autodecomponibile per ogni altro t>1. Osservazione 9. Le distribuzioni autodecomponibili possono essere interpretate come distribuzioni limite di una classe di processi di Markov detta classe dei processi di tipo Ornstein-Unlenbeck, per maggior chiarimenti si rimanda a [20] Un esempio di distribuzione autodecomponibile è la distribuzione µ su R avente densità g (x) = αβ ( e αx 1 [0,+ ) (x) + e βx 1 (,0) (x) ) α+β 21

con α>0 e β>0 infatti β α ˆµ (z) = α+β α iz + α β α+β β+iz = αβ (α iz) (β+iz) [ + ( = exp e izx 1 ) ] k (x) dx x (2.4) dove k(x) = e αx 1 [0,+ ) (x) + e βx 1 (,0) (x). E possibile identificare una distribuzione autodecomponibile attraverso la sua terna generatrice Teorema 2.2. Sia µ una distribuzione infinitamente divisibile su R d con terna (A,ν,γ) allora µ è autodecomponibile se e solo se + ν (B) = λ (dξ) 1 B (rξ)k ξ (r) dr r S 0 (2.5) dove λ è una misura finita sulla sfera unitaria S e k ξ (r) è una funzione non negativa misurabile in ξ S e decrescente in r>0. Dimostrazione in [19] pag 95-96 Osservazione 10. L esser autodecomponibile non impone restrizione su A e γ. Osservazione 11. λ e k ξ (r) nel teorema soddisfano + ( λ (dξ) r 2 1 ) k ξ (r) dr r < (2.6) S 0 viceversa per ogni λ e k ξ (r) che soddisfano le condizioni nel teorema e (2.6), la misura ν definita da (2.5) risulta essere una misura di Lévy di una distribuzione autodecomponibile. In particolare qualora la dimensione d risulti essere unitaria si ha che Corollario 1. Una misura di probabilità µ su R è autodecomponibile se e solo se ˆµ (z) = exp [ 1 2 Az2 + iγz + + 22 ( e izx 1 izx1 [ 1,1] (x) ) ] k (x) dx x

dove A 0, γ R, k(x) 0, + ( x 2 1) k(x) dx < e k(x) è crescente in x (-,0) e decrescente in (0,+ ). Dimostrazione in [19] pag 96 Teorema 2.3. Sia ν(dx) la misura di Lévy di una misura infinitamente divisibile µ su R, allora le seguenti sono equivalenti: 1. µ è autodecomponibile 2. Le funzioni per x positivo ν((-,-e x ]) e ν([e x, )) sono convesse 3. ν(dx) è della forma ν(dx)=u(x)dx con x u(x) crescente su (-,0) e decrescente su (0, ) Se u è differenziabile allora la condizione necessaria e sufficiente (2) può esser così riscritta u (x) + xu (x) 0, for x 0. Un processo autodecomponibile è caratterizzato dalla terna (A,ν,γ) con ν (dx) = k(x) dx dove k(x) è crescente in (-,0) e decrescente in (0,+ ). x In questo caso si parla di funzione k del processo autodecomponibile {X t } o della distribuzione autodecomponibile µ, inoltre ν è un caso particolare di misura di Lévy unimodale con moda pari a 0. I processi stabili precedentemente definiti appartengono alla classe dei processi autodecomponibili, la k funzione di un processo α-stabile con α 2 è una costante multipla di x α. In ultimo per quanto riguarda questo caso particolare si può affermare che ogni distribuzione autodecomponibile µ su R è unimodale, infatti Teorema 2.4. Se {X t } è un processo autodecomponibile su R allora la sua distribuzione è unimodale per ogni t 0. Dimostrazione in [19] pag 408 23

2.2 Processi di Sato Come è stato precedentemente scritto i processi additivi autosimili capaci di modellizzare l evoluzione dei prezzi delle opzioni sono associabili a quei processi la cui legge autodecomponibile è usata per definire la legge marginale al tempo t come t γ volte la legge per unità di tempo, che per il generico processo X indichiamo con X(1), cioè riscalando per una costante γ. Un processo che possiede tali caratteristiche viene detto detto processo di Sato. Tuttavia sebbene i processi di Sato possano funzionare bene per la valutazione di prodotti strutturati con sottostanti differenti e per periodi lunghi ciò non li qualifica automaticamente come adatti a livello generale. Vediamo allora come mai ci si interessa a questa tipologia di processi. Consideriamo contratti di opzione su realized variance (varianza realizzata) con maturity a lungo periodo dove il sottostante è una varianza realizzata media. In molti modelli questa converge al suo valore atteso comportando di conseguenza che la varianza del flusso di denaro tende a zero, ma questo fenomeno non sempre corretto infatti le opzioni out of the money su varianza rimangono delle variabili casuali e non convergono ad una costante. Da tale aspetto nasce l interesse per i processi di Sato quando si è intenzionati a generare modelli per la valutazione di prodotti strutturati in quanto le variabili casuali rimangono di tale natura utilizzando questi processi. Sia L(t) un processo di Lévy e si supponga che la densità Lévy sia k(x) con x R\ {0}, i processi di Sato a cui si è interessati sono quelli ottenuti a partire dalla legge per unità di tempo della sottoclasse dei processi di Lévy definita dalla condizione che L(1)=X sia una variabile casuale autodecomponibile a media nulla priva di componente gaussiana. E stato dimostrato come l esser autodecomponibile equivale a richiedere che h(x)= x k(x) sia funzione decrescente per x>0 e funzione crescente per x<0, ad esempio questo è il caso di quando sia h(x) che h(-x) sono funzioni completamente monotone per x>0. Per i processi di Sato le leggi marginali di {X t } t 0 sono ottenute riscalando 24

per una costante γ>0 nella seguente maniera: X (t) d = t γ X La funzione caratteristica di X(t) è della forma φ X(t) (u) = E [ e iux(t)] = φ X (ut γ ) = exp ( + ( e iut γx 1 iut γ x1 x <1 ) k (x)dx ) (2.7) Il processo X(t) viene utilizzato per modellizare l evoluzione del logaritmo del prezzo di uno stock con l aggiunta di un drift di correzione. Nel modello neutrale al rischio, indicato con {S (t)} t 0 il processo dei prezzi dello stock, r il tasso di interesse composto e q il dividend yield si ottiene il seguente modello per la valutazione S (t) = S (0)e (r q)t+x(t) (E [exp (X (t))]) 1. dove E [exp (X (t))] è assunto essere finito. A volte può convenire riscrivere il modello nella forma ( ) S (t) ln = (r q)t ln ( φ X(t) ( i) ) + X (t). (2.8) S (0) X(t) risulta essere un processo additivo con densità di Lévy disomogenea g(x,t) data da ( ( ) ) ( ( ) ) g (x,t) = 1 x>0 h x t γ h x γ t γ + 1 γ x<0. (2.9) t 1+γ Risultato che deriva dal seguente teorema Teorema 2.5. Supposto che la legge di un processo additivo autosimile nell unità di tempo sia la legge autodecomponibile di una variabile casuale X, ovvero Y (1) = d X, con una funzione caratteristica che soddisfa E [ e iux] [ + = exp (eiux 1) ], h(x) dx allora esiste un processo autosimile x 25 t 1+γ

Y(t) definito rispetto la funzione crescente t γ e che soddisfa E [ e iuy (t)] [ t ] + = exp 0 (eiuy 1)g (y,s)dyds quando Dimostrazione in [10] pag 36 g (y,t) = h ( y t γ )γ t γ+1 y > 0 h ( y t γ )γ t γ+1 y < 0 Osservazione 12. Si può notare come la proprietà autodecomponibile sia cruciale per far si che g(x,t) risulti positiva e quindi possa essere considerata una densità. Infatti quando x assume valori positivi h risulta negativa e di conseguenza g(x,t) risulta positiva per qualsiasi valore di t, parimenti quando x assume valori negativi h risulta positiva e ancora si ha la positività di g(x,t) per qualsiasi t. Poichè è noto che si ha a che fare con un processo addittivo consistente con le leggi marginali la funzione caratteristica dei rendimenti logaritmici risulta essere φ ln( S(t+h) S(t) ) (u) = exp (iu ((r q)h lnφ X ( i (t + h) γ ) + lnφ ( it γ ))) φ X(u(t+h) γ ) φ X (ut γ ) (2.10) Conoscendo la funzione caratteristica, attraverso l inversa di Fourier è possibile costruire la densità dei rendimenti logaritmici, potendo così prezzare le opzioni su S(t+h) S(t). 26

Capitolo 3 Prodotti strutturati Più di vent anni fa i prodotti o contratti strutturati vengono ipotizzati come soluzione per differenti problemi finanziari; tali prodotti, ottenuti combinando prodotti classici come le azioni e gli investimenti a tasso fisso con i derivati, permettono di modificare strutturalmente l originario profilo di rischio/rendimento dei prodotti più semplici. Attraverso il loro utilizzo è possibile abbassare i costi di un finanziamento, migliorare il rendimento degli investimenti a breve termine, coprirsi da movimenti indesiderati dei tassi di interesse o specularci sopra,... Questi prodotti inoltre non hanno creato interesse solo negli investitori ma ormai sempre più spesso si rivolgono ad essi anche le banche e le compagnie assicurative che sono continuamente alla ricerca di nuovi prodotti su prestiti, ipoteche, investimenti, assicurazioni sulla vita e pensioni da offrire ai propri clienti. Per questi motivi la loro diffusione è stata così imponente, basti pensare che nonostante eventuali limitazioni o tassazioni rischiano di annullare il loro appeal nel 2004 lo stock degli strutturati superava i 350 miliardi di euro. I sottostanti o indici sopra cui solitamente vengono scritti sono il prezzo delle azioni (quello secco ma anche la media dei valori assunti durante un intervallo), quello dei bonds, i tassi di interesse o quelli di cambio e i prezzi delle materie prime. Non mancano poi i casi in cui il sottostante risulta essere l indice di una borsa come il NIKKEI, che considera i 225 titoli scambiati nella borsa di Tokyo, 27

il DOW JONES INDUSTRIAL AVERAGE, che tiene conto dell andamento di 30 titoli scambiati alla borsa di New York, o il FTSE MIB che raggruppa i maggiori 40 titoli scambiati a Milano. Gli indici poi possono avere natura diversa da quella economica: ad esempio possono riguardare la vincita ad una lotteria, il manifestarsi di un terremoto o di altri disastri naturali, la quantità di pioggia che cade durante l anno o la temperatura. Questi strumenti risultano più costosi rispetto gli altri proprio per la possibilità, anche se bassa, di incassare a scadenza delle cedole o premi migliori, per questo motivo l emittente ha diritto ad una remunerazione maggiore dato il rischio a cui si sottopone. Si intuisce di conseguenza che l abilità di chi acquista strutturati deve essere quella di scegliere prodotti che abbiano buone probabilità di generare rendimenti interessanti, d altra parte chi li vende deve essere abile a creare la sensazione nell acquirente che gli scenari positivi si verifichino con elevate probabilità. In questo capitolo verranno presentati i prodotti più comuni, spiegando il motivo per cui sono stati ideati e presentando la struttura del loro payoff; prima però bisogna introdurre le caratteristiche e i vincoli che possono essere inseriti. 3.1 Caratteristiche dei prodotti strutturati Le caratteristiche più comuni sono la knock-in, che specifica che il contratto riconosce il payoff solo se si verifica un certo evento, e la knock-out, che viceversa specifica che il contratto riconosce il payoff a meno che un certo evento si manifesti; bisogna osservare che in certi casi non è insolito non riuscire a distiguere tra le due. Importante, quando viene inserita una delle due in un prodotto, è la definizione della frequenza con cui vengono osservati i valori e la lunghezza dell intervallo di tempo per cui sono attive, infatti considerato un prodotto in cui è presente la knock-out se si allunga il periodo di osservazione o si 28