1 2 Fondamenti e didattica della matematica B 22 gennaio 2007 Figure simili Dipartimento di Matematica e Applicazioni Università di Milano Bicocca Fondamenti e didattica della matematica B p. 1 Fondamenti e didattica della matematica B p. 2 3 Similitudini 4 Figure simili Definizione Una similitudine è una trasformazione f del piano che verifica le condizioni seguenti Le distanze vengono mutate, ma vengono mutate in rapporto costante. Cioè possiamo trovare un numero k tale che se la distanza di due punti P e Q vale TOT, allora la distanza tra i loro corrispondenti f(p) e f(q) vale k TOT. Gli angoli non cambiano. Cioè comunque si fissino tre punti A, B e C, l angolo da questi individuato è uguale all angolo individuato dai loro corrispondenti f(a), f(b) e f(c). Definizione Due figure del piano si dicono simili se è possibile costruire una similitudine del piano che manda la prima figura nella seconda. Uno dei problemi che dovremo affrontare è quello di capire quando due figure sono simili. Avendo dato una definizione astratta di cosa sia una similitudine, dobbiamo costruire gli strumenti. Nello scorso incontro abbiamo elencato alcuni criteri di similitudine. Fondamenti e didattica della matematica B p. 3 Fondamenti e didattica della matematica B p. 4
5 Altre figure 6 Esercizio Come è possibile stabilire se le seguenti figure sono simili? I seguenti triangoli sono simili? B k = A B AB = 5 1 A A B Il numero attaccato ad entrambi i triangoli è 1/3 Qual è il rapporto di similitudine? Che rapporto c è tra le aree dei due triangoli? Fondamenti e didattica della matematica B p. 5 Fondamenti e didattica della matematica B p. 6 7 Esercizio 8 I seguenti rombi sono simili? Rigidità di una similitudine La similitudine dei triangoli evidenziati garantisce la similitudine dei rombi. Fondamenti e didattica della matematica B p. 7 Fondamenti e didattica della matematica B p. 8
9 Rigidità di una similitudine 10 Rigidità di una similitudine Abbiamo definito le similitudini come trasformazioni di tutto il piano. Giocoforza quando le rappresentiamo, ci limitiamo a considerarne l azione solo su una porzione di piano. Di fatto siamo in qualche modo legittimati a fare questa confusione: infatti le similitudini sono qualcosa di estremamente rigido sapere come una similitudine si comporta su un pezzo di piano, anche molto piccolo, ci permette di sapere come questa similitudine si comporta su tutto il piano. Supponiamo di avere tre punti A, B e C non allineati e di conoscere le immagini A, B e C di questi tre punti. Dato un qualsiasi punto P è possibile determinare univocamente l immagine P di P. A B P C A P B C Fondamenti e didattica della matematica B p. 9 Fondamenti e didattica della matematica B p. 10 11 12 Esercizi Dato un triangolo, è possibile costruire un quadrato in modo che Esempi due vertici del quadrato giacciano su un lato del triangolo gli altri due vertici del quadrato giacciano sugli altri due lati del triangolo Fondamenti e didattica della matematica B p. 11 Fondamenti e didattica della matematica B p. 12
13 Esercizio 14 Similitudini e quadrettatura Rivediamo la costruzione Per costruire figure simili può essere utile utilizzare quadrettature di dimensioni differenti Fondamenti e didattica della matematica B p. 13 Fondamenti e didattica della matematica B p. 14 15 Rigidità di una similitudine 16 Un gioco Supponiamo di avere tre punti A, B e C non allineati e di conoscere le immagini A, B e C di questi tre punti. Dato un qualsiasi punto P è possibile determinare univocamente l immagine P di P. A B C P B C A P Fondamenti e didattica della matematica B p. 15 Prendete un foglio di carta a quadretti, e scegliete un punto P. Seguite quanto faccio io a video, ma raddoppiate il numero di quadretti rispetto a quello che faccio io se io vado a destra, voi andate in alto sul vostro foglio se io vado in alto, voi andate a sinistra se io vado a sinistra, voi andate in basso se io vado in basso, voi andate a destra Fondamenti e didattica della matematica B p. 16
17 Un gioco 18 Similitudini e aree Il gioco che abbiamo fatto, costruisce una similitudine convincetevi del fatto che quello che abbiamo fatto è effettivamente costruire una similitudine costruire situazioni analoghe a questa modificando le regole del gioco Che cosa significa l espressione raddoppiare una figura? Disegniamo due rettangoli di cui uno con i lati doppi dell altro 3 4 1 2 L area risulta moltiplicata per 4 Fondamenti e didattica della matematica B p. 17 Fondamenti e didattica della matematica B p. 18 19 Similitudini e aree 20 Raddoppiare una figura L esempio del rettangolo riflette una situazione generale Se due figure sono simili tramite una similitudine di rapporto k, allora il rapporto tra le aree delle due figure è k 2 Come costruire un quadrato che abbia area doppia di quello rappresentato in figura? serve un k tale che k 2 = 2 ovvero k = 2 Se due figure sono simili tramite una similitudine di rapporto k, allora il rapporto tra le aree delle due figure è k 2 Fondamenti e didattica della matematica B p. 19 Fondamenti e didattica della matematica B p. 20
21 22 Come facciamo a misurare? Misura Il modo migliore per introdurre il concetto di misura è proporre una attività pratica di misurare. Purtroppo per ragioni logistiche e di tempo in questa occasione non possiamo farlo. Immaginiamo però di procedere alla misurazione di lunghezza e larghezza della stanza in cui ci troviamo, utilizzando vari campioni un metro un pezzo di corda una sciarpa un foglio di carta... Fondamenti e didattica della matematica B p. 21 Fondamenti e didattica della matematica B p. 22 23 Come facciamo a misurare? 24 Piano pratico/concreto Se vogliamo ad esempio misurare la lunghezza di questa stanza, l operazione di misura equivale a valutare il rapporto tra la lunghezza che vogliamo misurare e la lunghezza di un campione (quante volte il campione ci sta nella stanza). Se il campione non è contenuto un numero intero di volte (avanza un pezzettino), suddividiamo il campione in parti uguali più piccole procediamo con questo nuovo campione. Procediamo alla stessa maniera, fino a che non otteniamo un campione contenuto un numero intero di volte. Ma è sempre possibile? Questa procedura ha un termine? Il procedimento ha sempre termine nella pratica perché la misurazione ha una approssimazione sufficiente; perché lo strumento di misura non ci permettere di suddividere ulteriormente il campione. Fondamenti e didattica della matematica B p. 23 Fondamenti e didattica della matematica B p. 24
25 Piano teorico/astratto 26 Diagonale del quadrato Dal punto di vista teorico il procedimento ha termine se e solo se la grandezza da misurare e il campione hanno un sottomultiplo comune; in altre parole, il procedimento ha termine se e solo se la misura è espressa da un numero razionale. Nel caso in cui il procedimento ha termine, le due grandezze (cioè la grandezza da misurare e il campione) sono dette commensurabili. Notiamo che l espressione incommensurabili non significa affatto che non si può misurare o non si può determinare 1 disegniamo il quadrato con lato di lunghezza 1 3 con il compasso riportiamo la lunghezza della diagonale sulla retta ATTENZIONE: esistono coppie di grandezze per cui il procedimento non ha termine, ad esempio il lato e la diagonale del quadrato sono grandezze incommensurabili. Fondamenti e didattica della matematica B p. 25 2 la diagonale ha lunghezza 2 0 1 2 Fondamenti e didattica della matematica B p. 26 27 Approssimazioni di numeri reali 28 Approssimazioni di numeri reali I numeri razionali sono densi nei numeri reali. Questo significa che ogni numero reale può essere approssimato in maniera efficiente da un numero razionale. Questo giustifica il fatto che quando effettuiamo una misurazione possiamo essere sicuri che, anche se la procedura non dovesse aver termine, raggiungiamo comunque un livello in cui l approssimazione è adeguata. Vediamo proprio il caso di 2. Consideriamo una approssimazione con due cifre decimali: il numero reale 2 è compreso tra i numeri razionali 1, 41 e 1, 42, quindi il punto corrispondente a 2 sarà uno dei punti compresi tra il punto corrispondente a 1, 41 e il punto corrispondente a 1, 42. Se effettuiamo un disegno molto ingrandito, siamo in grado di percepire la differenza tra 1, 41 e 1, 42 e quindi l approssimazione a due cifre non è sufficiente a permetterci di individuare il punto corrispondente a 2 1, 41 2 1, 42 1 2 Se il disegno è di dimensioni normali non siamo più in grado di percepire la differenza 1, 41 2 1, 42 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Qui l approssimazione a una cifra è più che sufficiente e possiamo assumere 2 = 1, 4. Fondamenti e didattica della matematica B p. 27 Fondamenti e didattica della matematica B p. 28
29 Ma come possiamo valutare l approssimazione della misurazione? Qual è un margine di errore accettabile? Misurazioni Il margine di errore è principalmente determinato dallo strumento utilizzato. Ad esempio se misuriamo il foglio di carta A4 con un righello, possiamo ottenere una misura a meno di un millimetro La nostra misurazione del foglio A4 sarà perciò 21, 0 ± 0, 1 cm di larghezza e 29, 7 ± 0, 1 cm di altezza 30 In altre parole, scrivendo che la larghezza è 21, 0 ± 0, 1 cm Misurazioni intendiamo che la misura esatta è un valore compreso tra 20, 9 cm e 21, 1 cm È anche possibile valutare l errore percentuale, cioè confrontare l errore nella misurazione con la grandezza che si vuole misurare. 0, 1 21 = 0.0047619048 0, 5% Un errore dello 0, 5% è intrinseco nella misurazione che stiamo effettuando. Fondamenti e didattica della matematica B p. 29 Fondamenti e didattica della matematica B p. 30 31 Misurazioni Se passiamo a considerare le aree, l errore riportato nelle misurazioni lineari si ripercuote sull area Si ha infatti la misura della larghezza è un valore compreso tra 20, 9 cm e 21, 1 cm la misura dell altezza è un valore compreso tra 29, 6 cm e 29, 8 cm Applicando la formula dell area del rettangolo si ha la misura dell area è un valore compreso tra 618, 64 cm 2 e 628, 78 cm 2 con un margine di errore di 10, 14 cm 2 (ovvero ±5, 07 cm 2 ). Fondamenti e didattica della matematica B p. 31 32 Misurazioni Un errore di ±0, 1 cm nella misurazione delle lunghezze ci porta un errore di ±5 cm 2 nella misurazione dell area Una volta valutato l errore della misurazione ci rendiamo conto che non avrebbe senso esprimere l area del foglio A4 con questi numeri: 623, 403 623, 7 619, 5 Infatti la parte decimale è del tutto irrilevante. Ha senso scrivere che la misura dell area è 623 ± 5 cm 2. Fondamenti e didattica della matematica B p. 32
33 Misurazioni 34 π Quanto misura la diagonale del foglio di carta A4? Applicando il teorema di Pitagora otteniamo (21, 0) 2 + (29, 7) 2 = 441 + 882, 09 = 1323, 09 ovvero 36, 374304 Anche in questo caso non possiamo prescindere dall errore riportato nelle misurazioni delle lunghezze. Una attenzione analoga merita il numero irrazionale π. π è un numero irrazionale ha una rappresentazione decimale infinita e non periodica π 3, 1415927... Ma per molti degli usi che ci interessano l approssimazione π 3 è più che sufficiente. Il margine di errore delle misure lineari era ±0, 1 cm: mettere tante cifre decimali è ben lungi dal rendere la nostra misura più precisa! Non bisogna illudersi che utilizzare π = 3, 14 risolva tutti i problemi. Fondamenti e didattica della matematica B p. 33 Fondamenti e didattica della matematica B p. 34 35 π 36 È un utile esercizio costruire oggetti a forma di circonferenza, effettuare le misure di diametro e circonferenza e valutare di volta in volta il rapporto. Ci si può così rendere conto che solo con oggetti grandi è necessario utilizzare le cifre decimali di π. Il concetto di area Su questo anche gli esperti ogni tanto cadono in errore: un esempio di sciocchezze che si possono dire su π è apparso su Famiglia Cristiana (sono cose che capitano... ). Per commenti su questo si veda il sito internet http://www.quadernoaquadretti.it/scuola/ridere/ (Che cosa sta succedendo alle circonferenze?) Fondamenti e didattica della matematica B p. 35 Fondamenti e didattica della matematica B p. 36
37 Il concetto di area 38 Il concetto di area Non crediamo sia necessario soffermarci sull importanza di un corretto approccio al problema di area. Ci piace però prendere a prestito le parole di un esperto di didattica della fisica, che pensando agli studenti del primo anno di università scrive Il concetto di area è alla base di molto delle altre idee fondamentali della fisica. [... ] Se chiedete agli studenti come si giunga ai valori numerici per l area o estensione superficiale molti di essi, ammesso che abbiano una risposta, risponderanno base per altezza. Se allora disegnate qualche figura molto irregolare, che non possieda né base né altezza ben definita, e chiedete di assegnare un valore numerico all area della figura, vi potete aspettare di ottenere ben poche risposte. Gli studenti che si comportano in questo modo non posseggono una definizione operativa chiara del concetto di area. (A. Arons, Guida all insegnamento della fisica) Fondamenti e didattica della matematica B p. 37 Fondamenti e didattica della matematica B p. 38 39 Il concetto di area 40 Il concetto di area Notiamo che anche una figura non eccessivamente irregolare può crearci qualche difficoltà: Su questa figura ho visto tentennare anche studenti del corso di laurea in matematica. Ritornando all analisi di Arons: La ragione di tutto ciò è molto semplice: sebbene i libri di aritmetica [sic] per le scuole medie quando introducono il concetto di area abbiano un paragrafo in cui si spiega di scegliere un quadrato come unità di misura, poi di sovrapporre alla figura in esame una griglia e infine di contare il numero dei quadrati contenuti nella figura stessa, bisogna notare che praticamente nessuno studente ha mai lavorato su questa procedura negli esercizi a scuola o a casa. Fondamenti e didattica della matematica B p. 39 Fondamenti e didattica della matematica B p. 40
41 Il concetto di area 42 Il concetto di area Non è mai stato chiesto loro di definire che cosa sia l area. Tutto ciò che hanno sempre fatto è di calcolare aree di figure regolari come quadrati, rettangoli, parallelogrammi o triangoli, utilizzando le formule a memoria. Essi non sono più in grado di connettere queste formule con l operazione di contare i quadrati unitari, anche nel caso in cui originalmente tale connessione fosse stata stabilita. È lo stesso Arons a proporre una soluzione (pensata per studenti di liceo ) Un certo numero di problemi da assegnare come lavoro pomeridiano o come test di verifica dovrebbe fornire agli studenti l opportunità di eseguire le operazioni [che costituiscono la definizione operativa di area], proprio partendo dalla scelta del quadrato unitario, per passare alla sovrapposizione di una griglia alla figura in questione, fino a contare realmente i quadrati. Fondamenti e didattica della matematica B p. 41 Fondamenti e didattica della matematica B p. 42 43 Il concetto di area 44 Esercizi sulle aree È lo stesso Arons a proporre una soluzione (pensata per studenti di liceo ) Il conteggio deve contenere una stima dei quadrati contenuti nel contorno della figura. A molti studenti la necessità di stimare le frazioni appare in qualche senso peccaminosa, dal momento che contiene un errore e non è esatta come sembra essere un valore ottenuto grazie a una formula. Rettangoli: Utilizzando come unità di misura il quadretto, con semplici operazioni di conteggio siamo in grado di valutare le misure dei lati e dell area la base è di 3 quadretti, l altezza è di 2 quadretti l area è 6 quadretti, cioè 2 file di 3 quadretti Riscopriamo una formula che conosciamo. Fondamenti e didattica della matematica B p. 43 Fondamenti e didattica della matematica B p. 44
45 Esercizi sulle aree 46 Esercizi sulle aree Triangoli rettangoli Triangoli isosceli e rombi l area del rettangolo è 4 3 = 12 quindi l area del triangolo è (4 3)/2 = 6 Fondamenti e didattica della matematica B p. 45 Fondamenti e didattica della matematica B p. 46 47 Esercizi sulle aree 48 Esercizi sulle aree Parallelogrammi Trapezi Fondamenti e didattica della matematica B p. 47 Fondamenti e didattica della matematica B p. 48
49 Esercizi sulle aree 50 Figure più complesse E per questi? A volte è sufficiente scomporre la figura in più parti e sommare le aree di ogni parte... 6 12? 10 10? Fondamenti e didattica della matematica B p. 49 Fondamenti e didattica della matematica B p. 50 51 Non solo poligoni 52 Non solo poligoni Può essere necessario ricorrere a misure approssimate l area è compresa tra l area del poligono e l area del poligono L area della figura è compresa tra 2 e 5. Se vogliamo ottenere misurazioni più precise dobiamo ricorrere ad una griglia a maglie più fini. Se vogliamo ottenere misurazioni più precise dobiamo ricorrere ad una griglia a maglie più fini. Fondamenti e didattica della matematica B p. 51 Fondamenti e didattica della matematica B p. 52
53 Esercizi sulle aree 54 Ritorniamo a questo triangolo Formule Oltre a sommare, possiamo calcolare le aree per differenza Fondamenti e didattica della matematica B p. 53 Fondamenti e didattica della matematica B p. 54 55 Saper leggere una formula 56 Esiste una formula? Cosa è necessario sapere circa le formule? Sono fondamentalmente due le cose su cui è necessario acquisire scioltezza: rendersi conto di quando può esistere una formula che lega certi dati e quando no; saper leggere la formula e saperla usare con la minor fatica possibile. Può esistere una formula che permette di calcolare l area di un rombo conoscendo solo la lunghezza del suo lato? Osserviamo che risposte del tipo non esiste, perché non la conosco o non esiste, perché non l ho trovata su nessun libro lasciano una certa insoddisfazione in chi le riceve (potrebbero non essere convincenti). È utile in questi casi costruire spiegazioni che taglino la testa al toro e non lascino dubbi ai nostri interlocutori. Fondamenti e didattica della matematica B p. 55 Fondamenti e didattica della matematica B p. 56
57 Esiste una formula? 58 Usare la formula Esiste una formula che permette di ricavare l area di un triangolo conoscendo solo le lunghezze dei suoi tre lati? Anche se non conosciamo una formula siffatta, sappiamo che la conoscenza della lunghezza dei tre lati individua univocamente il triangolo. Questo significa che è ragionevole pensare che una tale formula si possa trovare. È molto utile riconoscere nelle formule certe regolarità, la più importante di tutte è la relazione di proporzionalità tra grandezze. Se, come accade spesso in geometria, due grandezze dipendono l una dall altra (esiste cioè una formula che le lega) se la legge è del tipo moltiplicazione per una costante possiamo immediatamente riconoscere la proporzionalità. Ad esempio per i rettangoli, se h indica la misura dell altezza di un rettangolo, b indica la misura della base del medesimo rettangolo e A indica la misura della sua area allora A = b h Fondamenti e didattica della matematica B p. 57 Fondamenti e didattica della matematica B p. 58 59 Usare la formula 60 Esempi Per i rettangoli vale una relazione di proporzionalità: se h indica la misura dell altezza di un rettangolo, b indica la misura della base del medesimo rettangolo e A indica la misura della sua area allora A = b h se ho un rettangolo che ha altezza h area TOT, allora per ottenere un rettangolo con area doppia sappiamo che è sufficiente prendere un rettangolo con altezza h e base doppia di quella del primo rettangolo ma è anche possibile prendere un rettangolo che ha altezza doppia e base uguale a quella del primo rettangolo. la formula che lega la lunghezza del perimetro p di un quadrato alla lunghezzza del suo lato l (misurati rispetto alla stessa unità di misura) è p = 4 l riconosciamo nella formula un legame di proporzionalità diretta se l raddoppia, allora anche p raddoppia se voglio che p raddoppi, allora so che devo raddoppiare l Fondamenti e didattica della matematica B p. 59 Fondamenti e didattica della matematica B p. 60
61 Esempi 62 la formula che lega la misura A dell area di un quadrato alla lunghezza del suo lato l è A = l 2 il legame non è un legame di proporzionalità diretta se l raddoppia, allora A... se voglio che A raddoppi, allora l... Area del quadrato e radici quadrate Fondamenti e didattica della matematica B p. 61 Fondamenti e didattica della matematica B p. 62 63 Area del quadrato e radici quadrate 64 Esercizio Che area ha questo quadrato? L area del quadrato di partenza si ottiene tagliando via dal quadrato tratteggiato (di cui sappiamo ricavare che l area è pari a 25 quadretti) i quattro triangolini in più (di area 2 ciascuno), ha quindi area pari a 17 quadretti È possibile costruire sulla carta a quadretti un quadrato con i vertici sulla quadrettatura e che abbia area pari a 1 quadretto? E di area pari a 2 quadretti? E di area pari a 3 quadretti? 4, 5, 6, 7,...? è il lato giusto per ottenere un quadrato di area 17 Fondamenti e didattica della matematica B p. 63 Fondamenti e didattica della matematica B p. 64