Analisi spettrale Che cos è lo spettro di un segnale? Perché e come si misura? Sia x(t) un segnale nel dominio del tempo. La sua trasormata di Fourier vale: X ( ) = + x( t) e jπ t < < + Le misure nel dominio della requenza permettono di sapere quanta energia èpresente in un segnale ad una data requenza. Lo strumento di misura dedicato all analisi in requenza dei segnali è l ANALIZZATORE DI SPETTRO. Applicazioni Caratterizzazione di sorgenti di segnale. Analisi di sistemi lineari. isure di compatibilità elettromagnetica: misura di disturbi irradiati e disturbi condotti. isure per telecomunicazioni: analisi di segnali modulati caratterizzazione di apparati di trasmissione ripartizione dello spettro (allocazione delle requenze). 1 Speciiche di un analizzatore di spettro Speciiche in requenza: ampio campo di requenze misurabili ( o 5 decadi) entro le quali deve essere garantito un dato grado di incertezza. Ad esempio: da 0.1Hz a 10kHz da 1kHz a 100Hz ecc. buona risoluzione in requenza: lo strumento deve essere in grado di distinguere le componenti di un segnale anche quando la loro separazione in requenza èmolto piccola. Speciiche di un analizzatore di spettro () Speciiche in ampiezza: grande dinamica per le ampiezze: per essere in grado di misurare contemporaneamente componenti di intensità molto diversa. Corrisponde al rapporto espresso in db tra la minima e la massima ampiezza rilevabili contemporaneamente. elevata sensibilità: lo strumento deve poter analizzare accuratamente segnali di ampiezza ridotta; uniormità: il comportamento dello strumento non deve cambiare al variare della requenza. 3
Speciiche di un analizzatore di spettro (3) Speciiche di linearità: i circuiti interni ad un analizzatore di spettro devono essere particolarmente curati per evitare di introdurre distorsioni del segnale qualunque distorsione causa un alterazione dello spettro da misurare con la possibile comparsa di nuove componenti spettrali e la variazione di quelle eettivamente esistenti lo strumento non deve introdurre componenti spettrali spurie (dovute ai propri circuiti) nella misura nelle speciiche viene normalmente indicato lo spurious ree dynamic range dello strumento. Segnali a spettro discreto (1) Un segnale a spettro discreto ècomposto da un certo numero di termini sinusoidali non necessariamente in relazione armonica. Sia x(t) una unzione reale. X() Allora X() ha simmetria hermitiana: X( )=X * (). 5 6 Segnali a spettro discreto () x( t) = X (0) + + k = 1 X ( k ) cos ( π t + arg[ X ( )]) L inormazione sullo spettro di x(t) si può ricavare dalla conoscenza di X() per >0. 1 k sono le requenze delle componenti del segnale. X(0) èrierito ad un eventuale componente continua. X( 1 ) X( k ) rappresentano le ampiezze delle singole componenti. k k Segnali a spettro discreto (3) Come viene visualizzato lo spettro X()? Lo schermo di un analizzatore di spettro ha scala orizzontale tarata in requenza. La scala verticale può dare un indicazione di: ampiezza espressa come valore eicace di un onda sinusoidale (V RS ). Nel caso in esame: X (0) X ( 1)... X ( k ) potenza (W): a tal ine è necessario speciicare il valore di impedenza Z L a cui si a rierimento (impedenza di ingresso dello strumento). 7 8
Esempio: Segnali a spettro discreto () Ampiezze delle singole componenti: A3 X ( 3 1) = j e A1 X ( 1) = j e jφ3 jφ1 Spettro misurato in potenza: X ( 1) P1 = Z ( π t + φ ) + A sen( π + ) x = A sen t φ L 1 1 1 3 3 A3 X (3 1) = j e A1 X ( 1) = j e A1 = Z L jφ3 jφ1 X (3 1) P3 = Z L 1 3 X( 1 ) X( 3 ) 1 3 1 A3 = Z L Segnali a spettro discreto (5) CASO IDEALE CASO REALE G() A 1 δ(- 1 ) A δ(- ) G() A 1 W(- 1 ) A W(- ) A 3 δ(- 3 ) A 3 W(- 3 ) 1 3 1 3 9 10 Risoluzione in requenza E deinita come la minima separazione in requenza Δ alla quale uno strumento èin grado di distinguere due componenti spettrali della stessa ampiezza. Qualsiasi analizzatore di spettro si può caratterizzare con una propria unzione di risoluzione W(). Dato un segnale con spettro X() l analizzatore di spettro visualizza il risultato della convoluzione nel dominio della requenza tra X() e W(): + G ( ) = X ( υ) W ( υ) dυ Risoluzione in requenza () La risoluzione in requenza di un analizzatore di spettro è pari alla banda passante a 6 db B W della sua unzione di risoluzione W(). Risolvere due componenti non signiica essere in grado di misurarle correttamente. 6 db (50%) W(0) W(0)/ B W 1 11 1
Risoluzione in requenza (3) Per misurare accuratamente lo spettro di ampiezza si deve invece imporre una separazione in requenza maggiore in modo da evitare intererenza tra componenti spettrali. A tale scopo si può considerare ad esempio la banda a 0 db della unzione di risoluzione che indica la distanza a cui l intererenza causata da una componente del segnale èpari al 10% della sua ampiezza. Nelle speciiche degli strumenti viene indicato un parametro detto selettività dato dal rapporto: B 0dB /B 6dB che dipende esclusivamente da W(). Risoluzione in requenza () Lo spettro del segnale X() rimane inalterato solo se W()=δ(). Condizione necessaria èche W() sia a banda suicientemente stretta. Per un segnale a spettro discreto lo strumento visualizza la unzione: + k k k = G ( ) = A W ( ) Se le componenti di X() sono suicientemente lontane la loro ampiezza misurata dallo strumento èdata da: G( ) = A W (0) k k 13 1 Presentazione in scala logaritmica Un analizzatore presenta una traccia proporzionale a X() oppure a X() (quantità sempre positive). Scala lineare: valore 0 come estremo ineriore. Fattore di scala in V/div oppure mv/div. Scala logaritmica: log(0)=!!! Si deinisce il valore massimo denominato reerence level. Fattore di scala verticale in db/div. Presentazione in scala logaritmica () La presentazione in scala logaritmica permette di evidenziare componenti di ampiezza ridotta. In una scala logaritmica il livello di rierimento corrisponde al margine superiore dello schermo. REF LVL 1 3 1 3 SCALA LINEARE 10 db/div SCALA GARITICA 15 16
db dbv dbm db dbv dbm: esempio I decibel (db) si rieriscono ad un rapporto tra due quantità. Livello di rierimento a 10dBV. Per esprimere correttamente un unità di misura in scala logaritmica è necessario deinirla in rapporto ad una quantità di rierimento. Per la misura delle ampiezze si usano i dbv: Vx 0log10 1 [ V RS ] La componente spettrale dà luogo ad un picco di 1dB ineriore. L ampiezza della componente è pari quindi a dbv. Pari quindi a 63mV. -10dBV -dbv reerence level 1dB Per la misura delle potenze si usano i dbm: 10log10 P x 1 [mw] 17 18 Architettura di un analizzatore (1) Analizzatori in tempo reale : tutte le componenti del segnale vengono misurate contemporaneamente: strumenti analogici basati su banchi di iltri selettivi strumenti digitali basati sul calcolo numerico della trasormata di Fourier Analizzatori a scansione: le componenti spettrali del segnale vengono misurate in istanti di tempo successivi: strumenti analogici basati su tecniche di modulazione e trasposizione di requenza esteso campo di requenze misurabili dinamica di ampiezza 70 80 db Banco di iltri selettivi iltri X() tempo misura ritardo iltro: analisi molto veloce una variazione di risoluzione richiede la variazione di banda dei iltri numero di iltri elevato architettura complessa 19 0
analizzatori di spettro Filtro a sintonia variabile Analisi di spettro per via analogica X() 1 In teoria possibili diverse architetture: banco di iltri selettivi ( aumenta rapidamente il numero di iltri: troppo costoso e complesso) 3 unico iltro selettivo a sintonia variabile ( un unico circuito può sintonizzarsi in un campo di requenze la cui estensione sia di circa una ottava o al più una decade: troppo poco) iltro selettivo isso e spostamento in requenza del segnale da analizzare ( struttura supereterodina) 1 Principio della trasposizione in requenza Trasposizione in requenza () 1 X() x(t) mixer oscillatore locale x (t) x (t) iltro selettivo y(t) - 3 Elementi ondamentali per realizzare una trasposizione in requenza: iscelatore Oscillatore variabile Filtro selettivo La struttura basata sull uso coordinato di un iltro selettivo un mixer e un oscillatore locale a requenza variabile prende il nome di struttura a supereterodina e costituisce l elemento centrale di un analizzatore di spettro a scansione. 3
iscelatore iscelatore () Per semplicità si suppone che x (t) sia un segnale sinusoidale a requenza. Allora il mixer si può pensare come a un modulatore a prodotto dove x (t) costituisce la portante. x = x( t) cos ( π t ) X ) = + [ X ( ) + X ( )] ( x(t) mixer x (t) x (t) Lo spettro del segnale da analizzare viene traslato nell intorno delle requenze ±. Un miscelatore è caratterizzato da: Ampiezza del segnale in uscita proporzionale a quella del segnale di ingresso secondo il attore di conversione. La requenza x() delle componenti del segnale di uscita è legata alla requenza dell oscillatore e alla requenza x del segnale di ingresso da: = ± = ± se < x( ) x se > x x( ) La requenza dell oscillatore non è direttamente presente nello spettro del segnale di uscita x (t). x NON UTILIZZATE x 5 6 Filtro selettivo Filtro selettivo () Filtro passa banda simmetrico con requenza centrale issa e nota con precisione. è detta requenza intermedia (intermediate requency). Risposta all impulso del iltro: W() W(0) h = w( t)cos ( π t) H() B W W(0) / w(t) è detta inviluppo del iltro e la sua trasormata è W(). 1 H ) = + [ W ( ) + W ( )] ( B H << :: ipotesi di di iltro selettivo B H =B W 7 8
analizzatori di spettro Scansione in requenza Sia y(t) l uscita dal iltro selettivo. La trasormata di y(t) èpari a Y()=X () H() : x (t) Y ) = + [ X ( ) + X ( + )] [ W ( ) + W ( )] ( - - H() iltro selettivo Se non si pone alcuna condizione sui valori ammessi per e sono possibili intererenze che rendono diicile l interpretazione della risposta. y(t) 9 Scansione in requenza () Condizioni per la corretta implementazione della trasposizione in requenza AX AX = estremo superiore del campo di requenze analizzabili dallo strumento. > AX = requenza centrale del iltro selettivo. [ min max ] = campo di variazione di. min = condizione sul campo di variazione dell oscillatore locale. 30 Y ) = + [ X ( ) + Esempio X ( + )] [ W ( ) + W ( )] ( AX AX < < < < X() X() X () Y() H() X () X(+ ) X(- ) - H() + W(+ ) W(- ) Scansione in requenza (3) Y ) = + [ X ( ) W ( ) + X ( + ) W ( )] ( Se il iltro selettivo avesse banda passante ininitesima W()=W 0 δ() si avrebbe: W0 Y ( ) = δ + [ X ( ) δ ( ) + X ( + ) ( )] In queste ipotesi nel dominio del tempo si otterrebbe: W0 y π ( ) cos( t [ X ( )]) = X arg - + 31 3
Esempio X () X(+ ) X(- ) - H() + W 0 δ(+ ) W 0 δ(- ) - Y() + W 0 X( - )δ(+ ) W 0 X( + )δ(+ ) - + y( t) = + Scansione in requenza () Si consideri ora un iltro selettivo non ideale. y(t) èdato dalla convoluzione nel dominio del tempo tra x (t) e la risposta h(t) del iltro: x( τ )cos x (τ ) ( π τ ) w( t τ )cos( π ( t τ )) dτ Segnale in ingresso al iltro selettivo h( t τ ) Risposta impulsiva del iltro selettivo 33 3 Scansione in requenza (5) Si deinisce la unzione: s ( ) + jπ τ = x( τ ) w( t τ ) e dτ Questa unzione è detta inviluppo complesso di y(t) e si può interpretare come la trasormata di Fourier della unzione x(τ)w(t τ) valutata alla requenza =. Dopo alcuni passaggi èpossibile riscrivere y(t) come: ( t arg[ s ( )]) y = s cos t π Scansione in requenza (6) Unica condizione imposta: x(t) limitato in banda. La risposta di un iltro selettivo ad un segnale x(t) èun segnale sinusoidale a requenza modulato sia in ampiezza che in ase. Nell ipotesi di iltro selettivo ideale con banda passante ininitesima si ottiene lo stesso risultato visto in precedenza: In generale: s s = W0 X ( ) = W ( ) X ( + ) 35 36
Scansione in requenza (7) Rivelatore di inviluppo Segnale a requenza y(t) raddrizzatore iltro passa-basso r(t) Segnale in banda base Permette di ottenere l inormazione di ampiezza dal segnale y(t). Questa inormazione è contenuta nel segnale: s Il raddrizzatore genera componenti in banda base associate all inviluppo di y(t) e componenti alla requenza o multipli. Il iltro passa basso elimina le componenti in alta requenza isolando le componenti in banda base. 37 38 Rivelatore di inviluppo () Rivelatore di inviluppo (3) Segnale y(t) a requenza modulato sia in ampiezza che in ase. RIVELATORE DI INVILUPPO RADDRIZZATORE FILTRO PASSA BASSO Segnale r(t) in banda base corrispondente all inviluppo di y(t). L uscita dal raddrizzatore dipende dal tipo di dispositivo usato: 1 r( t) = π r( t) = π s s a singola semionda a doppia semionda Il guadagno del iltro passa basso viene determinato in modo che la cascata dei due blocchi abbia guadagno unitario. Se il iltro passa basso ha banda passante maggiore della larghezza di banda dell inviluppo di y(t) si ottiene inine: r = s 39 0
Rivelatore di inviluppo () Un rivelatore di inviluppo deve avere: Ampia dinamica nel campo delle ampiezze del segnale di ingresso (70 80dB). Ridotta distorsione. Filtro passa banda con banda maggiore della massima larghezza di banda utilizzabile per il iltro selettivo. Per permettere all utente di regolare la larghezza di banda del iltro viene utilizzato un altro iltro passa basso detto iltro video. Normalmente lo strumento si predispone con la banda del iltro video uguale a quella scelta per il iltro selettivo. VCO: oscillatore controllato in tensione Schema unzionale miscelatore oscillatore locale iltro selettivo GENERATORE DI RAPA rivelatore di inviluppo display L oscillatore locale genera una tensione sinusoidale a requenza dipendente dalla tensione applicata in ingresso. Il generatore di rampa ornisce la tensione di controllo dell oscillatore locale. 1 Spettro discreto: un esempio Comportamento dinamico - - 1 X() 1 t 0. min - 1 + 1 - + max La requenza varia linearmente nel tempo. Il rate di variazione è: F SPAN /t SWEEP Durante la scansione un iltro selettivo con banda B R è sollecitato da una componente sinusoidale per un tempo (B R t SWEEP )/F SPAN t 1 t sweep t t t - - 1 F SPAN + + 1 t SWEEP1 t SWEEP Curve di risposta del iltro selettivo: in condizioni stazionarie (t SWEEP1 ) scansione troppo veloce (t SWEEP < t SWEEP1 ) 3
analizzatori di spettro Comportamento dinamico () Schema di un analizzatore di spettro transitorio di risposta del iltro selettivo durata del transitorio legata alla selettività del iltro: 1/B R uno sweep time troppo breve (scansione veloce) causa: peggioramento della risoluzione in requenza perdita di sensibilità errore nella determinazione della requenza criterio per l impostazione dello strumento: attenuatore iltro d ingresso miscelatore oscillatore locale rivelatore di inviluppo iltro video ampliicatore lin/log convertitore A/D 1 t < B SWEEP R BR FSPAN F t SPAN SWEEP > BR display 5 6 Filtro video Schema di un analizzatore di spettro () Il iltro video ha banda passante BV BR e può ridurre l eetto del rumore a larga banda (smoothing). Il iltro video ha un transitorio maggiore del iltro selettivo e quindi inluisce sul tempo di scansione: FSPAN tsweep > B B r r R V attenuatore iltro d ingresso PARTE ANAGICA miscelatore oscillatore locale Convertitore A/D implementazione DSP rivelatore di inviluppo iltro video ampliicatore lin/log 0-0 - display 7 8