COMPLEMENTI SUI DIFFERENZIALI ESATTI E L INTEGRAZIONE DI FORME DIFFERENZIALI

COMPLEMENTI SUI DIFFERENZIALI ESATTI E L INTEGRAZIONE DI FORME DIFFERENZIALI Sergio Console Derivate parziali (notazione) Data una funzione z = f(x, y), si può pensare di tener fissa la variabile y (considerandola quindi come una costante) e di derivare la funzione f(x, y) come funzione della sola variabile x. Si ottiene il questo modo (ammesso che esista) la derivata parziale di f(x, y) rispetto a x. La si denota in vari modi: df dx, dz dx, f x, D x f, D 1 f. In termodinamica è comune evidenziare la variabile che si tiene fissa scrivendo ( ) f. x Analogamente per la derivata parziale rispetto ad y. Spesso nelle applicazioni, ad esempio in termodinamica, ho una relazione tra 3 e più variabili, ma una la penso costante. Consideriamo ad esempio la legge dei gas ideali: y P V = nrt dove P è la pressione, R una costante (costante molare), T la temperatura, V è il volume e n il numero di moli. Posso allora esprimere una variabile in funzione delle altre tre, ad esempio P = nrt V = nrt V P,... Se scrivo ( ) P T n,v intendo che derivo P rispetto a T tenendo n e V costanti. Se scrivo V := V/n (volume molare) allora ho una relazione tra 3 variabili (invece che tra 4) ed posso esprimerne una in funzione delle altre due. La legge dei gas ideali si scrive allora P V = RT 1

e ad esempio ( ) P T V è la derivata di P rispetto a T tenendo V costante. Derivata totale o della funzione composta Sia z = f(x, y) e una curva r(t) : { x = x(t) y = y(t) allora la derivata di f(t) = f(x(t)), y(t)) è data dalla formula della derivata totale ( ) ( ) df f dt = dx f x dt + dy d r = f dt dt dove il punto denota il prodotto scalare. Più in generale, se f(u, v) = f(u(x, y), v(x, y)) y è una funzione composta, si ha la formula di derivazione della funzione composta ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f u f v = + x u x v x y ( ) f = x v ( ) f u v y x ( ) u + x che può essere espresso nella forma { f x = f uu x + f vv x f y = f uu y + f vv y e la matrice ( u x v x u y v y è detta matrice jacobiana. ) u ( ) f v u y ( ) v x Differenziale esatto Data la funzione di due variabili f(x, y) si dice differenziale esatto di f ( ) ( ) f f df = dx + dy x y x 2

Forme differenziali Una forma differenziale su D R 2 è un espressione del tipo δu = A(x, y)dx + B(x, y)dy dove A e B sono funzioni di due variabili definite in D R 2. Un caso particolare ma importante di forma differenziale è il differenziale di una funzione f(x, y) df = ( ) f dx + x y ( ) f dy x Diciamo che la forma differenziale δu è esatta se è il differenziale di una funzione f cioè δu = df A(x, y) = B(x, y) = ( ) f x y ( ) f x La funzione f è detta potenziale di δu e si dice anche che U è una funzione di stato. Se una forma differenziale non è esatta si dice inesatta. Osserviamo che in un dominio fatto di un pezzo solo (il termine matematico preciso è connesso ), il potenziale è determinato a meno di una costante additiva (come una primitiva, per intendersi). Osservazione 1 In una variabile una forma differenziale è data da δu = f dx e il teorema di esistenza delle primitive ci dice che una forma differenziale in una variabile ammette sempre un potenziale U, cioè una primitiva di f, che è unica a meno di una costante. Vedremo che invece in due o più variabili non esiste sempre un potenziale e troveremo condizioni per la sua esistenza. In termodinamica calore e lavoro elementari (o infinitesimi) δq e δw in un processo danno in generale esempi di differenziali inesatti, ovvero calore e lavoro non sono funzioni di stato. Una condizione necessaria per l esattezza può essere ricavata facilmente, usando l uguaglianza delle derivate seconde miste. Se δu = Adx + Bdy = df = f f dx + x dy allora A = 2 f x = 2 f x = B x. Diciamo che la forma differenziale δu è chiusa se A = B x. 3.

Dunque δu esatta = δu chiusa La condizione è anche sufficiente purchè il dominio di definizione di δu non abbia buchi ; si dice precisamente che il dominio è semplicemente connesso (si vedano le note di Benenti, Chanu, Fino, Cap. 7, paragrafo 7.11, per maggiori dettagli). Un interpretazione fisica di una forma differenziale è data da un campo vettoriale: alla forma δu corrisponde il campo U = (A(x, y), B(x, y)). Un campo vettoriale in R 2 è una funzione differenziabile che ad ogni punto (x, y) in un dominio D R 2 fa corrispondere il vettore di componenti (A(x, y), B(x, y)). Un campo vettoriale C su U si scrive, rispetto alla base standard di R 2, nella forma ( ) f(x, y) V(x, y) = (f(x, y), g(x, y)) =, g(x, y) dove f e g sono funzioni C su U. Il gradiente di una funzione ϕ C su U è dato dal campo vettorale ϕ = ( ϕ x, ϕ ). Se un campo V è il gradiente di una funzione ϕ, si dice che il campo è conservativo e la funzione ϕ si dice un potenziale di V. I campi conservativi sono dunque la nozione duale delle forme esatte. Il rotore di un campo V(x, y) = (f(x, y), g(x, y)) è dato dalla funzione rotv = f g x. V è detto irrotazionale se rotv =. Dunque i campi irrotazionali sono l analogo delle forme chiuse e i campi conservativi sono irrotazionali: infatti l uguaglianza delle derivate seconde miste implica rot U = U x U x = 2 U x 2 U xy =. 4

1 1 Figura 1: Campo di avvolgimento ( y, x) e campo centrale (x, y) x 2 +y 2 x 2 +y2 Schema riassuntivo Forme differenziali e campi vettoriali forma differenziale δl = A(x, y)dx + B(x, y)dy differenziale esatto df = f f dx + x dy forma chiusa A = B x L è una funzione di stato δl = du campo V = (A(x, y), B(x, y)) gradiente f = ( f x, f ) campo irrotazionale rotv = A B x = V è conservativo V = U U potenziale δl esatta = δl chiusa V conservativo = V irrotazionale dominio di definizione connesso e semplicemente connesso δl esatta δl chiusa V conservativo V irrotazionale 5

Integrali di forme differenziali e lavoro La nozione di integrale di una forma differenziale si presenta in modo naturale in fisica con la definizione di lavoro di una forza applicata ad un punto che subisce uno spostamento lungo un cammino. Se un punto si muove sul piano ed il suo moto è descritto da equazioni parametriche del tipo x = x(t), y = y(t), dove il parametro t è il tempo, la sua velocità è ad ogni istante data da ( ) dx v = dt dy dt La potenza W di un campo di forza F = ( A(x, y) B(x, y) agente sul punto è ad ogni istante uguale al prodotto scalare della forza per la velocità, ) W = F v = A dx dt + B dy dt. Il lavoro compiuto dalla forza in un intervallo di tempo [a, b] è l integrale della potenza in quell intervallo, cioè l integrale: w [a,b] = b a F v dt = b a ( A(x(t), y(t)) dx dt ) dy + B(x(t), y(t)) dt dt. Ad un campo di forze F = (A(x, y), B(x, y) si può associare la forma differenziale δw = Adx + Bdy (il lavoro elementare o infinitesimo) avente le stesse componenti della forza F. Sia { x = x(t) (t) : y = y(t) il cammino nel piano dato dalla traiettoria del moto. Allora il lavoro lungo la curva è dato da w [a,b] = δw = A dx + B dy. ( A(x(t), y(t)) dx dt ) dt è quanto si ottiene sostituendo x = x(t), dy Infatti + B(x(t), y(t)) dt y = y(t) nella forma differenziale δw = Adx + Bdy. Un modo equivalente di vedere l integrale di linea è quindi di considerare le forme differenziali. Sia δu = A(x, y)dx + B(x, y)dy una forma differenziale. Definiamo l integrale di linea della forma δu lungo il cammino come a ( δu = A(x(t), y(t)) dx ) dy dt + B(x(t), y(t)) dt dt. b 6

Come si vede, l ultimo integrale è l integrale definito di una funzione del parametro t sopra l intervallo chiuso [a, b] (dove s intendono definite le equazioni parametriche). Questa funzione integranda è ottenuta dalla forma differenziale Adx + Bdy sostituendo alla x e alla y le equazioni parametriche. Un esempio è fornito da una trasformazione in termodinamica, ad esempio una trasformazione adiabatica in figura Figura 2: Tre diversi cammini: (A, B + C, D + E) per condurre un gas ideale da P 1, V 1, T 1 a P 2, V 2, T 1 Si può dimostrare che cambiando la parametrizzazione della curva, cioè le equazioni parametriche che la descrivono, il risultato non cambia. Quindi: L integrale δu dipende solo dalla curva come luogo di punti e, in segno, dal verso di percorrenza. Percorrendo la curva in senso opposto, l integrale cambia di segno. Esempio 2 Consideriamo forma differenziale ω = ydx + xydy. Sia : [, π 2 ] R2, t (cos t, sin t) il quarto di circonferenza percorso in verso antiorario. Allora ω(ydx + xydy) = π 2 [sin t( sin t) + cos t sin t cos t]dt = = [ ] π sin t cos t 2 [ ] π 1 π 2 dt cos 3 t 2 = π + 1. 2 2 3 4 3 Si dimostra inoltre che se la curva è composta dalla successione di due (o più) curve 1 e 2 allora δu = δu + 1 δu. 2 Se una curva è chiusa (ha cioè gli stessi punti iniziali e finali) oppure è composta da una successione di più curve che si chiudono si parla di integrale lungo una curva 7

chiusa o di circuitazione e si scrive δu, dove è una curva chiusa. Esempio 3 Consideriamo la curva chiusa = 1 + 2 + 3 rappresentata in figura e la forma differenziale δu = x 2 ydx + x 3 dy. Calcoliamo δu = δu + δu + δu 1 2 3 La curva 1 è definita da x(t) = t, y(t) =, t 2, dunque δu = 1 2 (t 2 dt + t 3 d) =. La curva 2 è definita da x(t) = 2, y(t) = t, t 2, dunque δu = 2 2 8dt = 16. La curva 3 è definita da x(t) = 2 t, y(t) = 2 t, t 2, dunque δu = 3 2 ( (2 t) 2 (2 t)dt (2 t) 3 dt) = 2 2 [ (2 t) (2 t) 3 4 dt = 2 4 ] 2 = 8. Allora δu = + 16 8 = 8. 8

Esempio 4 Consideriamo la stessa curva chiusa = 1 + 2 + 3 dell esempio precedente e la forma differenziale δu = 2xy 3 dx + 3x 2 y 2 dy. Calcoliamo δu = δu + 1 δu + 2 δu 3 La curva 1 è definita da x(t) = t, y(t) =, t 2, dunque 2 δu = (2t 3 dt + 3t 2 2 d) =. 1 La curva 2 è definita da x(t) = 2, y(t) = t, t 2, dunque 2 δu = 12t 2 dt = [ 4t 3] 2 = 32. 2 La curva 3 è definita da x(t) = 2 t, y(t) = 2 t, t 2, dunque 2 2 δu = ( 2(2 t)(2 t) 2 dt 3(2 t) 2 (2 t) 2 dt) = 5 (2 t) 4 dt = [ (2 t) 5] 2 = 32. 3 Allora δu = + 32 32 =. Uno dei problemi più importanti sulle forme differenziali, che è strettamente legato alla termodinamica e alla fisica, è il seguente: Quando δu dipende solo dal punto iniziale e da quello finale ma non dal cammino tra i due punti? (in tal caso si dice spesso, con abuso di linguaggio, che l integrale è indipendente dal cammino.) Questo avviene se δu ha un potenziale, cioè è esatta ovvero U è una funzione di stato. vale infatti il seguente teorema che è un estenzione al caso di bidimensionale del teorema fondamentale del calcolo integrale (di Barrow), che vale però ora solo per forme esatte: Teorema 1 (Teorema fondamentale del calcolo integrale in due dimensioni) Se δu = du = U U dx + dy in un dominio D allora x δu = U((b)) U((a)) per ogni curva contenuta in D e dunque 9 δu dipende solo dai punti iniziali e finali.

Si può provare più in generale, che la proprietà che l integrale di una forma δu su D è indipendente dal cammino può essere espressa nei seguenti modi equivalenti: (i) δu = δ δu per ogni coppia di cammini con gli stessi punti iniziali e finali contenuti in D. (ii) δu = per ogni curva chiusa contenuta in D. τ (iii) U è una funzione di stato: δu = du, cioè la forma differenziale è esatta in D e U è un potenziale. (iv) δu è chiusa e D è connesso e semplicemente connesso. Nell interpretazione fisica abbiamo che una forza è conservativa, se e solo se il lavoro compiuto dalla forza per lo spostamento lungo una curva non dipende dal cammino. Osserviamo che nell Esempio 3, la forma δu non è chiusa e quindi non può essere esatta; in effetti abbiamo visto che δu. La forma δu dell Esempio 4 è chiusa ed è definita su tutto R 2, quindi è esatta. In effetti è facile vedere che un potenziale è dato dalla funzione U(x, y) = x 2 y 3. Ci poniamo però ora il seguente problema Come si può calcolare un potenziale, se una forma è chiusa in un dominio semplicemente connesso (cioè è esatta)? Vedremo due metodi per fare questo. 1. metodo. L idea è quella di integrare lungo una qualunque curva tra un punto fisso e uno variabile. Precisamente: Per calcolare il potenziale (ricordato che esso è definito a meno di una costante additiva) si fissa un punto di riferimento P = (x, y ) D e si integra la forma differenziale lungo una curva (in generale una spezzata) scelta arbitrariamente (ma convenientemente) che unisce P ad un generico punto P = ( x, ȳ) D, senza uscire da D. Si avrà allora U( x, ȳ) = Esempio 5 Consideriamo la forma differenziale δu δu = 2xy 3 dx + 3x 2 y 2 dy dell Esempio 4 che è definita in D = R 2 (che non ha buchi) ed è chiusa: (2xy 3 ) = 6xy 2 = (3x2 y 2 ) x. 1

Calcoliamo allora 1 δu + 2 δu lungo i cammini 1 e 2 in figura La curva 1 è definita da x(t) = t, y(t) =, t x, dunque 1 δu =. La curva 2 è definita da x(t) = x, y(t) = t, t ȳ, dunque 2 δu = ȳ 3 x 2 t 2 dt = [ x 2 t 3] ȳ = x2 ȳ 3. Allora U( x, ȳ) = x 2 ȳ 3. 2. metodo. Integriamo parzialmente due volte. Vediamolo sull esempio precedente. Esempio 6 Consideriamo la forma differenziale δu = 2xy 3 dx + 3x 2 y 2 dy = A(x, y)dx + B(x, y)dy. Vogliamo trovare f(x, y) tale che f(x, y) x = A(x, y) = 2xy 3, f(x, y) = B(x, y) = 3x 2 y 2. Integriamo parzialmente (cioè solo rispetto a x) la prima equazione. Troveremo che f(x, y) dovrà essere uguale a una primitiva di 2xy 3 pensata solo come funzione di x (y pensato costante) a meno di una costante rispetto a x, cioè di una funzione solo della y: f(x, y) = x 2 y 3 + g(y). 11

Sostituiamo questa espressione per f nella seconda equazione: f(x, y) = x2 y 3 + g(y) = 3x 2 y 2 + g (y) = B(x, y) = 3x 2 y 2. Dall equazione 3x 2 y 2 + g (y) = 3x 2 y 2 abbiamo g (y) = cioè g(y) = c e quindi abbiamo l espressione per il generico potenziale f(x, y) = 3x 2 y 2 + c. Notiamo possaimo procedere nell ordine che vogliamo per le due equazioni. ad esempio avremmo potuto integrare prima rispetto a y la secoda equazione e poi sostituire nella prima. È inoltre un caso speciale che f(y) risulti costante. Vediamo un altro esempio. Esempio 7 Vogliamo determinare un potenziale della forma differenziale δu = (4x 2 + 8xy)dx + (3y 2 + 4x 2 )dy che è chiusa e definita su tutto R 2. Vogliamo quindi trovare f(x, y) tale che (1) (2) f x = 4x2 + 8xy, f = 3y2 + 4x 2. Integrando (1) rispetto a x (trattando quindi y come costante), troviamo f(x, y) = 3 4 x3 +4x 2 y+ una costante di integrazione (indipendente da x), quindi una funzione della sola y. Cioè possiamo scrivere f(x, y) = 4 3 x3 + 4x 2 y + g(y). Deriviamo ora parzialmente rispetto alla y trovando Confrontando con la (2) abbiamo f = 4x2 + g (y). 4x 2 + g (y) = 3y 2 + 4x 2 e quindi g (y) = 3y 2. Integrando abbiamo allora g(y) = y 3 + c. Sostituendo troviamo allora f(x, y) = 4 3 x3 + 4x 2 y + y 3 + c. 12

Notiamo che tutto si estende a forme diferenziali di più variabili. Ad esempio in tre variabili la condizione di chiusura per la forma è A = B x, δu = Adx + Bdy + Cdz B z = C, C x = A z. Questa condizione è più facile da ricordare se U = (A(x, y, z), B(x, y, z), C(x, y, z)) è il campo vettoriale corrispondente a δu : infatti i j k ( rot U = C x z A B C = B ) ( C i z x A ) ( B j + z x A ) k, e ricordiamo che δu è chiusa se e solo se rot U =. Figura 3: Campo vettoriale e cammino (da Wikipedia, dove si trova un immagine dinamica http://it.wikipedia.org/wiki/immagine:line-integral.gif) 13

Differenziali esatti in termodinamica (cenno) Si indicano con P la pressione di un gas n il numero delle moli V il volume e V il volume molare ( V = V n ) q il calore w il lavoro U l energia. La legge dei gas ideali si scrive P = nrt V = RT V con R una costante (costante molare). L energia U = U(T, V ) è una funzione di stato e il suo differenziale totale è ( ) ( ) U U du = dt + T V d V. Per la legge di conservazione dell energia V du = δq + δw dove δq e δw sono le forme differenziali date da calore e lavoro elementare. Avendosi si trova δq = du + P d V = quindi usando l equazione dei gas ideali ( ) U δq = dt + T V δw = P d V ( ) (( ) ) U U dt + T V V + P d V, T (( ) U V + RT ) d T V V. Ora, la forma δq non è chiusa e quindi il calore non è una funzione di stato; infatti 2 U V T ( ) U RT + = 2 U T V V T V + R V poiché R/ V. Se dividiamo però δq per T, troviamo la forma differenziale δq T = 1 ( ) U dt + 1 (( ) U T T T V V 14 T T + RT V ) d V.

Il secondo principio della termodinamica afferma tra le altre cose che questa forma è esatta, quindi ( ( ) ) 1 U V = ( ( ) 1 U T T V T T V + R V ) T cioè 1 T 2 V T = 1 U T 2 V + 1 T 2 T V e quindi U V = il che significa che l energia è funzione solo della temperatura U = U(T ) abbiamo allora una forma differenziale esatta U T dr + R V d V (U derivata di U rispetto a T ), il cui potenziale si chiama entropia. 15

Esercizi 1. Studiare le forma differenziali a) δu = 2xy dx + (x 2 + 3y 2 ) dy; b) δu = xy dx + (x 2 + 6y) dy; c) δu = u du + v dv; d) δu = y dx x 2 dy; e) δu = du + u dv; f) δu = wdz w 2 dw vedendo se sono esatte e trovarne eventualmente un potenziale. 2. Dato il cammino chiuso : x = cos t, y = sin t, t 2π calcolare le circuitazioni a) dx + y dy; b) 2xy dx + x2 dy; c) dx; d) y dx + dy. Perché nei casi (a), (b) e (c) si poteva dire il risultato senza bisogno di calcoli? 3. Sia il cammino chiuso in figura nel piano (T, V ) dove T è la temperatura e V il volume molare di un gas. Calcolare la circuitazione q = ( C v dt + RT ) V d V (C v costante). 16