Antonino Maria Ferro Esercizi di matematica per giovani e giovanissimi

Saggistica Aracne

Antonino Maria Ferro Esercizi di matematica per giovani e giovanissimi

Copyright MMXIV ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133/A B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 978-88-548-7160-1 I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: maggio 2014

Ringrazio mio nipote Andrea per la sua collaborazione Dedico questo testo di matematica alle mie sorelle Maria Teresa e Manuela

Indice 9 Introduzione 11 Capitolo I Calcolo di alcune costanti di poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza ad un cerchio o una sfera 1.1. Generalità, 11 1.2. Formulario, 12 1.3. Rapporti aree poligoni, cerchio, 12 1.4. Rapporti perimetro quadrato, circonferenza, 14 1.5. Rapporti tra volumi del cubo e della sfera, 15 1.6. Rapporti tra triangolo e circonferenza, 18 1.7. Calcolo delle costanti ricavate dal rapporto tra un triangolo e la circonferenza, 18 1.8. Rapporti perimetro triangolo, circonferenza, 21. 23 Capitolo II Procedimento per il calcolo di alcune costanti di poligoni regolari, inscritti e circoscritti ad una circonferenza o un cerchi 2.1. Generalità, 23 2.2. Formulario, 24 2.3. Calcolo delle costanti dell esagono regolare inscritto e circoscritto ad una circonferenza o un cerchio, 26 2.4. Rapporti perimetro esagono regolare, circonferenza, 26 2.5. Rapporti area esagono regolare cerchio, 27 2.6. Calcolo delle costanti dell ottagono regolare, inscritto e circoscritto ad una circonferenza o un cerchio, 29 2.7. Rapporti tra perimetro ottagono regolare e circonferenza, 29 2.8. Rapporti tra aree ottagono regolare e cerchio, 31. 35 Capitolo III Formule per il calcolo del secondo nel giorno di un pianeta 3.1. di calcolo del secondo Marziano, 35. 37 Capitolo IV Il coefficiente temporale 4.1. Generalità, 37 4.2. Introduzione, 37 4.3. con i due gemelli, 38 4.4. Il coefficiente temporale, 38 4.5. Notazioni, 40 7

8 Indice 4.6. Simbologia, 40. 41 Capitolo V Esercizi di matematica 5.1. Generalità, 41. 67 Capitolo VI Risultati 81 Capitolo VII Esercizi delle tracce 83 Capitolo VIII Teorema delle decine e dei rapporti 8.1. Teorema F1 delle decine, 83 8.2. Teorema F2 dei rapporti, 83. 85 Capitolo IX Definizione dello spostamento di massa di un corpo quando aumenta o diminuisce di velocità e applicazioni alla meccanica dei solidi 9.1. Generalità, 85 9.2. Introduzione, 85 9.3. Spostamento di massa sp, 86 9.4. Applicazione teoriche alla meccanica dei solidi della formula T = M1/sp, 86 9.5. Moto uniformemente accelerato, 87 9.6. Moto uniformemente ritardato, 87 9.7. Impulso e quantità di moto, 88 9.8. Caduta di un corpo, 89 9.9. Simbologia, 90. 91 Capitolo X Proiezioni geografiche di Marte 10.1. Generalità, 91 10.2. Introduzione, 91 10.3. Marte quindi ha una forma tridimensionale quasi sferica, 93 10.4. Il geoide, 93 10.5. Misure fra meridiani e paralleli, 94 10.6. Misurazioni, 94 10.7. Misure dei paralleli e distanza tra meridiani nei diversi paralleli, 98 10.8. Reticolato, 101 10.9. Proiezioni convenzionali, 101 10.10. Direzioni, 102 10.11. Simbologia, 102. 105 Bibliografia

Introduzione Il seguente testo è stato realizzato, allo scopo di migliorare e provare le attitudini dei giovani studenti. Nel capitolo I e II, vengono calcolate delle costanti geometriche di alcuni poligoni regolari inscritti e circoscritti ad una circonferenza o un cerchio. Nel capitolo III, viene descritto come calcolato il secondo di un pianeta, con l esempio di calcolo del secondo Marziano, mediante delle equazioni di primo grado. Nel capitolo IV, vengono descritti le formule, per il calcolo del coefficiente temporale, viene anche descritto l esempio dei due gemelli e quindi dell effetto della dilatazione del tempo. Questo capitolo è importante per comprendere in maniera semplice cosa significa, dilatazione del tempo. Nel capitolo V, vi sono riportati alcuni esercizi di matematica, allo scopo di migliorare le capacità matematiche degli studenti. Nel capitolo VI, vi è riportato delle tracce. Nel capitolo VII, vi è riportato l esercizio delle decine e dei rapporti. Gli esercizi di matematica, sono molto importanti per la formazione mentale degli individui, ad esempio qualità importante, il calcolo mentale in un incrocio, in cui si deve dare la precedenza a una macchina che si avvicina ha una certa velocità e compie un determinato spazio, quindi bisogna sapere quando attraversare. Nel capitolo VIII, viene spiegato cosa succede se un corpo viaggia a velocità molto elevate, in particolar modo l aumento di massa, quindi una nuova unità di misura. Nel capitolo IX, viene fatto un esempio di come calcolare le proiezioni geografiche di un pianeta, nell esempio quello di Marte. Per approfondimenti sull Autore: http://www.ferroantoninomaria.com. 9

Capitolo I Calcolo di alcune costanti di poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza ad un cerchio o una sfera 1.1. Generalità «Consideriamo una circonferenza di centro O e raggio r, e un poligono aventi tutti i suoi vertici sulla circonferenza. Tale poligono si dice inscritto nella circonferenza e la circonferenza risulterà circoscritta al poligono» (Flaccavento Romano, 2002, pag. 236). «Consideriamo una circonferenza di centro O e raggio r, e un poligono aventi tutti i lati tangenti alla circonferenza. Tale poligono si dice circoscritto alla circonferenza che risulterà inscritta nel poligono» (Flaccavento Romano, 2002, pag. 236). «Un poligono regolare è sempre inscrittibile e circoscrittibile a una circonferenza» (Flaccavento Romano, 2002, pag. 240). Vogliamo verificare che il rapporto delle aree, dei perimetri, dei poligoni inscritti e circoscritti in una circonferenza è sempre costante. A un poligono irregolare che abbia tutti i vertici appartenenti alla circonferenza si possono applicare le formule del rapporto. A un poligono irregolare che abbia tutti i lati appartenenti alla circonferenza si possono applicare le formule del rapporto. Per formule di rapporto si intende il calcolo delle costanti che legano le dimensioni del poligono (aree o perimetri) con l area o la lunghezza della circonferenza. Nell insieme dei valori calcolati si ritrovano anche le dimensioni che legano le superfici e i volumi dei cubi e delle sfere, con il calcolo delle loro costanti. 11

12 Esercizi di Matematica per giovani e giovanissimi 1.2. Formulario Poligono Triangolo Quadrato somma degli angoli interni 180 360 Nel caso delle aree servirsi delle seguenti formule. Area quadrato: Aq = l 2 Area triangolo: At = 1/2bh Area cerchio: Ac = π r 2 Figura 1.1. Figura 1.2. 1.3. Rapporti aree poligoni, cerchio 1.3.1. 1. Area quadrato, inscritta nel cerchio Figura 1.1. Supponiamo AB = 10. Area quadrato: Aq = 10 10 = 100, da cui si calcola l ipotenusa = diagonale. Per il teorema di Pitagora: Diagonale D = 10 2 + 10 2 = 100 + 100 = 200 = 14.142136. Raggio cerchio: r = D/2 = 14.142136/2 = 7.0710678. Area cerchio: Ac = π 7.0710678 7.0710678 = π 50 = 157. Calcoliamo le costanti K1 e K2: K1 = Aq/Ac = 100/157 = 0.6369426, K2 = Ac/Aq = 157/100 = 1.57.

I. Costanti di poligoni inscritti e circoscritti a un cerchio o a una sfera 13 Si deduce che se si conosce, il valore dell area del quadrato o del cerchio, posso trovare, mediante le costanti K1 o K2, il valore dell area conseguente, utilizzando le formule inverse. Aq = Ac K1, oppure Ac = Aq/K1; Aq = Ac/K2, oppure Ac = Aq K2. 1.3.2. 2. Area quadrato, circoscritta al cerchio Figura 1.2. Supponiamo AB = 10. Area quadrato: Aq = 10 10 = 100. Dalla figura, raggio r = AB/2 = 10/2 = 5. Area cerchio: Ac = 5 5 π = 25 π = 78.5. Calcoliamo le costanti K3 e K4: K3 = Aq/Ac = 100/78.5 = 1.2738854, K4 = Ac/Aq = 78.5/100 = 0.785. Si deduce che se si conosce, il valore dell area del quadrato o del cerchio, posso trovare, mediante le costanti K3 o K4, il valore dell area conseguente, utilizzando le formule inverse. Aq = Ac K3 Ac = Aq/K3, Aq = Ac/K4 Ac = Aq K4. Figura 1.3. Figura 1.4.

14 Esercizi di Matematica per giovani e giovanissimi 1.4. Rapporti perimetro quadrato, circonferenza 1.4.1. 3. Perimetro quadrato, inscritto alla circonferenza Figura 1.3. Supponiamo AB = 10; Perimetro quadrato: Pq = l 4 = 10 4 = 40; Lunghezza circonferenza: C = 2 π r; Diagonale o diametro: D = 10 2 + 10 2 = 200 = 14.142136 Raggio: r = D/2 = 14.142136/2 = 7.0710678; Lunghezza circonferenza: C = 2 π 7.0710678 = 44.406306. Calcoliamo le costanti K5 e K6: K5 = Pq/C = 40/44, 406306 = 0.9007729, K6 = C/Pq = 44, 406306/40 = 1.1101576. Si deduce che se si conosce, il valore del perimetro di un quadrato o la lunghezza della circonferenza, posso trovare, conoscendo il valore delle costanti K5 o K6, il valore del perimetro conseguente, utilizzando le formule inverse. Pq = K5/C Pq = C/K6 C = Pq/K5, C = K6/Pq. 1.4.2. 4. Perimetro quadrato, circoscritto alla circonferenza Figura 1.4. Supponiamo AB = 10. Perimetro quadrato: Pq = l 4 = 10 4 = 40. Raggio della circonferenza è uguale ad AB/2 = 10/2=5. Lunghezza circonferenza C = 2 π r = 2 π 5 = 31.4 Calcoliamo le costanti K7 e K8. K7 = Pq/C = 40/31.4 = 1.2738854, K8 = C/Pq = 31.4/40 = 0.785. Si deduce che se si conosce, il valore del perimetro del quadrato o la lunghezza della circonferenza, posso trovare, conoscendo il valore delle costanti K7 o K8, il valore del perimetro conseguente, utilizzando le formule inverse.

I. Costanti di poligoni inscritti e circoscritti a un cerchio o a una sfera 15 Pq = K7 C C = Pq/k7, Pq = C/K8 C = Pq K8. Figura 1.5. Figura 1.6. 1.5. Rapporti tra volumi del cubo e della sfera 1.5.1. 5. Volume cubo, inscritto al volume sfera Figura 1.5. Supponiamo AB = 10. Diametro quadrato: D = 10 2 + 10 2 = 200 = 14.142136 Per il teorema di Pitagora, diagonale cubica: Dc = 14.142136 2 + 10 2 = 200 + 100 = 300 = 17.320508 Da cui si ricava il raggio della sfera che circoscrive il cubo: Raggio sfera: rs = Dc/2 = 17.320508/2 = 8.660254. Volume cubo: Vc = l 3 = 10 3 = 1000. Volume sfera: Vs = 4/3 π 8.660254 = 649.51904 1.33333 π = 2719.3197. Calcoliamo le costanti K9 e K10. K9 = Vc/Vs = 1000/2719.3197 = 0.367739, K10 = Vs/Vc = 2719.3197/1000 = 2.7193197. Si deduce che se si conosce, il valore del volume del cubo o della sfera, posso trovare, conoscendo il valore delle costanti K9 o K10, il valore del volume conseguente, utilizzando le formule inverse.

16 Esercizi di Matematica per giovani e giovanissimi Vc = K9 Vs Vs = Vc/K9, Vc = Vs/K10 Vs = Vc K10. 1.5.2. 6. Volume cubo, circoscritto al volume sfera Figura 1.6. Supponiamo AB = 10. Volume cubo: Vc = l l l. Vc = 10 10 10 = 1000. Volume sfera: Vs = (4/3) π r 3. Secondo la figura il raggio r = AB/2 = 10/2 = 5. Vs = 4/3 π 125 = 392.5 1.33333 = 523.33332. Calcoliamo le costanti K11 e K12. K11 = Vs/Vc = 523.33332/1000 = 0.5233332, K12 = Vc/Vs = 1000/523, 33332 = 1.9108281. Si deduce che se si conosce, il valore del volume del cubo o della sfera, posso trovare, conoscendo il valore delle costanti K11 o K12, il valore del volume conseguente, utilizzando le formule inverse. Vs = K11 Vc Vc = K12 Vs Vc = Vs/K11, Vs = Vc/K12. Figura 1.7. Figura 1.8.

I. Costanti di poligoni inscritti e circoscritti a un cerchio o a una sfera 17 1.5.3. 7. Superficie cubo, inscritta alla superficie sfera Figura 1.7. Supponiamo AB = 10. Superficie cubo Sc = l l 6. Superficie sfera Ss = 4 π r 2. Sc = 10 10 6 = 600. Diametro quadrato: Dq = 10 2 + 10 2 = 200 = 14.142136. Diagonale cubica: Dc = 14.142136 2 + 10 2 = 200 + 100 = 300 = 17.320508. Raggio sfera rs = Dc/2 = 17.320508/2 = 8.660254. Superficie sfera Ss = 4 π 8.660254 = 4 π 74.99999 = 941.99999. Calcoliamo le costanti K13 e K14. K13 = Sc/Ss = 600/941.9999 = 0.6369426., K14 = Ss/Sc = 941.9999/600 = 1.57. Si deduce che se si conosce, il valore della superficie del cubo o della sfera, posso trovare, conoscendo il valore delle costanti K13 o K14, il valore della superficie conseguente, utilizzando le formule inverse. Sc = K13 Ss Sc = Ss/K14 Ss = Sc/K13 Ss = Sc K14 1.5.4. 8. Superficie cubo, circoscritta alla superficie sfera Figura 1.8. Supponiamo AB = 10. Superficie cubo: Sc = l l 6. Superficie sfera Ss = 4 π r 2. Sc = l l 6 = 10 10 6 = 600. Raggio sfera: rs = AB/2 10/2 = 5. Ss = 4 π 5 2 = 314. Calcoliamo le costanti K15 e K16. K15 = Sc/Ss 600/314 = 1.910828, K16 = Ss/Sc 314/600 = 0.5233333.

18 Esercizi di Matematica per giovani e giovanissimi Si deduce che se si conosce, il valore della superficie del cubo o della sfera, posso trovare, conoscendo il valore delle costanti K15 o K16, il valore della superficie conseguente, utilizzando le formule inverse. Sc = K15 Ss Ss = Sc/K15, Sc = Ss/K16 Ss = Sc K16. Figura 1.9. Figura 1.10. 1.6. Rapporti tra triangolo e circonferenza 1.7. Calcolo delle costanti ricavate dal rapporto tra un triangolo e la circonferenza Prima di andare a calcolare i valori delle aree e dei perimetri dei triangoli e delle circonferenze conseguenti è necessario partire dalla dimensione di un lato del triangolo e ricavarne tutte le successive dimensioni (raggio della circonferenza interna, ed esterna, altezza del triangolo). Sappiamo che il circocentro, l incentro, l ortocentro, il baricentro, si incontrano tutti nello stesso punto quando il triangolo è equilatero. Sia quindi un triangolo equilatero (figura 1.11) di lato AB = 10, si trova l altezza CH con il teorema di Pitagora: CH = AC 2 AH 2 = 10 2 5 2 = 75 = 8.660254. Dalla figura si vede che l altezza divide l angolo ACB in due parti uguali anche perché si tratta di un triangolo equilatero.

I. Costanti di poligoni inscritti e circoscritti a un cerchio o a una sfera 19 CH = AC cos30 = 10 0.8660254 = 8.660254, CH = AC sin60 = 10 0.8660254 = 8.660254. Sapendo anche questo, dalla figura possiamo calcolare con le formule di trigonometria. OA = AH/ cos30 = 5/0.8660254 = 5.7735027. OA è uguale al raggio della circonferenza che circoscrive il triangolo equilatero. Conoscendo il valore di OA e il valore di AH possiamo trovare il valore di OH dal teorema di Pitagora. OH = AO 2 AH 2 = 5.7735027 2 5 2 = 33.333334 25 = 8.33333336 = 2.8867514. Quindi OH risulta essere circa 1/3 di CH. Infatti 1 8.660254/3 = 2.8867513. Dalla figura è quindi evidente che OH corrisponde al raggio della circonferenza inscritta nel triangolo equilatero. Figura 1.11.

20 Esercizi di Matematica per giovani e giovanissimi 1.7.1. 9. Area triangolo equilatero, inscritta al cerchio Figura 1.9. Supponiamo AB = 10. Dal calcolo precedente si ha il raggio r, uguale a 5.7735027. Area cerchio: Ac = r 2 π = 5.7735027 2 π = 33.333333 π = 104.66667. Area triangolo At = 1/2 AB CH = 10 8.660254/2 = 86.60254/2 = 43.30127. Calcoliamo le costanti K17 e K18. K17 = Ac/At = 104.66667/43.30127 = 2.4171732, K18 = At/Ac = 43.30127/104.66667 = 0.4137063. Si deduce che, se si conosce il valore dell area del triangolo o del cerchio, posso trovare, conoscendo il valore delle costanti K17 o K18, il valore conseguente, utilizzando le formule inverse. Ac = K17 At At = Ac/K17, Ac = At/K18 At = Ac K18. 1.7.2. 10. Area del triangolo equilatero, circoscritta al cerchio Figura 1.10. Supponiamo AB = 10. Area triangolo: At = 1/2 AB CH = 10 8.660254/2 = 86.60254/2 = 43.30127. Dal calcolo precedente, essendo r uguale ad OH, è 2.8867514. Ac = r 2 π = 2.8867514 2 π = 8.3333336 π = 26.166668. Calcoliamo adesso le costanti K19 e K20: K19 = Ac/At = 26.166668/43.30127 = 0.6042933, K20 = At/Ac = 43.30127/26.166668 = 1.6548255. Si deduce che, se si conosce il valore dell area del triangolo o del cerchio, posso trovare, conoscendo il valore delle costanti, K19 o K20, il valore conseguente, utilizzando le formule inverse. Ac = At K19 At = Ac/K19, Ac = At/K20 At = Ac K20.

I. Costanti di poligoni inscritti e circoscritti a un cerchio o a una sfera 21 Figura 1.12. Figura 1.13. 1.8. Rapporti perimetro triangolo, circonferenza 1.8.1. 11. Perimetro triangolo equilatero, inscritto alla circonferenza Figura 1.12. Supponiamo AB = 10. Perimetro triangolo: Pt = AB 3 = 10 3 = 30. Dal calcolo precedente abbiamo che OA uguale al raggio r all esterno del triangolo uguale 5.7735027. Circonferenza C = 2 π r = 2 π 5.7735027 = 11.547005 π = 36.257597. Calcoliamo le costanti K21 e K22: K21 = Pt/C = 30/36.257597 = 0.8274128, K22 = C/Pt = 36.257597/30 = 1.2085866. Si deduce che se si conosce, il valore del perimetro del triangolo o la lunghezza della circonferenza, posso trovare, conoscendo il valore delle costanti K21 o K22, il valore conseguente, utilizzando le formule inverse. Pt = K21 C C = Pt/K21, Pt = C/K22 C = Pt K22. 1.8.2. 12. Perimetro triangolo equilatero, circoscritto alla circonferenza Figura 1.13. Supponiamo AB = 10. Dal calcolo precedente abbiamo che OH corrisponde al valore del

22 Esercizi di Matematica per giovani e giovanissimi raggio r, all interno del triangolo uguale 2.8867514. Perimetro triangolo: Pt = AB 3 = 30. Circonferenza: C = 2 π r = 2 π 2.8867514 = 5.7735028 π = 18.128799. Calcoliamo le costanti K23 K24. K23 = Pt/C = 30/18.128799 = 1.6548256, K24 = C/Pt = 18.128799/30 = 0.6042933. Si deduce che se si conosce, il valore del perimetro del triangolo o la lunghezza della circonferenza, posso trovare, conoscendo il valore delle costanti K23 o K24, il valore conseguente, utilizzando le formule inverse. Pt = K23 C C = Pt/K23 Pt = C/K24 C = Pt K24. Tabella 1.1. Tabella delle costanti con la loro formula e valore K1 = Aq/Ac = 0.6369426 K2 = Ac/Aq = 1.57 Area quadrato, inscritta nel cerchio K3 = Aq/Ac = 1.2738854 K4 = Ac/Aq = 0.785 Area quadrato, circoscritta al cerchio K5 = Pq/C = 0.9007729 K6 = C/Pq = 1.1101576 Perimetro quadrato, inscritto alla circonferenza K7 = Pq/C = 1.2738854 K8 = C/Pq = 0.785 Perimetro quadrato,circoscritto alla circonferenza K9 = Vc/Vs = 0.367739 K10 = Vs/Vc = 2.7193197 Volume cubo inscritto al volume sfera K11 = Vs/Vc = 0.5233332 K12 = Vc/Vs = 1.9108281 Volume cubo circoscritto al volume sfera K13 = Sc/Ss = 0.6369427 K14 = Ss/Sc = 1.57 Superficie cubo inscritta alla superficie sfera K15 = Sc/Ss = 1.910828 K16 = Ss/Sc = 0.5233333 Superficie cubo circoscritta alla superficie sfera K17 = Ac/At = 2.4171732 K18 = At/Ac = 0.4137063 Area triangolo equilatero inscritta al cerchio K19 = Ac/At = 0.6042933 K20 = At/Ac = 1.6548255 Area triangolo equilatero circoscritta al cerchio K21 = Pt/C = 0.827412 K22 = C/Pt = 1.2085866 Perimetro triangolo inscritto alla circonferenza K23 = Pt/C = 1.6548256 K24 = C/Pt = 0.6042933 Perimetro triangolo circoscritto alla circonferenza Simbologia Aq= area quadrato Ac= area cerchio Pq= perimetro quadrato C = lunghezza Vc= volume cubo Vs= volume sfera circonferenza Sc= superficie cubo Ss= superficie sfera Pt= perimetro triangolo At= area triangolo