asse fuoco vertice direttrice Fig. D3.1 Parabola.

D3. Parabola D3.1 Definizione di parabola come luogo di punti Definizione: una parabola è formata dai punti equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice. L equazione della parabola è =a +b+c Osservando la figura D3.1 si nota che tutti i punti della parabola hanno la stessa distanza dal fuoco e dalla direttrice. La parabola è simmetrica rispetto alla retta detta asse di simmetria. Asse e parabola si incontrano in un punto detto vertice. Conoscendo l equazione della parabola =a +b+c si possono trovare le equazioni del vertice, del fuoco, dell asse e della direttrice: Fuoco Asse b + ; b 4ac a 4a b + ; 1 b 4ac a 4a = b a Direttrice = 1 b + 4ac 4a asse fuoco vertice direttrice Fig. D3.1 Parabola. Data l equazione di una parabola è quindi possibile, con queste formule, trovare fuoco, vertice, asse e direttrice. D3. Rappresentazione grafica In questo paragrafo si spiega un metodo per tracciare il grafico di una parabola conoscendone l equazione. PROCEDIMENTO Si trova il vertice e lo si traccia sul grafico, disegnando l asse (che è la retta verticale passante per il vertice). Si danno alla alcuni valori a destra o a sinistra della del vertice e si trovano così le. Si tracciano questi punti sul grafico. Per simmetria si riportano i punti trovati dall altra parte rispetto all asse. Si uniscono i punti così trovati. Esempio D3.1: Tracciare il grafico della parabola = --3 a=1, b=-, c=-3 b + ( ) ( ) + 4(1)( 3) = = ; b 4ac ; ; 4 1 = ( 1; 4) a 4a (1) 4(1) 4 Si daranno allora alla i valori, 3 e 4 (a destra del valore 1 della del vertice). () -()-3=4-4-3=-3 trovato il punto (;-3) 3 (3) -(3)-3=9-6-3=0 trovato il punto (3;0) 4 (4) -(4)-3=16-8-3=5 trovato il punto (4;5) Teoria D3-1

(si possono mettere più o meno valori al posto della, dipende da quanto preciso si vuole tracciare il grafico). Ora si devono trovare graficamente i punti simmetrici rispetto all asse della parabola dei 3 punti trovati. Il punto (;-3) è a distanza 1 dall asse, quindi dall altra parte dell asse a distanza 1 c è il punto (0;-3). Il punto (3;0) è a distanza dall asse, quindi dall altra parte dell asse a distanza c è il punto (-1;0). Il punto (4;5) è a distanza 3 dall asse, quindi dall altra parte dell asse a distanza 3 c è il punto (-;5). Infine basta unire i punti trovati. (4;5) (3;0) = --3 (;-3) V(1;-4) Fig. D3. Grafico della parabola di equazione = --3. D3.3 Intersezioni parabola-retta e tra parabole Una parabola e una retta si possono incontrare in due punti, in 1 punto o in nessun punto. punti di contatto 1 punto di contatto 0 punti di contatto Per trovare i punti di contatto si può procedere per via algebrica e per via geometrica. VIA ALGEBRICA si risolve il sistema formato dalle equazioni di retta e parabola. VIA GEOMETRICA si disegnano parabola e retta e, se si vedono esattamente, si trovano i punti d intersezione. Esempio D3.: Trovare i punti di intersezione tra la retta =-+1 e la parabola = 1 1. VIA ALGEBRICA Si risolve il sistema formato dalle equazioni di retta e parabola. = 1 = = 1 1 = = 1 1 1 1 1 = 1 1 1 1 = + = + = + 1 1 1 1 + = 0 4 = 0 ( )( + ) = 0 = 1 1 = 1 1 () () 1 = 1 = 1 ( ; 1) = 1 1 = = 1 1 = 1 ( ) ( ) 1= + 1= 3 ;3 = = In questo caso i punti di contatto sono due, il punto (;-1) e il punto (-;3). VIA GEOMETRICA si tracciano parabola e retta e si trovano i punti d intersezione. Se tali punti non sono visibili esattamente l unico procedimento sicuro è quello algebrico. Si traccia la retta =-+1 con i soliti metodi m=-1, q=1. Si parte da q=1 e poi si scende di 1 e ci si sposta verso destra di 1. Si trova il vertice della parabola, poi alcuni punti e si traccia il suo grafico. Teoria D3- ( )

(-;3) =(1/) --1 (;-1) =-+1 V(1;-3/) Fig. D3.3 Intersezione tra la parabola di equazione = 1 1 e la retta =-+1. ( 1) + 4 1 ( 1) ( 1) = = ; 1 ; 1 1; 3 1 4 1 1 Si assegnano alla i valori, 3 e 4 (a destra del valore 1 della del vertice). 1 () () 1 = 1 = 1 3 1(3) (3) 1= 9 3 1= 1 si è trovato il punto (;-1) si è trovato il punto (3;1/) 4 1 (4) (4) 1 = 8 4 1 = 3 si è trovato il punto (4;3) I punti d intersezione sono (;-1) e (-;3), ossia gli stessi trovati con il procedimento algebrico. Esempio D3.3: Trovare i punti di intersezione tra la retta =-4-3 e la parabola =- -6-4. VIA ALGEBRICA Si risolve il sistema = 6 4 = 6 4 = 6 4 = 6 4 = 6 4 = 6 4 = 4 3 6 4 = 4 3 6 4 + 4 + 3 = 0 1 = 0 ( + + 1) = 0 ( + 1) = 0 = 6 4 = 1 ( 1) 6( 1) 4 = 1+ 6 4 = + 1 ( 1; + 1) 1 = 1 1 = 1 In questo caso il punto di contatto è solamente uno. V(-3;5) =- -6-4 (-1;1) =-4-3 Teoria D3-3 Fig. D3.4 Intersezione tra la parabola di equazione =- -6-4 e la retta =-4-3.

VIA GEOMETRICA Si traccia la retta =-3-4 con i soliti metodi. m=-3, q=-4. Si parte da -4 e poi si scende di 3 e ci si sposta verso destra di 1. Si trova il vertice della parabola =- -6-4, poi alcuni punti e la si disegna. ( 6) ( 6) + 4( 1( ) 4) ; = 6 + ; 36 16 = ( 3;5 ) ( ) ( ) 1 4 1 4 Si daranno allora alla i valori -,-1 e 0 (a destra del valore -3 della del vertice). - -(-) -6(-)-4=-4+1-4=4 trovato il punto (-;4) -1 -(-1) -6(-1)-4=-1+6-4=1 trovato il punto (-1;1) 0 -(0) -6(0)-4=0-0-4=-4 trovato il punto (0;-4) Il punto d intersezione è (-1;1) ossia lo stesso trovato con il procedimento algebrico. Esempio D3.4: Trovare i punti di intersezione tra la retta = 1 4e la parabola = +8+5. VIA ALGEBRICA Si risolve il sistema: = + 8 + 5 = + 8 + 5 = + 8 + 5 = + 8 + 5 = + 8 + 5 + + = = 1 4 + 8 + 5 = 1 4 4 16 10 8 4 + 16 + 10 + 8 = 0 4 + 15 + 18 = 0 = + 8 + 5 15 ± (15) 4(4)(18) = = 15± 5 88 = 15± 63 1 impossibile (radicando negativo) () 4 4 In questo caso quindi non ci sono punti di contatto. Lo si può verificare per via geometrica: VIA GEOMETRICA Si traccia la retta =(1/)-4 con i soliti metodi. m=1/, q=-4. Si parte da -4 e poi si sale di 1 e ci si sposta verso destra di. Si trova il vertice della parabola = +8+5, poi alcuni punti e la si disegna. (8) (8) + 4(5) ( ) ; = 8 + ; 64 40 = ( ; 3 ) ( ) ( ) 4 4 8 Si daranno allora alla i valori -1, 0 e 1 (a destra del valore - della del vertice). -1 (-1) +8(-1)+5=-8+5=-1 trovato il punto (-1;-1) 0 (0) +8(0)+5=0-0+5=+5 trovato il punto (0;5) 1 (1) +8(1)+5=+8+5=15 trovato il punto (1;15) Si vede quindi che non ci sono punti di intersezione tra retta e parabola. = +8+5 V(-;-3) =(1/)-4 Fig. D3.5 Intersezione tra la parabola di equazione = +8+5 e la retta = 1 4. Teoria D3-4

E possibile trovare per via algebrica e geometrica anche i punti d incontro tra due parabole. Il sistema per via algebrica sarebbe di quarto grado, ed avrebbe fino a quattro soluzioni. In realtà al massimo le soluzioni saranno due. Ecco tutti i casi possibili: punti di contatto 1 punto di contatto 0 punti di contatto D3.4 Alcune osservazioni su a, b e c I coefficienti a, b e c hanno un significato geometrico: Fig. D3.6 Intersezione tra parabole. a Se a è positivo la parabola è rivolta verso l alto, altrimenti è rivolta verso il basso. a positivo a negativo a>0 grande a>0 piccolo a<0 grande a<0 piccolo Fig. D3.7 Significato geometrico del coefficiente a. Più a è grande (, 5, 10, 100) più la parabola è stretta. Più a è piccolo (vicino a zero, ossia 0.5, 0., 0.01) più la parabola è larga. b b ha a che fare con la posizione del vertice della parabola insieme ad a e c. Se a e b hanno lo stesso segno il vertice sarà a sinistra dell asse. Se hanno segno opposto il vertice sarà a destra dell asse. c c è il punto d incontro tra la parabola e l asse. c Fig. D3.8 Significato geometrico del coefficiente c. D3.5 Rette tangenti a una parabola Data una parabola e un punto è possibile che ci siano due rette tangenti alla parabola passanti per il punto, 1 retta tangente o nessuna. Ciò dipende dalle posizioni reciproche di parabola e punto. Per trovare l equazione delle rette tangenti a una parabola passanti per un punto si usa il seguente procedimento. Si scrive il sistema tra la parabola e il fascio di rette passanti per il punto dato - 1=m(- 1). Risolvendo il sistema viene fuori una equazione di secondo grado letterale che non va risolta. Teoria D3-5

Si pone il discriminante, indicato con la lettera delta maiuscola uguale a zero: =0 (in cui =b -4ac). Si risolve e si trovano i valori di m. Si sostituiscono i valori di m trovati in - 1=m(- 1) e si trovano così le rette tangenti. Se si trovano quindi due valori di m ci saranno due rette tangenti, se se ne trova uno ci sarà una retta tangente. Se non se ne trovano non ci saranno rette tangenti. rette tangenti 1 retta tangente nessuna retta tangente Fig. D3.9 Rette tangenti a una parabola passanti per un punto. Esempio D3.5: Trovare le rette tangenti a = --3 passanti per il punto A(-1;). = 3 = 3 = 3 = m( + 1) 3 = m( + 1) 3 = m + m = 3 = 3 3 m m = 0 + ( m) 5 m = 0 L equazione di secondo grado trovata non va risolta. Con a=1, b=--m, c=-5-m si pone il =0. = b 4ac = m 41 5 m = ( ) ( )( ) = 4+ m + 4m + 0 + 4m = m + 8m + 4 = 0 ( )( ) ( ) 8± 8 41 4 m = = 8± 64 96 = 8± 3 1, impossibile 1 Non essendoci alcun valore di m non ci sono rette tangenti alla parabola passanti per il punto indicato. A(-1;) = --3 V(1;-4) Fig. D3.10 Rette tangenti a = --3 passanti per (1,-4). Esempio D3.6: Trovare le rette tangenti a =(1/4) +-3 passanti per il punto A(-1;-6). 1 1 1 3 1 3 3 3 = + = + = + = + 4 4 4 4 1 1 6 m( 1) 3 6 m( 1) 3 6 m m + 4 1+ 4 = 4m + 4m + = + + + = + + + = + 4 4 4 1 3 1 = + = + 3 4 4 + + = + + = 4 1 4m 4m 0 (4 4m) 1 4m 0 Teoria D3-6

L equazione di secondo grado non si risolve. Con a=1, b=4-4m, c=1-4m si pone il =0 =(1/4) +-3 =-5 =--7 A(-1;-6) Fig. D3.11 Rette tangenti a = 1 + 3 passanti per (-1,-6). 4 ( )( ) ( ) ( )( ) = b 4ac = 4 4m 41 1 4m = 16 + 16m 3m 48 + 16m = = 16m 16m 3 = 0 Si divide tutto per 16 per semplificare i calcoli. m m = 0 m m+ 1 = 0 m = m = 1 1 Essendoci due valori di m le rette tangenti sono due. Per trovarle si sostituiscono tali valori in +6=m(+1). r 1: +6=(+1) +6=+ =+-6 =-4 r :+6=-1(+1) +6=--1 =--1-6 =--7 Per trovare i punti di tangenza basta risolvere i sistemi tra le rette e la parabola: = 4 = 4 = 4 = 4 1 1 3 3 4 + 4 1 = 8 16 = + + = + 4 1 8 + 16 = 0 4 4 4 = 4 = 4 = 4 = () 4 = 0 (;0) 4 4 0 ( ) + = = 0 = = = 7 = 7 = 7 = 7 1 1 3 3 7 + 4 1 = 4 8 = + + = + 4 1 + 4 + 8 = 0 4 4 4 = 7 = 7 = 7 = ( 4) 7 ( 4; 3) 8 16 0 ( 4) + + = + = 0 = 4 = 4 Esempio D3.7: Trovare le rette tangenti a passanti = 1 + 3 11per il punto A(5;-3). 1 11 1 11 1 3 11 1 3 11 3 3 = + = + = + = + 1 11 1 11 3 m( 5) 3 3 m( 5) 3 3 m 5m + 6 11 + 6 = m 10m + = + + = + + = = 1 + 3 11 = 1 11 + 3 + 6 11+ 6 m + 10m = 0 + (6 m) + 10m 5 = 0 Teoria D3-7

L equazione di secondo grado non si risolve. Con a=-1, b=6-m, c=10m-5 si pone il =0. =-+7 =(-1/) +3-(11/) A(5;-3) ( ) ( ) ( )( ) = b 4ac = 6 m 4 1 10m 5 = 36 + 4m 4m + 40m 0 = = 4m + 16m + 16 = 0 Si divide tutto per 4 per semplificare i calcoli. m + 4m + 4 = 0 m+ = 0 m1 = Essendoci un solo valore di m c è solo una retta tangente. Per trovarla si sostituisce tale valore in +3=m(-5) r: +3=-(-5) +3=-+10 =-+10-3 =-+7 Il punto di tangenza è in questo caso un dato del problema, quindi non è necessario calcolarne le coordinate. D3.6 Come trovare l equazione di una parabola Una parabola ha equazione =a +b+c. Trovare l equazione di una parabola significa trovare i valori di a, b e c. Ci sono 3 incognite. Per questo ci servono 3 condizioni da mettere a sistema. Ecco l elenco delle possibili condizioni CONDIZIONI Si conosce il VERTICE ( V; V) In questo caso si hanno DUE condizioni, ossia: Si conosce il FUOCO ( F; F) In questo caso si hanno DUE condizioni, ossia: Si conosce l ASSE = A In questo caso si ha UNA condizione, ossia: b = b + 4ac V = V a 4a b = 1 b + 4ac F = F a 4a b = a Si conosce la DIRETTRICE = D In questo caso si ha UNA condizione, ossia: 1 b + 4ac = D 4a Si conosce un PUNTO ( 0; 0) In questo caso si ha UNA condizione sostituendo i valori 0 e 0 nell equazione generica della parabola = a + b + c. Fig. D3.1 Retta tangente a = 1 + 3 11 passanti per (5,-3). 0 0 0 Si conosce una RETTA TANGENTE =m+q. In questo caso si imposta il sistema tra la retta tangente =m+q e l equazione generica della parabola =a +b+c. Si arriva a una equazione di secondo grado che non va risolta ma si pone il =0. Questa è la condizione da porre a sistema. A Teoria D3-8

Esempio D3.8: Trovare l equazione della parabola con vertice V(;-3) passante per il punto (4;1). Condizioni del vertice: b = a b + 4ac = 3 4a Condizione del passaggio per un punto: 1=a (4) +b (4)+c Si risolve il sistema e si trovano i valori a, b, c. b = b = 4a b 4a a b 4a = = b 4a b 4a = = b = b 4ac ( 4a) 4ac 16a 4ac 4a( 4a c) 4(1) = 4 + + 3 3 + + 3 3 4a 1 3 4a 4 = = = = + = = a = 1 4a 4a 4a 4a 4 4 c = 1 1 = a(4) + b(4) + c 1 = 16a+ 4( 4a) + c 1 = 16a 16a+ c c = 1 c 1 c = 1 = Da cui a=1, b=-4 e c=1. Si sostituiscono questi valori nell equazione generica della parabola =a +b+c e si ottiene l equazione richiesta della parabola: = -4+1. Esempio D3.9: Trovare l equazione della parabola con asse =-1, direttrice =9/ e tangente alla retta =-+4. Condizione dell asse b = 1 Condizione della direttrice 1 b + 4ac = 9 a 4a Poiché si conosce la retta tangente si imposta il sistema tra la retta tangente =-+4 e l equazione generica della parabola =a +b+c e poi si pone il =0. = a + b + c a b c 4 a b c 4 0 a + + = + + + + = + b ( + ) + c 4 = 0 = + 4 e la condizione è (b+) -4a(c-4)=0. b = 1 b = a a = = b a b a 1 b + 4ac ( ) + = = 9 1 a 4ac 18a 1 4a + 4ac = 18a 4ac= 1+ 4a + 18a 4a 4a + + + = 4a 4 8a 4ac 16a 0 4a + 4a 4ac + 4 = 0 ( b + ) 4ac ( 4) = 0 ( a+ ) 4ac ( 4) = 0 b = a b = a b = a 4ac = 1+ 4a + 18a + + + + c = 1 4a 18a c = 1 4a 18a 4a 4a 4a 4a 4a + 4a 4a 1+ 4a + + 18a + = 6a + 3 = 0 + 4 = 0 4a 4a 1 4a 18a 4 0 4a = b 1 = 1 b = a + + 1 4 1 18 1 = + 1+ 4 1 9 1 4a + 18a = c c = 4 = 9 = 7 4a 4 1 6a = 3 6 6 a= 1 Si sostituiscono questi valori nell equazione generica della parabola =a +b+c e si ottiene l equazione richiesta della parabola: 1 7 =- -+. Teoria D3-9