Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 1 / 41
Outline 1 Derivata di una funzione 2 Punti di non derivabilità 3 Regole di calcolo delle derivate 4 Calcolo differenziale e monotonia 5 Teorema di de l Hôpital 6 Limite della derivata e derivabilità 7 Derivata seconda, concavità e convessità A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 2 / 41
Derivata di una funzione Calcolo differenziale Nasce dal tentativo di risolvere alcuni problemi concreti. Per esempio: definire la tangente in un punto ad una curva. definire la velocità di un oggetto in moto. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 3 / 41
Derivata di una funzione Definizione di derivata Definizione Sia f : (a, b) R e sia x 0 (a, b). Il rapporto incrementale di f relativo all intervallo di estremi x 0 e x 0 + h è definito da f(x 0 + h) f(x 0 ). h La funzione f si dice derivabile in x 0 se esiste finito lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ). h Tale limite si chiama derivata prima o derivata di f in x 0 e si indica con f df (x 0 ) dx (x 0) Df(x 0 ). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 4 / 41
Derivata di una funzione Definizione di derivata La retta di equazione y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) si chiama retta tangente al grafico di f nel punto (x 0, f(x 0 )). Se f è derivabile in ogni punto di (a, b) è ben definita la funzione f : (a, b) R (funzione derivata di f) data da x f (x). Se f è a sua volta derivabile, la derivata di f si chiama derivata seconda di f e si indica con f d 2 f (x 0 ) dx 2 (x 0) D 2 f(x 0 ). In modo analogo si definiscono le derivate di ordine n o derivate n-esime indicate con f n d n f (x 0 ) dx n (x 0) D n f(x 0 ). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 5 / 41
Derivata di una funzione Derivate delle funzioni elementari f(x) = c, c R x R, f (x) = 0 per ogni x R; f(x) = x n, n N x R f (x) = nx n 1 per ogni x R; f(x) = x{ α, α R \ {0}, f (x) = αx α 1 per ogni x (0, + ); f 0 se α > 1 (0) = + se 0 < α < 1 f(x) = a x, x R, f (x) = a x log a per ogni x R; f(x) = e x, x R, f (x) = e x per ogni x R; f(x) = log a x, x > 0, f (x) = 1 x log a per ogni x > 0; f(x) = log x, x > 0, f (x) = 1 x per ogni x > 0; A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 6 / 41
Derivata di una funzione Derivate delle funzioni elementari f(x) = sen x, x R, f (x) = cos x per ogni x R; f(x) = cos x, x R, f (x) = sen x per ogni x R; f(x) = tg x, x dom tg, f (x) = 1 + tg 2 x = 1 cos 2 x x dom tg; per ogni f(x) = arcsen x, x [ 1, 1], f (x) = 1 1 x 2 per ogni x ( 1, 1); f(x) = arccos x, x [ 1, 1], f (x) = 1 1 x 2 per ogni x ( 1, 1); f(x) = arctg x, x R, f (x) = 1 1+x 2 per ogni x R. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 7 / 41
Punti di non derivabilità Punti di non derivabilità Una funzione non è derivabile in x 0 se il limite del rapporto incrementale in x 0 è infinito oppure non esiste. Nel primo caso: Definizione Sia f : (a, b) R e x 0 (a, b). Se f è continua in x 0 e f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) lim = + o lim = h 0 h h 0 h si dice che f ha in x 0 è un flesso a tangente verticale. Nel secondo caso occorre introdurre il concetto di derivata destra e derivata sinistra. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 8 / 41
Punti di non derivabilità Definizione Sia f : (a, b) R e x 0 (a, b). Se esiste finito il limite f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h 0 + h allora f si dice derivabile a destra in x 0, tale limite si chiama derivata destra di f in x 0 e si denota con f +(x 0 ). Se esiste finito il limite f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h 0 h allora f si dice derivabile a sinistra in x 0, tale limite si chiama derivata sinistra di f in x 0 e si denota con f (x 0 ). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 9 / 41
Punti di non derivabilità Punti angolosi e cuspidi Casi in cui f +(x 0 ) e f (x 0 ) non sono uguali tra loro. Definizione Sia f : (a, b) R e x 0 (a, b). Se f è continua in x 0, esistono f (x 0 ), f +(x 0 ) e allora f (x 0 ) f +(x 0 ), Se almeno uno tra f (x 0 ) ed f +(x 0 ) appartiene ad R, si dice che f ha in x 0 un punto angoloso. Se f (x 0 ) =, f +(x 0 ) = + (oppure, viceversa, f (x 0 ) = +, f +(x 0 ) = ), si dice che f ha in x 0 una cuspide. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 10 / 41
Punti di non derivabilità A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 11 / 41
Punti di non derivabilità Continuità e derivabilità Teorema Se f è derivabile in un punto x 0 allora è continua in x 0. In modo equivalente: se f non è continua in x 0 allora f non è derivabile in x 0. Il viceversa del teorema non vale (f(x) = x è continua in 0 ma non derivabile in 0). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 12 / 41
Regole di calcolo delle derivate Regole di derivazione Proposizione Siano f, g : (a, b) R e x 0 (a, b) tale che f e g siano derivabili in x 0. Sia c R. Allora le funzioni f + g, f g, cf, f g sono derivabili in x 0 e (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ); (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ); (cf) (x 0 ) = cf (x 0 ); (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 ) g (x 0 ). Se g(x 0 ) 0, f/g è derivabile in x 0 e ( ) f (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g (g(x 0 )) 2. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 13 / 41
Regole di calcolo delle derivate Derivazione di una funzione composta Teorema Sia g f la funzione composta di due funzioni f e g tali che f è derivabile in x; g è derivabile in y = f(x), allora g f è derivabile in x e si ha (g f) (x) = g (f(x))f (x). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 14 / 41
Regole di calcolo delle derivate Derivata di funzione inversa Teorema Sia f : (a, b) R una funzione continua e invertibile e g = f 1 la sua inversa. Se per x 0 (a, b) f è derivabile in x 0 ; f (x 0 ) 0, allora g = f 1 è derivabile in y 0 = f(x 0 ) e si ha g (y 0 ) = 1 f (x 0 ). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 15 / 41
Calcolo differenziale e monotonia Applicazione del calcolo differenziale alla ricerca dei massimi e minimi di una funzione Sia f : [a, b] R. Abbiamo già definito il massimo e il minimo assoluti di f. Definizione Si dice M è massimo di f e x 0 [a, b] è punto di massimo se f(x 0 ) = M f(x) x [a, b]. Si dice m è minimo di f e x 0 [a, b] è punto di minimo se f(x 0 ) = m f(x) x [a, b]. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 16 / 41
Calcolo differenziale e monotonia Estremi locali di una funzione Definizione Sia f : [a, b] R. Si dice M è massimo locale (o relativo) di f e x 0 [a, b] è punto di massimo locale se esiste un intervallo (x 0 δ, x 0 + δ) tale che f(x 0 ) = M f(x) x (x 0 δ, x 0 + δ) [a, b]. Si dice m è minimo locale (o relativo) di f e x 0 [a, b] è punto di minimo locale se esiste un intervallo (x 0 δ, x 0 + δ) tale che f(x 0 ) = m f(x) x (x 0 δ, x 0 + δ) [a, b]. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 17 / 41
Calcolo differenziale e monotonia Estremi locali di una funzione Si noti che Il massimo e il minimo globale di f se esistono sono unici (ma i punti di massimo e minimo globale possono essere più di uno). I massimi e minimi locali possono essere più di uno. Ogni estremo globale è anche estremo locale (ma non viceversa). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 18 / 41
Calcolo differenziale e monotonia Teorema di Fermat Teorema (di Fermat) Sia f : [a, b] R una funzione derivabile in x (a, b). Se x è un punto di estremo locale per f allora f (x) = 0. Definizione Un punto x si dice punto critico o punto stazionario per una funzione f se f è derivabile in x e f (x) = 0. Quindi, se f : (a, b) R e x (a, b) Non vale il viceversa. x di estremo locale x stazionario A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 19 / 41
Calcolo differenziale e monotonia Interpretazione geometrica Se f è derivabile in (a, b), nei punti di estremo relativo in (a, b) la retta tangente al grafico di f è orizzontale. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 20 / 41
Calcolo differenziale e monotonia Un modo diverso di scrivere la derivata Sia f : (a, b) R e x 0 (a, b). Si è visto che se f è derivabile in x 0 esiste ed è finito f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h Dal teo. del cambio di variabile nei limiti, se si pone x 0 + h = x, si ottiene In modo analogo: f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0. f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 f +(x 0 ) = lim x x + 0 f(x) f(x 0 ) x x 0. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 21 / 41
Calcolo differenziale e monotonia Teorema del valor medio o di Lagrange Teorema (del valor medio o di Lagrange) Sia f : [a, b] R una funzione. Se f è continua in [a, b]; f è derivabile in (a, b); allora esiste c (a, b) tale che f (c) = f(b) f(a). b a A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 22 / 41
Calcolo differenziale e monotonia Interpretazione geometrica: se valgono le ipotesi del teorema di Lagrange, esiste un punto in (a, b) in cui la retta tangente al grafico di f è parallela alla retta passante per (a, f(a)) e (b, f(b)). a x 0 b A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 23 / 41
Calcolo differenziale e monotonia Conseguenze del teorema di Lagrange Proposizione Sia f : (a, b) R una funzione derivabile. Se f ha n zeri distinti in (a, b) allora f : (a, b) R ha n 1 zeri distinti in (a, b). Ipotesi: esistono x 1,..., x n (a, b) tali che x i x j se i j e f(x i ) = 0 per ogni i = 1,..., n. Per ogni i = 1,..., n 1, è possibile applicare il teorema di Lagrange a f in [x i, x i+1 ]. Quindi esiste c i (x i, x i+1 ) tale che 0 = f(x i+1 ) f(x i ) = f (c i ) (x i+1 x i ), da cui f (c i ) = 0. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 24 / 41
Calcolo differenziale e monotonia Conseguenze del teorema di Lagrange Proposizione (Test di monotonia) Sia f : (a, b) R una funzione derivabile. Allora f è crescente f (x) 0 x (a, b); f è decrescente f (x) 0 x (a, b). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 25 / 41
Calcolo differenziale e monotonia Conseguenze del teorema di Lagrange Proposizione (Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla) Sia f : (a, b) R una funzione derivabile. Allora f è costante in (a, b) f (x) = 0 x (a, b). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 26 / 41
Calcolo differenziale e monotonia Ricerca di massimi e minimi Sia f : [a, b] R. Se f è derivabile, per determinarne i massimi e minimi si procede nel seguente modo: Si calcolano f(a) e f(b). Si calcola f (x) e si risolve f (x) = 0. Se non vi sono punti stazionari, f(a) o f(b) sono estremi locali. Se x = x 0 (a, b) è un punto stazionario, si studia il segno di f in un intorno di x 0 per stabilirne la natura. Trovati eventuali punti di estremo locale, si calcola il valore di f in questi punti e lo si confronta con f(a) e f(b). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 27 / 41
Teorema di de l Hôpital Teorema di De l Hôpital Teorema Siano f, g : (a, b) R due funzioni derivabili in (a, b) con g, g 0 in (a, b). Se lim x a x a f(x) = lim g(x) = 0 (o +, o ); + + esiste il limite (finito o infinito) f (x) lim x a + g (x) = L. Allora f(x) lim x a + g(x) = L. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 28 / 41
Teorema di de l Hôpital Teorema di De l Hôpital Risultati analoghi valgono per x b e per x x 0 (a, b). Non si può applicare il teorema a forme non indeterminate. Per esempio x lim x 1 + log x = + ma 1 lim x 1 + 1/x = 1. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 29 / 41
Limite della derivata e derivabilità Limite della derivata e derivabilità Teorema Sia f : [a, b) R, continua in a, derivabile in (a, b) ed esista (finito o infinito) lim x a + f (x) = m R. Allora esiste f +(a) = m. Un enunciato analogo vale per la derivata sinistra e quindi per la derivata. Se f è continua in a ed esiste il limite destro in a della derivata allora esiste la derivata destra in a e coincide con quel limite. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 30 / 41
Derivata seconda, concavità e convessità Significato geometrico della derivata seconda La derivata seconda rappresenta la velocità di variazione della pendenza di un grafico, pertanto misura il grado di scostamento del grafico dall andamento rettilineo. Sia f una funzione tale che f(0) = f (0) = 0, f (0) > 0. Si prova che la semicirconferenza che meglio approssima f in 0 ha raggio R tale che 1 R f (0) = 1 R. prende il nome di curvatura di f in 0 e R è il raggio di curvatura. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 31 / 41
Derivata seconda, concavità e convessità Convessità e corde Una figura geometrica F si dice convessa se per ogni coppia di punti P 1, P 2 F il segmento che congiunge P 1 e P 2 è interamente contenuto in F. Definizione Sia f : I R, I R intervallo. La funzione f si dice convessa in I se l epigrafico di f, cioè l insieme epi f = {(x, y) R 2 x I, y f(x)} è un insieme convesso. Si dice che f è concava in I se f è convessa in I. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 32 / 41
Derivata seconda, concavità e convessità Una definizione equivalente di funzione convessa: Definizione Sia f : I R, I R intervallo. La funzione f si dice convessa in I se, per ogni x 1, x 2 I il segmento di estremi (x 1, f(x 1 )) e (x 2, f(x 2 )) non ha punti sotto il grafico di f. Quindi, per ogni x 1, x 2 I e t [0, 1] f((1 t)x 1 + tx 2 ) (1 t)f(x 1 ) + tf(x 2 ). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 33 / 41
Derivata seconda, concavità e convessità Una definizione equivalente di funzione concava: Definizione Sia f : I R, I R intervallo. La funzione f si dice concava in I se, per ogni x 1, x 2 I il segmento di estremi (x 1, f(x 1 )) e (x 2, f(x 2 )) non ha punti sopra al grafico di f. Quindi, per ogni x 1, x 2 I e t [0, 1] f((1 t)x 1 + tx 2 ) (1 t)f(x 1 ) + tf(x 2 ). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 34 / 41
Derivata seconda, concavità e convessità Se le disuguaglianze precedenti valgono con < (>) per t (0, 1), f si dice strettamente convessa (strettamente concava). Regolarità delle funzioni convesse o concave: Teorema Una funzione convessa (o concava) su un intervallo I è continua in I, salvo al più negli estremi di I. Inoltre f possiede derivata destra e sinistra in ogni punto interno ad I. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 35 / 41
Derivata seconda, concavità e convessità Convessità e derivate Se f è derivabile, la nozione di convessità risulta essere in relazione con la derivata prima e seconda. Teorema Sia f : (a, b) R. Se f è derivabile in (a, b) allora f è convessa (concava) in (a, b) se e solo se f è crescente (decrescente) in (a, b); Se f è derivabile due volte in (a, b) allora f è convessa (concava) in (a, b) se e solo se f (x) 0 (f (x) 0) per ogni x (a, b). I teoremi si modificano in maniera ovvia per funzioni strettamente convesse o strettamente concave. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 36 / 41
Derivata seconda, concavità e convessità Convessità e rette tangenti Teorema Sia f : (a, b) R derivabile in (a, b). Allora f è convessa in (a, b) se e solo se f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) x, x 0 (a, b); f è concava in (a, b) se e solo se f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) x, x 0 (a, b). Una funzione derivabile è convessa (concava) se il suo grafico si mantiene tutto sopra (sotto) ogni retta tangente al grafico. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 37 / 41
Derivata seconda, concavità e convessità Convessità e rette tangenti A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 38 / 41
Derivata seconda, concavità e convessità Punti di flesso Definizione Sia f : (a, b) R una funzione e x 0 (a, b) un punto di derivabilità per f oppure in cui f (x 0 ) = ±. Il punto x 0 si dice di flesso per f se esiste un intorno destro di x 0 in cui f è convessa (concava) e un intorno sinistro di x 0 in cui f è concava (convessa). x 0 A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 39 / 41
Derivata seconda, concavità e convessità Punti di flesso Attraversando un punto di flesso la derivata seconda di f cambia segno. Ci si aspetta dunque che in tale punto essa si annulli. Teorema Sia f : (a, b) R e sia x 0 (a, b) un punto di flesso per f. Se esiste f (x 0 ) allora f (x 0 ) = 0. Non vale il viceversa: f(x) = x 4 ha un punto di minimo in x 0 = 0 e f (0) = 0. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 40 / 41
Derivata seconda, concavità e convessità Significato geometrico dei punti di flesso Teorema Se f : (a, b) R è derivabile in (a, b) e x 0 (a, b) è un punto di flesso per f allora il grafico di f attraversa la propria retta tangente in (x 0, f(x 0 )). x 0 A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica INF 41 / 41