Paderno del Grappa, 24 agosto 2011 Su alcuni paradossi in matematica e in logica (Claudio Bernardi claudio.bernardi@uniroma1.it) La parola paradosso assume almeno tre significati: a) un'affermazione che sembra molto strana, che è in netto contrasto con le nostre aspettative, ma in realtà è corretta; «quae sunt mirabilia contraque opinionem omnium» (Cicerone) b) una contraddizione (per esempio: il paradosso di Russell); c) un ragionamento che sembra impeccabile, ma contiene un errore e porta ad una conclusione assurda.
calcoli disinvolti 1. È facile verificare che (a b) 2 = (b a) 2 qualunque siano a, b; estraendo la radice quadrata, si ha: a b = b a da cui 2a = 2b. 2. Dall'uguaglianza "1 = "1 si deduce successivamente: "1 1 = 1 "1 "1 1 = 1 "1 ( "1) 2 = ( 1) 2 cioè 1 = 1.
in campo reale, non posso applicare le consuete proprietà a oggetti sconosciuti in campo complesso non posso scegliere la radice "positiva"; quindi: 1 = { i; i} e, di conseguenza, "1 ( ) 2 = "1# "1 = { i; i } { i; i } = { 1; 1} 1 ( ) 2 = 1" 1 = { 1; 1} { 1; 1} = { 1; 1}
3. Poniamo H = 1 + 2 + 4 + 8 + Si ha allora 2H = 2 + 4 + 8 + I secondi membri delle due uguaglianze differiscono solo per la presenza dell'addendo "1" nella prima. Pertanto: H = 1 + 2H da cui si ottiene H = 1 cioè 1 + 2 + 4 + 8 + = 1
paura dell'infinito? 4. Una celebre nozione comune negli Elementi di Euclide afferma che «il tutto è maggiore della parte». Invece, nel piano esistono figure che sono uguali a loro sottoinsiemi propri (cioè figure che, opportune spostate, ricoprono solo una parte di sé stesse). Chi sa fare un esempio?
5. L'Hilbert Hotel contiene infinite stanze singole: stanza n. 0, stanza n. 1, stanza n. 2,... L'albergo è al completo. È possibile ospitare un nuovo cliente, facendo traslocare i clienti già presenti? (Basta spostare il cliente della camera n nella camera...). Si riescono a sistemare infiniti nuovi clienti? (Basta spostare il cliente della camera n nella camera... e restano libere... ).
6. Si dispone di un'urna, inizialmente vuota, e di infiniti gettoni, contrassegnati con i numeri interi positivi. Il primo giorno si mettono nell'urna i gettoni con i numeri da 1 a 10 e si toglie il gettone 1; il secondo giorno si mettono nell'urna i gettoni con i numeri da 11 a 20 e si toglie il gettone 2. Si procede così, ogni giorno aggiungendo 10 nuovi gettoni e togliendo il gettone con il minimo numero, fra quelli presenti nell'urna. Dopo n giorni ci saranno nell'urna... gettoni. Quanti gettoni rimarranno nell'urna alla fine?
un paradosso semantico 7. Si parla di paradossi semantici se entrano in gioco i concetti di verità-falsità; le argomentazioni si basano sull'assunzione che ogni frase di senso compiuto sia o vera o falsa, anche quando noi non siamo in grado di stabilirlo. Il caso più noto è il paradosso del mentitore («questa frase è falsa»). Esaminiamo una variante. Quanti errori ci sono nella frase seguente? «cuesta fraze contiene tre errori»
8. Consideriamo 4 cerchi uguali tangenti fra loro e ai lati di un quadrato di lato 4, come in figura. Disegniamo poi il cerchio con centro nel centro del quadrato e tangente esternamente agli altri quattro. Quanto è lungo il suo raggio? Risposta: 2 "1. 4 Passiamo nello spazio a 3 dimensioni: qual è il raggio della "sfera interna" se si parte da 8 sfere uguali tangenti fra loro e alle facce di un cubo di lato 4? Risposta: 3 "1. E se consideriamo la configurazione in uno spazio di dimensione 10? (la "sfera interna" esce dal cubo???)
9. Il paradosso dell'ipergioco. Un gioco fra due giocatori A e B si dice finito quando le sue regole sono tali che, dopo un numero finito di mosse, ogni partita ha termine. L'ipergioco è il gioco che si svolge nel modo seguente: A sceglie un gioco finito, B fa la prima mossa e la partita procede secondo le regole del gioco. L'ipergioco è un gioco finito: infatti il gioco scelto da A è finito e, dunque, la partita termina in un numero finito di mosse. Ma allora, se l'ipergioco è un gioco finito, il giocatore A può scegliere l'ipergioco stesso, lasciando a B la scelta del gioco. Ma anche B può scegliere l'ipergioco, dopo di che A può ancora scegliere l'ipergioco, ecc. Abbiamo così trovato una partita infinita in un gioco finito...
10. Il paradosso delle 2 buste. Devo scegliere fra due buste chiuse, ciascuna delle quali contiene un numero (razionale): vincerò una somma uguale al numero indicato nella busta scelta. So che i numeri nelle due buste sono uno il doppio dell'altro. Apro una busta e trovo che contiene il numero 100. A questo punto, mi viene concessa la possibilità di "cambiare" busta. Mi conviene accettare? Non so se la busta che ho scelto contiene il numero minore o maggiore. Per quanto ne so, la seconda busta contiene il numero 50 oppure, con uguale probabilità, il numero 200. Se cambio busta, la mia speranza matematica è: 50 1 2 + 200 1 = 125, che è maggiore di 100. 2 Quindi mi conviene sempre cambiare busta.
11. Il paradosso di Yablo. Nell'isola dei furfanti e cavalieri incontriamo infinite persone: a 0, a 1, a 2,... Ciascuno di loro afferma che «tutti quelli che hanno un indice maggiore del mio sono furfanti». Quali sono cavalieri? La situazione porta ad una contraddizione, nel senso che non riusciamo a trovare una soluzione del problema. Infatti, se a 0 è un cavaliere, tutti gli altri sono furfanti; ma, in tal caso, l affermazione di a 1 risulterebbe vera. Se a 0 è un furfante, uno degli altri dovrebbe essere un cavaliere, e la situazione si ripropone come prima. C'è un'analogia con il paradosso del mentitore, ma in questo caso nessuna affermazione si riferisce a sé stessa.