Oscillatore semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie In molte applicazioni pratiche l eccitazione dinamica non è né armonica nè periodica. È necessario dunque sviluppare una procedura generale per analizzare la risposta dell oscillatore semplice caratterizzato dalla seguente equazione del moto e con condizioni iniziali nulle: equation of motion initial conditions
Oscillatore semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie Equazione del moto Condizioni iniziali Nello sviluppo della soluzione generale, P(t) viene interpretata come una sequenza di impulsi di durata infinitesima e la risposta del sistema come la somma delle risposte ad ognuno di questi impulsi.
Oscillatore semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie Risposta all impulso unitario
Oscillatore semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie Forza impulsiva: una forza molto grande che agisce in un tempo piccolo ma il cui integrale sul tempo è finito Forza con durata che parte all istante t=. 0 p(t) L ampiezza dell impulso, definita dall integrale di p(t), rimane uguale all unità. Nel caso limite 0 :impulso unitario
Oscillatore semplice: risposta ad eccitazioni arbitrarie Se una forza p agisce su un corpo di massa m, la variazione di momento della quantità di moto del corpo è pari alla forza applicata (seconda legge di Newton): Se la massa è costante, integrando entrambi i membri si ottiene::
Ampiezza dell impulso momento L ampiezza dell impulso è pari alla variazione di momento
Questo risultato è applicabile ad un oscillatore semplice se la rigidezza e lo smorzatore non entrano in gioco Infatti la forza agisce per un tempo infinitesimo tale che la rigidezza e lo smorzatore non hanno il tempo di rispondere.
L impulso unitario al tempo t= impartisce alla massa, m, la velocità: ma lo spostamento è nullo prima e dopo l impulso:
Un impulso unitario causa quindi uno stato di oscillazioni libere caratterizzato dalle seguenti condizioni iniziali: quindi la risposta per un sistema non smorzato è:
Condizioni iniziali causate dall impulso unitario: per un sistema smorzato la risposta è:
h(t- ): funzione di risposta all impulso unitario
Risposta ad una forzante arbitraria
La forza p(t) variabile arbitrariamente con il tempo può essere rappresentata come una sequenza di impulsi infinitesimi. La risposta di un sistema dinamico a comportamento lineare a uno di questi impulsi, quello al tempo t di intensità p( )d, è proprio questo valore per la funzione impulso unitario:
La risposta del sistema al tempo t è la somma delle risposte a tutti gli impulsi fino a questo istante Integrale di convoluzione
Integrale di convoluzione Specializzando l integrale di convoluzione al caso dell oscillatore semplice: (sistema smorzato) (sistema non smorzato) Integrale di Duhamel
Integrale di Duhamel note: Se si tiene conto delle condizioni iniziali devono essere considerate le vibrazioni libere legate a queste
Integrale di Duhamel note: L integrale di Duhamel fornisce una soluzione generale per valutare la risposta di un oscillatore semplice a comportamento lineare soggetto ad una forzante arbitraria: questo risultato è valido solo per I sistemi a comportamento lineare poichè si basa sul principio della sovrapposizione degli effetti.
Duhamel s integral note: Se p(t) è una funzione semplice si può eseguire l integrazione in forma chiusa. In questo caso l integrale di Duhamel può essere visto come una forma alternativa di risoluzione delle equazioni differenziali.
esempi
Problema: Derivare la risposta dell oscillatore semplice soggetto alla funzione gradino utilizzando l integrale di Duhamel assumendo condizioni iniziali nulle.
Problema: Derivare la risposta dell oscillatore soggetto alla forza gradino utilizzando l integrale di Duhamelassumendo condizioni iniziali nulle e rapporto di smorzamento =5%. c