Brunetto Piochi Università di Firenze I Problemi e l apprendimento della Matematica CIDI Brescia, 5 dicembre 2008
Matematica: Perché? Cosa? La matematica ha uno specifico ruolo La competenza matematica è la nello sviluppo della capacità capacità di un individuo di generale di operare e comunicare identificare e comprendere significati [ ] per rappresentare e il ruolo che la matematica costruire modelli di relazioni fra gioca nel mondo reale, di oggetti ed eventi. In particolare, la operare valutazioni matematica dà strumenti per la fondate e di utilizzare la descrizione scientifica del mondo e matematica e confrontarsi per affrontare problemi utili nella con essa in modi che vita quotidiana; inoltre contribuisce rispondono alle esigenze a sviluppare la capacità di della vita di quell individuo comunicare e discutere, di in quanto cittadino che argomentare in modo corretto, di esercita un ruolo costruttivo, comprendere i punti di vista e le impegnato e basato sulla argomentazioni degli altri. riflessione. (Indicazioni Nazionali 2007) (OCSE-PISA 2003)
Approccio tradizionale Insegnamento / apprendimento di leggi, regole e tecniche: imparare e ripetere quanto appreso. atteggiamento passivo : lo studente impara, si addestra a risolvere esercizi simili a quelli trattati dell'insegnante, convinto (a ragione) che su quelli sarà valutato. Resta escluso nella quasi totalità dei casi ogni specifico interesse alla comprensione del perché di quanto appreso la matematica viene presentata e appresa come tecnica, come pura sintassi; avulsa da qualsiasi contesto storico e applicativo significativo Disaffezione e fallimenti
Approccio costruttivista siano gli stessi alunni a scoprire (o meglio a formulare ipotesi su) le leggi e le regole che possono descrivere e trattare meglio un fenomeno. Attività di problem posing e problem solving richiede un tempo molto lungo, non compatibile con la quantità delle conoscenze che la scuola deve trasmettere. Inoltre [ ] nei momenti decisivi l'insegnante deve intervenire con le sue spiegazioni per fornire le ipotesi e le formule cruciali (ricadendo nei limiti dell'approccio tradizionale). (Boero et al., 2002)
La formazione del curricolo scolastico non può prescindere dal considerare sia la funzione strumentale, sia quella culturale della matematica Priva del suo carattere strumentale, la matematica sarebbe un puro gioco di segni senza significato; senza una visione globale, essa diventerebbe una serie di ricette prive di metodo e di giustificazione. I due aspetti si intrecciano ed è necessario che l'insegnante li introduca entrambi in modo equilibrato lungo tutto il percorso di formazione. (UMI 2003)
Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono essere intesi come questioni autentiche e significative, legate spesso alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una regola. Gradualmente, stimolato dalla guida dell insegnante e dalla discussione con i pari, l alunno imparerà ad affrontare con fiducia e determinazione situazioni-problema, rappresentandole in diversi modi, conducendo le esplorazioni opportune, dedicando il tempo necessario alla precisa individuazione di ciò che è noto e di ciò che si intende trovare, congetturando soluzioni e risultati, individuando possibili strategie risolutive. (Indicazioni Nazionali 2007)
Un problema nasce quando un essere vivente, motivato a raggiungere una meta, non può farlo in forma automatica o meccanica, cioè mediante un attività istintiva o attraverso un comportamento appreso. L esistenza di una motivazione e la presenza, nella situazione problematica, di un impedimento che non permette l azione diretta creano uno stato di squilibrio e di tensione nel campo cognitivo di un individuo spingendolo ad agire per ricostruire l equilibrio (G. Kanisza, 1973).
Ma gli errori?!? Evitare errori è un ideale meschino: se non osiamo affrontare problemi che siano così difficili da rendere l errore quasi inevitabile, non vi sarà allora sviluppo della conoscenza. In effetti, è dalle nostre teorie più ardite, incluse quelle che sono erronee, che noi impariamo di più. Nessuno può evitare di fare errori; la cosa più grande è imparare da essi. (Popper)
Alcune considerazioni Nella prassi tradizionale: viene sopravvalutato il ruolo della memoria a breve termine e sottovalutato il ruolo della memoria a lungo termine (più significativa per la comprensione) viene scoraggiata la partecipazione attiva degli studenti non viene adeguatamente valutato lo sforzo per acquisire un metodo di lavoro ben impostato non viene curata la capacità degli allievi di reperire autonomamente le informazioni necessarie non viene curata la capacità di autovalutazione
Che si può fare? trovare strategie per promuovere il coinvolgimento attivo della classe (saper ascoltare, far valutare gli allievi da altri allievi) stimolare l autovalutazione (premiando chi si accorge del proprio errore pur non riuscendo a correggerlo al momento..) esplicitare le regole del gioco sia per quanto riguarda l insegnamento-apprendimento, sia per quanto riguarda verifica e valutazione interagire con gli allievi offrendo alternative all allievo che rifugge da un interrogazione (interrogare su argomenti precedentemente trattati, offrire altre modalità per rispondere ad un vuoto di memoria, )
Bisogna aiutare lo studente a pensare il suo pensiero, a diventare consapevole di come la conoscenza viene costruita. Approccio metacognitivo esplicito Verbalizzazione e peer tutoring : far diventare il soggetto consapevole, attraverso il confronto con gli altri, dei propri presupposti teorici e delle proprie operazioni mentali Uso delle Tecnologie per esplicitare e tenere traccia del cammino percorso
Alcuni esempi di attività
Dettato di Disegno Scuola Primaria (Valenzatico (PT), 2^ elem. 2003)
Obiettivi dell attività acquisire la capacità di organizzarsi per lavorare in gruppo manipolare ed usare forme geometriche classificare secondo forma, colore, dimensione rappresentare e riprodurre figure, cercando di rispettare forma, colore, dimensione acquisire la capacità di dare consegne e di ascoltare per comprendere acquisire termini geometrici convenzionali. verbalizzare le fasi dell esperienza (con il supporto di foto),
Fasi dell attività Gli alunni avevano trovato in un magazzino una scatola piena di blocchi logici. Gioco libero a gruppi: realizzare sculture con le forme. Racconto dell attività. Dettatura delle sculture ai compagni. Consapevolezza delle carenze nella riproduzione. Elaborazione di regole di dettatura. Ripetizione dell esperienza.
ESEMPIO: disegnate un triangolo, giallo, grosso, diritto disegnate un rettangolo rosso, grande sotto al triangolo disegnate un triangolo piccolo, blu, sopra il rettangolo disegnate sopra il rettangolo un cerchio rosso disegnate sopra il cerchio un triangolo piccolo blu disegnate un rettangolo rosso grande sotto l altro rettangolo rosso messo per largo, attaccato disegnate accanto al rettangolo rosso un rettangolo grande giallo a destra disegnate un rettangolo piccolo giallo sopra l altro rettangolo giallo disegnate un rettangolo piccolo giallo sotto al rettangolo rosso attaccato disegnate un altro rettangolo piccolo blu sotto al rettangolo giallo grande. (Richieste dei compagni: - Lungo? Obliquo? A dx o a sx? Attaccato? Sopra o sotto?).
ESEMPIO: L anatra disegnate un triangolo, giallo, grosso, diritto disegnate un rettangolo rosso, grande sotto al triangolo disegnate un triangolo piccolo, blu, sopra il rettangolo disegnate sopra il rettangolo un cerchio rosso disegnate sopra il cerchio un triangolo piccolo blu disegnate un rettangolo rosso grande sotto l altro rettangolo rosso messo per largo, attaccato disegnate accanto al rettangolo rosso un rettangolo grande giallo a destra disegnate un rettangolo piccolo giallo sopra l altro rettangolo giallo disegnate un rettangolo piccolo giallo sotto al rettangolo rosso attaccato disegnate un altro rettangolo piccolo blu sotto al rettangolo giallo grande. (Richieste dei compagni: - Lungo? Obliquo? A dx o a sx? Attaccato? Sopra o sotto?).
Testo collettivo Quando abbiamo fatto Il gioco delle forme ed ogni gruppo ha costruito il proprio capolavoro ed ha poi cercato di farlo disegnare ai compagni esattamente come era stato ricostruito sul banco, abbiamo incontrato tante difficoltà: c era chi non sapeva dare indicazioni giuste, chi non capiva le informazioni date, chi usava termini non esatti e comprensibili a tutti, chi non sapeva rispettare le dimensioni. Abbiamo pensato allora di semplificare il gioco, utilizzando solo 5 forme (solo grandi e piccole) per costruire una figura e di darsi delle regole valide per tutti. Abbiamo discusso a lungo per decidere quali fossero le soluzioni migliori e siamo arrivati a stabilire queste regole:
Regole (esempi) Iniziare sempre dal basso, dal fondo della pagina a dare le indicazioni; Per i quadrati e per i rettangoli provare a contare i quadretti per disegnare i lati, ognuno quanti quadretti vuole purché i lati del quadrato siano tutti uguali e quelli lunghi del rettangolo siano lo stesso numero e quelli corti siano lo stesso numero; Disegnare la posizione delle forme, rispettando queste indicazioni: rettangolo: per lungo, in verticale; per largo, in orizzontale; triangolo: ha tre punte e tre lati; la punta può essere rivolta in alto oppure in basso;
Problemi nudi e vestiti ovvero Il gioco del se Scuola primaria (Valenzatico (PT), 4^ elem. 2005)
Obiettivi dell attività - Ascoltare/Leggere e comprendere. - Interagire e collaborare in maniera costruttiva per realizzare obiettivi comuni.. - Individuare, selezionare e organizzare informazioni linguistiche e matematiche per comprendere e risolvere problemi. - Manipolare testi: intervenire sulla struttura e sugli elementi costitutivi, riscrivere il testo in base a vincoli scelti o assegnati, verificare e valutare la coerenza e la coesione del nuovo testo. - Conoscere e utilizzare vari tipi di rappresentazione matematica per costruire il testo o risolvere un problema. Rappresentarlo creativamente.
Il gioco dell omino nudo Manipolazione del testo problema; partendo dall utilizzazione di informazioni matematiche formalizzate in più modi (schema, diagramma a blocchi, fumetto) mettere il vestito al problema (costruzione del testo) e successivamente cambiare il vestito.
Un omino nudo
Informazioni matematiche formalizzate in tabella (dati della mensa) Martedì Mercoledì Giovedì 14 bottiglie da 1,5 litri ciascuna 19 bottiglie da 1,5 litri ciascuna come il mercoledì
Un vestito da guerra Il Re Guerrino insieme ai suoi cavalieri compie tre piccolissime battaglie ogni settimana: il martedì, il mercoledì, il giovedì. Il martedì il re Guerrino e i suoi pochissimi cavalieri per levarsi il sangue di dosso, per abbeverarsi e per lavare le spade consumano 14 bottiglie di acqua da 1,5 litri d acqua ciascuna, il mercoledì 19 bottiglie da 1,5 litri ciascuna e il giovedì come il mercoledì. (? ) Quanti litri di acqua consumano nei tre giorni?
Un vestito da lavoro Alcuni operai della strada devono modificare una strada di Valenzatico e ci lavorano il martedì, il mercoledì e il giovedì. La signora Giovanna, vedendo l impegno dei ragazzi, ogni giorno prepara loro da bere: il martedì 14 bottiglie di acqua da 1,5 litri ciascuna; il mercoledì e il giovedì invece 19 bottiglie al giorno sempre da 1,5 litri. Quanti litri di acqua si consumano nei tre giorni?
Informazioni matematiche formalizzate in diagramma (da un esercizio del libro) 12 3,50 + 20 - =
Una famiglia da sfamare In un lago c è un fenicottero che deve sfamare i suoi 2 cuccioli. Va al supermercato del lago e compra 12 euro di pesce e 3,50 euro di pappe. Quanti euro spende? Quanto riceve di resto se paga con una banconota da 20?
Informazioni matematiche formalizzate in fumetto ( da un esercizio precedente) Hotel Astrid Adulti 76 Ragazzi 50 Animali 4 Quanto costa! Ci fermeremo solo una settimana.
Una vacanza extraterrestre Un giorno, su un pianeta di nome Mostrosis, una famiglia di alieni decide di andare all Hotel Astrid. La famiglia composta da 4 persone decide di restare una settimana, la mamma e babbo pagano 76 ciascuno al giorno, e i due ragazzi 50 a testa al giorno. Quanto pagano i due adulti per tutta la settimana? Quanto pagano i due ragazzi per tutta la settimana? Quanto paga in tutto la famiglia? il
Una vacanza da cani Dopo una giornata lunga e faticosa, 8 cani decidono di prenotare una dog-sweet all Hotel Astrid che si trova nel paese di Doglandia, fatto apposta per tutte le specie di cani. Ciascun animale paga 4 al giorno e decidono di fermarsi per una settimana. Quanto spendono per un giorno tutti i cani? Quanto spendono per tutta la settimana?
Inventiamo un problema? Scuola primaria (Scuola secondaria di I grado) (Valenzatico (PT), 5^ elem. 2006)
Maestra, ci fai inventare un problema? Qualche tempo fa, dopo aver lavorato sul calcolo della frazione di un numero, abbiamo chiesto alla maestra di inventare da soli il testo di un problema con le frazioni. Lei ci ha fatto lavorare a gruppi di due o di tre e ci ha dato questo comando: Costruisci il testo di un problema nel quale sia necessario calcolare la frazione di un numero, dopo risolvilo. Al momento della soluzione sono iniziati i guai; sentivamo dire: -Maestra, non ci torna la divisione! -Maestra, vieni a vedere, forse abbiamo sbagliato qualcosa, ci viene la divisione con il resto! Sara e Greta sono andate dalla maestra dicendo: -Maestra, non vuol tornare, ce lo leggi per favore? La maestra ha letto il problema.
Problema Il giardino di Marta, ampio e variopinto, ospita 152 fiori. I fiori sono divisi in tre categorie: i 3/4 dei fiori sono papaveri, i 5/8 sono viole e il resto margherite. Quante sono le margherite? La maestra ha chiesto: -Che cosa non vi torna? -Senti, abbiamo calcolato le frazioni del numero, ma i papaveri e le viole messe insieme sono più di tutti i fiori e quindi non ci torna. La maestra, distrattamente, ha fatto i calcoli e poi ci ha consigliato di cambiare una delle due frazioni: 5/8 da cambiare in 1/8. Poco dopo Sara e Greta hanno esclamato: -Evviva! Ora va bene!
Problema Il giardino di Marta, ampio e variopinto, ospita 152 fiori. I fiori sono divisi in tre categorie: i 4/7 dei fiori sono papaveri, i 3/9 sono viole e il resto margherite. Quante sono le margherite? Non siamo stati in grado di risolvere il problema. Nel calcolare 4/7 di 152 abbiamo potuto osservare che 152:7 dà come risultato 21 con il resto di 5 unità, cioè 5 fiori. Anche quando abbiamo calcolato i 3/9 di 152, la divisione ha dato come risultato 16 con il resto di 8. Qualcuno ha proposto di continuare le divisioni fino ai decimi, ma molti gli hanno detto:- Ma che dici! In questo modo i fiori vengono tutti spezzettati! SCOPERTA Anche se la coppia di frazioni non supera l intero, occorre che il numero che indica l intero sia divisibile per tutti e due i denominatori.
Il confronto tra frazioni Fino ad ora abbiamo utilizzato strisce di carta per rappresentare le frazioni e per confrontarle. Durante questa attività abbiamo individuato diversi gruppi di frazioni: -frazioni con uguale numeratore -frazioni con uguale denominatore -frazioni diverse con numeratori e denominatori diversi La maestra ci ha consigliato di usare il computer per essere precisi nella divisione delle strisce.
TUTTI INSIEME ABBIAMO INDIVIDUATO: Regole per costruire problemi con frazioni Pensare ai dati. Trovare come primo dato l intero. Cercare i divisori dell intero. Scegliere, tra quelli che hai trovato, almeno due divisori come denominatori delle frazioni. Cercare i numeratori. Controllare che le due frazioni, sommate, siano minori o uguali all intero. Mettere il vestito al problema.
Numerando Scuola primaria Scuola secondaria di I (e II) grado (Pisa 2004) link
LA MATEMATICA CI SFIDA Scuola secondaria di II grado (Prato 2006)
TRASMISSIONE DEL PENSIERO AL COMPUTER.
INDOVINARE UN ANIMALE Pensate un numero da 1 a 10 Moltiplicate per 9 Sommate le cifre (es: 32 -> 3+2=5) Sottraete 4 da questa somma Ora sostituite una lettera al numero, così : 1 -> A ; 2 -> B ; 3 -> C ; 4 -> D ; 5 -> E 6 -> F ; 7 -> G ; 8 -> H ; 9 -> I ; 0 -> L Ora chiudete gli occhi e PENSATE fortemente a un animale il cui nome cominci con la lettera che vi è risultata. Pensatelo bello GROSSO.
RIAPRITE GLI OCCHI E.
INDOVINARE UN SIMBOLO NASCOSTO Pronti? Via
Proviamo a scoprire il trucco. Ogni numero di due cifre è scritto in decine e unità: 32= 3 decine e 2 unità = 3D+2U = 3*10+2 La differenza fra il numero e la somma delle cifre è SEMPRE un mltiplo di 9: 32-3-2=27 Con l algebra : 10x + y x y = 9x Basta dare lo stesso segno ai multipli di 9! E se il numero è già multiplo di 9. La somma delle cifre è sempre 9!
E ORA SENZA TRUCCHI! Solo un po di Algebra e qualche conticino Niente paura.
INDOVINARE UN NUMERO Pensate un numero 6 Moltiplicate per 5 30 Sommate 3 33 Moltiplicate per 4 132 Aggiungete 12 144 Moltiplicate per 5 720 Ora ditemi il risultato ed io indovinerò il numero che avete pensato 720 6 x 5x 5x + 3 4(5x+3) = 20x+12 20x + 12 + 12 = 20x + 24 5(20x+24)=100x+120 720 120 = 6*100 6
INDOVINARE LA DATA Pensa alla data del compleanno: G/M 12/09 Somma 4 al mese M 13 Moltiplica questo numero per 50 650 Ora somma a questo il giorno G e più ancora 5 667 Raddoppia il totale 1334 Ora ditemi il risultato ed io indovinerò la vostra data del compleanno 1334 12 settembre M M+4 50(M+4)=50M+200 50M+G+205 100M+2G+410 1334 410 = 924= 9*100 + 2*12 12/09
Statistica e VITA Scuola secondaria di II grado (Prato 2006)
The median isn t the message (Gould 1985) Ci sono tre tipi di bugie: le bugie, le maledette bugie e la statistica (M. Twain) La statistica, se ben interpretata, è capace di sostenere e perfino dare la vita L eredità platonica ci porta a vedere la median o la media come realtà stabili ma [ ] la variazione è l unica essenza irriducibile della natura. http://cancerguide.org/median_not_msg.html link
Matematica Obiettivi : Comprensione delle misure di sintesi Lettura di un grafico di distribuzione Indici centrali e marginali di distribuzione 4 ore in classe + compiti a casa Compito in classe + 1 ora di correzione Fase di controllo (anno successivo) Lingua Obiettivi : Lettura e comprensione di un brano di attualità in lingua originale Conversazione su temi di attualità Comprensione e uso appropriato di termini specifici 4 ore in classe + compiti a casa Compito in classe + 1 ora di correzione (4^ Liceo Scientifico PNI 2006)
Alcune proposte per una educazione matematica trasversale attraverso i problemi e le discpline Scuola secondaria di II grado
MODELLI MATEMATICI Materie coinvolte MATEMATICA, SCIENZE, CHIMICA, TECNOLOGIA, ECONOMIA Livello scolastico Temi affrontabili Obiettivi significativi per la Matematica Argomenti proponibili Triennio di Liceo Scientifico o tecnologico Successioni, serie, numeri reali Funzioni; equazioni differenziali Geometria Analitica Aiutare a comprendere la matematica come scienza che risponde alle richieste e ai vincoli della realtà Rivisitare il formalismo matematico, come strumento che trova i suoi vincoli e le sue spiegazioni nella rappresentazione del reale Guidare ad un uso intelligente del software Porsi e risolvere problemi. Decadimento radioattivo. Dinamica delle popolazioni. Temi di ricerca operativa
ABACO o LA MATEMATICA MERCANTILE Materie coinvolte MATEMATICA, ITALIANO, STORIA, (LATINO, LINGUA STRANIERA) Livello scolastico Temi affrontabili Obiettivi significativi per la Matematica Argomenti proponibili 3^ o 4^ liceo Aritmetica Algebra Geometria elementare (e introduzione alla Trigonometria) Aiutare a comprendere la matematica come scienza che risponde alle richieste della società Rivisitare tecniche di calcolo elementari Riflettere sul rapporto fra linguaggio naturale e linguaggio algebrico Porsi e risolvere problemi Algoritmi delle operazioni Problemi di compra-vendita, cambio Problemi di suddivisione di utili o perdite in società Problemi di matematica dilettevole
PARADOSSI Materie coinvolte Livello scolastico Temi affrontabili Obiettivi significativi per la Matematica Argomenti proponibili MATEMATICA, FILOSOFIA, ARTE triennio Logica, linguaggio, insiemi Successioni, serie, numeri reali Geometrie diverse Esaminare i temi di logica in modo interessante e piacevole Spingere a verbalizzare la matematica: comprendere, spiegare, sciogliere un paradosso richiede competenze verbali significative Inquadrare certi temi in un contesto storico Affrontare il rapporto fra Geometria e Prospettiva o in generale fra Geometria e Rappresentazione Zenone, Achille, i filosofi Greci Russell e gli insiemi Paradossi metalogici: il cretese, l impiccato Figure impossibili ; Escher
LETTERATURA e MATEMATICA Materie coinvolte MATEMATICA, ITALIANO, LINGUA STRANIERA Livello scolastico triennio Temi affrontabili Obiettivi significativi per la Matematica Argomenti proponibili Logica, linguaggio Algebra Geometria analitica Spingere a verbalizzare la matematica Stimolare fantasia e intuizione Cogliere l aspetto ludico della materia Porsi e risolvere problemi Analizzare e formalizzare la coerenza logica di una data situazione Testi o problemi a tema ( L uomo che sapeva contare, l Isola dei Furfanti e Cavalieri di Smullyan, ) Rapporto fra Matematica e Linguaggio, Matematica e percezione esterna (Queneau, Buzzati ) Mondi a un numero diverso di dimensioni (Flatlandia, )
Problemi di minimo per via elementare o grafica Scuola secondaria di II grado
Problema A "Una tipografia deve stampare dei fogli di simboli, in cui il testo occupa un'area rettangolare W (da disporre a piacere, in quanto priva di direzioni privilegiate). Conoscendo i margini da lasciare, si determinino le dimensioni ottimali del foglio per minimizzare l'impiego di carta". soluz Problema B "Si determinino le proporzioni fra le dimensioni di una lattina cilindrica, in modo che risulti minimo il consumo di metallo, a parità di volume V di contenuto". soluz Problema C "Si deve costruire un oleodotto che porti il petrolio da una piattaforma A in mezzo al mare ad un porto B sulla costa. Sapendo che le spese di costruzione sono pari a N $/m sulla terraferma ed M $/m in mare, si determini il percorso di minor costo". soluz
CIDI Brescia, 5 dicembre 2008 Grazie!