LE 4 EQUAZIONI PIÙ FAMOSE DELLA FISICA CLASSICA dr.ing.albero Sacchi Sviluppo Progei Avanzai srl- R&D dep. ing.sacchi@alice.i Sono passai esaamene 15 anni da quando J.Clark Mawell presenò in A Dnamical Theor of he Elecromagneic Field le 4 equazioni più famose della Fisica Classica. Nel fraempo sono nai i elefoni cellulari la TV digiale i forni a microonde il radar ed il navigaore GPS ma le 4 equazioni sono rimase un enigma composo da miseriosi simboli ed aniche leere greche. Almeno per la maggior pare del pubblico. Poi nacque il problema dell Eere; ancora una quindicina di anni or sono i commenaori elevisivi dividevano le noizie ra quelle giune via cavo da quelle giune via Eere. Ci sono volui alri 85 anni cioè da Elerodinamica dei corpi in movimeno del 195 di A. Einsein per parlare di Campo. Oggi è normale udire la frase:. non i ricevo bene; qui non c è Campo! Cosa sia esaamene poi il Campo non è conceo comune. Veori e Scalari sono eni da V Liceo ma cosa sia la Divergenza il Gradiene od il Roore di un veore rimane conceo oscuro se non addiriura miserioso. Eppure oggi ua la ecnica con cui abbiamo a che fare: dalla più comune delle radiografie alla TAC dalla TV sereoscopica al web in fibra oica dal forno a microonde al elecomando del cancello basano il loro funzionameno sulle 4 Equazioni di Mawell. Ed è con l obieivo di illusrarle ad un pubblico non avvezzo all Analisi Differenziale Veoriale ma non privo delle nozioni elemenari di derivaa ed inegrale che è redao il presene scrio. La presenazioni in forma inegrale delle Equazioni ne facilia la comprensione menre in calce ad ogni paragrafo ed in caraeri ridoi ne viene anche ricavaa la forma differenziale non essenziale per una comprensione inuiiva.
Le Equazioni di Mawell sono la rasposizione in linguaggio maemaico simbolico dei risulai sperimenali raggiuni durane il XIX secolo da grandi personaggi quali Ampere Farada Bio e Savar Oersed Coulomb e ani alri; un leore aendo porebbe obieare che il lavoro di Mawell non ha generao alro che una enorme complessià formale in leggi semplici ed inuiive comunque preesiseni. Se quesa osservazione è almeno parzialmene condivisibile per le prime due Equazioni ciò non è per la III e la IV che hanno porao da un lao alla Relaivià Risrea e dall alro allo sviluppo delle elecomunicazioni. Tale affermazione è chiaria nei due ulimi paragrafi del presene scrio. Infine una osservazione: dei numerosi eoremi di analisi differenziale veoriale uilizzai nello sviluppo delle Equazioni in forma locale non si è fornia una dimosrazione ma si è provveduo per semplicià a fornirne solo una inerpreazione inuiiva. Il conceo di Campo Scriveva Isaac Newon in una leera a Benele: Non si può comprendere come la maeria brua ed inanimaa possa senza mediazione di qualche cosa che non sia maeria agire su alra maeria e modificarla senza muuo conao a migliaia di miglia di disanza Per Newon il paradosso derivava dalla sessa Legge di Graviazione che ben spiega l enià dell inerazione ra due masse pose a disanza ma non ne chiarisce la causa ulima. Il problema della Azione a Disanza senza inermediazione di alcun mezzo maeriale perseguiò le mene di filosofi e scienziai per secoli. In un ben diverso coneso cioè in occasione sul dibaio relaivo al noo esperimeno menale EPR Einsein definiva paradossale azione a disanza la rasmissione di informazioni a disanza ed a velocià infinia. Campo è il dominio dell Insieme dei valori assuni da una grandezza scalare o veoriale Per campi di forza quali il campo graviazionale elerico o magneico Campo può essere definio come: la regione di spazio enro cui è rilevabile l azione (la forza) prodoa da un corpo generaore del Campo su di un corpo di prova. Eurisicamene si può immaginare che il Generaore del campo inervenga sullo spazio in modo che il corpo di prova possa localmene rilevare ale inerveno. Tipico esempio di Campo Scalare è quello ermico; in ogni puno dello spazio è rilevabile ermomericamene l esisenza della grandezza scalare emperaura
menre ipico esempio di Campo Veoriale è il campo Graviazionale che richiede la rilevazione locale di inensià (modulo) direzione e verso del veore campo cioè della forza esisene in quel puno. La prima Equazione La prima equazione in forma inegrale recia: il flusso del Campo Elerico (araverso una superficie chiusa) è proporzionale alla carica che lo ha generao. dove: Φ ( E ) Q Φ E (1.1) ( ) flusso veore E E veore campo elerico 1/ε faore di proporzionalià ε Il Veore E rappresena la forza araiva o repulsiva che la carica Q esercia su di una carica q posa nel luogo ove si desidera rilevare il campo sulla scora delle Legge di Coulomb: Coulomb r disanza Q-q r versore di r F Qq k r (1.) Legge di 3 r Poso q1 carica di prova uniaria si ha: Q F E k r (1.3) 3 r o in forma scalare: Q E k (1.4) r Il flusso Φ(E ) araverso una generica superficie rappresena la somma degli infinii veori E araversani orogonalmene la superficie (FIG 1a). Scela per semplicià una superficie sferica di raggio r si avrà:
4πr e quindi: Q Q Φ( E ) Ed 4πr E 4πr k r ε avendo poso: 1/ε 4πk (1.5) Dal Principio di conservazione del flusso è sempre possibile racchiudere la carica Q e la sfera 4πr enro una superficie chiusa che venga araversaa dallo sesso flusso relaivo alla superficie sferica 4πr. (FIG 1) Dalla (1.5) Mawell Q Φ E (1.6) I Equazione di ( ) ε Espressa in ermini banali la I Equazione afferma che: la forza oale (ФE) generaa da una carica Q dipende solo (è proporzionale a) da Q.
Q 4π r FIG.1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- in forma differenziale la I equazione si presena come; ρ E (1.7) essendo: ε + + (1.8) operaore laplaciano Nabla z di volume ρ dq/dv (1.9) densià di carica carica per unià La (1.7) è ricavabile dalla (1.6) applicando il Teorema della Divergenza meglio noo come Teorema di Gauss- Green che sabilisce che: il flusso di un veore araverso una superficie chiusa è uguale alla sua divergenza esesa al volume recchiuso da ale superficie Φ ( ) Ed E divedv (1.1) V La dimosrazione di ale eorema è piuoso complessa; inuiivamene esso esprime il conceo di conservazione del flusso.
Infai è inuiivo pensare alla divergenza di un veore in un puno come l indicaore di quano ale veore si allonani (diverga) da quel puno. Esendendo il ragionameno a ui gli infinii puni del volume V cioè inegrando rispeo a V si oiene la (1.1) Dalla (1.6) e dalla (1.1) si ricava: Q Φ ( E ) Ed divedv (1.11) ε V Dalla (1.9) La (1.11) diviene quindi: dq ρ ossia dq ρdv e quindi: Q dv ρ dv V divedv V Q 1 ε ε V ρdv (1.1) Essendo enrambi gli inegrali esesi al medesimo volume V dovranno essere uguali anche le funzioni inegrande cioè: ρ dive I Equazione di Mawell in ε forma differenziale ------------------------------------------------------------------------------------------------------- La seconda Equazione La I Equazione che definisce il Campo Elerico fu riproposa aorno al 1785 dalla sesso C. Augusin Coulomb anche per il Campo Magneico. Pp F k' r (.1) 3 r dove: P carica magneica unipolare generane il campo p carica unipolare di prova F veore forza agene su p r disanza P-p r versore di r k coeff. di proporzionalià
Soo il profilo quaniaivo la (.1) fornisce una correa valuazione di F sulla scora di verifiche sperimenali effeuae dallo sesso Coulomb mediane bilancia di orsione e magnei ad alo sviluppo lineare. Era infai essenziale simulare magnei unipolari ponendo sul medesimo magnei i due poli (esremià) alla massima disanza possibile in modo da minimizzare l azione del polo opposo. (FIG. a). Abbandonaa la definizione di Campo Magneico sulla scora della (.1) per la inesisenza di monopoli magneici fu adoaa la definizione derivane dalla Legge di Lorenz. Magnee P F B qµ vb (.) da cui qµ vf (.3) FIG. Magnee p Magnee P Equivalene unipolare Con riferimeno alla (.3) si ha. B campo magneico q carica elerica di prova v velocià di q rispeo a B
Per definizione di flusso (Il Φ(B) araverso una generica superficie rappresena la somma degli infinii veori B araversani orogonalmene la superficie ) si ha: ( ) Φ B Bd (.4) ineso come posiivo se enrane nella superficie chiusa e negaivo se uscene. Il eorema di Gauss (Teorema del flusso) afferma che: il flusso di un veore araverso una superficie chiusa è indipendene dalla posizione delle sorgeni di campo inerne a. Poiché è sempre possibile definire una superficie chiusa conenene i poli N ed S di P sarà: Φ B Φ B ossia: ( ) uscene ( ) enrane ( ) Φ B (.5) II Equazione di Mawell ------------------------------------------------------------------------------------------------------- La forma differenziale della II Equazione prende le mosse dal eorema della Divergenza: il flusso di un veore araverso una superficie chiusa è uguale alla sua divergenza esesa al volume chiuso da ale superficie Φ ( ) Bd B divbdv (.6) Affinché sia nullo l inegrale della divergenza deve essere nulla anche la funzione inegranda cioè: div B (.7) La div. di un generico veore A è definia come: V A( z) A( z) diva + + Ne segue che la (.7) può essere scria come: A( z) z A per la (1.8) forma differenziale B II Equazione di Mawell in ------------------------------------------------------------------------------------------------------- La erza equazione
La III Equazione di Mawell è la riscriura in linguaggio maemaico simbolico formale del famoso esperimeno di Farad del 1831 noo come induzione magneica o Legge di Farad-Neumann. Essa afferma che: La Forza Eleromorice Indoa (Fem) da un campo magneico B in una linea chiusa (circuio) confine della superficie araversaa dal flusso B è proporzionale all opposo della variazione nel empo di B ( B ) 1 Φ Fem (3.1) µ Il segno meno indica che F em si oppone alla variazione di Ф(B). Per definizione di flusso: ( ) Φ B Bd (3.) dove rappresena la superficie araversaa da Ф. La Fem generaa da una carica Q è definia come il lavoro compiuo dal campo E creao da Q durane il suo sposameno lungo una linea chiusa (circuio o spira) (FIG.3) Fem E dl (3.3) L Dalla (3.1) e (3.3) si ricava: ( B ) 1 Φ Fem µ E dl (3.4) III Equazione di Mawell L
magnee Spira linea chiusa circuio galvanomero FIG.3 Una ovvia osservazione pora a considerare la variazione di flusso come dovua sia ad una variazione della sua inensià (cioè del modulo di B) che ad una variazione dell area araversaa da B. Poiché Φ( B) ( B) Φ ( B) B derivando B (3.5) ne deriva che sia la variazione di B rispeo al empo con cosane che la variazione di rispeo al empo con B cosane porano al medesimo risulao cioè: 1 Fem µ Φ ( B ) 1 1 B - Bd - d µ µ III Equazione di Mawell (3.5.1) ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ro è un operaore funzionale agene sul generico veore A corrispondene all indicazione di quano A ruoi aorno ad un puno. Esso è definio da: A A A A z A z A roa i j + k z + z dove i j e k rappresenano i versori degli assi caresiani..z ed Ai sono le componeni del veore A secondo z. Ricordando che operaore Nabla è la somma delle derivae parziali di A secondo gli assi (vedere (1.8)) si ha:
roa A (3.6) Il Teorema del Roore noo come eorema di Klein afferma che: l inegrale del roore di un veore A eseso alla superficie S uguaglia l inegrale di linea chiusa di A lungo una linea L cosiuene il confine di S. Ads S ro Adl (3.7) L Mediane ale Teorema è possibile rasformare un inegrale di linea (L) in un inegrale di superficie per cui la (3.3) Fem E dl diviene ro Ed e quindi: L Fem L 1 B E dl ro Ed d µ per la (3.5.1) ovvero: roe E 1 µ B III Equazione di Mawell avendo uguagliao le funzioni inegrande soo il medesimo campo d inegrazione cioè. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- La quara Equazione La IV Equazione corrisponde alla sinesi della Legge di Farada-Neumann con la Legge di Ampere che afferma: l inegrale lungo una linea chiusa del Campo Magneico è uguale alla somma delle correni con essa concaenae. Bdl µ in µ I (4.1) L n In ermini operaivi: una correne I genera un campo magneico le cui linee di forza sono concaenae con il conduore in cui circola I. (FIG:4a) La correne è cosiuia dal flusso ordinao dei poraori di carica (per un conduore solido eleroni) araverso una superficie e nell unià di empo: dalla (1.5) Q i (4.) Q Φ ( E ) per cui Q Φ( E ) ε ε
derivando rispeo al empo: Ma: i s Q Φ( E Q i per la (4.) quindi: Φ( E ) definia correne di sposameno (4.3) Si consideri ora un circuio in cui vi sia un condensaore; si rileva sperimenalmene che durane la fase di carica e scarica dello sesso ai sui erminali si rileva una correne. (FIG. 4b). Mawell sabilisce che: anche nel vuoo esise una correne di sposameno generaa dalla variazione nel empo del campo elerico L Bdl µ in µ n I ( E ) + ε (4.4) IV Equazione di Mawell I I B FIG.4a FIG 4b Analogamene alla (3.5.1) che indicava:
ro Ed L E dl (3.5.1) si ha: ro Bd Bdl (4.5) L quindi la (4.4) cioè la IV Equazione in forma inegrale diviene: per la (3.6) Bd ( E ) ro Bdl η I + ε η (4.6) od anche B L η I + ε η ( E ) che rappresena la IV Equazione di Mawell in forma differenziale. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Eleromagneismo e Relaivià Scriveva Alber Einsein nella inroduzione al famoso scrio Elerodinamica dei corpi in movimeno pubblicao nel 195 su Annalen der Phsik E noo che l elerodinamica di Mawell - come la si inerprea aualmene -nella sua applicazione ai corpi in movimeno pora a delle asimmerie che non paiono essere inereni ai fenomeni. Si pensi per esempio all inerazione eleromagneica ra un magnee e un conduore. I fenomeni osservabili in queso caso dipendono solano dal moo relaivo del conduore e del magnee menre secondo l inerpreazione consuea i due casi a seconda che l uno o l alro di quesi corpi sia quello in moo vanno enui rigorosamene disini. Se infai il magnee è in moo e il conduore è a riposo nei dinorni del magnee esise un campo elerico con un cero valore dell energia che genera una correne nei posi dove si rovano pari del conduore. Ma se il magnee è in quiee e si muove il conduore nei dinorni del magnee non esise alcun campo elerico e si ha invece nel conduore una forza eleromorice alla quale non corrisponde nessuna energia ma che a parià di moo relaivo nei due casi considerai dà luogo a correni eleriche della sessa inensià e dello sesso andameno di quelle alle quali da luogo nel primo caso la forza elerica. Analogamene si esprimeva R. Fenmann:... la "regola del flusso" per cui la forza eleromorice in un circuio è uguale al asso di variazione del flusso magneico araverso il circuio si applica quando il cambiameno del flusso è dovuo alla variazione dell'inensià del campo oppure al movimeno del circuio sesso (o enrambi i casi) [...] Nella nosra spiegazione della regola si erano uilizzae due leggi compleamene disine per i due casi: quando il circuio "si
B muove" e E per i "cambiameni del campo". Non si conoscono alre localià della fisica in cui la reale comprensione di un così semplice ed accurao principio generale richieda l'analisi di due fenomeni disini. E ineressane noare che le variazioni nel empo del campo elerico possono derivare sia dalla variazione dell inensià del flusso di B (Ф(B) che da una variazione dell area araversaa da B. Cosa accade se il circuio con cui è concaenao il flusso è geomericamene invariane cioè se d è idenicamene nullo e conemporaneamene è nullo db è sabilio dalla Legge di Lorenz: F q( E + vb) (5.1) Una chiara illusrazione del fenomeno è fornia da Eleromagneismo e Relaivià in www. fisicamene.ne Equazione di D Alember Per una immediaa comprensione del comporameno delle onde eleromagneiche è opporuno fare riferimeno a quello della corda vibrane per procedere successivamene alla sua esensione al caso ridimensionale. Si consideri una corda vibrane ed in funzione della modesa enià della deformazione della sua geomeria rispeo all andameno reilineo si ammeono le segueni approssimazioni: ds d arco differenziale di curva differenziale della sua ascissa g α senα d/d. Si considerino due puni di ascissa e +d e si calcolino le componeni vericali della ensione T della corda in dei puni. Con riferimeno a (FIG 5) si ha : - puno di ascissa : - T -T senα -Tagα T dove il segno meno deriva dall orienameno dell asse d - puno di ascissa + d T T agβ T d + T d T Nel rao ds d il peso della corda è: ρds.g ρ d con g accelerazione di gravià + d
ρ densià della corda accelerazione vericale g Il bilancio delle forze vericali è allora: T d + + d d T T d d ρ (6.1) che dopo ovvie semplificazioni diviene: T ρ (6.) Equazione di D Alember Una esensione della Equazione di D Alember al caso ridimensionale pora a : ( ) ( ) ( ) ( ) z A k A z z A z A z A + + (6.3) dove: K coefficiene funzione dei parameri criici del sisema α T T +d FIG.5 β
A veore rappresenane il modulo della inensià dell onda La equazione delle onde eleromagneiche Esendendo al Campo Elerico ed al Campo Magneico lì Equazione d onda si oiene: E E ( εµ ) (7.1) B B ( εµ ) (7.) L inegrazione della equazione differenziale del II ordine quale la (7.1) e la (7.) è saa risola dallo sesso D Alember mediane la sosiuzione delle variabili e soprauo osservando che qualsiasi auofunzione è soluzione dell equazione. Si definisce Auofunzione una equazione che sooposa ad un operaore differenziale riorna idenica a se sessa a meno al più di una cosane. Tipico esempio è la funzione: e k e dove: k e k k e e k ke Anche le funzioni rigonomeriche sen e cos sono Auofunzioni rispeo all operaore differenziale così come lo è la loro combinazione lineare. Peralro derivare la equazione delle onde eleromagneiche dalla equazione di D Alember non è correo poiché presuppone che sia E che B presenino comporameno ondulaorio; affermazione da dimosrare. Lo sesso Mawell si rese cono dell esisenza delle onde eleromagneiche derivandone l esisenza dalla 4 equazioni di campo k Analizzando il comporameno di E e di B nel vuoo si noa che in assenza di I e di Q (che logicamene sono I e Q ) le Equazioni di Mawell divengono: E I Equazione. B II Equazione
B E III Equazione E B µ ε IV equazione Per semplicià esposiiva si consideri la propagazione unidirezionale secondo l asse per un onda polarizzaa secondo il piano z oenendo per la III e la IV Equazione: E B B E e εµ sosiuendo nella I equazione la funzione db/d con εμde/d ( dalla II Equazione) si oiene: E E εµ e derivando nuovamene rispeo ad (noando che E E() per la non sazionarieà di E consideraa) E E ( εµ ) (7.3) ed analogamene per B B B ( εµ ) (7.4) La (7.3) e la (7.4) sono esaamene ideniche alla (7.1) e (7.) La soluzione generale delle Equazioni (7.1) e (7.) è: Φ () F(+c) + G(-c) dove F e G sono auofunzioni arbirarie. Nel caso di onda monodirezionale secondo l asse ed armonica F e G divengono funzioni rigonomeriche: Φ () A cos(+c) + B sen(-c) (7.5) Derivando due vole la Φ () rispeo ad e rispeo a si verifica facilmene che le due derivae seconde sono ideniche salvo il faore c. La (7.5) è quindi la equazione di un onda eleromagneica polarizzaa secondo al asse z e propaganesi secondo l asse con velocià c 1/εμ. Traasi infai di una soluzione paricolare inuiivamene semplice ed illusrabile graficamene in uno spazio ridimensionale (FIG.6)
Con riferimeno a FIG.6 è racciao in colore rosso l andameno del veore E polarizzao secondo il piano ZX e propaganesi lungo ; in assenza di polarizzazione E verrebbe ad assumere ue le posizioni generae dalla sua roazione (descrie perano dall operaore Ro) aorno all asse e visivamene rappresenae da superfici pseudoconiche affacciae (FIG 6) Analogamene per il veore B che verrebbe a descrivere anch esso una superficie pseudo conica essendo peralro in ogni isane normale ad E. z Veore B Veore E FIG.6 Le Equazioni (7.3) e (7.4) divengono allora: E E (7.6) B B ( εη ) (7.7) Con maggior deaglio si oiene: III Equazione di Mawell E B
IV Equazione di Mawell E B µ ε Applicando l operaore alla II Equazione si oiene: ( ) ( ) B B B E E Riassumendo: ( ) B E (7.8) Dalla IV Equazione E B µ ε quindi la (7.8) diviene: E E η ε ossia E E µ ε e analogamene per B B B µ ε Per un onda unidirezionale polarizzaa nel piano ZX per E e nel piano XY per B si ha: E E η ε B B µ ε La figura che segue indica l andameno dei veori E e B nonché la direzione di propagazione dell onda eleromagneica. -------------------------------------------------------------------------------------------------------
z Veore E Veore B