UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BOLOGNA FACOLTÀ DI ECONOMIA - SEDE DI RIMINI MATEMATICA PER LE APPLICAZIONI TURISTICHE ANNO ACCADEMICO 1 11 Cognome n. di matricola Nome Voto Esercizio 1 Le vendite mensili stimate di album da colorare sono date dalla funzione di domanda espressa come vendite mensili D p 1e 3p p dove p è il prezzo di vendita in euro. (i) se la quantità domandata D p è di album, quale prezzo di deve imporre? (ii) determinare a quale prezzo il ricavo R p pd p è massimo; (iii) determinare l elasticità della domanda. Esercizio Determinare il dominio della funzione: f 3 Esercizio 3 Data la funzione: 3 ln 1 e. f,y,z y 8z 3z y si calcolino gli eventuali punti di massimo e di minimo. Esercizio 4 Data la funzione: f,y 3 8y 3 y si calcolino gli eventuali punti di massimo e di minimo. Esercizio Data la funzione: f,y 7 y si calcolino gli eventuali punti di massimo e di minimo. Esercizio 6 Determinare la retta tangente alla funzione f 3 1 e nel punto Esercizio 7 Stabilire la soluzione del sistema ln 1 e 3 4 e 4 3 16 Esercizio 8 Calcolare il limte lim 3 3 e 3 3 4 Esercizio 9 Determinare il codominio della funzione f ln 3. Esercizio 1 Rappresentare graficamente la funzione f 4 3. Esercizio 11 Domanda sul paper
SOLUZIONI Esercizio 1 (i) D p 1e 3p p e 3p p 1 3p p ln 1 p.34 euro (ii) R p pd p 1pe 3p p R p e 3p p 6p 1p 1 p, MAX (iii) Esercizio, Esercizio 3 Gradiente: E D p p D p 1e 3p p 6p 1 p 1e 3p p f,y,z y 8z 3z y p 6p 1 f,y,z f,y,z y f,y,z z y 8z y 8 6z y z soluzione P,, Hessiana: H 8 8 6 M 1 ;M 4 P,, sella. Esercizio 4 f,y 3 8y 3 y Gradiente: f,y,z f,y,z y 6 4y 4y y 6y 1 soluzioni P 1, P, 1 6 Hessiana: H 6 48y 4 H P 1, 6 4 M 1 6;M 4 P, minimo H P, 1 6 6 4 M 1 6;M 4 P, 1 6 Esercizio sella.
f,y 7 y Gradiente: f,y,z f,y,z y 7 y 7 y y 7 sol reali Non vi sono puntida classificare. Esercizio 6 P,1 f 3 1 e f 3 e 3 1 e 1 f y 1 y 1 Esercizio 7, Esercizio 8 lim 3 3 3 3 e 4 Esercizio 9 y 7.. -4-4 -. - -7. codominio y,. Esercizio 1 Dominio: 3 3,3 3, assi: y 4 3 y 4 3 A, 4 3 y 4 3 A, B, Asintoti:
lim 4 3 3 ; lim 4 3 3 3 asintoto verticale lim 4 3 ; lim 4 3 MaMin: f 3 4 1 3 6 4 3 6 f MAX 6, 6 3 6 4 min 6, 6 3 6 4 y 1. - -.. 7. 1-1. -
ESERCIZI VARI 1) Determinare il dominio della funzione f ln,, ) Determinare la retta tangente alla funzione f P, f 1 1 ln 1 1 1 ln 1 1 nel punto. f y y 3) Calcolare lim 3 3 4 8 3 limite 1 4) Data la funzione f:r³ R definita da f 1,, 3 1 1 3 3 3 3 sicalcolino i puntidi massimo o di minimo. Gradiente: f 1,, 3 1 1 f 1,, 3 1 4 1 f 1,, 3 3 6 3 6 3 1 1 8 1 1 6 3 3 1 soluzioni P 1 1 7, 7,, P 1 7, 7,1. Hessiana: H 1 1 4 1 3 6 M 1 M 1 1 4 7 P 1 1 7, 7, M 3 1 1 4 6 4 ;sella P 1 7, 7,1 M 3 1 1 4 6 4 ;minimo ) Data la funzione di domanda D p 1ln p calcolarne l elasticità. E D p p D p 1 p. p p 1ln p 1 ln p 6) Data la funzione di domanda D p e p si determini per quale prezzo p il ricavo è massimo.
R p pe p R p e p pe p 1 e p 1 p p ma in p 7) Disegnare la funzione f 4 y 7.. -4-4 -. - -7. 8) Risolvere ln 1 1 9) Calcolare la derivata della funzione u q 3q q q u q 3 q q 6q q q 1) Data la funzione f:r³ R definita da f 1,, 3 1 e 1 3 sicalcolino i puntidi massimo o di minimo locale. f 1,, 3 1 3 e 1 3 f 1,, 3 1 e 1 3 f 1,, 3 3 1 e 1 3 11) Stabilire in quanti punti si intersecano le funzioni f e e g ln 1 volte q
y 4 - -.. - 1) Stabilire gli intervalli di convessità della funzione V p 1e 1 p V p 1 1e 1 p V p 1 1 1e 1 p 3e 1 p La funzione è sempre convessa. 13) Si stima che domanda di un certobene dipenda dal prezzo p praticatodal venditore secondo la relazione D p 4 e p/1 p (i) si determini il prezzo p da praticare in modo tale che la quantità domandata D p sia uguale a ; (ii) indicato con R p pd p il ricavo in funzione del prezzo p praticato dal venditore, si determini per quale prezzoil ricavo è massimo; (iii) sicalcoli l elasticitàdella funzione di domanda. (i) D p 4 e p/1 e p/1 1 p/1 ln 1 p 1.4 (ii) R p p4 e p/1 R p 4 e p/1 4p e p/1 4 e p/1 1 p 1 1 1 p 1 (iii) ma in p 1 E 4 e p/1 1 1 p 4 e p/1 p 1 14) Si rappresenti graficamente la funzione f 1 Dominio:
1 1,1 1, assi: y 1 O, y y 1 y, 1 A 1, Asintoti: lim 1 1 ; lim 1 1 1 asintoto verticale lim 1 ; lim 1 lim ; lim 1 3 y 3 asintoto obliquo MaMin: f 1 4 1 1 1 4 1 1 6 f 4 1 1 MAX 6, 3 13 6 min 6, 13 6 3 y 1 1 -. -1. 1.. -
1) Si consideri la funzione di due variabili: f 1, 7 1 4 1 (i) Si calcoli il gradiente f,y della funzione f e si trovino gli eventuali punti stazionari. (ii) Si dica, motivando, se la funzione f ammettepuntidi massimo o di minimo locale. Gradiente: soluzione P,. Hessiana: f 1, 1 7 8 1 f 1, 7 1 H 8 7 7 M 1 8, può essere massimo o sella M 8 7 7 6 sella 16) Si stima che domanda di un certobene dipenda dal prezzo p praticatodal venditore secondo la relazione D p 3 36 p : (i) si determini il prezzo p da praticare in modo tale che la quantità domandata D p sia uguale a 3; (ii) indicato con R p pd p il ricavo in funzione del prezzo p praticato dal venditore, si determini per quale prezzoil ricavo è massimo; (iii) sicalcoli l elasticitàdella funzione di domanda e sidica per quali valori del prezzotale funzione di domanda risulta elastica. (i) (ii) D p 3 36 p 3 36 p 7 p 3 R p 3 36 p p p 3 3 36 p 3 36 p p 3 3 36 p p 18 ma in p 18 (iii) E p 3 3 36 p p 3 36 p p 3 36 p 1 17) Della funzione f e 1 si rappresenti il grafico. Il dominio della funzione f è il seguente: f e 1
,, I limiti agli estremi del campo di esistenza sono i seguenti: lim e 1 lim e 1 lim e 1 e 1 F.I. lim e 1 1 H lim e 1 1 1 lim e 1 lim e 1 e 1 La derivata della funzione f è : asintoto verticale destro f e 1 e 1 1 e 1 1 1 1 1 e 1 mai 1 f e 1 1 1 La funzione f ammette un punto di minimo in 1,e ed è crescente prima di zero e dopo uno. Il grafico qualitativo di f è il seguente y 1 7.. - -.. -. - Grafico di f() 18) Data la funzione di tre variabili f 1,, 3 1 4 4 1 3 3 (i) si calcoli il gradiente f 1,, 3 della funzione f e si trovino gli eventuali punti stazionari. (ii) sidica, motivando, sela funzione f ammettepuntidi massimo o di minimo locale. (i) Il gradiente 1,, 3 è il seguente
f 1,, 3 4 1 3 4 1, 4 3 1, 3 4 1 3 4 1 4 3 1 3 4 1 1 4 3 3 3 1 1 ; 1 3 9 3 da cui si ottiene che i punti stazionari sono,,1, 1, 1,1 1, 1,1. (ii) La matrice Hessiana H 1,, 3 è la seguente: H 1,, 3 1 1 4 4 1 4 1 1 4 1 4 1 4 1 H 1, 1,1 4 1 6,,1 non classificabile 1, 1,1 minimo 1, 1,1 minimo 19) Si consideri la funzione di due variabili: f 1,, 3 1 3 1 3 (i) Si individui il dominio di f. (ii) Si calcoli il gradiente f 1,, 3 della funzione f e si trovino gli eventuali punti stazionari. (iii) Si calcoli la matrice Hessiana e si dica, motivando, se la funzione f ammettepuntidi massimo o di minimo locale. (i) Il gradiente 1,, 3 è il seguente f 1,, 3 3 1, 1, 3 3 1 1 3 3 1 1 9 1 4 9 1 1 4 3
3 1 1 ; 1 3 9 3 da cui si ottiene che l unico punto stazionario è 1,, 3 3 9,3 3 9 (ii) La matrice Hessiana H 1,, 3 è la seguente:,. H 1,, 3 6 3 1 1 1 4 3 H 1,, 3 4 3 1 1 4 Dato che: M 1, M e M 3 si deduce che il punto 1,, 3 è punto di minimo locale. ) Si consideri la funzione di due variabili: f,y 3 y y (i) Si calcoli il gradiente f,y della funzione f e si trovino gli eventuali punti stazionari. (ii) Si calcoli la matrice Hessiana f,y e si dica, motivando, se la funzione f ammette punti di massimo o di minimo locale. (i) Il gradiente f,y è il seguente f,y 6 y 1, y 6 y 1 y 6y y 1 y 1 4 y da cui si ottiene che l unico punto stazionario è,y 1,- 1. 4 4 (ii) La matrice Hessiana H,y è la seguente: 6 H,y
Dato che: M 1 6 e M 1 4 8 si deduce che il punto,y è punto di minimo locale 1) Determinare e classificare i punti critici della funzione f : R 3 R definita da: f 1,, 3 3 3 6 1 1 3 3 Gradiente: f 1,, 3 1 3 1 f 1,, 3 3 1 f 1,, 3 3 3 1 1 3 1 3 4 4 1 1 1 3 1 4 1 1 3 soluzioni P 1 1,, 3 3 Matrice Hessiana:, P 1 3, 4, 3. H 1 6 1 1 M 1 P 1 1 3,, 3 M 1 4 M 3 1 1 1 36 ;minimo P 1 1 3, 4, 3 M 1 4 sella 1) Classificare i punti critici della funzione: Gradiente: f 1,, 3 1 3 3 1 3 3
f 1,, 3 1 3 1 6 1 f 1,, 3 3 f 1,, 3 3 1 1 3 1 1 3 1 P 1, 1,,P, 1,. Hessiana: H 6 1 6 1 1 H P 1 6 1 M 1 6 M 1 1 M 3 6 P 1, 1, sella H P 6 1 M 1 6 M 1 1 M 3 6 P, 1, sella ) Calcola le derivate delle seguenti funzioni: f ln 3 8 f ln e f ln 7 3 f 3 8 3 1 f ln 1 e f ln 7 Risposte f ln 3 8 f ln e f ln 7 3 f 3 8 3 1 f ln 1 e f ln 7 3 3