INTERFERENZA - F. Due onde luminose in aria, di lunghezza d onda = 600 nm, sono inizialmente in fase. Si muovono poi attraverso degli strati di plastica trasparente di lunghezza L = 4 m, ma indice di rifrazione diverso; la prima onda passa attraverso lo strato con n =.42, la seconda onda attraverso lo strato con n 2 =.56. a) Qual è la loro differenza di fase, in gradi, radianti e frazione di lunghezza d onda, all uscita degli strati di plastica? b) Se le onde convergono poi in un punto comune, che tipo di interferenza subiscono? SOLUZIONE. Le onde sono inizialmente in fase, e quindi rappresentate dalla stessa equazione: x y Asin( kxt) Asin t L ma successivamente si muovono in mezzi di indice di rifrazione diverso, nei quali le onde hanno diversa lunghezza d onda. All uscita degli strati plastici, quindi, si ritrovano non più in fase. Consideriamo ad esempio l istante t = 0 s e l origine dell asse x all inizio degli strati (vedi figura); in questo modo entrambe le onde hanno fase ( kx t) 0 all istante dell ingresso nei due mezzi. Poiché la lunghezza d onda in un mezzo m è inversamente proporzionale 0 all indice di rifrazione del mezzo n m si ha n / n 600/.42 423 nm ; / n 600/.42 385 nm m m 2 2 La fase dell onda all uscita del mezzo di indice di rifrazione n sarà (k L t), dove 6 kl L 40 59.4 rad 9 4230 mentre la fase dell onda 2 all uscita del mezzo con n 2 è (k 2 L t), dove 6 k2l L 40 65.3 rad 9 2 3850 La differenza di fase è perciò (65.3 59.4) rad 5.9 rad = 5.980/ 338. Dato che una differenza di fase di 2 corrisponde a una lunghezza d onda, si ottiene in questo caso: 5.9 : : 0.94 Dai risultati precedenti si vede che la differenza di fase in radianti è molto vicina a 2, quindi le due onde quando si incontrano sono praticamente in fase: l interferenza risultante sarà quindi costruttiva. n n 2 x F2. La risoluzione angolare dell occhio umano è pari a circa 0.0003 rad. Qual è, all incirca, la minima distanza tra le due fenditure di un esperimento di Young, nel quale si utilizza luce con lunghezza d onda = 589 nm, che consenta all occhio di vedere direttamente le frange di interferenza? (A).0 mm (B) 2.0 mm (C) 3.4 mm (D) 6 nm (E) 4. m SOLUZIONE. Detta d la distanza tra le fenditure, due consecutive frange di interferenza sono viste sotto l angolo /d. Posto = 0.0003 rad si ottiene d.96 mm 2 mm
F3. L occhio umano ha una risoluzione di circa ' (un primo di grado) e un osservatore a distanza D = 3 m da due fenditure di Young riesce a malapena a distinguere le frange di interferenza prodotte direttamente sulla retina da luce con = 500 nm. La distanza delle fenditure è di circa (A).0 mm (B).4 mm (C).7 mm (D) 2. mm (E) 2.8 mm SOLUZIONE. Detta d la distanza tra le fenditure, due consecutive frange di interferenza sono viste sotto l angolo /d. Posto = /60 si ottiene F4. In un esperimento per lo studio dell interferenza della luce, due raggi luminosi, propagantisi in aria e prodotti dalla stessa sorgente laser di lunghezza d onda nel vuoto pari a = 540 nm, vengono fatti convergere su un punto di uno schermo e si osserva una macchia luminosa. Quando sul percorso di uno dei raggi viene interposto un sottile foglio di plastica trasparente (indice di rifrazione n =.60) la macchia luminosa scompare completamente. Qual è lo spessore minimo s min del foglio di plastica? SOLUZIONE. Il foglio di plastica fa sì che tra le due onde si crei interferenza distruttiva, cioè che la loro differenza di fase sia un numero dispari di radianti. Lo spessore minimo del che soddisfa questa condizione risolve l equazione ( ) F5. Due onde elettromagnetiche di uguale ampiezza A e di frequenza = 500 MHz, emesse in fase da due sorgenti, raggiungono un rivelatore posto a uguale distanza dalle sorgenti stesse. Se una delle due onde attraversa uno strato dielettrico spesso s = 2 m con r 4, l ampiezza misurata dal rivelatore è: (A) A (B) 0 (C) 2A (D) A/2 (E) SOLUZIONE. L indice di rifrazione è legato alla costante dielettrica del mezzo dalla relazione dove v è la velocità della luce nel mezzo. In questo caso, n = 2. Nel tratto di dielettrico attraversato da una sola onda, questa acquista rispetto all altra una differenza di fase pari a ( ) cioè, in termini di lunghezze d onda Le due onde restano quindi in fase e l ampiezza misurata dal rivelatore è la somma delle loro ampiezze. F6. Se una luce con lunghezza d onda = 5(0 7 ) m passa attraverso due fenditure distanti d = mm, che distanza x max vi sarà tra il massimo centrale e il primo massimo laterale sopra uno schermo a distanza L = m dalle fenditure? 2
(A) 5(0 4 ) m (B) 5(0 0 ) m (C) 2(0 3 ) m (D) 2(0 4 ) m (E) 2(0 0 )m SOLUZIONE. Con riferimento alla trattazione del fenomeno dell interferenza, la distanza tra il massimo centrale e il primo massimo laterale è pari a F7. Una luce laser con = 550 nm produce sopra uno schermo, posto a distanza L = 2 m da due fenditure, frange di interferenza luminose separate da x,max = 8.3 mm. La luce di un altro laser, passando attraverso le stesse fenditure, produce sul medesimo schermo frange luminose separate da x 2,max = 7.6 mm. La lunghezza d onda del secondo laser è circa (A) 46 nm (B) 504 nm (C) 550 nm (D) 60 nm (E) 656 nm SOLUZIONE. La distanza tra due massimi consecutivi (interferenza costruttiva) è espressa dalla relazione F8. Una sorgente di luce con lunghezza d onda in aria pari a circa = 589 nm (caratteristica delle luce gialla delle lampade al sodio) illumina due fenditure parallele; sopra uno schermo distante L 0.9 m le frange luminose adiacenti sono distanti y 0.5 mm. La distanza d tra le due fenditure vale (A) 4.3 mm (B) 3.4 mm (C) 282 m (D) 0.098 m (E) 3.5 mm SOLUZIONE. La distanza tra due massimi consecutivi (interferenza costruttiva) è espressa dalla relazione F9. Una figura di diffrazione da singola fenditura si osserva su uno schermo posto alla distanza L = m da una fenditura di larghezza a = 2 mm illuminata con luce di lunghezza d onda λ = 500 nm. La semilarghezza del massimo, cioè la distanza D fra la posizione del massimo centrale e il primo minimo, vale (A).430 2 mm (B) 4.000 3 mm (C) 0.25 mm (D) 0.5 mm (E) SOLUZIONE. Con riferimento alla trattazione del fenomeno della diffrazione e alla figura, indicando con min l angolo che individua la semilarghezza del massimo si ha: ( ) y a 0 L ( ) ( ( )) 3
F0. La distanza tra il primo e il quinto minimo di una figura di diffrazione da singola fenditura è d 5 = 0.35 mm e lo schermo dista dalla fenditura L = 40 cm. Se la lunghezza d onda della luce incidente è pari a λ = 550 nm, determinare: a) la larghezza a della fenditura; b) l angolo di diffrazione relativo al primo minimo. SOLUZIONE. (a) Con riferimento alla trattazione del fenomeno della diffrazione, dividiamo la fenditura a metà e facciamo interferire tra loro coppie di raggi distanti d/2. Indicando con l angolo che individua la posizione del primo minimo e imponendo che la differenza di cammino ottico tra due raggi valga radianti si ha: ( ) ( ) Indicando con 5 l angolo che individua la posizione del quinto minimo e imponendo ora che la differenza di cammino ottico tra due raggi valga 5 radianti si ha: ( ) ( ) Deve quindi essere: ( ( ) ( )) ( ) (b) Utilizzando la prima relazione troviamo ( ) F. Un fascio di luce laser di lunghezza d onda = 556 nm incide su una apertura circolare di diametro d =.2 mm. A quale distanza L dall apertura si deve collocare uno schermo affinché il primo minimo della figura di diffrazione cada alla distanza D = 24 mm dal centro della figura? (A) m (B) 42 m (C) 3.5 m (D) 4.3 m (E) SOLUZIONE. Indicando con l angolo che individua la posizione del primo minimo rispetto al centro della fenditura si ha, in caso di fenditura circolare (che non è stato trattato a lezione: si riporta solo la relazione fondamentale, dove il fattore.22 dipende dal fatto che la fenditura è circolare): ( ) ( ) F2. Determinare quale diametro deve avere un telescopio affinché distingua le due immagini di una stella doppia, separate da una distanza angolare di 3.6(0 6 ) rad, se osservate attraverso un filtro che trasmette luce di lunghezza d onda = 460 nm. (A) 5.6 m (B) 2.8 mm (C) 5.6 cm (D) 5.6 mm (E) SOLUZIONE. Indicando con la distanza angolare tra le due immagini della stella doppia e con d il diametro del telescopio si ha (il problema non è stato trattato a lezione: si riporta solo la relazione fondamentale, dove il fattore.22 dipende dal fatto che la lente del telescopio è circolare, vedi esercizio 2): 4
F3. Due onde piane e polarizzate lungo x si propagano nel vuoto lungo l asse y. In un punto P i loro campi elettrici sono rappresentati da Ex ( t) 5V/m cos t, Ex2( t) 8V/m cos t con = 0 5 /s e = 90. L intensità della radiazione in P è di (A) 8 mw/m 2 (B) 65 mw/m 2 (C) 43 mw/m 2 (D) 26 mw/m 2 (E) 2 mw/m 2 SOLUZIONE. La direzione di polarizzazione coincide con quella dell oscillazione del campo elettrico: entrambi i campi elettrici oscillano perciò lungo l asse x. Nel punto P, l intensità della radiazione è proporzionale al valore quadratico medio dell oscillazione somma: ( ) ( ( ) ( )) [ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ] ( ) F4. In un punto P dello spazio i campi elettrici di due onde piane quasi parallele polarizzate lungo V V y sono descritti dalle equazioni E y 30 cos t, E2 y 40 cos t con = 0 e m m = 3.4(0 5 ) s. L intensità luminosa in P vale (A) 0.3 W/m 2 (B).07 W/m 2 (C) 3.32 W/m 2 (D) 4.9W/m 2 (E) 6.50 W/m 2 SOLUZIONE. Analogamente al problema precedente si ha ( ) ( ( ) ( )) [ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ] ( ) 5