LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA Prof. Francesco Marchi 1 Esercitazione su: la parabola nel piano cartesiano Indice 1 Parabola [3] 1.1 Associazione grafico-equazione................................. 1. Applicazione di formule..................................... 1..1 Determinazione di vertice, fuoco, direttrice, assi, intersezioni con gli assi cartesiani 1.3 Applicazione di metodi standard................................ 4 1.3.1 Mutua posizione di retta e parabola.......................... 4 1.3. Tangenti condotte ad una parabola da un punto esterno............... 4 1.3.3 Formula di sdoppiamento per le tangenti........................ 4 1.4 Problemi di determinazione dell equazione........................... 4 1.5 Problemi geometrici vari..................................... 5 1.5.1 Esercizio 1........................................ 5 1.6 Problemi in cui è necessario introdurre un incognita..................... 5 1.6.1 Esercizio 1........................................ 5 1.6. Esercizio........................................ 5 1.7 Dimostrazioni........................................... 5 1.7.1 Esercizio 1........................................ 5 Riferimenti bibliografici 5 1 Per altri materiali didattici o per informazioni: Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/ Indirizzo email: fra.marchi@yahoo.it 1

1 Parabola [3] 1.1 Associazione grafico-equazione Si considerino le parabole rappresentate nei grafici di Figura 1. Abbinare tali grafici alle equazioni seguenti (es.: 1D, C... ): 3x = y 10x 1 (1) 3x + 1 = 10x y () y = 1 0 x 1 x + 1 (4) x y 5 = 0 (5) 1 = 10x + y 3x (3) y = x + 5 (6) 1. Applicazione di formule 1..1 Determinazione di vertice, fuoco, direttrice, assi, intersezioni con gli assi cartesiani Per le parabole elencate qui di seguito: determinare vertice, fuoco, direttrice, assi, intersezioni con gli assi cartesiani; rappresentarle in un piano cartesiano. y = x + 6x 5 (7) y = x x (8) y = x + 3 (9) y = 1 x 3x + (10) x = 1 y (11) x = 4 y (1) x = y + y 1 (13) x = y 3y (14)

http://francescomarchi.wordpress.com http://francescomarchi.wordpress.com (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 1 3

1.3 Applicazione di metodi standard 1.3.1 Mutua posizione di retta e parabola Si considerino le parabole elencate di seguito e le rette scritte a fianco. Per ciascuna di esse, si determini: se la retta è esterna, tangente o secante; le coordinate degli eventuali punti di intersezione. y = x 4; y = x + 4 (15) y = x x + 1; y = x + 1 (16) y = 1 x ; y = x (17) y = x + 6x + 9; y = 0 (18) y = x 4x; y = x + 1 (19) y = x 1 x; y = 1 x + (0) 1.3. Tangenti condotte ad una parabola da un punto esterno Condurre le tangenti alle parabole elencate qui di seguito, dai punti ad esse esterni, indicati di fianco: y = x 4; P (, 4) (1) 1.3.3 Formula di sdoppiamento per le tangenti y = x x + 1; P ( 1, 1) () Utilizzando la formula cosiddetta di sdoppiamento, condurre le tangenti alle parabole elencate qui di seguito, nei loro punti di ascissa indicata a fianco. Determinare poi l equazione della normale alla parabola in quel punto. y = x 4x; x P = 3 (3) 1.4 Problemi di determinazione dell equazione y = x 3x 1; x P = 1 (4) Nota: i problemi di questa sezione possono essere anche svolti nelle seguenti varianti: Determinare il numero di soluzioni (nessuna, una, due,..., infinite), senza risolvere il problema. Nel caso siano possibili più soluzioni, illustrarne, graficamente, almeno un paio. Illustrare, per punti, la procedura di soluzione dell esercizio, senza svolgere alcun calcolo. Sono contrassegnati con un asterisco quei problemi che ammettono infinite soluzioni e sono, pertanto, indeterminati. 4

Determinare l equazione delle parabole della forma P : y = ax + bx + c che soddisfano le condizioni indicate di seguito. V denota sempre il vertice, F il fuoco, d la direttrice; A, B, P... punti generici; r, s... rette generiche. Passaggio per punti Passante per i punti A(, 3), B(0, 1), C(6, 11). Passante per i punti A(4, 1), B(3, 7), C(4, 5). Passante per i punti A(, 3), B(0, 6). Vertice e un punto: V (0, 0), P (3, ); V (, 1), P (0, 3). Due elementi a scelta: F (1, 1), d : y = 0. V (, 1), F (, 0). V (0, ), d : x = 1. Con condizioni di tangenza: V(-1,); tangente a r : y = x + 3 Tangente all asse x e a r : y = x; passante per P 1.5 Problemi geometrici vari 1.5.1 Esercizio 1 ( ) 1, 1 4 Determina la retta parallela alla bisettrice del II e IV quadrante che stacca sulla parabola di equazione y = x x + 3 una corda di misura 6. 1.6 Problemi in cui è necessario introdurre un incognita 1.6.1 Esercizio 1 Determina i vertici del rettangolo di perimetro 13/ inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione y = x 5x + 4 e dall asse x. 1.6. Esercizio Determina i vertici del rettangolo inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione x = 1 y e dall asse y, avente il lato parallelo all asse y doppio del lato parallelo all asse x. 1.7 Dimostrazioni 1.7.1 Esercizio 1 Si dia la definizione geometrica di parabola. A partire da tale definizione, ricavare l equazione canonica di una parabola nel piano cartesiano. Riferimenti bibliografici [1] Il paesaggio matematico verde. Vol. 3. Fico, M.; Cariani, G.; Mattina, S.; Goglio, S.; LOESCHER, 008 [] Itinerari nella matematica. Vol. 1, Zwirner, G.; Scaglianti, L. CEDAM, 1989. [3] Corso di matematica a colori. Vol. 1, Sasso, L., Petrini, 008 5