Cinematica Velocità Riferimento Euleriano e Lagrangiano Accelerazione Elementi caratteristici del moto Tipi di movimento Testo di riferimento Citrini-Noseda par. 3.1 par. 3.2 par 3.3 fino a linee di fumo escluse La cinematica studia il movimento indipendentemente dalle cause (ovverosia dalle forze) che lo provocano. Nella maggior parte dei casi, un analisi puramente cinematica non permette, evidentemente, di ottenere la soluzione di un dato problema. Gli strumenti cinematici risultano peraltro indispensabili per una corretta ed efficace descrizione del campo fluidodinamico. 2
particella A al tempo t y r A (t) z s particella A al tempo t + t r A (t+ t) x Velocità : grandezza vettoriale v = dr - modulo v = s/ t [m/s] - direzione - verso fissata una terna di riferimento la velocità di un generico punto x, y, z nello spazio e all istante istante t si può esprimere: come vettore velocità v = v( x, y,z,t) come somma di componenti di velocità dx dy u ( x, y, z, t) = ; v( x, y, z, t) = ; w( x, y, z, t) = dz b1 Un campo di moto fluido è compiutamente descritto dal punto di vista cinematico quando sia noto il vettore velocità in ogni punto del campo (definito dal vettore r, ovvero dalle sue componenti cartesiane x,y,z) al variare del tempo (t); ogni altra grandezza cinematica (accelerazioni, spostamenti, deformazioni, traiettorie, ) può essere dedotta per derivazione o integrazione del campo di velocità. Come ogni grandezza vettoriale la velocità può essere descritta in termini delle sue tre componenti scalari, anch esse funzioni dello spazio e del tempo. Viene usualmente indicata con s l ascissa curvilinea lungo la traiettoria; il modulo della velocità risulta, conseguentemente, pari a s/ t. 3
Descrizione Lagrangiana il movimento del fluido è descritto seguendo la storia di ogni singola particella di fluido e descrivendone le caratteristiche in funzione dei suoi spostamenti e del tempo. Descrizione Euleriana il movimento del fluido è studiato descrivendone le caratteristiche come funzione dello spazio e del tempo. Le grandezze vengono osservate in punti fissi nello spazio, al variare del tempo. sistema materiale volume di controllo derivata temporale sostanziale (derivata totale) d derivata temporale locale (derivata parziale) t formulazione classica delle leggi fisiche??? formulazione delle leggi fisiche???? b2 Per la definizione di ogni grandezza del campo fluidodinamico possono essere utilizzati due diversi approcci. La descrizione Lagrangiana identifica un sistema materiale (particella, insieme di particelle, corpo rigido, ) e ne segue gli spostamenti nello spazio; in ogni istante e per ogni punto materiale sono descritti i valori delle grandezze di interesse e la posizione del punto medesimo, ottenendo una completa descrizione spazio-temporale del campo. Nella descrizione Euleriana, viceversa, si identifica un riferimento geometrico (punto, volume) fisso nello spazio, e se ne descrive i valori delle grandezze di interesse in ogni istante; a causa del movimento, però, i diversi valori per i diversi tempi sono riferiti a punti materiali (particelle fluide) diverse. Da un punto di vista matematico la differenza fra i due approcci si evidenzia nei soli termini contenenti derivate temporali: data una grandezza G, la sua derivata sostanziale (totale) rispetto al tempo considera la variazione di G di una medesima particella al variare del tempo, e quindi i valori di G negli istanti t e t+ sono riferiti a posizioni spaziali diverse a causa del contemporaneo spostamento della particella; la derivata locale (parziale), invece, considera la variazione di G di un medesimo punto geometrico, e quindi i valori di G negli istanti t e t+ sono riferiti alla medesima posizione spaziale ma a diverse particelle. Le leggi della fisica (conservazione della massa, bilanci di quantità di moto, conservazione dell energia, ) vengono tipicamente formulate per un sistema materiale, ovverosia in un riferimento Lagrangiano. Per lo studio della fluidodinamica, però, risulta di solito più vantaggiosa una descrizione Euleriana: a causa della possibilità di deformazioni illimitate, nello studio dei fluidi risulta complesso seguire la storia delle diverse porzioni di materia, e conviene invece fissare l attenzione su punti (linee, superfici, volumi) prefissati a priori nello spazio. Si pone allora il problema di trasferire le usuali formulazioni della fisica da un riferimento Lagrangiano ad un riferimento Euleriano. 4
Accelerazione : grandezza vettoriale - modulo [m/s 2 ] - direzione - verso a d v ( x() t, y() t, z() t, t ) = accelerazione = derivata sostanziale della velocità s 2, t 2 s 3, t 3 s 1, t 1 v = v( x, y, z, t ) r = r( t ) [ x=x(t) ; y=y(t) ; z=z(t) ] v = v( s ) = v( s(t) ) lungo la traiettoria b3 Un importante caso di trasferimento delle formulazioni matematiche da riferimento Lagrangiano a riferimento Euleriano si pone in relazione al calcolo del vettore accelerazione. Tale vettore è definito come derivata temporale sostanziale della velocità: nella legge fondamentale della meccanica F = ma, infatti, si considera la variazione nel tempo della quantità di moto di una particella materiale, e non di un punto geometrico. In un campo di moto definito con formulazione Lagrangiana è nota l equazione della traiettoria: r = r(t) definita dalla legge oraria delle coordinate della traiettoria [ x=x(t) ; y=y(t) ; z=z(t) ]. La velocità che la particella assume lungo la traiettoria al variare del tempo risulta funzione della posizione lungo la traiettoria medesima: v = v( s(t) ) In un campo di moto definito con formulazione Euleriana è noto il campo di velocità punto per punto all interno del dominio e in diversi istanti temporali v = v(x, y, z, t) 5
Accelerazione : grandezza vettoriale - modulo [m/s 2 ] - direzione - verso a = d v ( x() t, y() t, z() t, t ) accelerazione = derivata sostanziale della velocità derivata totale o sostanziale derivata locale variazione di velocità nel singolo punto al variare del tempo d v v v dx v dy v dz v v v v a = = + + + = + u + v + w t x y z t x y z accelerazione convettiva (deriva dallo spostamento della particella) riferimento Lagrangiano riferimento Euleriano b4 Per il calcolo dell accelerazione a partire da un campo definito con formulazione Euleriana si deve allora utilizzare la formula sopra indicata, in cui si nota come l accelerazione può essere scomposta in un termine di variazione locale della velocità (variazione nel tempo a parità di punto geometrico ma non di punto materiale) e in un termine detto convettivo, legato allo spostamento del punto materiale (nell intervallo la particella si è spostata di dr, e quindi avverte la variazione spaziale della velocità). La relazione deriva banalmente dalla regola di derivazione delle funzioni composte: nel derivare rispetto al tempo il campo di velocità v( x, y, z, t ) si deve infatti considerare che le coordinate spaziali non sono, in questo caso, variabili indipendenti, bensì dipendono dal tempo seguendo lo spostamento della particella materiale, risultando pertanto : v( x(t), y(t), z(t), t ) Analoga relazione si applica per la derivazione temporale di qualsiasi grandezza scalare o vettoriale: dg/ = G/ t + G/ x u + G/ y v + G/ z w 6
Elementi caratteristici del moto Traiettorie: Luogo dei punti successivamente occupati dalle singole particelle fluide in moto; descrivono la storia di ogni particella in moto. t 1 t 2 t 3 t 4 fotografia t=t 0 Linee di corrente: noto, in un certo istante t=t 0 e in ogni punto del campo, il vettore velocità, la linea di corrente è la curva che in ogni sul punto è tangente al vettore velocità. b5 Sulla base del campo di velocità v( x, y, z, t ) sono definite tutte le caratteristiche cinematiche del campo di moto. La rappresentazione in termini di velocità, per quanto completa, risulta spesso poco espressiva, contenendo una mole ingente di informazioni (tre componenti scalari in quattro dimensioni spazio-temporali). Due possibili rappresentazioni sintetiche del campo di moto sono rappresentate dalle traiettorie e dalle linee di corrente. Le traiettorie sono definite dal percorso tracciato dalle diverse particelle materiali, allo scorrere del tempo; costituiscono pertanto una rappresentazione Lagrangiana del moto. Da un punto di vista matematico possono essere calcolate, sulla base del campo di velocità, integrando l equazione differenziale degli spostamenti (r = vettore posizione): dr = v ( r, t ) Sperimentalmente le traiettorie possono essere visualizzate mediante riprese fotografiche a lunga esposizione di un campo fluidodinamico in cui siano introdotte particelle che, trasportate dal fluido in moto, contrastino rispetto al fluido medesimo. Le linee di corrente sono linee tangenti al vettore velocità ad un dato istante. In generale non coincidono con effettivi percorsi delle particelle materiali, e costituiscono una rappresentazione Euleriana del campo di moto. Possono essere calcolate con l equazione già vista per le traiettorie, avendo però congelato il campo al tempo t=t o. Dal punto di vista sperimentale possono essere visualizzate con riprese fotografiche con opportuni tempi di esposizione che evidenzino, per ogni particella di contrasto, un piccolo spostamento. Per moti permanenti (cfr. prossimo lucido) traiettorie e linee di corrente coincidono. 7
Tipi di movimento dato il campo di velocità : v = v( x, y, z, t) considerando i parametri da cui dipende questa grandezza si possono definire diversi tipo di moto. livelli costanti moto Permanente: è il moto di un fluido nel quale la velocità è indipendente dal tempo v = v x, y, z ( ) moto Uniforme: è il moto di un fluido nel quale la velocità è indipendente dal tempo e dallo spazio v = cost. livelli costanti moto Vario: è il moto di un fluido nel quale la velocità varia sia nello spazio che nel tempo v = v x, y, z, t ( ) (es: immaginiamo di far variare i livelli nel tempo) b6 In alcuni casi è possibile, almeno in prima approssimazione, semplificare l analisi del campo fluidodinamico riducendone i gradi di libertà (variabili indipendenti) spaziali o temporali. Nel caso di moto permanente (o stazionario) il campo fluidodinamico ha caratteristiche costanti nel tempo. Perché ciò sia possibile è necessario che le condizioni al contorno siano costanti nel tempo; tale condizione non è peraltro sufficiente in quanto l instazionarietà del campo di moto può essere dovuta a instabilità interne (scie oscillanti, turbolenza, ). Nel caso di moto uniforme il campo di moto è costante anche nello spazio, oltre che nel tempo. Nella realtà i casi di moto rigorosamente uniforme sono rari e poco significativi; tipica è invece la situazione in cui, esistendo una direzione prevalente nel campo di moto (esempio: flusso in un tubo), la velocità rimane costante lungo tale direzione mentre varia nelle direzioni perpendicolari; spesso si indica anche questa situazione come di moto uniforme. Detta G una qualsiasi grandezza fluidodinamica, la situazione di moto permanente è espressa dalla condizione G/ t = 0. Si noti che non è necessariamente anche dg/ = 0, essendo in generale non nulli i valori dovuti ai termini convettivi. La situazione di moto uniforme aggiunge le condizioni G/ x = G/ y = G/ z = 0, che si riducono alla G/ s = 0 (s = ascissa curvilinea nella direzione del moto) per il caso di moto uniforme lungo la direzione prevalente. Il caso più generale di moto (dipendente dallo spazio e dal tempo) è indicato come moto vario. 8