Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it PROBLEMA E dato un quadrato ABCD di lato AB = a Da A si conduca una semiretta, che incontra il lato BC in E e il prolungamento del lato DC in F. BE DF. i calcoli il rapporto: in funzione di BAˆ E, controllando AB che risulta : f tan cot. i studi la funzione f() e si tracci il suo grafico γ nell intervallo π. i calcoli l area della superficie piana, delimitata dalla curva γ e dalla retta di equazione y. La regione finita di piano delimitata dalla curva γ e dall asse nell intervallo è la base di un solido, le cui sezioni, ottenute con piani perpendicolari all asse, sono tutte triangoli equilateri. i calcoli il volume di. Punto Consideriamo la figura di seguito. RIOLUZIONE Posto BAE ˆ con, poiché il triangolo BAE è rettangolo, applicando il teorema sui triangoli rettangoli BE AB tan a tan ; applicando lo stesso teorema al triangolo ECF si ha
Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it CEF ˆ EC tan a a tan cot acot a CF EC tan per cui DF DC CF a acot a acot. BE DF a tan acot Di conseguenza f tan cot. AB a Punto tudiamo la funzione f tan cot in, Dominio:,, ; tan Intersezione asse ascisse: poiché f tan cot, non tan vi sono intersezioni con l asse delle ascisse in quanto la quantità tan è sempre positiva nel dominio; Intersezione asse ordinate: non ve ne sono in quanto non appartiene al dominio; immetrie: la funzione è dispari in quanto f tan cot tan cot f ed è periodica di periodo T per cui potremmo graficare la funzione in, e poi per la simmetria dispari ricavare il grafico in, ; tan Positività: f tan cot tan tan Asintoti verticali: lim tan cot, lim tan cot, lim tan cot, lim tan cot per cui le rette,, sono asintoti verticali;
Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Asintoti orizzontali e obliqui: non ve ne sono; Crescenza e decrescenza: la derivata prima è f cos ' ; ricordando il dominio cos sin cos sin,, la derivata prima è positiva se f ' cos per cui la funzione presenta un minimo in m, e un massimo in M, Concavità e convessità: la derivata seconda è sin cos sin cos 6sin 6cos f '' e, cos sin sin cos sin ricordando il dominio,,, deduciamo che è positiva se sin ; quindi la funzione ha concavità verso l alto in, e verso il basso in,. Il grafico è il seguente.
Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Punto Calcoliamo le intersezioni della funzione con la retta di equazione y : si tratta di risolvere l equazione tan tan tan tan tan tan tan cui, limitandoci al dominio,,, tan, tan. 6 L area richiesta è tan cot d ln cos ln sin 6 ln cot ln ln 9 9 ln 9 6 Punto L area del triangolo equilatero di lato f tan cot è A per cui il volume richiesto è pari a tan cot 6 da
Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it tan cot tan cot V d d 6 6 cos sin d d cos sin cos sin 6 6 tan cot 6 5
Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it PROBLEMA ia consideri la funzione f ( ). i studi tale funzione e si tracci il suo grafico γ, su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oy.. i scriva l equazione della tangente t alla curva γ nel punto di intersezione con l asse y e si calcoli l area del triangolo che essa forma con gli assi cartesiani.. i calcoli il volume del cono generato da una rotazione completa attorno all asse del succitato triangolo e il volume del solido generato dalla rotazione attorno all asse della porzione di piano, situata nel I quadrante, limitata dalla curva γ e dagli assi cartesiani.. i scelga a caso un punto all interno del cono. i determini la probabilità che tale punto risulti esterno al solido. Punto RIOLUZIONE tudiamo la funzione f ( ) Dominio:, ; Intersezione asse ascisse: f ( ) Intersezione asse ordinate: f immetrie: la funzione non è né pari né dispari; Positività: f ( ) dal momento che il dominio è,; Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto lim Asintoti orizzontali: non ve ne sono in quanto lim Asintoti obliqui: non esistono in quanto lim ; ; 6
Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Crescenza e decrescenza: la derivata prima è f ', e decrescente in, punto ; f ' per cui, quindi la funzione è crescente in pertanto presenta un massimo nel M ; il punto ad ascissa è un flesso a tangente verticale in quanto lim f ' Concavità e convessità: la derivata seconda è 5 f '', per cui la funzione presenta concavità verso il basso tutto il dominio, e non presenta flessi. 7
Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Punto L equazione della tangente nel punto, ha equazione y m con m f ', quindi è pari a y come di seguito raffigurato. La tangente incontra l asse delle ascisse in 6, per cui l area del triangolo formato con gli assi cartesiani è pari a OBOA 6 9. Punto Il cono ottenuto dalla rotazione di OAB attorno all asse ha raggio di base OA ed altezza 6 OB e di conseguenza ha volume pari OA OB V 5. Tale volume è calcolabile anche attraverso la formula di integrazione 8
Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it 9 5 8 9 9 6 6 d V Il volume del solido generato dalla rotazione attorno all asse della porzione di piano, situata nel I quadrante, limitata dalla curva γ e dagli assi cartesiani è pari a d V '. viluppando i calcoli ' 6 9 9 7 9 5 7 V d d Il rapporto tra i volumi è 5 8 5 5 ' V V. Punto La probabilità richiesta è pari a 8 5 8 5 8 ' ' ' V V V V V V V p.
Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it QUETIONARIO Quesito i sa che certi uccelli, durante la migrazione, volano ad un altezza media di 6 metri. Un ornitologa osserva uno stormo di questi volatili, mentre si allontana da lei in linea retta, con un angolo di elevazione di. e un minuto più tardi tale angolo si è ridotto a, con che velocità si stanno spostando gli uccelli? Consideriamo la figura. I triangoli ABC e DAH sono rettangoli per cui applicando il teorema dei seni i lati AB ed AH misurano rispettivamente 9 6 tan6 5, AB BC tan 9 6 tan 7 7, metri e AH DH tan metri. Di conseguenza il percorso compiuto dagli uccelli in un minuto è pari a DC AB AH 7, 5, 6 metri, ad una velocità quindi pari a m s v s 6 m, t 6 s. Quesito La funzione: f non è definita nel punto =, che è e per essa un punto di discontinuità. i precisi il tipo di questa discontinuità, dopo aver esaminato il limite della f() per tendente a zero da sinistra e per tendente a zero da destra. A D H C B
Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Calcoliamo il limite lim f ; il limite destro vale lim e e mentre il limite sinistro vale lim. e e Quindi il punto è di discontinuità di prima specie ed è un punto angoloso per la funzione. Quesito La retta di equazione = 8 seca la parabola di equazione y y nei punti A e B. Fra i rettangoli inscritti nel segmento parabolico di base AB si determini quello che genera il cilindro di volume massimo in una rotazione di 8 intorno all asse della parabola. Consideriamo la figura seguente. La parabola ha asse parallelo all asse delle ascisse di equazione y, interseca l asse delle ordinate nei punti y y e quello delle ascisse in ed ha vertice in V,.
Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Il lato FE del rettangolo DEFG, nel sistema di riferimento cartesiano giace sulla retta di equazione y con per cui le coordinate dei punti D ed E sono rispettivamente, sfruttando la simmetria rispetto alla retta y, E D, 8,, 8 ; i vertici G ed F sono, invece, G F,,,. Il cilindro di volume massimo in una rotazione di 8 intorno all asse della parabola ha raggio di base DE R ed altezza FE h 5 8 ; di conseguenza il volume è pari a h R V 5 con. La massimizzazione del volume la effettuiamo mediante derivazione; la derivata prima è pari a 8 ' V e il segno dei fattori componenti è: 8 Tenendo presente la limitazione deduciamo che ' V per cui la funzione volume è strettamente crescente in, e strettamente decrescente in, ; di conseguenza il volume massimo lo si ha per cui corrispondono i vertici 8,,, 8 E D,, 7,, 7 G F ed un valore massimo pari a 8 ma V V.
Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Quesito i determini il campo di esistenza della funzione: cos f ( ) cos sin. Cosa succederebbe se l esponente fosse sin? Il dominio della funzione f ( ) cos sin cos è dato da: cos sin cos sin. cos cos sin è equivalente a La disequazione cos cos. Poiché cos cos cos cos la disequazione è soddisfatta se cos ; poiché la funzione coseno è limitata ed assume valore massimo unitario la disequazione cos non è mai verificata. cos sin Il sistema, invece, è equivalente a cos cos cos ed è verificato dagli tale che cos e cioè cos da con Z. In conclusione, mettendo assime le soluzioni, il dominio di f ( ) cos sin cos è D con Z. e l esponente fosse sin il sistema diventerebbe cos cos e i valori per cui cos sono quelli per cui sin sin ; di conseguenza il sistema non avrebbe soluzioni e la funzione f ( ) cos sin reale. sin non avrebbe senso per nessun valore
Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Quesito 5 i calcoli il valore medio della funzione f ( ) e ( ), nell intervallo. Il valor medio di una funzione f in b a, è VM f d. b a Nel caso in esame VM e ( ) d ; applicando l integrazione per parti si ha V M e ( ) d e ( ) e ( ) e ( ) e ( ) e d e ( ) e ( ) e ( ) e b a d e Quesito 6 i determini un numero positivo N tale che, per > N, la funzione, f è sempre maggiore della funzione g, e, la disequazione equivale a e, posto t t, diventa t ; dobbiamo quindi studiare la disequazione t t h t t con t. La funzione ht t ha derivata prima t ' t ln h per cui è strettamente decrescente in
Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it ;log ln e strettamente crescente in log ; e presenta un ln minimo relativo per t log cui corrisponde h log ; ln ln t la derivata seconda è h'' t ln che risulta essere sempre positiva per cui la funzione presenta sempre concavità verso l alto. Poiché h, h9 88, h la funzione, per il teorema degli zeri, presenterà uno zero ;log e uno zero in ln 9, e vista la concavità sarà positiva in,, e negativa in,. Quindi per determinare il valore N a partire dal, quale bisogna determinare il valore t da cui, posto N, ogni valore N intero soddisferà la disequazione,. Per determinare lo zero 9,, possiamo applicare il metodo di Newton-Raphson n hn n n n n n h' n ln h e '' 5, con una precisione di con punto iniziale in cui h sono concordi. La tabella seguente mostra tutti i passi dell algoritmo: n n n n n, 9,966 9,966 9,96, NO 9,96 9,96,5 NO 9,96 9,96, NO 9,96 9,96, I Con un errore inferiore al millesimo si ha 9, 96 per cui per, N 996 intero la disequazione sarà sempre soddisfatta. Infatti 85 89 h 996,568, h 997,778.
Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Quesito 7 Tenuto conto che: d, si calcoli un approssimazione di, utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati. Applichiamo il metodo dei rettangoli con n, suddividendo b a l intervallo, in sottointervalli di ampiezza h ; di n b a conseguenza i rettangoli avranno stessa base pari a h ed n altezza b a f con i e i,,,. n Con tale metodo, poichè la funzione integranda f nell intervallo, è strettamente decrescente in quanto la derivata prima è f ' e sempre negativa in,, n b a inf e per n un approssimazione per difetto dell area è f b a sup. n n eccesso è f 6
Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Di seguito i passi dell algoritmo per il calcolo della somma superiore ed inferiore: b a i i h i n f i,,95,,869658,,779986,,656567,5,577569,6,5,7,85,8,,9,957 n b a sup f n,669667 n b a inf f n,65 Di conseguenza approssimazioni per eccesso e per difetto di sono rispettivamente n b a sup f n,669667 n b a inf f n,65 L approssimazione migliora al crescere di n. 7
Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Quesito 8 La regione del I quadrante delimitata dall ellisse di equazione y e dagli assi cartesiani è la base di un solido F le cui sezioni, ottenute con piani perpendicolari all asse y, sono tutte quadrati. i calcoli il volume di F. Il lato del quadrato è pari a cui corrisponde un area pari a A y per cui il volume richiesto è pari a V y y dy y 8 Quesito 9 Un bersaglio è costituito da tre cerchi concentrici, i cui raggi misurano rispettivamente 5, e. Un arciere ha probabilità ½ di colpire il bersaglio. Qual è la probabilità che lo colpisca in un punto appartenente al cerchio di raggio ma non a quello di raggio? Consideriamo la figura a lato. La probabilità di centrare un bersaglio è proporzionale all area del bersaglio stesso. L area del cerchio di raggio unitario è A, l area della corona circolare di raggio esterno e raggio interno è A R r 8 8A, l area della corona circolare di raggio esterno 5 e raggio interno è A R r 5 6 6A. Indichiamo con p p la probabilità di centrare il bersaglio nella regione di cerchio di raggio unitario; di conseguenza la probabilità di centrare il bersaglio nella regione individuata dalla corona circolare di raggio esterno e 8
Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it raggio interno è p 8p mentre la probabilità di centrare il bersaglio nella regione individuata dalla corona circolare di raggio esterno 5 e raggio interno è p 6 p. Poiché la probabilità di colpire il bersaglio è, deve aversi p i da cui i p p p p 8p 6 p p ; in definitiva la 5 probabilità di colpire un bersaglio in un punto appartenente al cerchio di 8 raggio ma non a quello di raggio è p 8p 6%. 5 5 Quesito ia P un punto fissato su una circonferenza; quale è la probabilità che prendendo su questa due punti a caso A e B, l angolo AP ˆ B sia acuto? i illustri il ragionamento seguito. Consideriamo la figura a lato. P C iano APC ˆ X, BPC ˆ Y con X U,, Y U, due variabili aleatorie indipendenti con distribuzione uniforme nell intervallo, rappresentanti le variazioni B A degli angoli al variare dei punti A e B sulla circonferenza. La distribuzione congiunta delle due variabili aleatorie è quindi un quadrato e di conseguenza i due punti A e B sulla circonferenza sono individuabili nel momento in cui è definito il punto di coordinate X, Y appartenente al suddetto dominio quadrato e l angolo AP ˆ B è acuto se Y X. 9
Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale sessione suppletiva, matematicamente.it Rappresentiamo nel medesimo riferimento cartesiano il dominio quadrato e la striscia di piano tale che Y X. La probabilità Pr Y X è data dal rapporto tra l area del poligono in grigio e l area del quadrato di lato L. L area del poligono è pari alla differenza dell area del quadrato e del doppio dell area del triangolo rettangolo isoscele di lato, Poligono per cui Poligono Pr Y X. Quadrato