UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE VITICOLE ED ENOLOGICHE Esame di MATEMATICA San Flrian, 08/09/07 Infrmazini persnali Si prega di indicare il prpri nme, cgnme e numer di matricla nei seguenti campi. Nme e cgnme: Matricla: Si prega inltre di cmpilare i seguenti campi, in base alla scelta che si intende fare. Chied che la mia prva d'esame venga crretta e valutata. Il vt che cnsegu cn questa prva annulla eventuali vti già cnseguiti in appelli d'esame precedenti. Rislvere il quesit n. + altri quesiti a scelta parte A + quesiti a scelta parte B Firma: Numer di fgli cnsegnati: Intend ritirarmi; chied che la mia prva nn venga crretta nè valutata. Firma: INDICAZIONI PER I CANDIDATI DURANTE LA PROVA NON È CONSENTITO AGLI STUDENTI COMUNICARE TRA LORO O CON L ESTERNO; PERTANTO I TELEFONI CELLULARI ED I DISPOSITIVI MULTIMEDIALI DEVONO RESTARE SPENTI! Scrivete le vstre rispste in md rdinat, utilizzand la penna stilgrafica la penna a sfera; disegnate a matita i grafici delle funzini. In cas di errre, tracciate un segn sulla rispsta scrretta e scrivete accant ad essa quella crretta. NON È AMMESSO L USO DELLA CANCELLINA NÉ DELLA PENNA ROSSA! Si pssn, invece, utilizzare penne di qualsiasi clre divers dal ROSSO; è ammess l us della calclatrice scientifica nn prgrammabile grafica. Alle rispste e alle crrezini scritte in md illeggibile verrann assegnati 0 punti. Utilizzate i fgli della minuta (che dvrann essere pprtunamente cntrassegnati) sl per l'impstazine delle sluzini, in quant essi nn verrann sttpsti a valutazine. Le rispste devn riprtare tutt il prcediment attravers il quale si giunge alla sluzine, cn i calcli intermedi e le vstre deduzini. Abbiate fiducia in vi stessi e nelle vstre capacità. Bun lavr! Lrenz Meneghini QUESITO ( /7) Studiare la funzine f x x x funzine. Test della prva d'esame Parte A, determinand, in particlare le tangenti di fless. Disegnare il grafic della
QUESITO ( /) Verificare che la parabla y kx 6k x 5k passa per il punt A,0, k del parametr k in md che la parabla e la funzine y ln x abbian la stessa tangente nel punt,0 l equazine della parabla crrispndente. ; determinare il valre A e QUESITO ( /) Determinare gli asintti della funzine f x x 6 x QUESITO ( /) Data la funzine f x k x kx k x kx k x x QUESITO 5 ( /) Determinare gli estremi della funzine: Specificare se si tratta di estremi relativi assluti. QUESITO 6 ( /) determinare per quali valri di k è cntinua in x. 5 f x x x x x x Dp averne studiat il dmini, dire mtivand esaurientemente la rispsta se le funzini ln ln x g x sn, in realtà, la stessa funzine. QUESITO 7 ( /) Dat il grafic della funzine f x in figura, disegnare il grafic di f x : f x x e x, stabilire qual è, tra i seguenti, il grafic di: a) f x b) f x c) f x Facend riferiment al grafic di f mtivand adeguatamente la rispsta. Fig. Fig. Fig.
Parte B QUESITO 8 ( /) Dp averne tracciat i grafici, trvare le intersezini delle parable di equazine y x 6x 6 e y x x e calclare l area della regine piana delimitata dai due grafici. QUESITO 9 ( /) Rislvere l equazine differenziale y" y ' 5y e QUESITO 0 ( /) Calclare la traspsta e il determinante della seguente matrice, dire se è invertibile e, in cas affermativ, calclarne l inversa: 0 0 0 QUESITO ( /) Dp aver intersecat la parabla di equazine y x 6x cn l asse x determina il vlume del slid generat da una rtazine del segment parablic in figura attrn: a) all asse x; b) all asse y. QUESITO ( /) Studiare la cnvergenza degli integrali imprpri: a) x e dx b) 0 ln x dx x QUESITO ( /) Rislvere i seguenti sistemi lineari: x y 5z a) 6x 9y 0z x y 5z b) x y x y z 5 x y z 8 Punteggi ttale: /0
SOLUZIONE Appell Settembre 07 N. PARTE A è una funzine plinmiale, di dmini D, cntinua nel su dmini f x x x x x f x x x x x la funzine nn è né pari né dispari SEGNO E INT. ASSI: x x 0 x x 0, essend x 0, x x x 0 Il grafic della funzine interseca gli assi cartesiani in O 0,0 e,0 A. ASINTOTI: Il dmini è la funzine nn ammette asintti verticali. lim f x lim x la funzine nn ammette asintti rizzntali x x x f x lim lim x la funzine nn ammette asintti bliqui x x x x CRESCENZA: f ' x x 6x x x 0 x 0 x 7 7 min: f 7 M, 8 6 6 CONCAVITÀ: f " x x x x x 0 x x 0 f La funzine ammette dei flessi in O 0,0 e F, TANGENTI DI FLESSO: Tangente in O: m f ' 0 0 y 0 Tangente in F: m f y x Il grafic della funzine è: ' y x
N. Verifichiam il passaggi della parabla y kx 6k x 5k per,0 y k 6k 5k 0 verificat! La tangente alla parabla in A ha cefficiente anglare m y ' : y ' kx 6k m y k k k Anche la funzine f x ln x ha il grafic passante per A, in quant ln 0 A : ' 6 in A se e sl se le due tangenti hann l stess cefficiente anglare. f ' x m f ' x Quindi: m m k k La parabla è, pertant: 5 y x 6 x y x x N. Il dmini di N. lim x f x x 6 x x 6 x x 6 x 6 lim lim x x x x x 6 x 6 lim lim x x x x Affinchè la funzine x x è D \. x è asintt verticale f x y è asintt rizzntale y è asintt rizzntale k x kx k x kx k x x lim f x lim kx k x k k x x lim x x lim f x lim k x kx k k 5 k ; le due curve sn tangenti sia cntinua in x è sufficiente che: f x lim f x. La cndizine di cntinuità in x è, perciò: k k k 5k k k 6 0 k k 0 k, Cncludend: la funzine è cntinua in x per k k. N. 5 Studiam la crescenza di f x x x x x x 5 : f x x x x x x x x ' 5... 5 5 0 0 La funzine ha un minim in x. f 0 M,0 NOTA: In realtà la funzine è una parabla (plinmi di grad), quindi ha un minim asslut nel su vertice e nn ha massimi (né relativi né assluti).
N. 6 Il dmini di f x è: 0 g x è: 0 x, ciè D 0, x, ciè D Il dmini di \ 0 Pertant, nnstante per x 0 si pssa scrivere, per le prprietà dei lgaritmi: ln x ln x le due funzini hann dmini divers e, quindi, nn pssn essere uguali. N. 7 Il grafic della funzine f x si ttiene da quell di f x simmetrizzand rispett all asse x gli archi del grafic di f x che giaccin nel semipian delle y 0, cme in figura. Cnsideriam ra: Fig. Fig. Fig. a) Il grafic di f x è quell in fig., piché si ttiene trasland il grafic di f x di u vers l alt. b) Il grafic di f x è quell in fig., simmetric di quell di f x rispett all asse y. c) Il grafic di f x è quell in fig., ttenut mediante una cntrazine lung l asse x. PARTE B N. 8 Intersechiam le parable: y x 6x 6 x 8x 6 0 sttraend membr a membr: y x x y x x Rislviam x x 0 : da cui: y y 9 6
Le intersezini sn, e,. Quindi l area cercata vale: x 6x 6 x x dx x 8x 6 dx x x dx x 7 8 x x 8 9 u N. 9 Cnsideriam l equazine differenziale y" y ' 5y e. Rislviam l equazine mgenea assciata: y" y ' 5y 0 L equazine caratteristica è: 5 0 5 5 9 x l integrale generale dell equazine mgenea è ce ce Ricerca di un integrale particlare dell equazine data; dal mment che 5 è un zer dell equazine caratteristica, cnsideriam una funzine del tip: kx e " k 5e 5e ke 0 ' k e 5e x ke Sstituend nell equazine data: ke 0 ke 5kxe ke 0 0x 6ke e l integrale particlare cercat è 6 xe k 6 Cncludend: La sluzine dell equazine differenziale data è x y ce ce xe. 6 N. 0 La traspsta della matrice Il determinante di A è: 0 A 0 0 è T A 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 la matrice A è invertibile. Calcliamne i cmplementi algebrici: 0 0 0 A 0 A la matrice cfattre è: A A 0 0 0 0 A 0 A 0 A 0 0 A 0 A 0
5 e quindi: A 0 cfa 0 0 0 T cfa N. Intersecand la parabla y x 6x cn l asse x tteniam: x a) Rtazine attrn all asse x: Applicand il metd delle fette, x 0 x 0 x Vx x 6x dx x x dx x 6x 9x dx 0 0 0 5 x 6 5 0 6 x x 8 8 u 5 5 5 0 5 b) Rtazine attrn all asse y: Applicand il metd dei gusci cilindrici, N. 0 x 0 0 0 V x x 6x dx x x dx x y 8 7 08 08 7 u x b x b x b a) e dx lim e dx lim e e dx lim e e e e b b b l integrale cnverge a dx lim dx lim ln x lim ln ln a lim ln a 0 x a 0 a x a 0 a a0 a0 l integrale diverge a ln x ln x b) N. x y 5z a) Cnsideriam il sistema: 6x 9y 0z. La matrice cmpleta è: x y 5z 5 5 0 5 6 9 0 0 0 0 0 0 0 5 0 5 0 0 0 0 0 0 Ricaviam, quindi, il sistema: 5z x 5z x 5z x y 0 y 0 y 0 Sluzini: 5 z,0, z z
6 x y b) Cnsideriam il sistema: x y z 5. La matrice cmpleta è: x y z 8 0 0 0 0 5 5 5 0 8 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Sluzine:,,