Resistenza dei materiali e Forme strutturali per il design A.A. 2014-2015 prof. Andrea Dall Asta Reazioni vincolari e Sistemi di corpi rigidi Scuola di Architettura e Design, Università di Camerino e-mail:andrea.dallasta@unicam.it
Cinematica corpo rigido Cinematica del corpo rigido: Definizione corpo rigido Definizione di corpo rigido def CR : costante t, 1 2 1 2
Cinematica corpo rigido Cinematica del corpo rigido: Campo di spostamenti Campo di spostamenti s 1 s p 1 s 2 2 Traslazione s p s 0 s p O s 0
Cinematica del corpo rigido (precisazioni e moto infinitesimo) Rotazione attorno al punto O Cinematica corpo rigido versore ortogonale al piano e versore parallelo a O O O a // // a ea s p O cos 1a // O sina Rotazione infinitesima s p Oa eo 0 a O a // eo Roto-traslazione infinitesima s s O eo 3 parametri: 2 componenti traslazione 1 angolo di rotazione ineare rispetto ai parametri (gli spostamenti si sommano) s O,
Cinematica del corpo rigido (precisazioni e moto infinitesimo) Roto-traslazione infinitesima s s O eo Cinematica corpo rigido 3 parametri: 2 componenti traslazione 1 angolo di rotazione s O O ' '' eo ' O
Vincoli Vincoli semplici Classificazione cinematica: eliminano una delle tre possibilità di movimento Classificazione dinamica: sono in grado di esprimere un sistema di reazioni vincolari descritto da un solo parametro Appoggio semplice o carrello: r Cc: elimina lo spostamento del punto lunga la direzione r. Cd: la reazione ha retta di applicazione r, l intensità è il parametro variabile. R
Vincoli Appoggio semplice o carrello: Spostamento: ortogonale alla linea d asse (traslazione+rotazione=rotazione attorno a punto sull asse) Reazione: forza sulla linea d asse r O R
Vincoli Vincoli semplici antografo: Cc: elimina la sola rotazione del corpo Cd: il sistema reagente è una coppia (risultante nulla), il parametro variabile è l intensità M
Vincoli Vincoli doppi Classificazione cinematica: eliminano due delle tre possibilità di movimento Classificazione dinamica: sono in grado di esprimere un sistema di reazioni vincolari descritto da due parametri ossono essere ottenuti dalla combinazione di due vincoli semplici r Cerniera: R 2 R R 1 Cc: elimina lo spostamento del punto in qualunque direzione (lungo due direzioni indipendenti) Cd: Il sistema reagente è costituito da una forza per i punto, i due parametri sono le due componenti della forza o, in alternativa, l intensità e la direzione.
Vincoli Vincoli doppi r R M attino/manicotto: Cc: elimina lo spostamento del punto lunga una direzione e la rotazione del corpo Cd: il sistema reagente è costituito da una forza con retta di applicazione assegnata e da una coppia, o due parametri sono l intensità della forza e della coppia
Vincoli Vincoli doppi r I vincoli doppi possono essere ottenuti come somma di due vincoli semplici R r r M R M
Vincoli Vincolo triplo Classificazione cinematica: elimina tutte le tre possibilità di movimento Classificazione dinamica: è in grado di esprimere un qualunque sistema di vettori applicati uò essere ottenuto dalla combinazione di tre vincoli semplici r Incastro: Cc: impedisce la rotazione del corpo e lo spostamento del punto, di conseguenza risulta impedito qualunque spostamento R 2 Cd: il vincolo può esprimere qualunque sistema reagente, i tre parametri sono le componenti della risultante e la coppia R R 1 M
Reazioni vincolari Determinazione reazioni vincolari Sistema di forze agenti = Azioni esterne + Reazioni vincolari Azioni esterne: note e descrivibili mediante 3 parametri (sul piano): componenti della risultante e momento risultante Reazioni vincolari: incognite Grado di vincolo V = numero totale dei parametri necessari a descrivere le reazioni vincolari = spostamenti impediti Equazioni disponibili: = equazioni di equilibrio = parametri necessari a descrivere il campo di spostamenti (3 sul piano) 1. er equilibrare un generico sistema di forze esterne è necessario un grado di vincolo almeno pari a 3 (V=) 2. a condizione è necessaria ma non è sufficiente
Reazioni vincolari Esempi /2 Determinazione reazioni per via analitica F F 2F /2
Vincoli Esempi Determinazione reazioni per via grafica F
Reazioni vincolari altri esempi F Determinazione reazioni per via analitica 2F 2F 3F /2 2F
Vincoli Sistemi di corpi rigidi Sistema di corpi rigidi: confine del sistema Forze esterne: interazione (azione-reazione) con corpi esterni Forze interne: interazione (azione-reazione) tra corpi interni Confine del sistema di corpi rigidi Corpo B Forza esterna a distanza (es. forza peso) Forza interna (es. vincoli interni) Corpo A Forza esterna di contatto (es. vincoli esterni)
Vincoli interni Vincoli interni semplici Appoggio antografo Corpo B Corpo B Corpo A Corpo A
Vincoli interni Vincoli interni doppi Cerniera attino/manicotto Corpo B Corpo B Corpo A Corpo A
Reazioni vincolari Determinazione reazioni vincolari Sistema di forze agenti = Azioni esterne + Reazioni vincolari Azioni esterne: note e descrivibili mediante 3 parametri (sul piano): componenti della risultante e momento risultante Reazioni vincolari: incognite Grado di vincolo V = numero totale dei parametri necessari a descrivere le reazioni vincolari = spostamenti impediti Equazioni disponibili: = equazioni di equilibrio = parametri necessari a descrivere il campo di spostamenti (3 sul piano per ogni corpo) 1. er equilibrare un generico sistema di forze esterne è necessario un grado di vincolo almeno pari a 3 x n (V=) 2. a condizione è necessaria ma non è sufficiente
Esempi Determinazione reazioni per via analitica Vincoli interni 2F F
Esempi Determinazione reazioni per via analitica 2F F Vincoli interni F 2F
endolo Corpo rigido scarico con 2 vincoli doppi alle estremità = appoggio con asse congiungente i centri di rotazione Vincoli interni
Carichi distribuiti Carico distribuito q x lim 0 x F x, x x Sistema di vettori applicati infinitesimi x q N / m df x qxdx F qx x i i x r m Carichi distribuiti R Q N Risultante R q x dx R Fi osizione risultante x r : Rx r xq x dx x : r Rx r x i F i
Carichi distribuiti Distribuzione uniforme q x q Risultante qx x R q osizione risultante x r / 2 x r / 2 Carichi distribuiti R Distribuzione triangolare x q xq / Risultante R q / 2 qx x osizione risultante x r 2 / 3 x r 2 / 3 R
Carichi distribuiti - generalizzazioni Carichi con direzione variabile q s q s a q s a q s 1 Risultante R osizione risultante x : x r r q s R ds 1 2 s x q 2 s ds 3 a 3 s F s, s lim 0 s Carichi distribuiti qs s O x s
Carichi distribuiti Carichi distribuiti Carichi e fili concentrati orientazione ineari trazione
Carichi distribuiti Carichi distribuiti Carichi superficiali p x F x a a, lim a 0 Carichi e membrane 2 2 p x N / m A m Carico distribuito 3D Tenso strutture (carico trascurabile)
Esempi p Determinazione reazioni per via analitica Reazioni vincolari p p p
Isostatiche labili - iperstatiche Classificazione Vincoli inefficaci = reazioni non univoche (iperstatiche) Gradi di libertà potenziali (N corpi) = eq. equilibrio arametri di spostamento impediti = vincoli efficaci Gradi di libertà effettivi = 3xN Ve = V - Vi l = -Ve Caratterizzazione sistemi di corpi rigidi Sistema fisso l=0 (Ve=) Sistema labile l>0 (Ve<) Reazioni indeterminate Vi>0 (V>Ve) Reazioni determinate Vi=0 (V=Ve) Sistema staticamente determinato =V e Vi=0