Teoria dei Giochi: lezione del 27 Marzo 2017 Chiara Mocenni Corso di Teoria dei Giochi e Giochi Evolutivi
Giochi simmetrici a due giocatori Un gioco è simmetrico quando i due giocatori hanno lo stesso guadagno in condizioni analoghe. Un gioco simmetrico coinvolge dunque due giocatori con lo stesso numero di strategie e la funzione payoff di ogni strategia è indipendente dalla postazione del giocatore dalla quale viene giocata. Richiedere l equivalenza delle funzioni payoff delle strategie pure è equivalente a richiedere che la matrice dei payoff del secondo giocatore sia la trasposta della matrice dei payoff del primo, ovvero: B = A T.
Giochi simmetrici a due giocatori Utilizzando la funzione di payoff π(x, y) = x T Ay, si ha che: π 1 (x, y) = π(x, y) π 2 (x, y) = x T By = y T B T x = y T Ax = π(y, x). Con K = {1, 2,..., k} indichiamo l insieme delle strategie pure Con x e y indichiamo le strategie miste del primo e del secondo giocatore, dove = {x R k + : i K x i = 1}, mentre Θ = 2. L insieme di best reply β(z) è rispetto ad una strategia z ed è lo stesso per entrambi i giocatori: β(z) = {x : π(x, z) π(y, z) y }.
Equilibri di Nash simmetrici Una coppia di strategie (x, y) Θ = 2 costituisce un equilibrio di Nash, (x, y) Θ NE, se e solo se x β(y) e y β(x). Se x = y, l equilibrio (x, y) si dice è simmetrico. Il sottoinsieme di strategie x che sono in equilibrio con se stesse è: NE = {x : (x, x) Θ NE } Non è detto che gli equilibri di Nash di un gioco simmetrico siano simmetrici, ma ogni gioco simmetrico ha almeno un equilibrio di Nash simmetrico. Theorem Per ogni gioco simmetrico finito a due giocatori, NE.
Classificazione dei giochi simmetrici 2 x 2 In questa sezione analizziamo i giochi in cui i giocatori hanno solamente due strategie pure a disposizione. Considerando la matrice dei payoff di un generico gioco simmetrico 2 2: ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 Sottraendo a 21 dalla prima colonna e a 12 dalla seconda, otteniamo: ( ) A a11 a = 21 0 0 a 22 a 12 Si ottiene così una matrice simmetrica e quindi un gioco totalmente simmetrico, con matrice dei payoff: ( ) A a1 0 = 0 a 2 Con a 1 = a 11 a 21 e a 2 = a 22 a 12.
Rappresentazione grafica La matrice ottenuta, per ogni gioco simmetrico 2 2, è identificata da un punto a = (a 1, a 2 ) R 2. Questo punto apparterrà ad uno dei quadranti del piano cartesiano, consentendoci di identificare la categoria alla quale appartiene il gioco.
Calcolo degli equilibri di Nash simmetrici Se x NE (x è un equilibrio di Nash simmetrico), allora x β(x). In altri termini: ovvero π(x, x) π(y, x) y, x T Ax y T Ax y. È possibile riscrivere la precedente equazione usando le sommatorie: x i [Ax] i y i [Ax] i y, (1) dove [Ax] i indica l i-esima componente del vettore Ax.
Teorema per gli equilibri puri Theorem Sia x una strategia pura (x = e h ). Se [Ax] h [Ax] i i h, allora x NE. Dimostrazione. Sia M = [Ax] h. Si ha che: e x i [Ax] i = x h [Ax] h = M, y i [Ax] i = y h [Ax] h + y i [Ax] i = y h M + y i [Ax] i.,i h,i h
... continua Poichè M [Ax] i i h, allora: Dunque: y i [Ax] i y i M = (1 y h )M.,i h,i h k x i[ax] i = M, e k y i[ax] i M. Da cui segue che x i [Ax] i y i [Ax] i y.
Teorema per gli equilibri misti Theorem Sia x una strategia appartenente a int, cioè una strategia mista tale per cui x i > 0 i. Se [Ax] i = [Ax] j i, j, allora x NE. Dimostrazione. Poniamo M = [Ax] i i. Allora:: e x i [Ax] i = y i [Ax] i = x i M = M x i = M 1 = M, y i M = M y i = M 1 = M.
... continua Dunque, la 6 vale sempre in maniera non stretta, ovvero: x i [Ax] i = y i [Ax] i y. Questo significa x è un equilibrio di Nash simmetrico. Inoltre, tale equilibrio è non stretto.
Teorema per gli equilibri puri/misti Theorem Sia x una strategia mista con un unica componente nulla (x h = 0, x i > 0 i h). Se [Ax] i = [Ax] j i h, j h, e [Ax] i [Ax] h i h allora x NE. Dimostrazione. Poniamo M = [Ax] i i h. Allora: e x i [Ax] i = x i M = M x i = M 1 = M, y i [Ax] i = y i M + y h [Ax] h = M y i + y h [Ax] h =,i h,i h = M(1 y h ) + y h [Ax] h.
... continua Nella seconda equazione è stato sfruttato il fatto che y i = 1,i h Per ipotesi, si ha che M [Ax] h. Da cui: y i = 1 y h. M [Ax] h y h M y h [Ax] h y h M + M M y h [Ax] h M M(1 y h ) y h [Ax] h M M(1 y h ) + y h [Ax] h x i [Ax] i y i [Ax] i y. Dunque, poichè x soddisfa la 6 per ogni y, allora x è un equilibrio di Nash simmetrico.