LICEO ARTISTICO TERAMO

LICEO ARTISTICO TERAMO APPUNTI DEL CORSO DI DISEGNO GEOMETRICO DISEGNO GEOMETRICO 1 biennio 1

A.S. 2005-2006 Premessa agli appunti del corso Nella programmazione, allegata a questo CD, sono state indicate le finalità principali di questa materia. In questa sede vorrei sottolineare ancora una volta l importanza che il Dis. Geom. assume proprio nello sviluppo di quelle capacità analitico-deduttive, che consentono poi di affrontare il problema della progettazione architettonica (e non solo questa!). Una corretta rappresentazione della realtà (anche se solo immaginata) ci permette di esprimere un giudizio sulla sua validità delle scelte e quindi di verificare, ad esempio., il processo progettuale che deve portare alla costruzione di tale realtà. Questa immagine ( purtroppo scadente) vi mostra l ambientazione di una villa progettata da un vostro collega. Tale rappresentazione ha costituito un momento importante nella verifica e nella scelta di alcune soluzioni progettuali. 2

Questo disegno (assieme ad altri) ha consentito alla vostra collega di conoscere approfonditamente la famosa Casa sulla cascata di Wright. In quest ultime immagini (stavolta fotografiche) vedete il plastico realizzato dalla 4 B di alcuni anni fa, per partecipare ad un concorso di Architettura: Avremo altre occasioni per vedere altri esempi. Molti sono per i corridoi della scuola. Qui era necessario sottolineare come una buona conoscenza della tecnica rappresentativa possa aiutare in molti processi sia cognitivi che creativi. Ma torniamo al nostro lavoro, visto che siamo all inizio ed il percorso è ancora molto lungo. Vi ho accennato all uso corretto delle squadrette ed a quanto ciò possa agevolare il lavoro. Nella pagina successiva potete vedere una serie di esempi che possono aiutarvi nelle costruzioni di poligoni. 3

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DISEGNO GEOMETRICO DEFINIZIONI IL PUNTO: è la più semplice figura geometrica ed è privo di materia e di estensione. è un'entità geometrica a zero dimensioni. è una sfera di raggio zero. è il luogo geometrico dell'intersezione di due linee. LA LINEA: è una figura geometrica generata dal moto di un punto ed ha quindi una sola dimensione: la lunghezza. IL SEGMENTO: è la distanza minima tra due punti. è una parte di retta limitata da due punti. Due segmenti si dicono consecutivi se hanno in comune un estremo e nessun altro punto. Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta. LA RETTA: è la linea costituita da infiniti punti che si susseguono nella stessa direzione. Essa è illimitata nelle due direzioni. è una circonferenza di raggio infinito. è il luogo geometrico (o l'insieme) dei punti comuni a due piani. è una successione infinita di segmenti, aventi un estremo in comune e formanti, tra loro, angoli di 180 (in altre parole è una successione di segmenti adiacenti). LA SEMIRETTA: è ciascuna delle due parti illimitate in un solo verso, in cui una retta è divisa da un suo punto. SUPERFICI: Le superfici sono entità geometriche a due dimensioni. LA SUPERFICIE SFERICA La superficie sferica è il luogo geometrico (o l'insieme) dei punti che sono equidistanti da un punto fisso detto centro. IL PIANO è una superficie, liscia, piana, infinita e priva di spessore. è un elemento geometrico a due dimensioni. è una superficie sferica di raggio infinito. è il luogo geometrico (o l'insieme) dei punti comuni a due spazi. IL SEMIPIANO Il semipiano è ognuna delle due parti in cui un piano è diviso da una retta. L'ANGOLO L'angolo è la parte di piano limitata da due semirette aventi un punto in comune chiamato vertice. ANGOLO DIEDRO L'angolo diedro è lo spazio limitato da due semipiani. LA BISETTRICE La bisettrice è la semiretta che divide un angolo in due parti uguali. LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico (o l'insieme) dei punti aventi la stessa distanza da un punto detto centro. IL CERCHIO II cerchio è la superficie racchiusa dalla circonferenza. 6

LA CORDA La corda è un segmento che unisce due punti della circonferenza. IL DIAMETRO II diametro di una circonferenza è ogni corda che passa per il centro. IL RAGGIO II raggio è il segmento che unisce il centro alla circonferenza. IL POLIGONO II poligono è la superficie racchiusa da tre o più segmenti consecutivi detti lati. L'ASSE DI UN SEGMENTO L'asse di un segmento è il luogo geometrico (o l'insieme) dei punti che sono equidistanti dagli estremi del segmento. L'asse di un segmento è la perpendicolare nel suo punto medio. LA PERPENDICOLARITÀ La perpendicolarità è un rapporto tra due entità geometriche caratterizzato dal fatto che alla loro intersezione si forma un angolo retto. IL PARALLELISMO Il parallelismo è un rapporto tra due entità geometriche caratterizzato dal fatto che all infinito conservano sempre la stessa distanza ed hanno un punto in comune. LA VERTICALITÀ la verticalità è una caratteristica fisica attribuita agli elementi geometrici che, eventualmente prolungati, contengono il centro della terra. L'ORIZZONTALITÀ' L'orizzontalità è una caratteristica fisica attribuita agli elementi geometrici che sono perpendicolari agli elementi verticali. Due orizzontali sono parallele tra loro solo se vengono riferite alla stessa verticale. LO SPAZIO è un volume sferico di raggio infinito. è il luogo geometrico (o l'insieme) dell'intersezione di due iperspazi. INDIVIDUAZIONE DI ALCUNI ELEMENTI GEOMETRICI Per individuare un punto occorre l'intersezione di due linee. Per individuare una retta occorrono: due punti. due piani. un punto e una condizione di parallelismo. un punto e una condizione di perpendicolarità. Per individuare un piano occorrono una retta e un punto al di fuori di essa. CONVENZIONI: I punti si indicano con le lettere maiuscole, dell'alfabeto latino: A, B, C... Le rette si indicano con le lettere minuscole, dell'alfabeto latino: a, b, c... I piani (le superfici) si indicano con le lettere minuscole, dell'al SIMBOLI: = uguale coincidente appartenente ( perpendicolare rispetto a... ( contenente // parallelo rispetto a... ( infinito 7

PROIEZIONI ORTOGONALI I metodi di rappresentazione della geometria descrittiva più usati sono: le proiezioni ortogonali le proiezioni assonometriche le proiezioni prospettiche I sistemi delle proiezioni servono a rappresentare l'immagine di un oggetto sulla superficie di un foglio; ciò è possibile per mezzo di tre elementi fondamentali che sono: un centro di proiezione, da cui partono i raggi di proiezione; i raggi di proiezione, che possono essere paralleli o divergenti a seconda che il centro di proiezione sia posto al finito o all'infinito; il piano, sul quale viene proiettata l'immagine. Nel sistema delle proiezioni ortogonali, i raggi di proiezione sono paralleli tra loro perché il centro di proiezione sta all'infinito ed hanno direzione perpendicolare al piano della rappresentazione. Lo spazio è omogeneo e infinito, senza punti di riferimento, per collocarvi una forma da proiettare su una superficie piana è necessario fissare degli elementi di riferimento. Questi elementi di riferimento, nelle proiezioni ortogonali, sono i piani di proiezione. Suddividiamo, per ora, lo spazio con due soli piani di proiezione: un piano orizzontale (P.O.) e un piano verticale (P.V.)perpendicolari tra loro. I due piani di proiezione 8

dividono lo spazio in quattro settori, ciascuno dei quali è un angolo diedro. I diedri sono retti hanno la linea di terra (L.T.) in comune e si distinguono in I,II, III e IV. Ci serviremo del I diedro al quale aggiungeremo un terzo piano di proiezione: piano laterale (P.L.). Otterremo così un triedro su cui effettuare le nostre proiezioni In figura potete osservare come da un solido si ottengono tre immagini distinte, una per ogni piano di proiezione, che lo identificano univocamente. PROIEZIONI DEL PUNTO 9

n Liceo Artistico Statale Teramo Appunti di Disegno Geometrico prof. Rocco Garibaldi La semiretta x si allontana dal P.O. La semiretta y si allontana dal P.V. La semiretta z si allontana dal P.L. Un punto posto nello spazio viene individuato dalle tre coordinate cartesiane x, y, z. Sull'asse x si riportano le distanze dal P.O. Sull'asse y si riportano le distanze dal P.V. Sull'asse z si riportano le distanze dal P.L. PROIETTARE significa condurre la perpendicolare dal punto al piano di proiezione. PROIEZIONI DI UN PUNTO P(x,y,z) unità di misura P = punto nello spazio P' = proiezione. del punto sul P.O. P" = proiezione. del punto sul P.V. P"* = proiezione. del punto sul P.L. PROIEZIONI DEL SEGMENTO II segmento, rispetto ai piani di proiezione, può assumere tre posizioni diverse. Può essere: perpendicolare ( ), parallelo ( ) o generico (inclinato). 10

PROIEZIONI DI AB P.O. Sul P.O. si vede un punto. Il segmento è proiettante in prima proiezione, ed è // al P.V. ed al P.L. 11

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LA RETTA La retta, rispetto ai piani di proiezione, può assumere tre posizioni diverse; può essere: perpendicolare parallela generica Si chiama traccia della retta, e si indica con Tr, il punto di intersezione della retta con uno dei piani di proiezione. Si chiama T'r (traccia prima di r) il punto di intersezione della retta con il P.O. Si chiama T"r (traccia seconda di r) il punto di intersezione della retta con il P.V. Si chiama T" r (traccia terza di r) il punto di intersezione della retta con il P.L. RETTA PERPENDICOLARE Se una retta è perpendicolare, rispetto ad uno dei piani di proiezione, su detto piano perde una dimensione. Se una retta è perpendicolare, rispetto ad uno dei piani di proiezione, è parallela rispetto agli altri due piani. Sul P.O. la traccia prima di r coincide con La prima immagine r La retta è parallela al PV ed. al P.L. quindi la traccia seconda e. la traccia terza di r stanno all infinito, La retta è proiettante in una proiezione. Proiettante significa che tutti i punti che appartengono alla retta cadono in proiezione sulla traccia a cui si riferisce la perpendicolarità. PROIEZIONI DI r AL P.O. A questo punto potete intuire facilmente le proiezioni delle rette proiettanti in seconda e terza proiezione. Prima di passare alle rette parallele e a quelle generiche inseriamo la rappresentazione dei piani. E importante ricordare che i piani, in disegno geometrico, non vengono proiettati. Essi sono individuati mediante la rappresentazione delle loro tracce. 14

La traccia di un piano è la retta che nasce dall intersezione tra il piano considerato e uno dei piani di proiezione. Ogni piano ha quindi tre tracce. Ovviamente anche i piani possono occupare qualunque posizione dello spazio, potremo quindi distinguerli (come le rette) in: Paralleli (o proiettanti in due direzioni). Perpendicolari ( o proiettanti in una sola direzione). Generici (se non hanno alcuna relazione di parallelismo o perpendicolarità con i piani di proiezione). Piano parallelo al Piano Orizzontale ( in simboli: // P.O. ) Piano // P.V. 15

Piano // P.L. Le tracce di un piano proiettante rappresentano (coincidono con l immagine di ) tutti i suoi punti. Abbiamo già fatto degli esempi con alcune figure appartenenti a piani paralleli. Vediamo adesso come appaiono le rette che appartengono a questi piani. Lascio a voi il piacere di rappresentare la retta // P.O. e quella // P.V. Un osservazione importante relativamente all ultima figura: la retta r, essendo fatta da punti del piano, attraversa i piani di proiezione in un punto della traccia di quest ultimo. 16

Si tratta di una osservazione ovvia ma non priva di importanza per le applicazioni future: essa costituisce il riferimento alla prima legge dell appartenenza: una retta appartiene ad un piano se ha le tracce sulle tracce omonime del piano Torniamo ancora alle rette. Resta da vedere la retta generica: La retta è fatta da infiniti punti, se ne isoliamo uno, a caso, esso avrà le sue tre proiezioni sempre su quelle della retta cui appartiene. Anche questa è una osservazione ovvia ma ricca di applicazioni. Essa costituisce la seconda condizione di appartenenza: un punto appartiene ad una retta se ha le proiezioni sulle proiezioni della retta A questo punto, dall insieme delle leggi precedenti otteniamo la terza condizione di appartenenza: un punto appartiene ad un piano se appartiene ad una retta del piano Vedremo in seguito le applicazioni consentite da queste semplici leggi. Riprendiamo ancora i piani paralleli con qualche esempio di figure appartenenti ad essi. 17

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IL RIBALTAMENTO DEI PIANI La necessità di utilizzare il ribaltamento (cioè la rotazione su uno dei piani di proiezione) del piano che contiene le figure che vogliamo rappresentare nasce ogni qualvolta esse siano posizionate in maniera inclinata rispetto ai piani di proiezione. Quando rispetto ad uno dei piani di proiezione l inclinazione della figura è di 90, e cioè quando essa appartiene ad un piano proiettante, il procedimento di ribaltamento è abbastanza semplice. Infatti, sapendo che l angolo tra le sue tracce è retto, sarà sufficiente costruire le tracce ribaltate sul piano più opportuno, rispettandone il rapporto angolare. Fig.1: ribaltamento di un piano proiettante in prima proiezione contenente un quadrato. Fig. 2: proiezioni di un esagono regolare perpendicolare al P.O. Nella fig.1 potete osservare, nella rappresentazione assonometria, quale è stata la rotazione effettuata dal piano contenente il quadrato, per posizionarlo sul P.O. Nel disegno a destra il procedimento costruttivo adottato in Proiezioni Ortogonali. Identico procedimento viene esemplificato nella fig.2: una volta tracciate le tracce del piano ribaltato si costruisce la figura (qui in rosso). Da questa si ricava immediatamente la proiezione sulla traccia prima del piano, poiché in questa proiezione essa rappresenta tutto il piano e quindi si passa a costruire le altre proiezioni, riportandosi dalla figura ribaltata le altre distanze. 19

Ovviamente le possibilità di effettuare i ribaltamenti sono tante quante è possibile ottenerne costruendo le tracce ribaltate a 90 con la traccia su cui si ruota il piano. Negli esempi seguenti vediamo due delle possibili esecuzioni per rappresentare lo stesso triangolo. Fig. 3: proiezioni di un triangolo equilatero appartenente ad un piano perpendicolare al P.O., con ribaltamento sul Piano verticale. Fig. 4: proiezioni di un triangolo equilatero appartenente ad un piano perpendicolare al P.O., con ribaltamento sul Piano verticale. Piani generici Diversamente da quanto accade per i piani proiettanti, le tracce dei piani generici non hanno Fig. 5: ribaltamento di un piano generico alcuna condizione di perpendicolarità tra loro. Ciò rende meno immediato il procedimento di ribaltamento. Infatti si ha la necessità di misurare l angolo esistente tra le tracce, per poterlo riprodurre sul piano ove si intende ribaltare. Il procedimento consiste nell utilizzare un piano proiettante posizionato perpendicolarmente alla traccia del piano generico attorno alla quale si intende realizzare il ribaltamento. Tale piano darà come retta intersezione la retta di massima pendenza. Tale retta misurerà l angolo diedro tra il piano generico ed il piano di proiezione. 20

Vediamo di capire meglio (visto anche l esito della verifica) tutto il meccanismo del ribaltamento seguendone la costruzione nella fig.6. Si vuole ribaltare il piano identificato dalle sue tracce. Si traccia il piano, proiettante in prima proiezione e perpendicolare ad (t perpendicolare a t ). Si ottiene così, dall intersezione tra i piani, la retta di massima pendenza, passante per AB Nella figura si può osservare che l angolo rappresenta la massima pendenza del piano Fig. 6: ribaltamento del piano generico generico con il P.O. Consideriamo adesso il triangolo ABC: se ribaltiamo il piano proiettante sul P.O. otteniamo anche il ribaltamento di tale triangolo infatti il punto A ruoterà fino alla traccia ribaltata di in A*. Quindi anche quella parte della retta intersezione (la retta di m.p.) e cioè il segmento AB, ipotenusa del triangolo rettangolo ACB, si porterà sul piano orizzontale. Puntando adesso il compasso in B, con raggio BA* si va ad intersecare la traccia prima del piano proiettante nel punto (A). Tale operazione sostituisce, in realtà, una rotazione del cateto BA sul piano, attorno alla traccia prima di. Si osservi ora il triangolo OBA, rettangolo in B: anch esso ha subito un ribaltamento sul P.O., infatti, osservando il triangolo OB(A) possiamo notare che quest ultimo è identico ad OBA poiché ha il lato OB in comune, l angolo retto in B e l altro cateto, B(A) = BA, uguale per costruzione. In pratica abbiamo ottenuto il ribaltamento dell angolo in O delle tracce del piano generico. Il procedimento appena visto, realizzato in proiezioni ortogonali è mostrato nella figura successiva. Per maggiore chiarezza sono state aggiunte le proiezioni di un punto P, appartenente al piano generico. Fig. 7: proiezioni del punto P, appartenente al piano generico Notate che per trovare la seconda e la prima proiezione è stata utilizzata una retta frontale. 21

A questo punto, tornando al triangolo OBA della fig.6, è facile constatare come il ribaltamento possa essere ottenuto con un procedimento ancora più semplice. Una volta accertato che la misura dell angolo tra le tracce può essere sostituita dal ribaltamento del lato BA del triangolo OBA si può infatti ottenere lo stesso scopo ribaltando il lato OA. Fig. 8: proiezioni di un quadrato appartenente a un piano generico Nella figura accanto (fig.8) potete osservare le proiezioni di un quadrato appartenente ad un piano generico. Il ribaltamento del piano si ottiene ruotando direttamente la traccia seconda della retta di massima pendenza fino alla traccia prima del piano proiettante. Le proiezioni, partendo dal quadrato ribaltato, sono ottenute applicando le condizioni di appartenenza: per i vertici (A), (B), (C), e (D) vengono fatte passare delle rette orizzontali, sulle quali si troveranno le rispettive proiezioni. In figura è stato indicato con il numero 1 il ribaltamento della traccia seconda della retta orizzontale passante per il lato AB del quadrato: la sua posizione reale è stata indicata con il numero 3: notate che tale posizione può essere raggiunta sia per rotazione (indicata dalla freccia) che per proiezione. T o f o Concludo ricordandovi le proiezioni delle rette (blu) orizzontale e frontale (rosso) T f o f Fig.9: rette principali 22

PROIEZIONI DI SOLIDI Definizioni. I solidi geometrici sono figure a tre dimensioni, costituiti da: o Facce : i poligoni che limitano il solido o Spigoli : lati dei poligoni o incontro di due facce o Vertici : vertici dei poligoni stessi o incontro di almeno tre spigoli. Qualsiasi solido geometrico limitato da superfici piane poligonali prende il nome di poliedro (dal greco poliedros = che ha molte basi). Il poliedro è regolare se le facce sono formate da poligoni regolari uguali. Esistono solo cinque tipi di poliedri regolari, chiamati solidi platonici: Tetraedro : poliedro formato da 4 vertici, da 4 facce formate da triangoli equilateri e da 6 spigoli Esaedro : poliedro formato da 8 vertici, 12 spigoli e otto facce composte da quadrati Ottaedro : poliedro formato da 6 vertici, 12 spigoli e otto facce composte di triangoli equilateri 23

Dodecaedro : poliedro formato da 20 vertici. 30 spigoli e 12 facce composte da pentagoni regolari Icosaedro : poliedro formato da 12 vertici, 30 spigoli e 20 facce composte da triangoli regolari. Ogni poliedro regolare ha un centro dal quale sono equidistanti vertici e facce. La distanza di un vertice dal centro si dice raggio e la distanza di una faccia dal raggio si dice apotema del poliedro. Si definisce asse di un solido il segmento che unisce il centro della base con il vertice opposto o i centri di due basi opposte. L asse si rappresenta con il puntolinea. Un solido con asse perpendicolare alla base si dice retto. 24

Le proiezioni ortogonali dei solidi, rispetto all astrattezza di punti, rette e piani, dovrebbero consentire una migliore capacità intuitiva (è per questo che inseriamo adesso questo argomento). Sperando di recuperare i molti duisti, nelle figure successive rivediamo il procedimento delle proiezioni ortogonali, riportando due esempi. Nelle figure di sinistra viene rappresentata, in assonometria, la costruzione dell immagine sul Piano Orizzontale, in quelle centrali, sempre in assonometria, le due proiezioni (sul P.O. e sul P.V.)con la visione spaziale della rotazione del P.O. ed infine, a destra, il risultato in proiezioni ortogonali. Nella figura qui accanto vengono riprodotte le proiezioni ortogonali di una piramide retta (asse perpendicolare alla base) a base pentagonale regolare, poggiante con la base sul P.O. Come si può osservare il solido viene rappresentato riproducendo tutti i suoi spigoli con l accortezza di disegnare tratteggiati quelli nascosti. In particolare, quando avviene una coincidenza tra uno spigolo e l asse del solido, bisogna tracciare lo spigolo (v. in figura la seconda proiezione). I vertici, in quanto punti, vengono indicati con lettera maiuscola 25

Facciamo un altro esempio ricorrendo ancora una volta all aiuto della rappresentazione assonometrica: osservate qui a sinistra un parallelepipedo posizionato all interno del nostro triedro di proiezione (figura obiettiva). Nella stessa figura sono rappresentate le tre proiezioni sui piani P,O., P.V., e P.L. Per i duisti possiamo dire che tali proiezioni non sono altro che le immagini che vedrebbe una persona collocata all infinito (nessun commento sulle capacità visive!) rispettivamente nelle tre direzioni perpendicolari ai piani di proiezione. In proiezioni ortogonali vanno riprodotte appunto queste tre immagini. Nella figura sottostante le vedete riportate con gli stessi colori. Un ultima notazione: le lettere ai vertici delle figure dimostrano la coincidenza tra le facce. In parole povere (sempre per i soliti) la proiezione sul Piano Orizzontale, ad esempio, rappresenta sia la faccia superiore ABCD e sia quella inferiore EFGH. Tra l altro, sempre sul P.O. si può osservare come gli spigoli AE, BF, CG, e DH diventino un solo punto poiché non sono altro che segmenti perpendicolari al piano (quindi proiettanti). Facciamo adesso un esperimento al contrario: nella figura qui a sinistra abbiamo le proiezioni dello stesso parallelepipedo che però ha subito una rotazione, mantenendo le due facce più grandi parallele al P.O. Riuscite ad immaginare la sua posizione all interno del triedro di proiezione? 26

Perfetto! E proprio quella che vedete qui accanto. Infatti le uniche due facce che si sovrappongono sono ancora quelle parallele al P.O. mentre negli altri piani diventano visibili anche gli spigoli che prima coincidevano. Bene, credo che gli esempi siano sufficienti Fin qui abbiamo visto: - i solidi si rappresentano individuando le proiezioni degli spigoli ( in mancanza di questi si segnano le generatrici esterne ma lo vedremo tra poco) - i vertici vanno nominati con lettera maiuscola - l asse si disegna con il punto-linea ma se coincide con qualche spigolo si tralascia e si segna lo spigolo; -tutti i vertici, anche quelli non visibili, vanno indicati nella proiezione; Adesso, con la proiezione del prisma esagonale che vedete qui accanto, introduciamo un procedimento esemplificativo per poter rappresentare i solidi in qualunque posizione. Il prisma che vedete è un solido retto, cioè con asse perpendicolare alla base. Se il solido, come nel nostro caso, poggia con la base su di un piano di proiezione, significa che l asse è parallelo agli altri due piani. Osserviamo le immagini della seconda e della terza proiezione: il loro perimetro è un rettangolo. Da questa osservazione deduciamo una regola generale: se l asse di un prisma (o di un cilindro) è parallelo ad un piano di proiezione, l immagine su quel piano avrà un perimetro rettangolare. Abbiamo raggiunto una conclusione importante, non come un sei al superenalotto, ma di grande aiuto nella rappresentazione dei solidi. 27

Adesso, se avete la bontà di tornare all ultima figura di pagina 3, possiamo permetterci il lusso di fare un altra osservazione: la piramide rappresentata ha l asse perpendicolare al P.O., quindi parallelo al P.V. e al P.L. Guardando la forma complessiva della seconda e terza proiezione, dal perimetro triangolare, possiamo dedurre un altra regola di carattere generale: se l asse di una piramide (o di un cono) è parallelo ad un piano di proiezione, l immagine su quel piano avrà un perimetro triangolare. Le due deduzioni finora fatte (in attesa del sei o del cinque-più-uno,che ci darebbero molta più gioia) possono essere unificate così: quando l asse di un solido è parallelo ad un piano di proiezione, l immagine su quel piano avrà un perimetro rettangolare o triangolare. In particolare sarà un rettangolo se il solido è a superficie laterale proiettante (facce laterali o generatrici perpendicolari alla base), sarà un triangolo negli altri casi. Vediamo adesso a cosa ci può servire quello che abbiamo visto sopra. Osservate la figura sottostante: essa rappresenta le proiezioni di un prisma retto a base esagonale regolare poggiante con uno spigolo sul Piano Orizzontale: essendo lo spigolo parallelo all asse anche quest ultimo sarà parallelo al P.O. Sappiamo quindi che in prima proiezione il perimetro della figura sarà un rettangolo. In particolare uno dei lati dovrà essere la proiezione della base (a sua volta perpendicolare all asse e quindi al P.O.). Vi siete resi conto, spero, che adesso stiamo percorrendo un terreno conosciuto : la base esagonale del prisma può essere rappresentata trattandola come figura piana appartenente ad un piano proiettante. Nell immagine potete vedere in rosso il ribaltamento dell esagono di base. Non sono rappresentate le tracce del piano che la contiene perché si è preferito riportare direttamente le misure che vedete segnate sempre in rosso. 28

Costruita la prima base il resto è semplice perché l altra sarà uguale alla prima e starà dall altro lato dell asse. Dimenticavo: in genere si comincia posizionando l asse che in questo caso è coperto dallo spigolo. Ma rivediamo ancora il procedimento, applicandolo alla figura successiva: proiezioni di un cono retto avente l asse parallelo al P.V. e inclinato di 45 rispetto al P.O., poggiante con un punto della base sul P.O. La costruzione delle proiezioni comincia sul piano verticale perché sappiamo che qui vedremo come perimetro un triangolo. Costruiamo quindi l asse su una retta inclinata di 45 e, posizionata la base con un punto sulla linea di terra (B ), completiamo la figura con l altezza data (V C ). Ribaltiamo quindi una parte della base (in rosso in figura) per avere altri punti da proiettare in prima ed in terza proiezione. Le altre immagini si ottengono tracciando per prima la proiezione dell asse (ad es. V O ) che posizioneremo con una distanza a piacere (se privi di indicazioni) dalla L.T. quindi rispetto a questo misureremo le distanze dei punti ribaltati che troveremo lungo le linee di proiezione. In figura la distanza 1-2 (in rosso) è segnata con un trattino ed è riportata in entrambi i lati dell asse poiché in realtà il punto 2 rappresenta la coincidenza di due punti della base del cono. Ancora un esempio (giuro che è l ultimo!) che lascio però alla vostra attenzione. Notate, comunque, come sono state trovate le proiezioni dei vertici sul piano verticale: le distanze vanno misurate rispetto al diametro parallelo alla base della figura ribaltata e riportate nell altra immagine rispetto all asse. Le distanze sono positive o negative a seconda che siano a sinistra o a destra del diametro ribaltato. A questo punto devo necessariamente mantenere la promessa e fermarmi. La prossima puntata, dopo le prove di verifica, riguarderà le proiezioni di solidi con asse comunque inclinato rispetto ai piani di proiezione. 29

PROIEZIONI DI SOLIDI CON ASSE INCLINATO RISPETTO AI PIANI METODO DELLE PROIEZIONI SUCCESSIVE Quando si devono rappresentare le proiezioni di solidi che hanno l asse comunque inclinato rispetto ai tre piani di proiezione può essere adottato il presente metodo. Esso consiste nel rappresentare più volte il solido in oggetto, creando una sequenza di movimenti in cui vengono rispettate le condizioni di inclinazione dell asse. Ma vediamo meglio il procedimento seguendone le varie fasi nella figura seguente: Proiezioni di una piramide retta a base quadrata, poggiante con uno spigolo di base sul P.O. e con asse inclinato di 45 rispetto al P.O. e di 30 rispetto al piano verticale. Come potete osservare i primi due passaggi, tracciati in rosso, servono ad ottenere le proiezioni finali, in verde. Si inizia rappresentando il solido con la base appoggiata al piano, rispettando le dimenzioni assegnate e mettendo le lettere ai vari vertici. Successivamente (seconda rappresentazione in rosso) si ricostruisce, con le stesse misure, l immagine del P.V. inclinandola, però, fino a rispettare l angolo che l asse forma con il piano orizzontale. Da questa, per proiezione, si ottiene l immagine sul piano orizzontale. Infine si ridisegna, opportunamente ruotata (nel nostro caso 30 ) l ultima immagine ottenuta e poi, ancora per proiezione si ottengono le altre immagini sul piano verticale e su quello laterale. Nella figura sottostante vi ripropongo lo stesso procedimento applicato solamente all asse del solido. V V V O V O O O O. O O = V O V 30

METODO DEL PIANO AUSILIARIO Per rappresentare segmenti (e quindi assi di solidi) inclinati rispetto ai piani di proiezione può essere utilizzato un metodo più rapido di quello appena visto. Esso si basa sull utilizzo di un piano, detto ausiliario (in quanto aiuta), per mezzo del quale viene rispettata una delle due inclinazioni assegnate e, disegnando poi sul ribaltamento di tale piano, si rispetta l altra inclinazione. Ma vediamo meglio l applicazione di tale metodo: Immaginiamo di voler rappresentare un segmento AB (vedi asse di un solido) inclinato di 60 al P.V. e di 45 al P.O. Procedimento generale: si sceglie un piano proiettante parallelo al segmento assegnato e sul ribaltamento di questo si disegna il segmento ribaltato rispettando l inclinazione che quest ultimo ha con il piano di proiezione. Applicazione al nostro esempio: 1a soluzione: scelgo un piano perpendicolare al P.O. con la traccia prima inclinata di 60 rispetto al P.V. (in questo modo assicuro il parallelismo con il segmento) ribalto il piano e costruisco l immagine ribaltata del segmento rispettando l inclinazione che questo ha con il P.O. e quindi con la traccia prima del piano ausiliario. Dalla figura ribaltata ricavo immediatamente la prima proiezione del segmento che, per costruzione sarà parallelo alla traccia del piano. Ricavo, infine, per proiezione, l altra immagine sul P.V. 2a soluzione: uguale alla prima ma con l inclinazione del segmento ribaltato girata verso l esterno. Ovviamente quando non vi sono richieste precise, le inclinazioni possono essere scelte a piacere, purchè rispettino i dati del problema. 31

Se rileggete il procedimento generale potete osservare che il piano ausiliario deve essere proiettante e parallelo al segmento. Questo significa che si poteva anche utilizzare un piano perpendicolare al P.V. con la traccia seconda inclinata di 45 rispetto al P.O. Il procedimento non cambia rispetto a quello che abbiamo visto, quindi lascio a voi il compito di verificare. Vediamo adesso l applicazione ad un solido, ad esempio un amatissimo cono. Proiezioni di cono retto poggiante con il vertice sul P.O. e con asse inclinato di 75 rispetto al P.V. e di 60 rispetto al P.O. Scelto un piano proiettante, parallelo all asse (in questo caso: perpendicolare al P.O. e inclinato di 75 al P.V.) si comincia la proiezione disegnando l asse sul piano ribaltato: esso sarà inclinato di 45 rispetto alla traccia prima (quindi rispetto al P.O.). Si completa la proiezione del cono sul ribaltamento, ( ormai sapete come fare: essendo l asse parallelo a questo piano su questo vedremo la base ridursi ad un segmento quindi.) Si riporta l asse parallelo alla traccia prima e si costruisce l immagine della prima proiezione del cono riportando le distanze come di consueto. 32

Si trova la seconda immagine per mezzo della prima e di quella ribaltata. Ovviamente anche queste proiezioni potevano essere risolte utilizzando l altro piano proiettante parallelo all asse e cioè un piano perpendicolare al P.V. con la traccia seconda inclinata di 60 al P.O. Non è qui il caso di ripetere lo stesso esercizio ma vi invito a farlo: vedrete che i risultati sono identici. Vediamo invece un altro esempio: Proiezioni di una piramide retta a base pentagonale regolare, poggiante con uno spigolo di base sul P.O. e con asse inclinato di 60 al P.V. e di 45 rispetto al P.O. Il procedimento, come potete vedere, è uguale al precedente. L unica accortezza da osservare è quella di costruire il ribaltamento della base in modo tale che un lato del pentagono coincida con il punto di appoggio sul P.O.(cioè sulla L.T.) Per ottenere ciò è sufficiente che il lato di base sia parallelo all asse. In figura il pentagono di base è stato costruito a partire dal lato (A)(B), opportunamente posizionato parallelamente all asse. 33

Terminiamo con altri due esempi:proiezioni di un prisma retto a base triangolare poggiante con un vertice sul P.O. e con asse inclinato di 60 al P.O. e di 75 al P.V. Proiezioni di una piramide retta a base esagonale poggiante con uno spigolo laterale sul P.O e con asse inclinato di 60 rispetto al P.V. Quest ultimo caso merita due parole di commento: non conoscendo la inclinazione rispetto al piano orizzontale questa può essere ottenuta unendo il metodo delle proiezioni successive a quello del piano ausiliario Il procedimento risulta evidente dalla osservazione della figura ove è messo in risalto con il colore rosso. 34

S E Z I O N I Per facilitare le applicazioni della Geometria Descrittiva alle sezioni di solidi, conviene distinguere preliminarmente i solidi retti in due grandi categorie: 1 - solidi a superficie laterale proiettante (prismi e cilindri); 2 - solidi a superficie laterale non proiettante (coni e piramidi) in cui il verbo proiettante è riferito al rapporto tra la superficie laterale del solido e la sua base.fatta questa distinzione possiamo individuare quattro tipologie di procedure, riferendoci ai seguenti casi : a sezione a - nel solido della prima categoria, sezionato con un piano proiettante, la ricerca della sezione è di fatto soddisfatta in quanto si hanno già entrambe le proiezioni della stessa. Per osservare la vera forma, basta ribaltare il piano contenente la sezione su uno dei piani di proiezione. b b - Se sezioniamo un solido del 1 con un piano generico abbiamo una sola proiezione della sezione (nell esempio in figura, la prima); trovare l altra basterà applicare le condizioni di appartenenza ai punti sezione e trovare così la proiezione mancante. ancora tipo per della sezione c sezione c - Se sezioniamo un solido del 2 tipo con piano proiettante abbiamo una sola proiezione della sezione (nell esempio in figura, la seconda); per trovare l altra basterà proiettarsi i punti nei rispettivi spigoli del solido. 35

Liceo Artistico Teramo Appunti di Disegno Geometrico prof. Rocco Garibaldi d d - Sezionando infine un solido del secondo tipo, con un piano generico possiamo osservare che in nessuna delle due proiezioni è presente l immagine della sezione In questo caso bisogna ricorrere all uso di ulteriori piani, per mezzo dei quali individuare i punti della sezione cercata. Vediamo adesso alcuni esercizi esemplificativi di quanto detto finora: Caso A : Sezionando prismi o cilindri con dei piani proiettanti, posizionati come nell esempio A, si ottengono immediatamente entrambe le immagini della sezione, quindi l unico intervento grafico può consistere nella ricerca della vera grandezza. Ovviamente questa la si otterrà con una semplice operazione di ribaltamento del piano che la contiene su uno dei piani di proiezione. Nell esempio che segue la vera grandezza della sezione è stata ottenuta ribaltando il piano sul P.O. Fig. 1 : sezione di un prisma esagonale retto con piano proiettante in seconda proiezione. 36

Liceo Artistico Teramo Appunti di Disegno Geometrico prof. Rocco Garibaldi Si possono verificare anche dei casi in cui una delle due immagini della sezione non è evidente. Ciò succederà in tutti quei casi in cui il piano sezionante passerà per una delle basi del solido. Sarà sempre comunque possibile trovare l altra immagine con estrema semplicità. Vediamo un esempio nella figura successiva : Fig. 2: vista assonometrica ed in proiezioni ortogonali di un prisma retto a base triangolare sezionato da un piano parallelo al P.V. Come si può osservare il piano proiettante, parallelo al P.V., ci fornisce immediatamente le due immagini della sezione nei piani dove è proiettante ( la prima e la terza) mentre la seconda proiezione viene ricavata da semplici operazioni proiettive. Fig. 3 : sezione di cilindro con piano perpendicolare al P.O. Fig. 4 : sezione di parallelepipedo con piano perpendicolare al P.V. Caso B Sezionando un prisma o un cilindro, poggianti con una base sul P.O., con un piano generico, una delle immagini delle sezioni coinciderà sempre con la proiezione della 37

Liceo Artistico Teramo Appunti di Disegno Geometrico prof. Rocco Garibaldi base (a meno che quest ultima non venga tagliata dal piano). La proiezione mancante potrà essere individuata applicando ai punti della sezione le condizioni di appartenenza (i punti della sezione sono punti del piano ed in quanto tali debbono appartenere a rette dello stesso). Basterà quindi, per ogni punto, far passare una retta del piano e trovare il corrispondente nell altra proiezione. Fig. 5 : sezione di un parallelepipedo con piano generico. Nella fig. 5 la seconda proiezione della sezione è stata trovata usando due rette frontali del piano generico. Anche in questo caso il piano generico potrebbe sezionare una delle basi del solido. Il procedimento resta comunque valido poiché se l intersezione avviene con la base che poggia sul piano, sarà evidente che i punti della sezione saranno individuati direttamente dalla traccia del piano: nell esempio della fig.6 si può osservare lo stesso solido precedente sezionato con un piano generico che taglia la base di appoggio. Fig. 6: sezione di un parallelepipedo con piano generico passante per la base inferiore Può capitare, invece, che venga sezionata la base superiore. In questo caso il procedimento diventerà simile a quello che descriverò per il caso D. Si tratterà di utilizzare, nel caso in esame, un piano contenente tutta la base superiore e, trovata le retta intersezione di questo con il piano 38

Liceo Artistico Teramo Appunti di Disegno Geometrico prof. Rocco Garibaldi generico e poi vedere dove attraversa l altra proiezione della base. Vedremo comunque meglio il procedimento nelle prossime pagine. Caso C Se sezioniamo un cono o una piramide con un piano proiettante avremo una proiezione della sezione: quella coincidente con la traccia proiettante del piano. Per trovare l altra immagine in genere è sufficiente considerare altri elementi del solido (spigoli o generatrici) che passano per i punti della sezione e ritrovarne i punti nell altra immagine, sui rispettivi elementi. Figg. 7 e 8 : sezione di una piramide esagonale con piano perpendicolare al Piano Verticale A volte è utile fare uso di piani paralleli alla base del solido: nella figura 9 la sezione cono è stata ottenuta in prima proiezione utilizzando dei piani paralleli alla sua base (e quindi al P.O.) Tali piani hanno come prima proiezione della sezione una circonferenza, che sarà tanto più piccola quanto più il piano si avvicinerà al vertice. Le circonferenze così ottenute ci consentono di posizionare con esattezza i punti della sezione cercati. Ovviamente anche in questo caso può accadere che il piano sezionante possa interessare la base del solido, come nell esempio mostrato, oppure essere esterno. In ogni caso il procedimento indicato è lo stesso. 39

Liceo Artistico Teramo Appunti di Disegno Geometrico prof. Rocco Garibaldi Fig. 9 : sezione del cono con piano perpendicolare al P.V. Essendo il piano sezionante parallelo alla generatrice del cono si ottiene una parabola Caso D Nel caso in cui viene sezionato con un piano generico un cono o una piramide ( e, di regola in tutti quei casi in cui non è possibile usufruire della possibilità di individuare una proiezione della sezione, come, per esempio, nei solidi con l asse inclinato rispetto ai piani di proiezione) non avendosi alcuna immagine della sezione si deve applicare una procedura diversa. Il metodo che vedremo ha carattere generale e va utilizzato in tutti i casi in cui si cercano punti che appartengono contemporaneamente a più enti geometrici: sezioni, intersezioni tra rette e piani, tra rette e solidi, ricerca di ombre,... ecc.). Esso consiste nell utilizzare dei piani proiettanti che contengano sia elementi del solido e sia parti del piano (retta intersezione). Costruendo le proiezioni di tali elementi si otterrà un immagine in cui verranno evidenziati i punti in comune tra la sezione effettuata dal piano proiettante e la retta intersezione tra questo ed il piano generico. Tali punti sono gli unici ad appartenere sicuramente sia al solido (perché della sezione) e sia al piano generico (perché della retta)., saranno quindi della sezione. Continuando con questo metodo si possono trovare tutti i punti che servono per ricostruire entrambe le proiezioni della sezione cercata. Fig. 10 : sezione di piramide con piano generico Nella fig.10 viene illustrata la sezione di una piramide triangolare con piano generico. I punti P, R e Q, della sezione sono stati trovati utilizzando rispettivamente tre piani e perpendicolari al P.O. Ognuno di questi piani contiene una sezione triangolare della piramide ( in particolare contiene uno spigolo di essa) ed una retta del piano generico. (rispettivamente la r, b e a.in prima proiezione tutto coinciderà ovviamente sulla traccia di ogni piano proiettante ma sul piano verticale sarà facile individuare l unico punto in comune. Il punto R, in comune alla retta a e allo spigolo A V, il Q tra la retta b e lo spigolo B V il P, tra la retta r e lo spigolo C V. Riportando i punti della sezione così 40

Liceo Artistico Teramo Appunti di Disegno Geometrico prof. Rocco Garibaldi trovati sui rispettivi spigoli della prima proiezione si completa la ricerca. Anche in questo caso la vera grandezza della sezione si otterrà ribaltando il piano su uno dei piani di proiezione. Vediamo adesso alcuni esempi della stessa applicazione: Ricerca del punto di intersezione tra una retta r ed un piano generico. t s T r T s r r T r t t Per una delle immagini della retta si traccia un piano proiettante ( )che la contiene. Si seziona il piano generico ottenendo la retta di intersezione s e, nella prima immagine di trova il punto P, unico punto in comune alla retta ed al piano. Successivamente si trova la seconda immagine di P sulla seconda proiezione della retta. Fig. 11 : ricerca del punto intersezione tra un piano generico ed una retta generica Intersezione tra una retta r ed una.piramide : t 1 2 T r Si fa passare un piano proiettante che contiene la retta (in fig. il piano ). Si trova la sezione della piramide con il piano (in figura è tratteggiata). Nella seconda immagine si ricavano i punti 1 e 2 in comune alla retta ed alla piramide e successivamente, per proiezione si ricavano le due prime roiezioni 1 e 2. 2 T r 1 Fig. 12: intersezione tra retta e solido ombre di un punto su di un piano generico: A A o Il Punto A, colpito da un raggio di luce s proietterà la sua ombra sul punto A O del piano generico. Anche in questo caso si tratta di trovare l intersezione di una retta con un piano quindi il procedimento è il medesimo: fatto passare un A A o 41

Liceo Artistico Teramo Appunti di Disegno Geometrico prof. Rocco Garibaldi piano proiettante che contiene il raggio d ombra del punto, si fa la retta d intersezione con il piano generico e, nell altra proiezione si trova il punto in comune. Fig. 13: ombre di un punto su un p.g. INTERSEZIONI L argomento che affronteremo adesso costituisce uno degli aspetti più importanti della geometria descrittiva. Infatti, attraverso la conoscenza dei principi fondamentali e delle tecniche di applicazione sarete in grado di risolvere qualunque problema basato sulla ricerca di elementi in comune a più enti geometrici. Ad esempio la ricerca della linea d incontro tra diverse falde, progettando le coperture, oppure la visualizzazione delle diverse morfologie ottenibili compenetrando volumi diversi (fondamentale problema sia in modellato che in architettura). Intanto alcune osservazioni semplici per chiarire meglio quale sarà l oggetto della ricerca, nelle operazioni di intersezione: 1) Se l intersezione avviene tra elementi geometrici ad una sola dimensione, cercheremo il punto in comune ai due elementi; 2) Se avviene tra un elemento monodimensionale e uno bidimensionale cercheremo ancora un punto; 3) Se avviene tra un elemento monodimensionale e uno tridimensionale cercheremo i due punti in comune sulla superficie esterna del solido; 4) Se avviene tra elementi bidimensionali cercheremo un segmento, se si tratta di figure piane, una retta, se intersechiamo dei piani; 5) Se l intersezione avviene tra un elemento bidimensionale e uno tridimensionale cercheremo una figura piana, i cui punti appartengono contemporaneamente ad entrambi gli elementi ( ad esempio le sezioni che abbiamo già visto) 6) Se avviene tra due elementi tridimensionali cercheremo la linea di contorno formata dai punti in comune alle superfici laterali dei solidi in considerazione. Punto 1 L intersezione tra elementi ad una sola dimensione, siano essi segmenti o rette, può avvenire solo se questi sono complanari, se cioè appartengono allo stesso piano. Il punto d intersezione sarà quello in comune ai due elementi e per trovarlo basterà applicare la prima condizione di appartenenza: un punto appartiene ad una retta (un segmento o semiretta) se ha le proiezioni sulle proiezioni della retta (segmento o semiretta). Ovviamente il punto cercato sarà quello dove si incontrano tutte le immagini nelle varie proiezioni. Nella figura qui accanto potete osservare come il punto P, intersezione tra la retta rossa e quella blu, abbia sempre le proiezioni sulle proiezioni di entrambe le rette. Osservate, inoltre, che le rette sono complanari, entrambe, infatti, appartengono al piano indicato con le tracce verdi. Punto 2 L intersezione tra elementi ad una dimensione con figure piane può presentare soluzioni molto semplici ma anche relativamente complesse. Nella figura accanto vi mostro una soluzione semplice, sulla quale però è necessario fare un osservazione importante. La ricerca del punto P in questo caso è facilitata dalla posizione del rettangolo. Esso, infatti, risulta proiettante in seconda proiezione, mettendo così in evidenza anche il punto che ha in comune con la retta r. 42

Liceo Artistico Teramo Appunti di Disegno Geometrico prof. Rocco Garibaldi Questo è un caso particolare. Nei casi in cui ciò non avviene bisognerà operare come nelle sezioni di tipo D; cioè utilizzare un piano con cui sezionare entrambi gli elementi Ma vedremo ancora questo procedimento vi ho già detto che sarà il tormentone dell anno, no? Punto 3 Questo caso è stato gia esemplificato trattando le sezioni dei solidi, quindi vi rimando alla figura 12 dell ultima pagina delle sezioni. In quella figura potete osservare il caso generale, cioè il metodo risolutivo che va sempre applicato tutte le volte che non risulta evidente l intersezione. A volte, infatti, le superfici dei solidi possono essere proiettanti facilitando la ricerca, come nel caso precedente. Punto 4 In questo caso ci interessa analizzare, soprattutto, l intersezione tra piani. Sapete già che due piani, quando si intersecano, generano una retta (ad esempio la Linea di Terra i cui punti appartengono contemporaneamente a due piani di proiezione). Per la ricerca di tale retta si applica la seconda condizione di appartenenza: una retta appartiene ad un piano se ha le tracce sulle tracce omonime del piano. Nel caso di intersezione tra piani la retta quindi dovrà appartenere ad entrambi. Da ciò si deduce che le sue tracce potranno essere soltanto i punti in cui le rispettive tracce si incontrano. Nella figura accanto vedete le immagini della retta r, intersezione tra i due piani generici. Il caso mostrato è tra i più semplici ma anche quelli che apparentemente sembrano più complessi si risolvono facilmente con la stessa procedura: si cercano le tracce della retta intersezione; trovate queste all incrocio delle tracce omonime dei piani si fanno le proiezioni. I casi che si possono presentare sono ovviamente infiniti, per cui farò solo qualche esempio per ribadire il valore del procedimento. Qui accanto vedete due piani, entrambi perpendicolari al P.O. La retta intersezione sarà anch essa proiettante ed in particolare tutta la sua prima immagine coinciderà con la traccia prima. Se provate ad applicare anche in questo caso il procedimento precedente vedrete che partendo dalle tracce (la prima è dove si incrociano le tracce prime dei piani, la seconda dove si congiungono le tracce seconde, cioè all infinito nella direzione perpendicolare alla linea di terra) è facile ottenere le proiezioni della retta, cioè: proiettata la prima traccia sulla linea di terra si traccia una retta fino alla seconda traccia; Un ultimo esempio per mostrare il caso in cui le tracce dei piani si incontrano in un altro diedro. Come potete osservare il procedimento è sempre lo stesso: basta prolungare le tracce dei piani e trovare l intersezione. Trovate così le tracce basterà portarle sulla linea di 43

Liceo Artistico Teramo Appunti di Disegno Geometrico prof. Rocco Garibaldi terra e unirle rispettivamente alla traccia non proiettata. Punto 5 Questo punto riguarda le sezioni ed è stato già ampiamente trattato, quindi vi rimando alle pagine precedenti. Punto 6 Eccoci finalmente alle INTERSEZIONI DI SOLIDI Le intersezioni tra elementi geometrici costituiscono l aspetto più interessante per chi, come voi, è interessato alla progettazione tridimensionale. In particolare le compenetrazioni tra solidi offrono una infinita varietà di soluzioni compositive, facilmente ottenibili con le semplici regole già viste. La regola principale è quella che ormai, spero, tutti conoscete: ogni volta che interessa trovare punti o figure piane (sezioni o intersezioni), in comune a più elementi geometrici bisogna utilizzare un piano con cui effettuare una sezione di entrambi gli elementi. Ottenute queste ultime, le eventuali sovrapposizioni ci forniranno i punti che sicuramente appartengono ad entrambi gli elementi. In pratica l uso del piano ( meglio se proiettante) consente di ottenere una visione complanare delle parti che ci interessano; in tal modo saremo sicuri che le eventuali intersezioni saranno reali e non dovute a proiezioni che si sovrappongono. Ma facciamo qualche esempio.per cominciare completiamo il discorso relativo al al punto 2: La figura qui accanto mostra l intersezione tra una retta (disegnata parzialmente) ed una piramide retta triangolare.la ricerca dei punti d intersezione tra retta e piramide è mediante un piano perpendicolare al P.O. che contiene la retta ( la t del piano contiene la prima immagine della retta, la seconda traccia è stata omessa per ragioni di spazio. Essendo il piano proiettante esso sicuramente conterrà la retta). Effettuata la sezione della piramide si è t ottenuto, in seconda proiezione, il triangolo 1-2-3, tratteggiato in rosso. I punti O e V, comuni alla seconda immagine della retta e alla sezione, sono i punti cercati. Notate che se si ripete l operazione immaginando di utilizzare un piano perpendicolare al P.V., fatta la sezione 4-5-6, si otterranno, ovviamente gli stessi punti. In quest altra immagine potete osservare l intersezione tra una retta e un ottaedro. Anche in questo caso sono state effettuate le sezioni sia considerando (senza disegnarlo) un piano perpendicolare al P.O., contenente la retta verde, e sia il piano proiettante in seconda proiezione. Le sezioni sono in rosso e come potete osservare il risultato è sempre uguale. E sufficiente quindi operare una sola sezione. Gli esempi fatti rientrano nei casi indicati al punto 2 ma il procedimento attuato ha, ripeto, carattere generale. 44

Liceo Artistico Teramo Appunti di Disegno Geometrico prof. Rocco Garibaldi Nelle pagine successive vedremo alcuni esempi di compenetrazioni tra solidi, sperando che Laura riesca a trovare un po di tranquillità Cominciamo con un caso abbastanza semplice: compenetrazione tra una piramide ed un parallelepipedo Come potete vedere le sezioni si ottengono facendo passare dei piani proiettanti per le facce del parallelepipedo. Ad es. considerando il piano perpendicolare al P.O. passante per la faccia EGLM si ottiene la sezione 123 sulla piramide. Questa coinciderà con la faccia del prisma fino ai punti P ed N; la parte coincidente è quella dei punti in comune che stavamo cercando. Ripetendo l operazione per le altre facce si completa il disegno. In particolare notate che in questo caso è necessario considerare anche un piano parallelo al P.O. passante per la faccia superiore del parallelepipedo. La compenetrazione successiva, tra una piramide ed un prisma, è molto simile al disegno fatto da voi; quindi posso esimermi dal dare ulteriori spiegazioni. D altra parte ripeterei ancora una volta le stesse cose con il rischio di provocare un epidemia di noia mortale o un eccesso di crisi di rigetto. In ogni caso le sezioni sono ben visibili. Magari posso aggiungere una sola nota per accontentare Laura: in prima proiezione si vede la parte che emerge della piramide. E stata ottenuta considerando il piano parallelo al P.O. passante per la faccia del prisma che, ovviamente, dà come sezione un ottagono simile alla base. Non ti 45

Liceo Artistico Teramo Appunti di Disegno Geometrico prof. Rocco Garibaldi ricorda il cono? Compenetrazione tra un prisma triangolare ed un ottaedro. Anche se a prima vista questo esercizio può sembrare complesso, esso è ancora più semplice del precedente. Infatti è sufficiente far passare tre piani perpendicolari al P.O., contenenti i tre spigoli del prisma e, fatte le sezioni dell ottaedro, vedere quali sono i punti in comuni alle sezioni con i rispettivi spigoli. Osservando la figura potrete facilmente individuare il procedimento anche se i piani non sono segnati. Compenetrazione tra cono e cilindro. Anche in questo caso i piani, tutti paralleli al P.O. contengono le generatrici del cilindro. O,meglio ancora, vengono usati per ottenere sia la sezione del cilindro (un rettangolo) e sia quella del cono (un cerchio) vedendo poi quali sono i punti in comune alle due sezioni. 46